数学必修四练习高考题
新教材数学人教B版必修第四册练习：全册测试Word版含解析
必修四全册测试间：120分钟分数：150分、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)．已知复数z 1＝2－a i (a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在() ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是() ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝120°，sin C ＝217，c ＝2，则△ABC 的面积等于() .32B ．23C.34D.3 ．已知等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝22，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为22，此时三棱锥C ABD 的外接球的表面积为() ．5πB ．43πC ．3πD ．12π．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a cos B ＝(2c －b )cos A ，则角A 的大小为() .π6B.π4C.π3D.π2．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)．当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为() .⎝⎛⎦⎤0，3510πB.⎣⎡⎭⎫3S10π，＋∞ .⎝⎛⎦⎤S 5π， 3S 10πD.⎣⎡⎭⎫3S 10π，S 2π ．如图，在正四面体P ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论不成立的是()．BC ∥平面PDF．DF ⊥平面P AE ．平面PDF ⊥平面P AE ．平面PDE ⊥平面ABC．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为102米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为(米/秒)() .3323B.5323 .7323D.8323、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) ．设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是() ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 0．下面给出的四个结论正确的为()．若复数z ∈R ，则z －∈R B ．若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R．对于复数z ，有|z |2＝z 2D ．对于复数z 1，z 2，若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝01．已知锐角△ABC ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝4，∠B ＝60°，则边b 的可能取值为() ．2B ．3C ．4D ．52．已知空间中两条直线a ，b 所成的角为50°，P 为空间中给定的一个定点，直线l 过点P 且与直线a 和直线b 所成的角都是θ(0°<θ≤90°)，则下列选项正确的是()．当θ＝15°时，满足题意的直线l 不存在B ．当θ＝25°时，满足题意的直线l 有且仅有1条 ．当θ＝40°时，满足题意的直线l 有且仅有2条D ．当θ＝60°时，满足题意的直线l 有且仅有3条、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是________.4．公元一世纪的我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适马岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈(10尺)，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有1尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到沿岸(池塘一边的中点)，则水深为________尺． 5．欧拉公式e ix ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，对2019i 4eπ表示的复数z ，则|z |＝__________.6．在△ABC 中，∠ABC ＝π3，边BC 在平面α内，顶点A 在平面α外，直线AB 与平面α所成角为θ.若平面ABC 与平面α所成的二面角为π3，则sin θ＝________.、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)7．(10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋1＝b sin A ＋2cos C . 1)求角C 的大小；2)若a ＝2，a 2＋b 2＝2c 2，求△ABC 的面积．8．(12分)如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别为A 1B ，B 1C 1的中点． 1)求证：MN ∥平面A 1ACC 1；2)已知A 1A ＝AB ＝2，BC ＝5，∠CAB ＝90°，求三棱锥C 1ABA 1的体积． 9．(12分)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14(x ∈R )． 1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值和f (x )的最小正周期；2)设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f ⎝⎛⎭⎫A 2＝14，a ＝2，求b ＋c 的取值范围．0．(12分)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． 1)证明：PQ ∥平面ACD ；2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．1．(12分)法国数学家费马被称为“业余数学家之王”，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC 而言，若其内部的点P 满足∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝120°，则称P 为△ABC 的费马点．