数学解题五层境界
数学学习的“九重境界”，学霸只能到第七层，看看你到第几层！
数学学习的“九重境界”，学霸只能到第七层，看看你到第几层！数学题很难，英语句子很长，语文文言文难懂，很多时候，我处于崩溃状态！我要去的区域很远，可是要做得工作许多，尤其是数学，难以想象，教师在教室黑板上，把一个英文字母算变成一个数据结果，尖子生对于此事表明钦佩，差生对于此事觉得无法想象。
数学一直就是我的恶梦，我也不知道从何下手。
前不久在互联网上看到了尖子生的九重人生境界，我不懂装懂，我只有到第三层（会刷题），而尖子生也只有到第七层（融会贯通）。
非常少有的人能到第九层。
数学成绩好的人，往往不会记公式定理俗话说得好：有道无术，术还行求，有术无道，止于术。
我觉得：学习培训数学和语文课一样，只需背会公式计算定律，就可以考出很好的成绩。
想不到普通高中数学彻底不一样，尽管记诵记忆力能够实际支出中小学六年，普通高中彻底被那样的逻辑思维压垮了。
班集体里有数学成绩好的同学们，她们从不如何上课，可是考试就能考高分数。
由于她们学习到了数学的关键逻辑思维。
把数学作为了一种方法，因此它们不用记忆力。
当提出去的情况下，大伙儿还要探讨的情况下，她们早已列出了回答。
在她们脑子里建立了数学逻辑思维，应对大体有条件刺激。
学数学的9个人生境界，看着你到第几层第一个台阶是能看懂：看得懂便是新手入门等级了，终究仅仅中国汉字，只需了解字，都能够看懂，因此，这一时期的学员，大多数是中小学生，连字还没有认全，处在懵懵懂懂的情况。
再深一层的含义，便是可以听得懂教师解读，可是自身还不可能做。
第二个台阶是能记住：能记牢，尽管迈了一个台阶，可是只有记牢许多种类题，还一定是教材练习题，如果是课余题，略微变化方式，就马上一脸懵逼了。
要想超越新的台阶，必须亲力亲为刷题了。
第三个台阶是能解题：这一台阶，基本上是在分数线周边彷徨，能否合格要看题难不会太难。
处在这一台阶的同学们，只需把教材题都搞好，就可以合格了。
我的数学成绩，长期性处在这一水准。
第四个台阶是娴熟答题：处在这种时期的学员，一般能够开展思维方式练习，目的性的训练，必须刻意练习去突破自己。
纪博士 数数 12345 于特讲题 (12345模)型
纪博士数数12345 于特讲题学悟有别，你我自取，教学践行，适切至上！数学解题五境界第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释．第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。
这些结论、定理规律都是解题的有用工具。
解题高手都有自己的定理库．第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。
不是所有的老师都具备编题的能力。
解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。
即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏．如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．1一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。
因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。
以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。
学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！版块一引入问题1．如图1-1，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝图1-1 图1-22．如图1-2，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝3，DC＝2，则AD 的长为_________．版块二“1 2 3”+“4 5”的来源一般化结论：若α + β = 45︒则有tanα =a -1a +1，tan β =1a（a >1），当 a =32时，则得到tanα=2 13 5（了解）当a=2时，则得到tanα =1 12 3（重要）tan =βtan =βtan =βtan =当a = 4时，则得到tanα = 1 34 5（次重要）2β【例1】（济南市中考题）如图2-1，∠AOB是放置在正方形网络中的一个角，则cos ∠AOB的值是．图2-1【例2】（2015湖北十堰）如图2-2，正方形ABCD 的边长为6，点E，F分别在AB，AD 上，若CE= 3 5，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．2 10 B．3 5 C．510 D．105图2-2倍角与半角构造当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“顶角⇔底角⇔顶角”解题依据“90︒如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC．1－2顶角＝底角”．⑴若tan ∠BCA = 2，则tan ∠BAC = ．⑵若tan ∠BAC =43，则tan ∠ABC = ．3 3【例3】如图2-3，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点A和点E重合，折痕为MN．若tan ∠AEN = 1，DC＋CE＝10．3⑴求△ANE 的面积；⑵求sin ∠ENB 的值．图2-3【例4】如图2-4，已知正方形ABCD 的边长为10 ，对角线AC、BD 交于点O，点E在BC上，且CE=2BE，过B点作BF ⊥ AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为。
