用递归与非递归方式求Hermite多项式的值
07第七章 埃尔米特多项式
π∫
+∞ −x2
−∞
e
f (x)Hn (x)dx
西安理工大学应用数学系
内展成Hermite多项式的级数形式 多项式的级数形式 例2：将f ( x ) = e x 在 ( −∞ , +∞ ) 内展成 多项式 解 ：设 设 则
m
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取
cn = 2n 则 cn−2m = (−1)m
n 2
n! 2n−2m m!(n − 2m)!
，对应多项式
当n为偶数时，有系数 为偶数时，
m
cn , cn−2 , L, c2 , c0
n! y1(x) = ∑(−1) (2x)n−2m 为关于 的偶次方的 为关于x的偶次方的 m!(n − 2m)! m=0 多项式 n! n = (2x) − (2x)n−2 +L (n − 2)! 当n为奇数时，有系数 cn , cn−2 , L, c3 , c1 ，对应多项式 为奇数时，
H1 ( x) = 2 xH 0 ( x)
H n +1 ( x) − 2 xH n ( x) + 2nH n −1 ( x) = 0, n = 1, 2,L
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§7.3
Hermite多项式的正交性及其应用 Hermite多项式的正交性及其应用
结论： 结论：Hermite多项式 {H n ( x)}∞=1 在 ( −∞, +∞) 上关于权函 多项式 n 2 正交， 数 f ( x ) = e − x 正交，即
n! n−2m P (x) = ∑(−1) (2x) 为关于x的奇次方的多项式 为关于 的奇次方的多项式 n m!(n − 2m)! m=0
m
n−1 2
皇后问题递归法
皇后问题递归法
皇后问题是一道经典的递归问题，它的目标是在一个n×n的棋盘上放置n个皇后，使得每个皇后都不会互相攻击，即不能在同一行、同一列或同一对角线上。
这个问题可以用递归回溯算法来解决。
实现过程如下：
1. 首先定义一个函数，输入参数为当前皇后要放置的行号row 和一个n×n的棋盘board，输出为布尔类型的结果，表示当前皇后能否放置在该行上。
2. 在该函数中，遍历当前行的每一个列，判断该列是否可以放置皇后，如果可以，则将该皇后放置在该列上，并递归调用该函数，使得下一行的皇后也能够被正确放置。
3. 如果递归调用函数的结果为true，则表示下一行的皇后已经被正确放置，当前皇后也能够被正确放置，直接返回true即可。
4. 如果递归调用函数的结果为false，则表示下一行的皇后无法被正确放置，需要回溯，将当前皇后从棋盘上移除，尝试下一个列。
5. 如果遍历完所有列还是无法放置皇后，则返回false，表示当前皇后无法放置。
6. 在主函数中，从第一行开始调用该函数，直到所有皇后都能够被正确放置，输出结果。
该算法的时间复杂度为O(n^n)，因为每一行都有n种可能性，总共有n行，因此是指数级别的。
但是该算法的空间复杂度较小，只需要一个n×n的棋盘即可。
这就是皇后问题的递归解法，它是一种非常经典的算法问题，也是递归算法在实际问题中的一个典型应用。
计算方法引论课后答案
计算方法引论课后答案第一章误差1.什么是模型误差，什么是方法误差？例如，将地球近似看为一个标准球体，利用公式 $A=4\pi r$ 计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差。
在计算过程中，要用到 $\pi$，我们利用无穷乘积公式计算 $\pi$ 的值：pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\f rac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\ frac{8}{9}\cdot\cdots我们取前9项的乘积作为 $\pi$ 的近似值，得$\pi\approx3.xxxxxxxx5$。
这个去掉 $\pi$ 的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也称为截断误差。
2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.956，76.000，.322，501.235，.182，130.015，236.23.解：816.96，76.000，.501.24，.130.02，236.23.3.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？81.897，0.008，136.320，050.180.解：五位，三位，六位，四位。
4.若 $1/4$ 用 0.25 表示，问有多少位有效数字？解：两位。
5.若 $a=1.1062$，$b=0.947$，是经过舍入后得到的近似值，问：$a+b$，$a\times b$ 各有几位有效数字？已知 $da<\frac{1}{2}\cdot10^{-4}$，$db<\frac{1}{2}\cdot10^{-3}$，又 $a+b=0.\times10$。
begin{aligned}d(a+b)&=da+db\leq da+db=\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.55\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以 $a+b$ 有三位有效数字；因为 $a\timesb=0.xxxxxxxx\times10$。
Hermite插值多项式
( xi1
4
xi )2
因此
|
Ri ( x) |
(
x i
+1
8
xi )2
max |
xi x xi1
f ( x) |
于是在[a,b]上，| R( x) ||
f
( x)
L1( x) |
h2 8
M2
优点：计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。