如图所示，在△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，设P 为△ABC 的费马点，且满足∠PBA ＝45°，P A ＝2.1)求△P AC 的面积； 2)求PB 的长度．2．(12分)如图1所示，在长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为CD 的中点，以AE 为折痕，把△DAE 折起到△D ′AE 的位置(如图2所示)，且平面D ′AE ⊥平面ABCE . 1)求证：AD ′⊥BE ；2)求四棱锥D ′ABCE 的体积；3)在棱ED ′上是否存在一点P ，使得D ′B ∥平面P AC ，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．1图2必修四全册测试．答案：B析：复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应点的点在第二象限，故选B. ．答案：C析：由于m ∥α，n ∥α，则m ∥n ，m 与n 可能相交也可能异面，所以A 不正确；m ∥α，m ∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B 不正确；m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，所以C 正确．m ∥α，α⊥β，则m ⊥β，也可能m ∥β，也可能m ∩β＝A ，所以D 不正确． ．答案：A析：∵B ＝120°，sin C ＝217，c ＝2， 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，可得b ＝c ·sin Bsin C＝7，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得7＝a 2＋4－2×a ×2×(－12)，整理得a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或－3(舍去)，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×7×217＝32.．答案：D析：等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝22，解得AB ＝4.于CD ⊥AD ，CD ⊥BD ，易得CD ⊥平面ABD ， A 与点B 间的距离为22， 以AD 2＋BD 2＝AB 2，则AD ⊥BD ，以将三棱锥C ABD 放到棱长为2的正方体中， 以(2R )2＝22＋22＋22，解得R ＝3，S 表＝4πR 2＝12π. ．答案：C析：因为a cos B ＝(2c －b )cos A ，正弦定理得sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ， 以sin C (1－2cos A )＝0.为0＜C ＜π，所以sin C ＞0，所以cos A ＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3.．答案：D析：设圆柱的高度与半球的半径分别为h ，R ，则S ＝2πR 2＋2πRh ，则πRh ＝S2－πR 2，以酒杯的容积V ＝23πR 3＋πR 2h ＝23πR 3＋⎝⎛⎭⎫S 2－πR 2R ＝－π3R 3＋S 2R ≤43πR 3. h ＞0，所以S2－πR 2>0，以πR 2＜S 2≤53πR 2，解得3S10π≤R ＜S 2π. ．答案：D析：设AE ∩DF ＝O ，由DF ∥BC ，可得BC ∥平面PDF ，故A 正确．若PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 在AE 上，则DF ⊥PO ，又DF ⊥AE ，故DF ⊥平面P AE ，故B 正确．由DF ⊥平面P AE 可得，平面PDF ⊥平面P AE ，故C 正确．∵DF ⊥平面P AE ，DF ⊂平面ABC ，∴平面P AE ⊥平面ABC ，∵平面P AE ∩平面PDE ＝PE ，且PE 与平面ABC 不垂直，∴平面PDE 与平面ABC 不垂直，故D 错误． ．答案：B析：如图所示，依题意知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°， ∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°. 正弦定理知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠AEC ，AC ＝102sin30°×sin45°＝20(米)，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin ∠ACB ＝20×32＝103(米)． 国歌长度约为46秒，升旗手升旗的速度应为10346＝5323(米/秒)．．答案：ACD析：A 中α，β也可相交，A 不正确；由垂直同一直线的两平面平行知，B 正确；C 中，α，β垂直，不正确；D 中l 与β也可平行或l ⊂β，不正确． 0．答案：AB析：若复数z ∈R ，则z 虚部为0，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，选项A 正确；设z ＝a ＋b i ，则1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R .由1z ∈R 得到b ＝0，所以z ∈R ，选项B 正确；对于复数z ，例如z ＝i ，则|z |2＝1，z 2＝－1，不满足|z |2＝z 2，选项C 不正确；对于复数z 1，z 2，例如z 1＝1，z 2＝i ，满足z 21＋z 22＝0但是不满足z 1＝z 2＝0，选项D 不正确．1．答案：CD析：在△ABC 中，c ＝4，∠B ＝60°，b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin B sin C ＝4×32sin C ＝23sin C .由于0＜C ＜π2，可得sin C ∈(0,1)，即有b ＞2 3. b ＝4，则b ＝c ，即B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形，成立； b ＝5，可得sin C ＝235∈⎝⎛⎭⎫12，32，且b ＞c ，即B ＞C ，为30°＜C ＜60°，即有60°＜A ＜90°，成立． 2．答案：ABC析：如图，过点P 作a 1∥a ，b 1∥b ，则相交直线a 1，b 1确定一平面α.a 1与b 1夹角为50°， 直线P A 即l 与a 1，b 1所成角均为θ角， 图l 绕P 转动保持与a 1，b 1夹角相等， l 在α内为a ，b 夹角平分线时，θ最小为25°，以AB 正确，当θ为40°和60°时直线l 都有2条，所以C 正确，D 错． 3．答案：612析：因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)．