初中数学-12345模型
初中数学——模型12345数学解题五境界第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释．第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。
这些结论、定理规律都是解题的有用工具。
解题高手都有自己的定理库．第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。
不是所有的老师都具备编题的能力。
解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。
即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏．刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。
因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。
以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。
学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！版块一引入问题1．如图1-1，在3×3 的网格中标出了∠1 和∠2，则∠1＋∠2＝图1-1 图1-22．如图1-2，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD 是BC 边上的高，BD＝3，DC＝2，则AD 的长为．版块二“1 2 3”+“4 5”的来源一般化结论：若α+β= 45︒则有tanα=a - 1，a + 1tanβ=1（a>1），a当 a =3时，则得到tanα=2tan β=1（了解）2 3 5当a=2 时，则得到tanα=1tan β=1（重要）2 3当a =5时，则得到tanα=2tan β=3（了解）;2 5 7当a = 4 时，则得到tanα=1tan β=3（次重要）4 55510【例 1】（济南市中考题）如图2-1， ∠AOB 是放置在正方形网络中的一个角，则cos ∠AOB 的值是 ．图 2-1【例 2】（2015 湖北十堰）如图 2-2，正方形 ABCD的边长为 6，点 E ，F 分别在 AB ，AD 上，若 CE = 3 ，且∠ECF =45°，则 CF 的长为（ ）A ． 2B ． 3C ．5103图 2-2倍角与半角构造D ．10 53当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“ 顶角⇔ 底角⇔ 顶角”解题依据“ 90︒ 1 － 顶角＝底角”． 2如图，在等腰三角形 ABC 中，AB =AC ． ⑴若 tan ∠BCA = 2 ，则 tan ∠BAC =．⑵若 tan ∠BAC = 4，则 tan ∠ABC =．3【例3】如图2-3，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN．若tan ∠AEN =1，DC＋CE＝10．3⑴求△ANE 的面积；⑵求sin ∠ENB 的值．图2-3【例4】如图2-4，已知正方形ABCD 的边长为，对角线AC、BD 交于点O，点E 在BC 上，且CE=2BE，过B 点作BF ⊥AE 于点F，连接OF，则线段OF 的长度为。
数学的五种境界
数学学习的五种境界左勤勇数学学习水平的五种层次或者说五种境界：懂、会、熟、巧、通.懂.就是刚才童鞋们谈到的那样.老师在上面讲，你在下面坐着听.听懂了，这是最低要求.如果听不懂课，后面的练习、考试当然无从谈起.万丈高楼平地起，这个环节就是打地基.当然，如果课都听不懂，那就要高度警惕了：是老师表达能力太差还是自己接受能力不好呢？还有童鞋说，不会的题我看看答案也看懂了，可是自己怎么就想不到呢？这依然属于”懂“的层次.有老师或者答案给你一个逻辑切入点，带着你往前走，最后你到了目的地.于是，你说了：这题也不难吗，我好像也能做.这是幻觉，不信换道同类型的题试试？会.会指的是没有老师指导，无同学帮助，无答案提示，不参考笔记的情况下，你自己能独立地完成解题.这个层次意味着你找到了解决问题的入口，能够清楚往下走的流程，并且顺利到达目的地.熟.在”会“的前提下，加入了解题速度的要求.一道题无时间限制，你能慢悠悠地想，慢悠悠地写，慢悠悠的算，还能检查.显然，这不是考试的状态.考试都是限时的，要求你在短时间内拟定思路、准确运算、规范表达.这就是好多童鞋的感慨：我感觉都会呀，怎么一考试都不得分呢？你是不是在时间紧迫的时候就慌了，一慌就漏洞百出了？巧.巧指的是你能从不同角度观察和分析同一道题，能够在多个解法之中选择最优解法.在限定时间内，能够准确审题，判断解法的优劣并顺利执行，的确需要相当的积累.通.武侠小说里讲的打通任督二脉，大约就是这样的状态吧.通的主要表现就是数学知识、数学方法、数学思想之间能够快速建立联系、无障碍切换.亲爱的朋友们，你在哪一层呢？可以肯定地讲，到达”熟“这个层次，高考数学就到了120分以上.。
