山东省大学生数学竞赛(专科)试卷2017决赛试卷(含答案)
x e t sin 2t 4.曲线 在点(0,1)处的法线方程为 _______________ . t y e cos t
dy dy dt e t cos t e t sin t cos t sin t 解： t ， t dx dx e sin 2t 2e cos 2t sin 2t 2 cos 2t dt dy 1 x 0时t 0 从而 ，所以法线斜率为k法 2 dx t 0 2 所以法线方程为y 1 2 x，即2 x y 1 0.
1 1
4
4
4 ln xd ( x ) 4( x ln x
1 1
4
4
4
1
ln x dx x 1 x dx ) x
4 1
8(ln 4 x ) 8(ln 4 1).
1
4
5.(14分)设奇函数 f ( x )在[ 1,1]上具有二阶导数，且 f (1) 1, 证明： (1)存在 (0,1)，使得 f ( ) 1 ( 2)存在 ( 1,1)，使得 f ( ) f ( ) . 1
6.
1 sin x dx ______________ . x cos x 1 sin x d ( x cos x) 解： x cos x dx x cos x ln x cos x C.
得 分
评阅人
二、综合题（本题共 70 分，请写出相应演算步骤。 ）
得 分
封
评阅人
一、填空题（每小题 5 分，共 30 分，请将答案填在题中横线上。 ） x 1 1.设f ( ) 3 f ( x) 2 x，求f ( x) ________ . x 1
密
x 1 t 1 , 则x , x 1 t 1 t 1 t 1 2t 2 于是f (t ) 3 f ( )2 3[3 f (t ) 2t ] t 1 t 1 t 1 t 1 整理得 8 f (t ) 6t 2 t 1 3 1 x 1 所以 f ( x) x ，x 1. 4 4 x 1 解：令t
4.(10分)设f (2 x 1)
7 ln x ，求 f ( x)dx. 1 x
解：令 x 2t 1，则 dx 2dt，x 1时t 1；x 7时t 4
7
1
f ( x )dx 2 f ( 2t 1)dt 2 f ( 2 x 1)dx 2
数学竞赛试题 第 3 页（共 5 页）
证明： (1)设F ( x) f ( x) x, x [1,1]， f ( x)是奇函数， f ( 0) 0 F (0) f (0) 0 0, F (1) f (1) 1 0, 而F ( x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导， 由罗尔定理知，存在 (0,1)使得F ( ) f ( ) 1 0，即f ( ) 1.
5.设y f (ln x)e f ( x )，其中f可微，则dy ______________ .
1 解：y [ f (ln x)]e f ( x ) f (ln x)[e f ( x ) ] f (ln x) e f ( x ) f (ln x)e f ( x ) f ( x)， x 1 dy ydx e f ( x ) [ f (ln x) f ( x) f (ln x)]dx . x
1.(10分)求 os 2 x . x(e 2 x 1) ln(1 tan 2 x)
解：原式 lim
sin 2 x x 2 cos 2 x 1 (sin x x cos x)(sin x x cos x) lim 2 x 0 x 2x x 2 x 0 x4 1 sin x x cos x sin x x cos x 1 sin x x cos x lim lim lim 2 3 x 0 2 x 0 x x 2 x 0 x3 cos x cos x x sin x x2 1 lim lim . x 0 x 0 3 x 2 3x 2 3
绝密★启用前
山东省大学生数学竞赛（专科）决赛试卷 （非数学类，2017）
座号： 考试形式： 闭卷
题 号 满 分 得 分
考试时间： 120
一 30 二 70
分钟
满分： 100
总 分
分
100
注意：1．答题前，请竞赛选手将密封线内的项目填写清楚。 线 所在院校： 2．将答案直接答在试卷相应题目的位置，答错位置不得分。
身份证号：
2. lim
x 1
3 x 1 x ___________ . x2 x 2
3 x 1 x 2(1 x) 1 lim lim x 1 x 1 ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) 3 x 1 x
解：原式 lim
解： (1)由题意得 4 4 V1 (2 x ) dx ( x 5 ) (32 a 5 ) a 5 5 a
2 2 2 2
V2 a 2a
2
2
2a2
0
y 1 dy 2a 4 ( y 2 ) a 4 . 2 4 0
2a2
4 (32 a 5 ) a 4 5 3 由V 4a (1 a) 0得唯一驻点a 1 (0,2) 当0 a 1时，V 0；当a 1时，V 0 (2)设V V1 V2 因此a 1是极大值点即为最大值点。此时，V1 V2取得最大值，为 129 . 5
数学竞赛试题 第 2 页（共 5 页）
2.(10分) e t dt
0
y
2
3x2
0
ln t x 2 dt ( x 0)，求
3x2
dy . dx
4 x2 x
解：令u t x 2，则
y
2
0
ln t x 2 dt 2 ln u du
对等式 et dt 2 ln u du两边视y为x的函数求导数，得
(2)设G ( x) f ( x) f ( x) x, x [1,1]， f ( x)是奇函数， f ( x)在[1,1]上是偶函数 G (1) f (1) f (1) 1 f (1) f (1), G (1) f (1) f (1) 1 f (1), 而G ( x)在[1,1]上连续，在(1,1)内可导， 由罗尔定理知，存在 (1,1)使得G( ) f ( ) f ( ) 1 0，即f ( ) f ( ) 1.