缺点：分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。
(1) L1(x) 在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是
线性插值多项式;
(2) L1(xi ) yi , i=0,1,2,…,n (3) L1(x) 在区间[a , b]上连续; 则称 L1(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值函数。
2.分段线性插值函数的表达式
2
两点三次Hermit插值（续1）
5
直接设 H3 (x) ax3 bx2 cx d
待定系数法求出，但不易推广到高次。
3
基函数法:
令H3(x) y00 (x) y11(x) y00 (x) y11(x)
为使H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件
H3 (xi ) yi , H3(xi ) yi i 0,1
并在每个 xi , xi子1区间上构造插值多项式，然后把 它们装配在一起，作为整个区间 上a,的b插值函数。
二、分段线性插值
1.问题的提法
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数 L1(x)满足条件
hermite polynomial多项式
Hermite多项式在数学中有着重要的应用，它们是一类特殊的多项式，具有许多重要的性质。
以下是关于Hermite多项式使用方法和注意事项的详细介绍：1.定义和性质：Hermite多项式是一类定义在实数域上的多项式，其定义如下：$H_n(x) = \sum_{k=0}^{[n/2]} (-1)^k (x-k)^n C_{n-k,k}$其中，$C_{n-k,k}$ 是二项式系数，即$C_{n-k,k} = \frac{(n-k)!k!}{n!}$。
Hermite多项式具有一些重要的性质，比如它们是递推的，即$H_{n+1}(x) = xH_n(x) - nH_{n-1}(x)$。
此外，它们还具有一些微分性质，如$H_n'(x) = nH_{n-1}(x)$ 和$(x^2-1)H_n'(x) = n(2x-1)H_{n-1}(x)$。
2.使用方法：使用Hermite多项式时，需要注意以下几点：●初始化：要计算Hermite多项式的值，需要先定义一个变量$x$ 和一个整数$n$。
●计算：根据定义，计算出$H_n(x)$ 的值。
●应用：将计算出的$H_n(x)$ 值应用于实际问题的求解中。
以下是一个使用Python实现计算Hermite多项式的示例代码：3.注意事项：在使用Hermite多项式时，需要注意以下几点：●递归性质：由于Hermite多项式是递推的，因此计算时需要注意递归调用，避免出现栈溢出等问题。
●数值稳定性：由于Hermite多项式的计算涉及到高次幂运算和整数除法运算，因此可能会出现数值不稳定的问题。
为了提高数值稳定性，可以使用一些数值稳定的算法，如快速幂算法和模运算等。
●应用场景：虽然Hermite多项式在数学中有着广泛的应用，但是在实际应用中需要注意它们的应用场景和适用范围。
同时，还需要考虑它们与其他数学工具和算法的结合使用。
4.应用案例：以下是几个使用Hermite多项式的应用案例：例1：求解常微分方程Hermite多项式可以用于求解常微分方程。
递归算法解决问题
递归算法解决问题递归算法是一种解决问题的重要方法，它的特点是在解决问题的过程中，可以调用自身来解决子问题。
这种方法通常可以使问题的解决过程更加简洁明了，但也需要注意递归的边界条件以及递归深度的控制，以避免陷入无限循环的情况。
在计算机科学中，递归算法被广泛应用于各种领域，比如树的遍历、图的搜索、动态规划等等。
下面我们将以几个具体的例子来说明递归算法的使用。
我们来看一个经典的例子——计算斐波那契数列。
斐波那契数列是一个递归定义的数列，它的前两个数是0和1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。
可以用递归算法来计算斐波那契数列的第n个数，代码如下：```pythondef fibonacci(n):if n <= 1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```在这个递归函数中，当n小于等于1时，直接返回n；否则，就将问题拆分为求解第n-1个数和第n-2个数的和。
通过不断地递归调用自身，最终可以得到问题的解。
接下来，我们来看一个更复杂的例子——汉诺塔问题。
汉诺塔是一个经典的数学问题，它可以用递归算法来求解。
问题的描述如下：有三根柱子A、B、C，初始时柱子A上有n个盘子，这些盘子按照从小到大的顺序叠放在一起。
现在要将这些盘子从柱子A移动到柱子C，可以借助柱子B作为中转。
移动的规则是每次只能移动一个盘子，且大盘子不能叠在小盘子上面。
代码如下：```pythondef hanoi(n, A, B, C):if n == 1:print("Move disk", n, "from", A, "to", C)else:hanoi(n-1, A, C, B)print("Move disk", n, "from", A, "to", C)hanoi(n-1, B, A, C)```在这个递归函数中，当n等于1时，直接将盘子从柱子A移动到柱子C；否则，将问题拆分为三个子问题，先将n-1个盘子从柱子A 移动到柱子B，然后将第n个盘子从柱子A移动到柱子C，最后将n-1个盘子从柱子B移动到柱子C。
Hermite插值多项式
1 例：在[5, 5]上考察 f ( x ) 1 x2 xi 5 10 i (i 0, ... , n) n
2.5 2
的 Ln(x)。取
1.5
n=10
1
0.5
n=2
n=5
0
n 越大， 端点附近抖动 越大
3 4 5
- 0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
事实上已被证明：对于 n 的高阶插值 公式 Ln ( x )只有当 x 3.63时才有 Ln ( x ) f ( x ).
