广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案

广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案(高职高专)

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1．设函数()f x 、()g x 在区间(,)-∞+∞内有定义，若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]g f x 为（ B ）.

(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 有界函数

2．设函数()f x 是以3为周期的奇函数, 且(1)1f -=-,则(7)f =( A ) . (A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2- 3．设(0)0f =，且极限0()lim

x f x x →存在，则0()

lim x f x x

→=（ C ）.

(A) ()f x ' (B) (0)f (C) (0)f ' (D)

1

(0)2

f ' 4．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()<0f x '，若()>0f b ，则在(,)a b 内()f x （ A ）.

(A) 0> (B) 0< (C) ()f x 的符号不能确定 (D) 0= 5．设()F x 是()f x 的一个原函数，则（ D ）.

(A) ()d ()F x x f x =⎰ (B) ()d ()F x x f x C =+⎰ (C) ()d ()f x x F x =⎰

(D) ()d ()f x x F x C =+⎰

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．极限201lim 1→⎛⎫

-= ⎪⎝⎭x x x 1 .

2．已知函数1

sin sin 33

y a x x =+（其中a 为常数），在3

x π

=处取得极值，则a =

2 .

3．设1

()ln

ln 2f x x

=-，则(1)f '= 1- . 4．设函数()y y x =由方程e e sin()x y xy -=所确定，求隐函数y 在0x =处的 导数0='=x y 1 .

5

．4

1

-=⎰

62

5

.

三、(10分）设函数1sin ,0()e ,

x x x f x x

x α

β⎧>⎪

=⎨⎪+≤⎩，根据α和β的不同情况，

讨论()f x 在0x =处的连续性.

10

10

110

1

lim ()lim ()1,lim ()lim sin 0sin 1,lim 0,lim sin 0,lim ()=lim ()=(0)0=0lim sin lim sin 0lim α

αααββαβαα--++

++-

++++

→→→→→→→→→→→=+=+=>≤====

x x f x f x f x x 解：；当时，因为且所以因此，当=-1时，有；当时，不存在；当时，1sin 000=10010αααβαβ≤=>-=>≠-=x y x y x y x 不存在;所以当时，在点处不连续；当且时，在点处连续；当且时，在点处不连续。

四、(10分）求极限1

lim

1)tan 2

π

→-x x x （.

x 1

x 1

x 1

x 1

(1)sin

112

2

=lim

limsin

lim

lim 2

cos

cos

sin

2

2

2

2

x x x x x

x

x

π

π

π

π

π

π

π

→→→→---===-

解：原式.

五、(10分） 设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续, a 为常数, 且对任意(,)x ∈-∞+∞, 有

3()d 540=+⎰x

a

f t t x , 求()f x 和a .

2

33:,()15,540,8,2f x x dt a a a ==+=-=-⎰a

a

解两边求导得又因为0=f(t)即所以

六、(10分）设函数1,0()1cos ,0

x f x x x x ⎧≤⎪

=-⎨⎪>⎩，计算定积分20

(1)d f x x -⎰.

2

101

0110

11

(1)()cos ln 2sin11t x f x dx f t dt dx xdx x --=--=+=+-=======⎰⎰⎰⎰令解： 七、(10分）求(0)>c c 的值, 使两曲线2y x =与3y cx =所围成图形的面积等于2

.3

12

23

1233

011210,(0),(),1232c

y x x x c S x cx dx S c c c y cx ⎧===>=-===⎨=⎩⎰解：由解得由得

八、(10分）验证：方程 42x x =有一个根在0与

1

2

之间.

11

()24()[0](0)=1>0,()20,2211

0()=04=2022

x x f x x f x f f f x ξξ=-=<∈解：设，则在，上连续，且由零点定理

可知，至少存在一点（，），使，故方程在（，）内至少有一个根。

九、(10分）试证: 当1x >时,

有1

x

-

.

22

11

1

()3(1),(1)0,()0,(1),1

1()()>(1)=0,f x x f f x x x x

x x f x f x f x

'=+>===

>>∴>∴-

Q 证：令当时单调递增，即