0 x
4 x2
解得
dy 8 x ln 4 x 2 2 x ln x 2 dx dy 8 x ln 2 x 2 x ln x . 2 dx ey ey
2
2 x0 x 2 (1 cos x), 3.(10分)设f ( x) 1 x 0，试讨论f ( x)在x 0处的可导性. 1 x 2 x0 x 0 cos t dt 2 (1 cos x ) 1 2 2(1 cos x ) x 2 2 sin x 2 x x 解： f (0) lim lim lim 3 x 0 x 0 x0 x x 3x 2 2 cos x 2 sin x lim lim 0 x 0 x 0 6x 6 1 x x cos t 2dt 1 cos t 2 dt x cos x 2 1 0 x 0 f (0) lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x2 2x 2 2 x sin x lim 0 x 0 2 f (0) f (0) f ( x )在x 0处可导 .
x 1
lim 姓名：
x 1
2 1 2 lim . x 2 x1 3 x 1 x 6
数学竞赛试题 第 1 页（共 5 页）
3.设 lim(
x
x 2a x ) 8，则a _____________ . xa
x a 3 ax
3a 3a x a 解：原式 lim(1 ) e3a 8 x xa 所以 a ln 2.
6.(16分)设D1是由抛物线y 2 x 2 和直线x a, x 2及y 0所围成的平面区域；D2 是由抛物线 y 2 x 2 和直线y 0, x a所围成的平面区域，其中0 a 2 (1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2 绕y轴旋转而成的旋转体体积V2； (2)问当a为何值时，V1 V2取得最大值？试求此最大值.
数学竞赛试题 第 4 页（共 5 页）
2017-2018全国大学生数学竞赛试题及答案（最完整版）.pdf
=0
绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半
部分（ z ≥ 0 ）取上侧，Π 是 S 在 P ( x, y, z ) 点处的切平面， ρ ( x, y, z ) 是原点到切平面Π
的距离， λ, μ,ν 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：
（1）
∫∫
S
ρ
(
z x, y,
z
)
dS
；
（2） ∫∫ z (λx + 3μ y +ν z)dS 。 S 165
L
2
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。
六、（本题满分 10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
2
f (x)dx − 2 , 则 f (x) =
0
；
3．曲面 z = x2 + y2 − 2 平行平面 2x + 2 y − z = 0 的切平面方程是
；
2
4．设函数 y = y(x) 由方程 xe f ( y) = e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f ′ ≠ 1 ，则
d2y =
an Snα
收敛；
∑ （2）当α ≤ 1且 sn
→
∞(n
→
∞)
时，级数
+∞ n=1
an Snα
发散。
五、（本题满分 15 分）设 l 是过原点、方向为 (α , β ,γ ) ，（其中α 2 + β 2 + γ 2 = 1) 的直线，
2017年数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准及参考答案 .doc
2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解： 在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l n c o sl n c o s211==cos cos cos x x ee dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n c o sx x c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。
2．求()n n n +∞→22sin lim π解 由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。