( xi ) yi i 0,1 H3 ( xi ) yi , H3
则可选择基函数
0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)
使它们都是次数不超过3的多项式 ,且满足如下条件: 0 ( x0 ) 1 1 ( x0 ) 0 0 ( x0 ) 0 1 ( x0 ) 0 ( x ) 0 ( x ) 1 (x ) 0 (x ) 0 1 1 0 1 0 1 1 1 ( x ) 0 ( x ) 1 ( x ) 0 1 0 0 0 1( x0 ) 0 0 0 1( x1 ) 0 ( x1 ) 0 ( x ) 0 1( x1 ) 1 0 0 1
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式 化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步， 先将所考察的区间作一分划 ：a x0 x1 xn b
并在每个 xi , xi1 子区间上构造插值多项式，然后 把它们装配在一起，作为整个区间 a, b 上的插值 函数。
数学中的正交多项式和傅里叶级数
数学中的正交多项式和傅里叶级数在数学领域中，正交多项式与傅里叶级数是两个至关重要的概念。
它们能够被用于解决各种数学问题，尤其是在物理和工程学科中。
在接下来的文章中，我们将会探讨这两个概念及其应用。
正交多项式正交多项式是一组多项式，它们在一定区间上满足正交性质。
比如，常见的拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）和埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）就是两个最常见的正交多项式。
如何定义正交多项式？我们可以定义一个带权内积，用于刻画两个多项式f(x)和g(x)之间的相似度。
针对某个区间[a, b]上的两个多项式f(x)和g(x)，它们之间的内积可被定义为：∫ w(x) f(x) g(x) dx其中 w(x) 是某个权重函数，其权重为正值。
按照这个定义，如果两个多项式f(x)和g(x)的内积等于0，则称这两个多项式是正交的。
此外，每个正交多项式的长相相对固定，因此可以通过一定的递归算法求出。
正交多项式有很多重要的性质。
首先，它们可以被用于解决微分方程问题。
例如，拉盖尔多项式可以被用于解决径向薛定谔方程。
其次，它们还可以被用于计算各种积分、矩阵等，因为它们与一些数学变换（如傅里叶变换）之间有着紧密的联系。
因此，正交多项式在科学研究中有着广泛的应用。
傅里叶级数傅里叶级数是一个函数的三角级数展开，可被用于解决周期性函数的问题。
即，任何周期的函数f(t)都可以被表示为以下形式的级数：f(t) = a0/2 + Σ[an cos(nωt) + bn sin(nωt)]其中a0/2是函数在一个周期内的平均值，a,b是展开式的系数，ω是频率。
若函数f(t)满足可积性，则其傅里叶级数收敛于f(t)。
傅里叶级数的应用非常广泛。
特别是在信号处理和图像处理中，傅里叶变换被用于将信号从时域转换为频域，以帮助分析和处理信号。
傅里叶级数也被用于音乐处理、图像压缩、通信、遥感等许多领域。
正交多项式与傅里叶级数正交多项式和傅里叶级数看上去没直接联系，但实际上它们之间存在很紧密的关系。
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实验题目用递归与非递归方式求Hermite多项式的值实验日期2013年6月16日
一、实验目的
本实验的目的是进一步理解递归设计与调用，理解函数递归调用的执行过程，比较递归与非递归方法，从中体会递归的优点。
二、实验问题描述
Hermite本身就是通过递归定义的，当n等于0或1时，问题的答案可以直接计算得到；当n>1时，当前问题的答案Hn(x)需要Hn-1(x)和Hn-2(x)的结果才能算出。
三、实验问题问题
递归是程序调用自身的编程，一个过程或函数在其定义或说明中有直接或间接调用自身的一种方法，他通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大减少了程序的代码量。
四、实验结果（程序）及分析
- 1 error(s), 0 warning(s)
解决：return后面应是完整括号；
解决：函数原型括号后加；。
2,C:\Users\Administrator\Desktop\新建文件夹(4)\(25) : warning
C4715: 'P' : not all control paths return a value 解决：函数定义要有return h3;。