就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界
就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界肖老师电话1588632 qq490788061经典情境1命题原型1ab =求1111a b+++ 到三个情况例题设1abc =.试求111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值. 分析：此题关键是abc=1这个条件难用对于代数式的题我们希望字母越少越好式子的结构越简单越好那么我们可以借鉴含参数方程的思路把c 看为未知数，ab 看为已知数c 看为未知数1c ab=代入要求的式子类似解方程组的代入消元法可以得到 原式=1111111a b ab ab a b b a ab ab ab++++++++ =1111111a b ab ab a b a a ab ab ++++++++=1111a ab ab a ab a a ab++++++++=1 分析2：借助分析1的思路虽然有点呆但是思路很自然。
通过代入消元法居然达到了通分的目的。
那么我们是不是可以巧妙的通分了。
答案是肯定的。
我们把第二个加数分子和分母同时乘以a ，第三个同时乘以ab 得到了1a ab abc ab a abc ab a caab abc ab++++++++把abc 在用1代入马上得到了原式=1111a ab ab a ab a a ab ++++++++=1 分析3用特殊值法很容易猜出答案是1，可是问题在如何证明。
观察结构分子是一次式，分母的次数不一致我们如果能使得分子和分母次数统一就好办了。
可以设,,x y z a b c y z x === 再代入1x xz yx y x xy yz xzy z y =++++同理另外两个加数分别为yz xy yz xz ++和xy xy yz xz ++三个一加和为1第一个层面题目会做就是思路1方法朴实而自然。
思路2恒等变形极其巧妙。
思路3化齐次是典型的高手思维。
根据我多年的经验，遇到条件求值问题化齐次肯定是行册通的。
齐次式的本质相当于增加了一个条件，齐次式本身就是起到了消元的作用其中奥妙需要读者加以体会。
数学学习：数学题求解的三个不同境界
数学学习：数学题求解的三个不同境界境界一：先不求最快，但求准确解读：这个境界是学生想学好数学必须要先到达的境界，好多学生自认为聪明，总想快快做完，得到老师的认可，这个小小的愿望老师可以理解，但是一味的图快，难免正确率下降，得不偿失，这是学习数学的大忌。
很多学生难达到这一点，原因是有的小聪明的学生往往犯了眼高手低的毛病，对所学知识没有真正深入掌握，浮于知识的表面，所以准确率低下，而对自己定位太高（也是受家庭的影响，在家里就是说一不二的主，唯我独尊型的人物），所以不能正视自己的缺点。
如果你此境界过了，我保证150分的数学卷，你不会低于120分（80%）。
境界二：在准确的前提下，提高做题速度解读：要想达到此境界，先过前一境界，然后积累知识到一定境界，所谓量变到一定程度导致质变，解释一下，不是让你泡到题海里做题，这个方法事倍功半，效率极低，最好是上课跟随老师的思路，优秀的教师往往善于剖析做题的心路历程，如何入手？那个地方是切入点？这要学生和老师的思维一定同步共振，进行思维对话。
作为一份试卷来讲，提高速度的一个很重要的战场是选择填空题，在数学卷里，这一部分占了76分，什么概念？一半的分值还多一分，如何提高选择填空的做题速度呢？三个字：巧、快、准。
其中三者之间，巧字首当其冲，数学的选择题有且只有一个答案，可以有排除法、特殊值验证法、数形结合法、直接法、经验法等等，这要积累，当达到对高中知识掌握的易如反掌的程度时，提高速度才是可能。
如果你此境界过了，我保证150分的数学卷，你不会低于135分（90%）。
境界三：准确速度没问题，就追求完美解读：还是那句话，先依次过前两个境界，才能谈这个境界。
这个境界就是在没有不会做的数学题了，那么就关注书写的步骤的连贯、简洁，逐步完善一些做题的细枝末节问题，使得一个雕塑的艺术品更加完美。
当然，这问题的训练不是等到最后才关注，这个能力的培养其实在一开始学数学时老师就渗透，不过这个方面在开始阶段不是重点，开始的重点是如何讲理论搞懂、弄明白、会用理论解决问题。
数学解题的五层境界
数学解题的五层境界
第一层境界：正确解题
兵来将挡，水来土掩，见招拆招
很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界。
第二层境界：一题多解
多点开花，条条大道通罗马；似倚天剑轻灵无双，剑招千变万化，虚实相间，谁与争锋
我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题。
一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单。
对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释。
第三层境界：多题一解
以静制动，以不变应万变，一招制敌；似玄铁神器，重剑无锋，却刚猛异常，一剑挥下，纵它千百变，亦必摧之
完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或者把其中的数字换成字母，或者把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目。
第四层境界：发现定理
无招胜有招，渐成大家；至此境界，草木皆为利刃，随心所欲，敌未动，已毙于无形