3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。
则21xx yy w w c-=_________。
解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。
所以1221=4xx yy w w f c-。
4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。
这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。
第八届全国大学生数学竞赛决赛(数学类3、4)参考答案一面
其中: x0 ∈ E , x2 ∈ E , · · · , xn ∈ E ; x1 ∈ / E, x3 ∈ / E, · · · , xn−1 ∈ / E. 构造如下: ∀n ⩾ 1, 先取 x0 = 0, x2 , x4 , · · · , xn−2 ∈ E, xn = 1
数学家
|χE (xi ) − χE (xi−1 )| → ∞, 即
因此, 当且仅当 a > 27 或 a < −37 时方程有虚根 ∫∫ ax dy dz + (x + a)2 dx dy √ (a > 0 为常数)， 3. 计算曲面积分 I = x2 + y 2 + z 2 S √ 其中 S : z = − a2 − x2 − y 2 , 取上侧. I = π 答案：− a3 2 x2 + y 2 ⩽ a2 解: 令曲面 S1 : , 取下侧, 则 S1 ∩ S 为闭下半球的内侧. z = 0 令其内部区域为 Ω, 令 D 为 xOy 平面上的圆域 x2 + y 2 ⩽ a2 , 则利用高斯公式, 得 {∫ ∫ } ∫∫ [ ] 1 2 I= − axdy dz + (z + a) dxdy a S ∪S1 S1 [ ∫∫∫ ] ∫∫ 1 − (3a + 2z )dv + = a2 dxdy a Ω D [ ] ∫∫∫ 1 4 4 = −2πa − 2 z dv + πa a Ω ∫ ∫ a ∫ 0 2 2π = −πa3 − dθ rdr √ z dz a 0 0 − a2 −r 2 π = − a3 2
ˆ(x) ∈ S . 于是, 在 R 上有界, 从而 f ∫
A
数学家
−∞
ˆ(x)e2πixy dy 收敛, 而 f
第八届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案(非数学类,
（3）
∫∫∫( ) ∫ ∫ ∫ I = 1
1− (x2 + y2 + z2)
x2 + y2 + z2 dv = 1
2π dθ
π sin ϕ
1
(1 −
ρ 2 )ρ 3dρ
=
π
.
2Ω
20
0
0
6
3
五、设 n 阶方阵 A, B 满足 AB = A+B ，证明：若存在正整数 k ，使 Ak = O ( O 为零矩阵)，则 行列式 B + 2017 A = B .
1 k
−
ln
n
.
（1）证明：极限
lim
n→∞
an
存在；
∞
∑ （2）记
lim
n→∞
an
=
C
，讨论级数
n =1
(an
−C)
的敛散性.
解 （1）利用不等式：当 x > 0 时， x < ln(1+ x) < x ，有 1+ x
1
an
−
an−1
=
1 n
−
ln
n n −1
=
1 n
−
ln
⎛⎜⎝1 +
1⎞ n −1⎟⎠
第八届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案
(非数学类, 2017 年)
一、填空题
1.过单叶双曲面
x2 4
+
y2 2
− 2z2
= 1 与球面
x2
+
y2
+
z2
=
4
的交线且与直线
⎧x = 0 ⎨⎩3y + z
第九届中国大学生数学竞赛预赛试卷+答案
ą1“ 4
fxyp0, 0q‰2
`
1 2
fxxp0, 0q
fyyp0, 0q
`
1 4
“
fyyp0, 0q‰2
´
fxxp0, 0q
fyyp0, 0q
“
1 4
! “
fxy
p0,
0q‰2
´
2
fxx
p0,
0q
fyy
p0,
0q
`
“
fyyp0,
0q‰2
)
“1“ 4
fxxp0, 0q
´
fyyp0,
0q‰2
ě
0
这就说明 B2 ´ AC ą 0, f p0, 0q 为极值. 下面证明 f p0, 0q 为极小值,
0
0
0
V
“
2π
¨
1
sin2
φ
ˇπ {4 ˇ
¨
1
ρ
ˇ2 4ˇ
“
2π
2
ˇ
0
4
ˇ
0
♢
二、(本题满分 14 分) 设二元函数 f px, yq 在平面上有连续的二阶导数. 对任意角度 α, 定义一元函数
gα ptq “ f pt cos α,t sin αq.
若对任何 α
都有
dgα p0q dt
“0且
d2gα p0q dt 2
由常数变易法, 从而
∫
ˆ∫
∫
˙
f pxq “ e´ tanxdx sec xe tanxdx dx ` C
ˆ∫ “ elncosx
1
˙
∫
´
e´lncosx dx ` C “ cos x
大学生数学竞赛(数学类)考题及答案
首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009）考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.一、（15分）求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程. 二、（20分）设n n C ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，121000100010001n n n a a F a a ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭ .（1）假设111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，若AF FA =，证明：121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；（2）求n n C ⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.三、（15分）假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换.如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.四、（10分）设{}()n f x 是定义在[],a b 上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在[],a b 上满足'()n f x M ≤.（1）证明{}()n f x 在[],a b 上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在[],a b 上处处可导,为什么？ 五、（10分）设320sin sin n nta t dt t π=⎰， 证明11n na ∞=∑发散. 六、（15分） (,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f fx y x y∂∂+=∂∂，计算积分221x y I dxdy +≤⎛⎫=⎰⎰. 七、（15分））假设函数 ()f x 在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 (0,(0))A f ，与点 (1,(1))B f 的直线与曲线 ()y f x =相交于点 (,())C c f c ，其中 01c <<. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ξ，使()0f ξ''=。
2017总决赛山东省大学生数学竞赛(专科)
绝密★启用前山东省大学生数学竞赛（专科）总决赛试卷（非数学类，2017）考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分一、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在题中横线上。
） . 1111.1的反函数为函数x x y ---+= . )1sin 1(cot lim .20=-→x x x x 求. d d cos sin sin 3.422=⎩⎨⎧+===πt x y t t t t y t x 求为参数），（设 (). d m ax .4222=⎰-x x x ，求. 32 )1(.53211，其收敛半径为已知级数Λ-+-=-∑∞=-x x x n x n n n. 035126.的通解为分方程二阶常系数齐次线性微=+'-''y y y注意：1．答题前，请竞赛选手将密封线内的项目填写清楚。
2．将答案直接答在试卷相应题目的位置，答错位置不得分。
线封密身份证号： 所在院校： 座号： 姓名：二、综合题（本题共70分，请写出相应演算步骤。
） .)()()sin sin (lim 111.sin sin 其类型的间断点，并指出，求函数，记此极限为分）求极限（x f x f xt x t x x t -→. 0 )(0 )0()( 0)0()0()(122.连续导数是连续的，且具有一阶，，，试证明函数存在，具有一阶连续函数，且分）设函数（⎪⎩⎪⎨⎧≠='==''x xx f x f x F f f x f.d e )()(113.2212的单调区间与极值分）求函数（t t x x f x t ⎰--=[]0.)()3,0(2)0()()2,0(1)3()2(d )()0(2 )30(3,0)(12.420=''∈=∈+==⎰ξξηηf f f f f x x f f x f ，使）证明存在（；，使证明存在）（，内存在二阶导数，且，上连续，在在分）设函数（.ln 10145.体积轴旋转一周所得旋转体绕的面积及围成，求区域与直线由区域点，轴交于与，又的切线，切点为：）点做曲线，分）过（（x D D AB L D B x L A x y L =.d d 833106.2⎰⎰=+==Dy x x y x x y y x D 围成，计算及，由直线分）设平面区域（。
2018决赛带答案山东省大学生数学竞赛(专科)试卷
绝密★启用前山东省大学生数学竞赛（专科）决赛试卷（非数学类（A ），2018）考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟满分： 100 分一、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在题中横线上。
）[].________)(0)(1)(e )( .12=≥-==x x x x f x f x ϕϕϕ，则，且，已知[][][][].0 )1ln(.01)1(0)1ln()1ln()(1e 1)(e )(e )( 222)()(）（故应填，即，所以而，解得，，所以而，，则因为≤-≤≥-≥--=-=-===x x x x x x x x x x f x f x f x x x ϕϕϕϕϕ解.________)100(lim .22=++-∞→x x x x 求注意：1．答题前，请竞赛选手将密封线内的项目填写清楚。
2．将答案直接答在试卷相应题目的位置，答错位置不得分。
线封密.50.5011001100lim100100lim)100(lim 222--=-+-=-+=++-∞→-∞→-∞→故应填xxx x x x x x x x 解.________)()2(lim1)( .30000=----='→x x f x x f xx f x ，则已知[][]1..1)()2(1lim )()2(lim 1)()(2)()()()2(lim)()2(lim0000000000000000故应填得，由=---=---='+'-=-----=---→→→→xx x f x x f x x f x x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x x f x x f x x x x 解.________ 0)πsin( .4102='=-==y x y y xy ，则已知方程.π21.π21π2)πcos(0π2)πcos(0)πsin( 10222--='-='='-'+=-==故应填所以，，即求导得等式两边同时对方程y x y xy y yy y y y y x y x y xy 解 .________d 1ln .52=-⎰x x x 求.ln .ln d 1d 11ln d 11d ln d 1d ln d 1ln 222222C xxC xxx x x x x x x xx x x x x x x x x x +-+-=-+⋅-=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故应填解.________)0(d )12()( .61，其单减区间为已知函数>-=⎰x t tx F x).41,0).41,0410001212)( 故应填（所以单减区间为（，，得，且由<<><-=-='x x xx x x F 解二、综合题（本题共6小题，共70分，请写出相应演算步骤。
2017年山东省春季高考数学试卷(解析版)
2017年山东省春季高考数学试卷一、选择题1．已知全集U={1，2}，集合M={1｝,则∁U M等于（）A．∅B．{1｝C．｛2｝D．｛1,2}2．函数的定义域是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪［2，+∞) C．(﹣2,2） D．(﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）3．下列函数中，在区间(﹣∞，0)上为增函数的是（）A．y=x B．y=1 C．D．y=｜x|4．二次函数f(x）的图象经过两点（0,3），（2,3）且最大值是5，则该函数的解析式是（)A．f（x）=2x2﹣8x+11 B．f（x)=﹣2x2+8x﹣1 C．f(x）=2x2﹣4x+3 D．f（x）=﹣2x2+4x+35．等差数列｛a n}中,a1=﹣5，a3是4与49的等比中项,且a3＜0,则a5等于（) A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣326．已知A（3，0），B(2，1），则向量的单位向量的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．D．7．“p∨q为真”是“p为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是（)A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．69．下列说法正确的是()A．经过三点有且只有一个平面B．经过两条直线有且只有一个平面C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（）A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=011．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（) A．72 B．120 C．144 D．28812．若a，b,c均为实数，且a＜b＜0,则下列不等式成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D．13．函数f(x）=2kx，g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9）,则实数k的值是(）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣214．如果，，那么等于(）A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．1815．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是（）A．B．C．D．16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分)是（) A．B．C．D．17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4,则圆C2的方程是（）A．（x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5)2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5)2=4 18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣1519．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛,在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为（）成绩分析表甲乙丙丁平均成绩96968585标准差s4242A．甲B．乙C．丙D．丁20．已知A1，A2为双曲线（a＞0，b＞0)的两个顶点，以A1A2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若△A1MN的面积为，则该双曲线的离心率是(）A．B．C．D．二、填空题:21．若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积等于．22．在△ABC中,a=2,b=3,∠B=2∠A，则cosA=．23．已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△PQF2的周长等于．24．某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是．25．对于实数m，n，定义一种运算：,已知函数f(x)=a＊a x，其中0＜a＜1，若f（t﹣1)＞f（4t），则实数t的取值范围是．三、解答题：26．已知函数f（x）=log2（3+x）﹣log2(3﹣x），(1）求函数f（x)的定义域,并判断函数f（x)的奇偶性；（2）已知f(sinα）=1，求α的值．27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠;②按照航行天数交纳：第一天缴纳0。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(山东卷,含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P(A)﹒P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) （2）已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =+⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是 （A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q （4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 （6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . (13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 . （15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+三、解答题：本大题共6小题，共75分。