第六章 集合的基数
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《离散数学》 第六章 集合的基数
6.2.1 可数集
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
称 X 绝对劣势于 Y ，记作 X≺· Y ，同样，我们也称 X 的基数小于 Y 的
基数，记作cardX≺· cardY。
6.3 基数的比较
定理 6.3.1 X≈Z。 设 X 、 Y 为两个集合，则 X≼· Y 当且仅当存在 ZY ，使得
证明 先证必要性。因为X≼· Y，所以必存在函数f：X→Y。现令fˊ： X→ranf ，则显然 fˊ是双射函数，所以 X≈ranf 。因此可取 Z = ranf Y。 再证充分性。设ZY，且X≈Z，则必存在双射函数g：X→Z。现构造 一函数gˊ：X→Y，其中对于X中任意元素x，都有gˊ（x）=g （x），则显然gˊ是单射函数，所以X≼· Y。 推论 设X、Y为两个集合， ⑴ 若XY，则X≼· Y；
均为可数集。
定理6.2.1
集合X为可数集的充分必要条件是可以排列成
X={x1，x2，…，xn，…}
的形式。
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.2 任一无限集必含有可数子集。
证明 设X为无限集合，现从X中任意取出一个元素，记为x1，因为 X是无限的，显然X－{x1}还是无限集合，然后从X－{x1}中再取出 一元素，记为x2，而X－{x1，x2}还是无限的，所以又可再取一元 素x3，如此重复这一过程，就可得到X的可数子集。 定理6.2.3 任意无限集，一定与它的某一真子集等势。 证明 设X为无限集合，根据定理6.4，X必含有可数子集A＝{a1， a2， …， an， …}，设B=X－A，定义函数f：X→X－{a1}，使得f （an）=an+1 （n=1， 2，…），而对于任意元素b∈B，有f（b） =b，显然f是双射函数，定理得证
定理6.2.5 可数个可数集的并集仍然是一可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素
的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为： a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 故S是可数的，定理得证。
称 X 绝对劣势于 Y ，记作 X≺· Y ，同样，我们也称 X 的基数小于 Y 的
基数，记作cardX≺· cardY。
6.3 基数的比较
定理 6.3.1 X≈Z。 设 X 、 Y 为两个集合，则 X≼· Y 当且仅当存在 ZY ，使得
证明 先证必要性。因为X≼· Y，所以必存在函数f：X→Y。现令fˊ： X→ranf ，则显然 fˊ是双射函数，所以 X≈ranf 。因此可取 Z = ranf Y。 再证充分性。设ZY，且X≈Z，则必存在双射函数g：X→Z。现构造 一函数gˊ：X→Y，其中对于X中任意元素x，都有gˊ（x）=g （x），则显然gˊ是单射函数，所以X≼· Y。 推论 设X、Y为两个集合， ⑴ 若XY，则X≼· Y；
均为可数集。
定理6.2.1
集合X为可数集的充分必要条件是可以排列成
X={x1，x2，…，xn，…}
的形式。
6.2 可数集和不可数集
6.2.1 可数集
定理6.2.2 任一无限集必含有可数子集。
证明 设X为无限集合，现从X中任意取出一个元素，记为x1，因为 X是无限的，显然X－{x1}还是无限集合，然后从X－{x1}中再取出 一元素，记为x2，而X－{x1，x2}还是无限的，所以又可再取一元 素x3，如此重复这一过程，就可得到X的可数子集。 定理6.2.3 任意无限集，一定与它的某一真子集等势。 证明 设X为无限集合，根据定理6.4，X必含有可数子集A＝{a1， a2， …， an， …}，设B=X－A，定义函数f：X→X－{a1}，使得f （an）=an+1 （n=1， 2，…），而对于任意元素b∈B，有f（b） =b，显然f是双射函数，定理得证
集合的强大基数与连续统假设
集合的强大基数与连续统假设集合论是现代数学的基础，它提供了一个框架来研究无限集合。
集合的基数是对集合中元素数量的度量，它是一个非常重要的概念。
集合论中最重要的结果之一是连续统假设（CH），它断言实数集的基数（即连续统）等于集合所有子集的集合的基数（即幂集）。
集合的基数集合的基数是指集合中元素的数量。
对于有限集合，基数很容易确定，只需数出集合中的元素数量即可。
但是，对于无限集合，基数就变得更加复杂。
集合的基数可以用序数来表示。
序数是一个用来比较集合大小的数。
序数可以分为可数序数和不可数序数。
可数序数是指可以与自然数一一对应的序数，而不可数序数是指不能与自然数一一对应的序数。
最小的不可数序数是阿列夫-0（ℵ0），它是自然数集的基数。
阿列夫-1（ℵ1）是实数集的基数，它是第一个不可数序数。
连续统假设连续统假设（CH）断言实数集的基数（即连续统）等于集合所有子集的集合的基数（即幂集）。
这可以表示为：2^ℵ0 = ℵ1连续统假设是一个非常重要的数学问题，它已经被证明是独立于策梅罗-弗兰克尔集合论（ZFC）公理体系的。
这意味着CH既不能从ZFC公理体系中证明，也不能从ZFC公理体系中反证。
连续统假设的意义连续统假设的意义在于，它可以用来解决许多数学问题。
例如，它可以用来证明实数集是不可数的，并且它可以用来证明实数集的幂集是不可数的。
连续统假设还可以用来研究其他数学问题，例如连续统问题和测度理论。
连续统假设的独立性连续统假设是独立于策梅罗-弗兰克尔集合论（ZFC）公理体系的，这意味着它既不能从ZFC公理体系中证明，也不能从ZFC公理体系中反证。
连续统假设的独立性是由库尔特·哥德尔和保罗·科恩在20世纪30年代证明的。
哥德尔证明了CH不能从ZFC公理体系中证明，而科恩证明了CH不能从ZFC公理体系中反证。
连续统假设的独立性是一个非常重要的结果，它表明ZFC公理体系是不完备的。
这意味着ZFC公理体系不能用来解决所有数学问题。
第六章集合的基数
iA iA
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第六章 集合的基数
定义g:[0,1]→P(N)。如下： 对每一[0,1]中数的二进制表示(如果这种表示不唯
一，则取定其中之一)。 0.x0 x1x2 (xi为0或1) g(0.x0 x1x2 ) {i | xi 1}
• 定理6.15：(康托定理)设M为任意集合，记M的幂
y 的M
，使得g(y)=B，而
y B y {a | a M a g(a)} y g( y) y B
矛盾。 ∴g不存在，即|M| |S|， ∴ |M|<|S|
➢定理说明：没有最大的基数，也没有最大的集合
。
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➢(2)对以上自然数n, n< ，即|{0,1,2, …,n-
1}| ≤|{0,1,2, …}|;
➢(3) <c，即|{0,1,2, …}|<|R|; ➢(4)是否存在无限集B，使得 <|B|<c，至今尚解
决的理论问题。
• 定理6.12：对任意集合A，B，C有(1)|A|≤|A|；
(2)|A|≤|B|，|B|≤|C|，则|A|≤|C|。
• 定义6.1：设S为任意集合，S∪{S}称为S的后继集
合，记为 S ，显然 S S , S S 。
例：令 S ，则 可以构造出集合序列：
0 1 { } 2 { }{{ }} { ,{ }}
将上面 的集合依次命名为0,1,2，…，就可构造出自 然数，用“:=”来命名；即
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第六章 集合的基数
一个集合是可数集的充要条件是它的元素可以排成 一个无穷序列的形式。
• 定理6.5：整数集为可数无限集。
证：建函数：f:Z→N：
第六章集合的基数
2012-12-4
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6.1 可数集和不可数集
1 设A和B是无限集,C是有限集. 下列集合是否一定 是无限集？
(1) A
B
(2) A B
(3) A C (4) A C
Ev , B Od , A B
解 (1) 不一定. 反例 A
(2) 不一定. 反例 (4) 一定是. 否则 ( A C ) C
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6.1 可数集和不可数集
例6.1.11 Q 是可数集 证作
f : Q Q ,
f (x) x
显然 f 是双射，于是 Q ~ Q 由 N ~ Q 知 N ~ Q , 故 Q 是可数集 又 Q Q { 0 } Q , 由定理6.1.4知 Q 是可数集
x1 , 当 x 为奇数时 2 f (x) x , 当 x 为偶数时 2
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6.1 可数集和不可数集
定义6.1.5若有 n N , 使 N n ~ A , 则称A是有限集, 且 称其基数为n , 记为 | A | n ；若A不是有限集, 则称 A为无限集
其中 0
x ij 9 ( i , j N ).
构造 y 0 . y 0 y1 y 2 如下
若 x ii 1 若 x ii 1
1, yi 2,
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6.1 可数集和不可数集
则 y [ 0 ,1 ], 但 y f ( N ). 这就说明了 f 不是满射，故不是双射 由 f 的任意性知N与[0,1]之间不存在双射，故[0,1]不 是可数无限集。
f 作：2 : [ 0 ,1 ] ( 0 ,1 ), 2 f2是单射，所以 | [ 0 ,1 ] | | ( 0 ,1 ) | f2 ( x ) x 1 4
《集合的基数》课件
广泛的应用
1 数学中的集合论
2 计算机科学中的数
据结构
3 统计学中的概率计
算
结论
1 集合的基数是集合中元素的个数 3 集合可以用表达式来描述
2 基数具有一些性质，可以通过运
算进行ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算
4 集合在不同领域中有广泛的应用
《集合的基数》PPT课件
集合的基数是集合中元素的个数。通过基数的计算方法和运算，我们可以更 好地理解集合论在不同领域的应用。
什么是集合的基数？
集合的基数即集合中元素的个数。 以|S|表示集合S的基数。
基数的性质
1 非负整数
基数是非负整数。
3 空集的基数为0
2 等势集
两个集合有相同的基数，则它们称为等势集。
基数的计算方法
1 有限集合
直接数元素个数。
2 无限集合
用一一映射确定基数。
基数的运算
1 并集的基数
等于两个集合基数之和减去交集基数。
3 集基数
等于全集基数减去集合基数。
2 交集基数
不超过两个集合的最小基数。
集合的表达式
1 一对花括号 2 元素之间
3 条件限符号
{} 表示集合。
用逗号隔开。
表示集合S中满足某些条件的元素。
集合的基数&数学归纳法
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02-4-002.jpg
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集合的基数
Cantor Diagonalization(康托对角化论证 康托对角化论证) 康托对角化论证 Theorem: The set of real numbers between 0 and 1 is uncountable. Proof: 假设(0,1)是可数的,用反证法证明 假设(0,1)是可数的 是可数的,
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数学归纳法
Mathematical Induction
个正奇数之和的公式是什么? 前n个正奇数之和的公式是什么? 个正奇数之和的公式是什么
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数学归纳法
Mathematical Induction
A very special rule of inference! Definition: A set S is well ordered(良序的 if 良序的) 良序的 every subset has a least element. Note: [0, 1] is not well ordered since (0,1] does not have a least element.
集合的基数
集合的基数 对于有限集:集合中不同元素的个数. 对于有限集:集合中不同元素的个数.对于无限 集呢?是否所有无限集的基数都一样? 集呢?是否所有无限集的基数都一样? 为了比较两个集合的"大小" 为了比较两个集合的"大小",确定有限集和无 限集的概念,引进自然数集合. 限集的概念,引进自然数集合. 给定集合A, 的后继集合. 给定集合 ,A+=A∪{A},称A+是A的后继集合. ∪ , 是 的后继集合 利用后继集合的概念来定义自然数集合{0, , , 利用后继集合的概念来定义自然数集合 ,1,2, ……} ……
第六章 集合基数
第6章 集合的基数
6.1 基数的概念 定理6.1 设A.B和C为任意的集合，则 （1）A≈A； 若A≈B，则B≈A； 若A≈B，B≈C，则A≈C。
定义6.2 如果有一个从集合{0，1，…，n}到A的 双射函数，则称集合A是有限的；如果集合A不是 有限的，则称它是无限的。
第6章 集合的基数
6.1 基数的概念 定义6.3 对于有限集合A, 称与A等势的那个唯一的自然 数为A的基数, 记作card A, 即 card A=n A n 自然数集合的基数记作0（א读作阿列夫零）, 即 card N = 0א 实数集合的基数记作（א读作阿列夫）, 即
第6章 集合的基数
本章学习目标
集合的基数是指集合的元素个数的多少，对有限集合来说， 基数就是集合所包含元素的个数，两个有限集的“大小”相等是
指 它们包含的元素个数相同。对于无限集合，用等势来表示两个无 限集的“大小”相等。通过本章学习，读者应该掌握以下内容：
1 函数的基本概念 2 单射、满射和双射函数 3 函数的复合运算 4 函数的逆运算
A={a1, a2, …, an, …}
的形式。
第6章 集合的基数
6.2 可数集和不可数集
定理6.4 任意无限集, 一定包含可数子集。
证明 设A为无限集, 从A中取出一个元素, 记为 a1, 因A为无限集, A-{a1}也为无限集, 所以从A{a1}中取出一个元素, 记为a2
, 而A-{a1, a2}仍为无限集, 所以又可以取出a3, 重复这个过程
第6章 集合的基数
1. 基数的概念 2. 可数集和不可数集 3. 基数的比较
第6章 集合的基数
6.1 基数的概念 定义6.1 设A.B为两个集合，如果存在从A到B 的双射函数，则称A与B是等势的，记作A≈B。
集合的基数
第六章集合的基数集合的基数知识逻辑概图6.2基数的比较方法基数序列6.1基数的基本概念等势基数—— 在第三篇代数结构中有应用6.1 基本概念定义6.1设A和B是任意集合，若存在从A到B的双射，则称A与B是等势的，记为A ≈B。
若A与B不等势，则记为A ≉B。
通俗地讲，集合的势是度量集合所含元素多少的量，集合的势越大，所含元素越多。
6.1 基本概念可以证明，等势具有下列性质：自反性、对称性和传递性。
定理6.1等势是任何集合族上的等价关系。
证：对任意的集合A，B，C，（1）A ≈AI A: A→A是A上的双射函数，因此A ≈A。
等势关系满足自反性。
（2）若A ≈B，则B ≈A。
若A ≈B，则存在双射f: A →B，则有f−1: B →A是双射，因而B ≈A。
等势关系满足对称性。
（3）若A ≈B，B ≈C，则A ≈C。
若A ≈B，B ≈C，则存在双射f: A →B，g: B →C，则有f◦g: A →C是双射，故A ≈C。
等势关系满足传递性。
综上可见，等势关系是个等价关系。
6.1 基本概念一些等势集合的例子：例6.1下列集合是等势的。
（1）N ≈Z ≈Q（2）R ≈(0, 1) ≈(a, b)，a, b R，a<b证明见教材。
例6.2设A为任意集合，则P(A) ≈0,1A。
证明见教材。
6.1 基本概念定义6.2设A为任意集合，如果存在自然数n，使得A ≈{0, 1, 2,…, n−l}，则称A为有限集，否则称A为无限集。
例6.3根据上述定义，有以下结论。
（1）A={a, b, c}为一有限集。
（2）自然数集N为无限集。
证明见教材。
6.1 基本概念基数的不完全归纳的描述性定义：定义6.3（1）对于有限集合A，存在自然数n，使得A ≈{0, 1, 2,…, n−l}，则称n为A的基数（cardinal number），记作| A |（或cardA）。
即| A | = n（或cardA= n）（2）设A为任意集合，如果有A ≈N，N为自然数集，则称集合A的基数为ℵ0（读作“阿列夫零”）。
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妨设am+i=ai，（i=1，2，…），a1=b1，a2=b2，…，am=bm，则
A∪B={a1，a2，…，an，…}，所以A∪B为可数集。
第6章 集合的基数
6.2 可数集和不可数集
定理6.8 可数个可数集的并集是可数集。
证明 设可数个可数集为： A1={a11，a12，a13，…，a1n，…}
A2={a21，a22，a23，…，a2n，…}
A3={a31，a32，a33，…，a3n，…} … 令A=A1∪A2∪A3∪…，对A中的元素排列如下：
第6章 集合的基数
6.2 可数集和不可数集
定理6.8 可数个可数集的并集是可数集。
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
则，f是双射函数。
第6章 集合的基数
6.2 可数集和不可数集
定义6.4 与自然数集合等势的任何集合称为可数的。可数集合的 基数也用0（א读作阿列夫零）表示。 例如，{2，4，6，8，…，2n，…} {-1，-3，-7，-9，…，-2n +1，…} {x为素数}，其中xN
都为可数集。
定理6.3 A为可数集的充分必要条件是可以把A排列成 A={a1，a2，…，an，…} 的形式。
第6章 集合的基数
6.1 基数的概念
定义6.3 例6.3 证明区间[0，1]与（0，1）基数相同。 证明 设集合 A={0，1，，…，，…}，A[0，1]
定义f：[0，1] （0，1）使得：
第6章 集合的基数
6.1 基数的概念
1 f (0) 2 1 1 ,对n 1 f( ) n2 n f ( x ) x , 对 x [ 0 ,1] A
第6章 集合的基数
6.1 基数的概念
定理6.1 设A、B和C为任意的集合，则 （1）A≈A； （2）若A≈B，则B≈A； （3）若A≈B，B≈C，则A≈C。 定义6.2 如果有一个从集合{0，1，…，n}到A的双射函数，则称 集合A是有限的；如果集合A不是有限的，则称它是无限的。 定理6.2 自然数集合N是无限的。
第6章 集合的基数
6.2 可数集和不可数集
定理6.9 设自然数集合为N，则笛卡儿积N×N是可数集。 定理6.10 有理数的全体组成的集合是可数集。 定理6.11 全体实数集合R是不可数集。
第6章 集合的基数
6.3 基数的比较
定理6.9 设自然数集合为N，则笛卡儿积N×N是可数集。 定义6.5 设A，B为任意两个集合， （1）若存在f：AB且f是单射函数，则称B优势于A，或称A劣势 于B，记作A≼· B。 （2）若A≼· B且A与B之间不存在双射，则称B绝对优势于A，或称 A绝对劣势于B，记作A≺· B。 定理6.12 设A，B为两个集合，则A≼· B当且仅当存在CB，使 得A≈C。 推论 设A，B为两个集合， （1）若AB，则A≼· B； （2）若A≈B，则A≼· B且B≼· A。
第6章 集合的基数
6.2 可数集和不可数集
定理6.4 任意无限集，一定包含可数子集。
证明 设A为无限集，从A中取出一个元素，记为a1，因A为无限 集，A-{a1}也为无限集，所以从A-{a1}中取出一个元素，记为a2
，而A-{a1，a2}仍为无限集，所以又可以取出a3，重复这个过程
，可得到A的可数子集。 定理6.5 任意无限集，一定与它的某一真子集等势。 证明 设无限集为A，根据定理6.3，A中包含可数子集B={a1， a2，…，an，…}，设M=A-B，定义A到A-{a1}的函数f，使得f在 M上是恒等函数，即f（x）=x，xM，在B上，使得f（an）=an+1 （n=1，2，3，…）。显然f是双射函数。因此定理得 证。
... ... ... ...
...
第6章 集合的基数
6.2 可数集和不可数集
定理6.8 可数个可数集的并集是可数集。
在上面元素的排列中，由左上端开始，其每一斜线上的每一元素 的两足码之和都相同，依次为2，3，4，…，各斜线上元素的个
数依次为1，2，3，4，…，故A的排列为：
a11，a21，a12，a31，a22，a13，… 所以，A的可数的。
第6章 集合的基数
6.1 6.2 6.3 基数的概念 可数集和不可数集 基数的比较
第6章 集合的基数
6.1 基数的概念
定义6.1 设A、B为两个集合，如果存在从A到B的双射函数， 则称A与B是等势的，记作A≈B。 例6.1 验证自然数集N与非负奇数集合M是等势的。 证明 因为N与M的元素之间可以作一双射函数，即 f（n）=2n+1 所以，N≈M。
B≼· card A，则有card A = card B。
第6章 集合的基数
6.3 基数的比较
定理6.13 设A，B和C为三个集合， （1）A≼· A； （2）若A≼· B，B≼· C，则A≼· C。 定理6.14 设A，B为两个集合，则以下三条中恰有一条成立。 （1）card A≺· card B； （2）card B≺· card A； （3）card A = card B。 定理6.15 设A，B为两个集合，如果card A≼· card B，card
第6章 集合的基数
6.2 可数集和不可数集
定理6.6 可数集的任意无限子集是可数集。
证明 设A={a1，a2，…，an，…}为可数集，B为A的无限子集， 将在A中而不在B中的元素删去，同时注意到B是无限集合，则
有B={ai1，ai2，…，ain，…}，因此，B是可数的。
定理6.7 可数集与有限集的并是可数集。 证明 设A={a1，a2，…，an，…}为可数集，B={b1，b2，…，bm} 为有限集，则A∪B={b1，b2，…，bm，a1，a2，…，an，…}，不
第6章 集合的基数
6.1 基数的概念
定义6.3 （1）对于有限集合A，称与A等势的那个唯一的自然数为A的基 数，记作card A，即 card A=n An （2）自然数集合的基数记作0（א读作阿列夫零），即 card N = 0א （3）实数集合的基数记作（א读作阿列夫），即 card R = 0א