到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。
这些结论、定理规律都是解题的有用工具。
解题高手都有自己的定理库。
第五层境界：自己编题
自成一派，独孤求败；高处不胜寒，自己跟自己玩
解题的最高境界是能够编题。
不是所有的人都具备编题的能力。
解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。
即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏。
摘自网络。
做题的四种境界
例 如图，AB=AC，BD、CE分别是 AC、AB上的高，求证：BD=CE。
A
E B
D C
A
• 拓展： • 适当改变条件。 • 还有哪些特殊的线？
E B
D C
• 变1：如果BD、CE分别是角B、C的平分线，结果又如何 呢？ • 变1’：如果BD、CE分别是角B、C的三等分角线，结果又 如何呢？ • 变1’：如果角CBD、BCE 相等，结果又如何呢？ • 变2：如果BD、CE分别是AC、AB上的中线，结果又如何 呢？ • 变2’：如果D、E分别是AC、AB上的三等分点，结果又如 何呢？ • 一般地，如果AD=AE，结果又如何？
做（讲）题的四种境界
寇元朝
• 第一种境界：就题讲（做）题，把题目弄 清； • 第二种境界：发散试题的（多种）解法， 拓展解题思路，把题目弄透； • 第三种境界：理清试题的诸多变化，以求 探源奠基，把题目弄活； • 第四种境界：探究试题立意（即设计意 图），将试题玩弄于股掌之间，做试题的 主人.
关注知识技能，让数学复习基础化
• 训练题组一： • 1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平 行四边形。 • 2 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 • 3 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 • 4 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 • 5 顺次连接什么四边形各边中点所得的四边形是平行四边 形。 • 6 顺次连接什么四边形各边中点所得的四边形是矩形。 • 7 顺次连接什么四边形各边中点所得的四边形是菱形。
关注课标，让数学复习注重实效
• 面向全体、注意差异. 组织练习题避免简单的重复,题目 的情景要有明显的差异.要使学生对题目既感熟悉,又觉 新鲜.从心理学角度分析,新颖的题目对学生刺激强,容易 集中注意力,积极性高,思维敏捷,能收到较好的训练效果. 扩展性、层次性 训练题要由易到难，层层推进，让学 生处于思维水平的最近发展区，充分激发学生的求知欲。 同时，问题选择一定内涵丰富，境界开阔。使学生通过 对若干问题的具体情况进行观察而发现存在于探索对象 背后的数学现象。因此，所选范例一要注意知识之间的 横向联系；二要具有延伸性，三要注意思维的创造性和 深刻性。
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数学解题五层境界
“王国维《人间词话》总结人生三层境界：
第一层“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”；
第二层“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”；
第三层“众里寻他千百度，暮然回首，那人却在灯火阑珊处”；
数学解题却也有五层境界。
第一层境界：正确解题
兵来将挡，水来土掩，见招拆招
很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界。
第二层境界：一题多解
多点开花，条条大道通罗马；似倚天剑轻灵无双，剑招千变万化，虚实相间，谁与争锋。
我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题。
一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单。
对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释。
第三层境界：多题一解
以静制动，以不变应万变，一招制敌；似玄铁神器，重剑无锋，却刚猛异常，一剑挥下，纵它千百变，亦必摧之。
完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或者把其中的数字换成字母，或者把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目。
第四层境界：发现定理
无招胜有招，渐成大家；至此境界，草木皆为利刃，随心所欲，敌未动，已毙于无形。
到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。
这些结论、定理规律都是解题的有用工具。
解题高手都有自己的定理库。
第五层境界：自己编题
自成一派，独孤求败；高处不胜寒，自己跟自己玩解题的最高境界是能够编题。
不是所有的人都具备编题的能力。
解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。
即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏。