有理数的概念和分类
有理数的概念及分类
有理数的概念及分类知识点一 具有相反意义的量1.常见的具有相反意义的量：向东走3 m 和向西走7 m ，收人200元和支出20元上升，100m 和下降200m 等2.表示方法：把其中一种意义的量规定为正的，用正数来表示;把与它意义相反的量规定为负的，用负数来表示3.具有相反意义的量的正负性是相对的，而且是可以互换的，例如:若规定亏损5万元为+5万元，则盈利8万元为-8万元温馨提示在表示具有相反意义的量时,若一种量带有单位，则与之意义相反的量也要带单位;规定哪种意义的量为正可以任意选择，规定正的量后要把与之意义相反的量规定为负，如把“上升高度”“零上温度”“收人钱数"等规定为正,把“下降高度”“零下温度”“支出钱数”等规定为负;必须要有明确的基准，所选择的基准不同，计数的结果也不同例1 (1)在一 次知识竞赛中，如果加10分用+10分表示，那么扣20分应表示为 _____分;(2)设前进为正，则前进20米记作_________米,原地不动记作际意义是_______米;(3)在图纸上零件的尺寸为(25±0.003)m,甲工人加工出来的零件的尺寸为25.002 mm,乙工人加工出来的零件的尺寸为24,995 mm,则________工人加工出来的零件合格，合格的零件允许的最小尺寸是_______mm,知识点二 正数和负数正数：在已学过的数（0除外）的前面添加上“+”所得的数叫正数，如+1.2，+20等 正数中“+”可以省略不写负数：在已学过的数（0除外）的前面添加上“—”所得的数叫负数，如—1.8，-20等 负数中“—”可以省略不写注意：0既不是正数也不是负数例2：在14.3,910%,10,2012,98.1,0,213,2-+--+ 中，正数比负数多（ ） A.3个 B.2个 C.3个 D.4个知识点三 有理数的概念及分类1. 有理数整数和分数统称为有理数正整数、0、负整数统称为整数正分数和负分数统称为分数2. 有理数的分类（1）按照定义分类 （2）按照性质分数知识拓展：有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式，所以有限小数和无限循环小数都是有理数，但并不是所有小数都是有理数，无限不循环小数就不是有理数，如1.1010010001.....（每两个1之间0的个数逐次增加一）注意：1.习惯上把正数和零统称为非负数，把负数和零统称为非正数，把正整数和零统称为非负整数2.有理数的分类标准不同，分类结果也不同，要特别注意分类结果应不重不漏，即在一种方法中，每一个数必须属于某一类，且不能同时属于不同类例3 把下列各数分别填入相应的大括号里：%18,11.0,0,722,618.0,6.0,2019,1,14.3,06.2---+-∙ 正数：{ } 非负整数：{ }整数：{ } 负分数： { }经典例题全解题型一 运用正、负数表示具有相反意义的量( 1)如果收人1 800元记作+1 800元，那么支出360元记作___________,- 300元表示__________(2)仪表的指针顺时针旋转45°记作-45° ,那么逆时针旋转__________,15°记作__________(3)如果气温是零上15 °c 记作+15 °c,那么气温比0无低2°C,记作___________(4)若把比海平面高规定为正,则+45 m 表示_____________,0 m 表示_______________题型二 正负数的实际应用例2 体育课时，老师对某班学生进行引体向上测试，规定完成7个引体向上为达标，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名学生的成绩如下表：问：这8名学生的达标率为百分之几？他们共做了多少个引体向上？题型三 与正、负数有关的规律探究题例3 观察下面依次排列的数，请直接写出后面的3个数，并写出第15个数，第101个数，第2018个数（1）-1，-2，+3，-4，-5，+6，-7，-8，__________,___________,____________,.（2）,81,7,61,5,41,3,21,1---- ____________,_____________,________________易错点 负数的意义理解不清例 水面上升-8米的含义是什么？练习：1. 【中考·天水】四个数-3,0,1,π中的负数是（）A.-3B.0C.1D.π2. 【中考·丽水】在数1,0,-1,-2中,最大的是( )A.1B.0C.-1D.13. 【中考·新疆】下列四个数中,最小的是( )A.-1B.0C.1D.34.[中考·遵义】在0,-2,4,-0.3中,负数的个数是( )A.1B.2C.3D.45.下列关于0的叙述,正确的有( ）①0是正数与负数的分界;②0比任何负数都大③0只表示没有;④40常用来表示某种量的基准A.1个B.2个C.3个D.4个6.下列判断正确的个数是()①带“+”号的数是正数,带“一”号的数是负数;②任意一个正数,前面加上“-”号,就是一个负数;③大于零的数是正数;④一个数不是正数,就是负数A.0B.1C.2D.37.下列不是具有相反意义的量的是( )A.前进5m和后退5mB.节约3t和浪费10tC.身高增加2cm和体重减少2kgD.超过5g和不足2g8.【中考·成都】《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数若气温为零上10℃记作+10℃,则-3℃表示气温为( )A.零上3℃B.零下3℃C.零上7℃D.零下7℃9.【中考·六盘水】大米包装袋上(10±0.1)kg的标识表示此袋大米重( )A.(9.9~10.1)kgB.10.1kC 9.9 kgD. 10 kg易错点：对0的认识不正确而出错10.下列说法正确的是()A.0是正数,不是负数B.0既不是正数,也不是负数C.0既是正数,也是负数D.不是正数的数一定是负数,不是负数的数一定是正数练习21.【中考·丽水】在数0,2,-3,-1.2中,属于负整数的是( )A.0B.2 C-3 D.-1.2 2.-21不属于( ) A.负数B.分数C.负分数D.整数3.下列说法不正确的是( )A.-0.5不是分数B.0是整数C.不是整数D.-2既是负数又是整数4.下列关于“0”的说法正确的是(①是整数,也是有理数;②不是正数,也不是负数;③不是整数,是有理数;④是整数,不是自然数A.①④B.②③C.①②D.①③5.在有理数中,不存在 （ ）A.既是整数,又是负数的数B.既不是正数,也不是负数的数C.既是正数,又是负数的数D.既是分数,又是负数的数6.下列说法错误的是 ( )A.负整数和负分数统称为负有理数B.正整数、负整数和0统称为整数C.正有理数和负有理数统称为有理数D.0是整数,但不是分数7.下列选项中,正确的是( )A.正数:{2,1,5，21}B.非负数:{0,-1,-2.5}C.分数:{-2.5,5.31} D.整数:{3，21 -5 }8.A ，B ，C ，中所含有的数都写在下面的大括号例，请把这些数填入如图所示的三个圈内。
第一讲 有理数的相关概念
第一讲有理数的相关概念【知识要点及巩固】一、有理数基本概念1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。
在小学学过的数，除0外都是正数。
正数都大于0。
2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。
负数都小于0。
0既不是正数，也不是负数。
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
注意：正数和负数是表示相反意义的量。
如：南为正方向，向南km3表示为km-。
31表示为km1+，那么向北km3、有理数：整数与分数统称为有理数。
4、无理数：无限不循环小数，如π。
5.有理数的分类：6.几个重要概念：注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
例1：判断下列说法正确与否⑴一个有理数不是整数就是分数（）⑵一个有理数不是正数就是负数（）⑶一个整数不是正的，就是负的（）⑷一个分数不是正的，就是负的（）例2：1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中：-7.2，43，-9, 1.4，0, 3.14，π，5412，-2.5， 121121112.0，36整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？（3）第2014个数是正数还是负数？排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置？ 例4：（2014七中嘉祥）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请根据你探索的规律接着写出后面的3个数，并尝试写出第100个数、第301个数。
1、6151-4131-211、、、、、-，_____,_______,_________，...；第100个数是_________，第301个数是________。
1.2.1 有理数(教师版)
1.2 有理数1.2.1有理数知识点1：有理数的概念1.概念：有理数也叫可比数，是指能够写成两个整数比的比例数。
因而，整数和分数统称有理数.2.整数： 正整数、零和负整数统称为整数。
自然数：正整数和零。
3.分数：正分数和负分数统称为分数。
⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数 注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。
例：0.333……可以化为.知识点2：有理数的分类知识点3：四非数①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数考点梳理·新认知考点1 有理数的辨别例1在-,π,0,-0.74四个数中,有理数的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】-,0,-0.74是有理数,而π是无限不循环小数,不是有理数,故选C.总结：1.整数和分数统称为有理数.凡是能写成（p,q为整数，且q≠0）形式的数，都是有理数.2.有限小数与无限循环小数都能表示成分数形式，无限不循环小数不是有理数，如π不是有理数．考点2 有理数的分类例2把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，0，1713，0.03%，－314，10．自然数集合：{ …}；整数集合：{ …}；负数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；正有理数集合：{ …}．【解析】解：在所给的所有数中，①自然数集合为{0，10…}；②整数集合为{-7，0，10…}；③负数集合为{-7，-3.14，－314…}；④正分数集合为{3.5，1713，0.03%…}；⑤正有理数集合为{0.03%，1713，3.5，10…}．总结:对有理数进行分类，首先要理解以下数的概念：1.正数：像3,1.8%,3.5这样大于0的数叫做正数．正数的前面可以加上正号（即加号）“+”来表示2.负数：在正数前加上“-”的数叫做负数；3.整数：像-2，-1，0，1，2这样的数叫做整数；4.分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数．考点3 带非字的数例3﹣5，0，﹣3.14，，﹣12，0.1010010001…,+1．99，﹣（1）非负数集合：{ …}（2）非负整数数集合：{ …}（3）非正数集合：{ …}（4）非正整数数集合：{ …}【解析】解：在所给的所有数中，（1）非负数集合：{ 0，，0.1010010001…,+1．99，…}（2）非负整数数集合：{ 0 …}（3）非正数集合：{﹣5，﹣3.14，﹣12，﹣…}（4）非正整数数集合：{ ﹣5，﹣12，…}总结：1.有理数分为正数、0和负数三类，正数和0统称非负数；负数和0统称非正数．2.一个数不是0，则它可能是正数或负数；若一个数不是正数，则它可能是负数或者0；若一个数不是负数，则它可能是正数或者0.基础训练1．下列各数：-1，，4.112134，0，，3.14，其中有理数有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个 【解析】解：在-1，2π ，4.112134，0，227 ，3.14中不是有理数是2π：故选B ．2. 在下列数， ，2.010010001…，25%，3.1415926，0， …中，属于分数的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】解：属于分数的有25%，3.1415926，-0.222…， 故选B ． 3. 下列表述中，正确的是（ ）A ．有理数有最大的数，也有最小的数B ．有理数有最大的数，但没有最小的数C ．有理数有最小的数，但没有最大的数D ．有理数既没有最大的数，也没有最小的数 【解析】解：有理数既没有最大的数，也没有最小的数． 故选D ． 4. 下列说法正确的是（ ）A ．一个有理数不是整数就是分数B ．正整数和负整数统称为整数C ．正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D ．0不是有理数【解析】解：A 、一个有理数不是整数就是分数，故本选项正确； B 、正整数和负整数和0统称为整数，故本选项错误； C 、正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，故本选项错误； D 、0是有理数，故本选项错误；故选A ．5.下列说法：①-2.5既是负数、分数，也是有理数；②-7既是负数也是整数，但不是自然数；③0既不是正数也不是负数；④0是非负数．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】解：①-2.5既是负数、分数，也是有理数，正确；②-7既是负数也是整数，但不是自然数，，正确；③0既不是正数也不是负数，正确；④0是非负数，正确， 则正确的个数是4，故选D ．6. 把下列各数填在相应的大括号内:5，7-8，-10，0，2.4，+3，227，-3.01.正数集合{…};非负数集合{…};整数集合{…};负分数集合{…}.【解析】正数集合,.,,,…;非负数集合,,.,,,…; 整数集合{5,-10,0,+3,…};负分数集合-,-.,….能力晋升1．设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为0、ba、b的形式，则b的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．2【解析】解：由题意可知：a+b，a中有一个为0，且ba，b中有一个为1，当a=0时，则ba没有意义，不成立；∴b=1．故选C．2.下列判断正确的个数是（）①一个有理数不是整数就是分数②一个有理数不是正数就是负数③一个整数不是正数就是负数④一个分数不是正数就是负数⑤一个偶数不是正偶数就是负偶数A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：①一个有理数不是整数就是分数，正确；②一个有理数不是正数就是负数，错误，也可能是0；③一个整数不是正数就是负数，错误，也可能是0；④一个分数不是正数就是负数，正确；⑤一个偶数不是正偶数就是负偶数，错误，也可能是0；故选B．3. 在有理数集合中，最小的正整数是，最大的负整数是．【解析】解：在有理数集合中，最小的正整数是1，最大的负整数是-1．故答案为1；-1．4. 在-2，1.5，+，0，27，100，-2.1，18，-，-30中,是非负整数的是.【解析】0，27，100，18.5. 在-2，5，-，0.63，0，7，-0.05，-6，9，，，1中,正分数有个,负分数有个,自然数有个,整数有个.【解析】正分数是0.63，，，有3个;负分数是-，-0.05，有2个;自然数是5，0，7，9，1，有5个;整数是-2，5，0，7，-6，9，1，有7个.6.把下列各数分别填入相应的集合内：-2，-3.14，0.3，0，，，-0.1212212221…．（1）正数集合：{ }；（2）负数集合：{ }；（3）分数集合：{ }；（4）有理数集合：{ }．【解析】解：（1）正数集合：{0.3，，}；（2）负数集合：{ -2，-3.14，-0.1212212221…}；（3）分数集合：{ -3.14，0.3，}；（4）有理数集合：{ -2，-3.14，0.3，0，}．同步检测·新导向1．（2019•武汉模拟）下列各数中，属于正有理数的是（）A．π B．0 C．-1 D．2【解析】解：由题意得：π是无理数，故选项A错误；0是有理数，但不是正数，故选项B错误；-1是负有理数，故选项C错误；2是正有理数，故选项D正确；故选D．2.（2019•沙坪坝区校级模拟）下列四个数中，是正整数的是（）A．-2 B．-1 C．1 D．1 2【解析】解：A、-2是负整数，故选项错误；B、-1是负整数，故选项错误；C、1是正整数，故选项正确；D、12是非正整数，故选项错误．故选C．3．（2019•渝中区校级模拟）下列各数中是负整数的是（）A．-2 B．5 C．12D．2-5【解析】解：A、-2为负整数，故选项正确；B、5为正整数，故选项错误；C、12为正分数，故选项错误；D、2-5为负分数，故选项错误．故选A．4．（2018秋•沈河区期末）在-4，227，0，2，3.14159，1.3，0.1010010001…有理数的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】解：2，0.1010010001…不是有理数，故选D ．5．（2018秋•卢龙县期末）下列说法正确的是（ ） A ．0是最小的有理数 B ．一个有理数不是正数就是负数 C ．分数不是有理数 D ．没有最大的负数【解析】解：A 、没有最小的有理数，故本选项错误；B 、一个有理数不是正数就是负数或0，故本选项错误；C 、分数是有理数，故本选项错误；D 、没有最大的负数，故本选项正确； 故选D ．6.（2018秋•门头沟区期末）在有理数-0.2，-3，0，132，-5，1中，非负整数有 ． 【解析】解：非负整数有0，1， 故答案为：0，1．7．（2018秋•仪征市期中）有三个有理数，分别是-1、a 、a +b ，或者写成0、-b a、b ，那么数b 的值是 ．【解析】解：由题意可知：a +b ，a 中有一个为0，且-b a ，b 中有一个为-1，当a =0时，则-b a没有意义，不成立；∴b =-1． 故答案为：-1． 8. （2018秋•武邑县校级月考）在数1-13，20%，227，0.3，0，-1.7，21，-2，1.0101001…，+6，π中，分数有 个． 【解析】解：分数有1-13，20%，227，0.3，-1.7， 故答案为：5。
第1讲 有理数的概念(数轴、相反数)
有理数的概念（数轴、相反数）要点一、正数与负数大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点二、有理数的分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．要点三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点四、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.类型一、正数和负数（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%． 其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？知识导航典题精练例题1举一反三：【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克【变式2】（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．类型二、有理数的概念及分类（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，2.4，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）例题2【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【变式3】下列说法正确的是（）A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B．正有理数和负有理数组成全体有理数C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．零既不是正数，也不是负数【变式4】把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }类型三、数轴（1）下面图形是数轴的是（）A．B．C．D．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．举一反三：【变式】（1）如图，表示数轴正确的是（）A．B．C．D．（2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为-2，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．例题3（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．（3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？举一反三：【变式】（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0类型、相反数（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-< D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数例题4例题5举一反三：【变式1】我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)举一反三：【变式1】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--【变式2】（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．例题6一、选择题1.如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.62．从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A 点，则A 点表示的数是( )． A.3 B.4 C.2 D.-23．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数 4.下列说法中：（1）0是最小的自然数；（2）0是最小的正数；（3）0是最大的负整数；（4）0属于整数集合；（5）0既非正数也非负数．正确的是（ ） A ．（1）（2）（4） B ．（4）（5） C ．（1）（4）（5） D ．（1）（2）（5） 5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6.在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 7.-（-2）=（ ） A.-2B. 2C.±2D.4二、填空题1.不大于4的正整数的个数为 ．2.已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是 ．3. 既不是正数，也不是负数的有理数是 ．4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=.6.已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= .7. 已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为 ．8.一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.课堂巩固三、解答题9．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A 、B 、C 、D ，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A 、B 、C 、D 的位置(建议以小敏家为原点)．(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?10．把下列各数填在相应的大括号内： 1.2-，３，１，41，0，－14.3，101-，6.20，25-，1056，－７．正分数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}．11．化简下列各数，再用“<”连接.(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)245⎛⎫-- ⎪⎝⎭12.若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 是最大的负整数．求代数式的值．13.在数轴上有三个点A ，B ，C 如图所示，请回答：(1)将B 点向左移动3个单位长度后，三个点表示的数谁最小？ (2)与A 点相距3个单位长度的点所表示的数是什么？(3)将C 点左移6个单位长度后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？。
1-1有理数及相关概念、测试
有理数及其相关概念一、有理数的定义和性质（一）有理数的定义1、整数和分数统称为有理数。
有理数的分类：2、能够表示成一个既约分数mn （m 、n 都是整数，且m 、n 互质）的数叫有理数（有理数又叫可比数）；（二）有理数的性质1、有序性：任意两个有理数a 、b ，在,,a b a b a b >=<三种关系中，有且只有一个成立 。
2、封闭性：任何两个有理数的和、差、积、商（0不是除数）还是有理数。
3、稠密性：任何两个有理数之间都有无数个有理数。
例1、将下列循环小数化成分数。
（1）0.2 （2）0.6- （3）0.25 （4）0.34- （5）321.0 -例2、说明：边长为1的正方形的对角线不是有理数。
二、有理数的相关概念（一）数轴：（二）相反数：（三）绝对值：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记做a . 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
例3、（1）指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数．（2）已知点A 在数轴上对应的有理数为a ，将A 向左移4个单位长度后，再向右移动1个单位长度得到点B ，点B 对应的数为5.3-，则有理数=a ________．例4、化简下列各数：（1）)];([a --- （2）)]};([{m +-+- （3）)];([y x --- （4）)].([b a +-+例5、如果a 是一个不等于1-的负整数，试用“<”连接a 、a 1、a -、a1-这几个数．例6、（1）已知2=a ，5=b ，且b a >，试求a ，b 的值．（2）若032=-++y y x ，试求y x 32+的值．例7、设a 、b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||b a b a +=+；（2）||||||b a ab =；（3）||||a b b a -=-；（4）若b a =||，则b a =；（5）若||||b a <，则b a <；（6）若b a >，则||||b a >。
有理数复习
5、有理数比较大小 、
⑴利用数轴：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边数的大。 利用数轴：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边数的大。 有理数比较法则： ⑵有理数比较法则： 正数大于0 负数小于0 正数大于负数； 正数大于0，负数小于0，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小。 两个负数，绝对值大的反而小。 比较大小: >”、 <”或 =”填空 填空） 例10 比较大小: （用“>”、“<”或“=”填空） -3.3 < 0 , 6 > -8 ,0
|=16,则 ____。 例7 若|x|=16,则x = ±16 。 |=16, ____ 、 、 、 __个 例8 绝对值不大于3的整数有 7 个，分别是±3、 ±2、 ±1、0 。 绝对值不大于3 __ 表示数轴上数a、 两点间的距离 两点间的距离． 表示数轴上数 应用： ⑷应用： |a – b|表示数轴上数 、b两点间的距离． 、 。 在数轴上与表示- 的点相距4 例9 在数轴上与表示-1的点相距4个单位长度的点表示的数是 3、-5
−12 1) = −4 ( 3 −24 = 3 ( 2) −16 2
⑸乘方： 乘方：
①概念：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。 概念：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。 a n = a × a × ⋯× a 求法： ②求法： 乘方运算可以化为乘法运算进行： 乘方运算可以化为乘法运算进行： 符号法则：正数的任何次幂都是正数。 ③符号法则：正数的任何次幂都是正数。 n 负数和分数的乘方书写时 的乘方书写时， 负数和分数的乘方书写时， 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数。 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数。 一定要把整个负数和分数 0的任何次幂都是 。 的任何次幂都是0。 的任何次幂都是 小括号括起来 括起来。 用小括号括起来。 例13 计算： 计算：
第一章 有理数
第一章 有理数一、有理数的基础知识1、三个重要的定义（1）正数： ；（2）负数： ；（3）0即不是 也不是 ，0是 和 的分界.2、有理数的概念及分类（1） 和 统称为有理数.（2）有理数的分类如下：按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴（1）标有 、 和 的直线叫做数轴.（2）在数轴上所表示的数， 的数总比 的数大.（3）数轴上表示数a 的点与原点的距离是 个单位长度.（4）在数轴上求任意两点a 、b 的距离L,则有公式L= .4、相反数（1）如果两个数只有 不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。
（2）0的相反数是 ，数a 的相反数是 .，b a -的相反数是 .（3）在数轴上位于原点的 ，并且与原点的距离 .（4）如果数a 和数b 互为相反数，则a +b = ；a b= （0ab ≠）. 5、绝对值（1）数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值.（2）一个正数的绝对值是 ；0的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 .可用字母a 表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a（3）两个负数比较大小，绝对值大的 .（4）任何一个数的绝对值都是 ，即a 0.二、有理数的运算1、有理数的加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加， ，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加， ，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得 ；一个数同0相加， .（2）有理数加法的运算律：加法的交换律 ： ；加法的结合律： .方法：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。
2、有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数等于 这个数的 .（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。
有理数的概念
有理数的概念有理数是数学中的一个重要概念，指的是可以用两个整数的比例来表示的数。
在数学中，有理数包括整数、分数和小数。
有理数的概念对我们在日常生活中的计算和理解数字有着重要的意义。
本文将介绍有理数的定义及其性质。
一、有理数的定义有理数是指可以由两个整数的比例来表示的数。
它们可以用分数的形式表示，形如a/b，其中a和b都是整数，且b不等于0。
例如，2/3、-4/5、7/2都是有理数。
有理数可以是正数、负数或零。
二、有理数的性质1. 有理数的四则运算有理数的加法、减法、乘法和除法都能够应用于有理数。
例如，当我们对两个有理数进行加法运算时，只需将它们的分子相加，分母保持不变。
例如，1/2 + 1/3 = (1+1) / 2 = 2/3。
同样地，减法、乘法和除法也可按照相应的规则进行。
2. 有理数的比较我们可以利用有理数的大小来进行比较。
如果两个有理数的分数形式的分子和分母满足一定的大小关系，那么这两个有理数的大小关系也相同。
例如，2/3 > 1/2，因为2乘以2大于1乘以3。
3. 有理数的绝对值有理数的绝对值是该数到0的距离，总是非负的。
对于正数，它的绝对值等于这个数本身；对于负数，它的绝对值等于这个数去掉负号。
例如，|-5| = 5，|3| = 3。
4. 有理数的相反数有理数的相反数是指与其绝对值相等但符号相反的数。
例如，3的相反数是-3，-5的相反数是5。
有理数的相反数与原有理数相加等于0。
三、有理数在实际生活中的应用有理数在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在商业交易中，我们需要计算利润和亏损，这时就需要用到有理数的加法和减法运算。
在日常生活中，我们也常常使用有理数来表示时间、温度、海拔高度等。
有理数的概念帮助我们理解和处理这些实际问题。
总结：有理数是可以用两个整数的比例来表示的数，包括整数、分数和小数。
有理数的四则运算、比较、绝对值和相反数都有着相应的规则。
有理数在实际生活中有着广泛的应用。
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精锐教育1对3辅导讲义授课日期时间主题有理数的概念和分类学习目标1.理解有理数的意义及分类，能判断一个数是正数还是负数，运用正负数表示生活中具有相反意义的量；2.理解数轴的意义，能在数轴上表示出任何一个有理数，并理解任何一个有理数都能在数轴上表示出来；3.理解绝对值的意义，理解互为相反数的两个数的绝对值有什么关系，理解两个负数，绝对值大的那个数反而小。
教学内容【案例1】有理数的意义：在现实生活中，我们常碰到一些量，它们具有相反意义，比如：盈利与亏损，收入与支出，增加与减少，上升与下降，等等。
小学中我们已经学习了负数，知道正数和负数可以表示具有相反意义的量。
问题：天气预报2014年2月某天上海的温度为4~5C C - ，它的确切含义是什么？有理数：整数和分数统称为有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数（按定义分类）正分数分数负分数⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数（按符号分类）零（既不是正数也不是负数）负整数负有理数负分数在正数前面加上“-”号的数叫做负数，有时为了强调符号，在正数前面加上“+”号。
零既不是正数，也不是负数。
零和正数又可以称为非负数。
在下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是负数？哪些是有理数？1128,3,7,,69,0,0.32,1, 3.1265----拓展：最小的整数有没有？最小的正整数有没有？最大的负整数有没有？【案例2】数轴：复习数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（数轴的三个要素缺一不可，其中正方向只有一个，一般规定向右的方向为正方向，且数轴无端点。
标数字时，通常把数字标在数轴的下方，而表示点的字母写在数轴的上方）思考1：3和﹣3，4和﹣4，12和12-这三对数有什么相同点和不同点？比如：223的相反数为223-，223-的相反数为223，223和223-互为相反数。
思考2：a的相反数是；a-的相反数是。
思考3：a-一定是个负数吗？用数轴上的点分别表示13,5,2,1.22--和它们的相反数。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。
结论：在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。
拓展：相反数是它本身的数有哪些？【案例3】绝对值：观察并回答：小明、小丽的家离学校多远？（单位长度表示1千米）在数轴上点A 、点B 所表示的数分别是3和﹣5，它们与原点的距离分别是3和5，我们把3叫做3的绝对值，5叫做﹣5的绝对值。
例如，4的绝对值是4，记作|4|4=，﹣3的绝对值是3，记作|3|3-=，0的绝对值是0，记作|0|0=，思考1：前面提到数轴的作用还可以用于比较数的大小，说说数轴上的点表示的数有什么特点吗？先请观察数轴：思考2：一个数的绝对值越大，说明这个数到原点的距离怎样呢？如：2和﹣6的绝对值哪个大？它们到原点的距离哪个远一些呢？﹣3和﹣7的绝对值哪个大？它们到原点的距离哪个远一些呢？一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
绝对值的表示：用符号|a|表示数a 的绝对值。
结论：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
数轴上的点表示的数字从左到右越来越大；总之：正数大于零，零大于负数，正数大于负数。
一个数所表示的点离开原点的距离越远，绝对值越大，离开原点的距离越近，绝对值越小。
用数轴上的点表示下列各数，并将它们从小到大排列起来：15,0,1,4.5,12--思考1：比较﹣3.5与325-的大小。
思考2：如何比较| 3.5|-和3|2|5-的大小呢？【例题1】把下列各数填入相应集合的括号内：29，﹣5.5，2002，67，﹣1，90%，3.14，0，123-，﹣0.01，﹣2，1（1）整数：{}（2）分数：{}（3）正数：{}（4）负数：{}两个负数，绝对值大的那个数反而小。
【试一试】在下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是负数？哪些是有理数？7，﹣2，162，19-，69，0，0.33，215-，﹣3.1（1）整数：{}（2）正数：{}（3）负数：{}（4）有理数：{}【例题2】一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市，（1）超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置；（2）小明家距离小彬家多远？（3）货车一共行驶了多少千米？【试一试】1．某公路养护小组乘车沿南北方向的公路来回巡护，早晨从A地出发，晚上到达B地，如果定向北方向为正，当天的纪录如下（单位：千米）：﹣18，9，7，14，6，﹣13，6，8。
（1）问：B地在A地的什么位置？距离A地多远？（2）如果乘车的速度是每小时10千米，问当天乘车巡护的时间是多少？（不计中途休息时间）2．在数轴上，点A 和点B 都在与154-对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？【例题3】在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为【试一试】数轴上表示整数的点称为整点。
某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（）A.2002或2003B.2003或2004C.2004或2005D.2005或20061．如右图所示，数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n ，那么以下结论正确的是()A .0m <，0n <，m n >B .0m <，0n >，m n >C .0m >，0n >，m n<D .0m <，0n >，m n<2．数轴上点A 对应的数为﹣3，那么与A 相距1个长度的点B 所对应的数是_________.3．数轴上的点A 、B 分别表示数﹣3和2，点C 是A 、B 的中点，则点C 所表示的数是_________.4．一个点从数轴的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，则终点表示的数是_________．5．把下列各数填在相应的大括号里：21,12,(96),|3|, 4.5,0,| 2.5|,33-------（1）正整数{}；（2）负整数{}；（3）正分数{}；（4）负分数{}．6．检修小组从A 地出发，在东西路上检修线路。
如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下（单位：千米）：﹣4，+7，﹣9，+8，+6，﹣4，﹣3。
（1）求收工时距A 地多远？（2）距A 地最远的是哪一次？（3）若每千米耗油0.3升，从出发到收工时共耗油多少升?7、已知,m n 互为相反数，,a b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，求：3220012003(1)()()x m n ab x m n xab -++++++-的值.⎧⎪⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎨⎩⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎩⎩意义：正整数整数零负整数有理数（按定义分类）正分数分数负分数有理数分类：有理数正整数正有理数正分数有理数有理数（按符号分类）零（既不是正数也不是负数）负整数负有理数负分数数轴——有整数和分数统称为有理数数轴上的点表示的数字从左到右越来越大理数大小比较；两个负数⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩，绝对值大的那个数反而小一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零绝对值1．数轴上有一点A 它表示的有理数是﹣3，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是，点C 表示的数是．2．（1）把下列各数分别填入相应的大括号内。
1117,3,78,0.01,,2002,15,0,243----正数集合{}负数集合{}整数集合{}分数集合{}（2）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_________.3．粮库3天内发生粮食进出库的吨数如下（“+”表示进库“－”表示出库）+26、﹣32、﹣15、+34、﹣38、﹣20。
（1）经过这3天，库里的粮食是增多还是减少了。
（2）经过这3天，仓库管理员结算发现库里还存480吨粮，那么3天前库里存粮多少吨？4．某食品厂从生产的罐装饮料中抽出10听检查其质量，超过标准质量的记为正，不足的记为负，记录如下：与标准质量的偏差﹣5﹣1005810听数212131（1）总质量比标准质量多还是少？（2）若标准质量是250克，求10听饮料的总质量。
5．已知|3||5|0x x y -++-=，求x y -的值。
复习小学段有个正整数和零的加法法则，预习有理数（负数的引进）的加法运算。
【案例】小明在一条东西向的跑道上，先走了5米，又走了3米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向？相距多少米？（规定向东的方向为正方向）思考讨论，小明走动路线有几种情况对前面的六个加法运算进行合理的分类同号两数相加：（＋5）＋（＋3）＝＋8（－5）＋（－3）＝－8异号两数相加：（＋5）＋（－3）＝2（－5）＋（＋3）＝－2归纳总结：有理数加法法则同号两数相加：。
异号两数相加：。
一个数同零相加：。
根据有理数的加法法则完成以下题目：(1)关于有理数加法法则叙述错误的是()A．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加B．绝对值不相等的异号两数相加，取大数的符号，并用大数减去小数C．互为相反数的两个数和为零D．任何数与零相加都得这个数本身(2)下列结论正确的个数是()．①如果两个数的差是正数，那么这两个数都是正数；②两个数的差不一定小于这两个数的和；③两个数的差一定小于被减数；④零减去任何数都等于这个数的相反数．A．1B．2C．3D．411/11。