同理，ac cos B ＝12(a 2＋c 2－b 2)，ab cos C＝12(a 2＋b 2－c 2)．所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612. 4．答案：12析：如图所示，OA ＝OB ，AC ＝1， C ⊥OA ，BC ＝12×10＝5.水深OC ＝x 尺，则葭长为x ＋1尺． Rt △OBC 中，x 2＋52＝(x ＋1)2， 得x ＝12. 水深OC ＝12尺． 5．答案：1 析：由题意，2019i 4e＝cos 20194π＋isin 20194π＝os 3π4＋isin 3π4＝－22＋22i ，以|z |＝12＋12＝1. 6．答案：34析：如图，过A 作AO ⊥α，垂足是O ，过O 作OD ⊥BC ，交BC 于D ，连接AD ， AD ⊥BC ，∴平面ABC 与平面α所成的二面角为∠ADO ＝π3，ABO 是直线AB 与平面α所成角，即∠ABO ＝π3，设AO ＝3，△ABC 中，∠ABC ＝π3，BD ＝12AB ，AD ＝32AB ，AO ＝32AD ＝34AB ，sin θ＝AO AB ＝34. 7．解析：(1)因为由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，以a sin B ＝b sin A ， 2cos C ＝1，cos C ＝12.0<C <π，∴C ＝π3.2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ， 4＋b 2＝2(4＋b 2－2b )，解得b ＝2. S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin π3＝ 3.8．解析：(1)证明：如图，设K 是B 1C 的中点，连接KN ，KM ，分别在△AB 1C ，△B 1C 1C 中利用三角形中位线定理可得： K ∥AC ，KN ∥CC 1，MK ∩NK ＝K ，∴平面MNK ∥平面AA 1C 1C ， MN ⊂平面MNK ，∴MN ∥平面A 1ACC 1. 2)∵∠CAB ＝90°，AB ＝2，BC ＝5，AC ＝BC 2－AB 2＝1，则S △ABC ＝1，ABC A 1B 1C 1是直棱柱，∴高为AA 1＝2， 棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为VABC A 1B 1C 1＝2. VC 1ABA 1＝13VABC A 1B 1C 1＝23.9．解析：(1)函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14(x ∈R )． 以f ⎝⎛⎭⎫π3＝32×32－14＝12.f (x )＝sin x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －141－cos2x 4＋34sin2x －14＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以函数f (x )的最小正周期为π. 2)设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f ⎝⎛⎭⎫A 2＝14， 以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，解得A ＝π3. 用正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝43sin B ，c ＝43sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ， 以b ＋c ＝43⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6，由于⎩⎨⎧0<B <π20<C ＝2π3－B <π2，解得π6<B <π2，所以B＋π6∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3，所以b ＋c ∈(23，4]． 0．解析：(1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， PQ ⊄平面ACD ，从而PQ ∥平面ACD .2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . CQ ⊥平面ABE .(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ .此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， in ∠DAP ＝55， 此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. 1．解析：(1)由已知得∠P AB ＝180°－120°－45°＝15°， ∠P AC ＝45°－15°＝30°.△P AC 中，∠PCA ＝180°－120°－30°＝30°， P A ＝PC ＝2，△P AC 的面积S ＝12P A ·PC ·sin ∠APC ＝12×2×2×32＝ 3.2)∵sin15°＝sin(45°－30°)＝22×32－22×12＝6－24，sin45°＝22，∴在△P AB 中，由正弦定理得PB sin15°＝P Asin45°，PB ＝2sin15°sin45°＝2×6－2422＝3－1. 2．解析：(1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD 中，△DAE 和△CBE 为等腰直角三角形，∴∠DEA ＝∠CEB ＝45°，∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE .平面D ′AE ⊥平面ABCE ，且平面D ′AE ∩平面ABCE ＝AE ，BE ⊂平面ABCE ，BE ⊥平面D ′AE ，AD ′⊂平面D ′AE ，AD ′⊥BE .2)取AE 的中点F ，连接D ′F ，则D ′F ⊥AE ，且D ′F ＝22. 平面D ′AE ⊥平面ABCE ，平面D ′AE ∩平面ABCE ＝AE ，D ′F ⊂平面D ′AE ，D ′F ⊥平面ABCE ，V D ′ABCE ＝13S 四边形ABCE ·D ′F ＝13×12×(1＋2)×1×22＝24. 3)如图所示，连接AC 交BE 于Q ，假设在D ′E 上存在点P ，使得D ′B ∥平面P AC ，连接PQ . D ′B ⊂平面D ′BE ，平面D ′BE ∩平面P AC ＝PQ ，D ′B ∥PQ ，在△EBD ′中，EP PD ′＝EQ QB . △CEQ ∽△ABQ ，EQ QB ＝EC AB ＝12， EP PD ′＝EQ QB ＝12，即EP ＝13ED ′， 在棱ED ′上存在一点P ，且EP ＝13ED ′使得D ′B ∥平面P AC .。
人教版B版高中数学必修第四册 第十一章综合测试01试题试卷含答案 答案在前
第十一章综合测试答案解析基础练习一、 1.【答案】D【解析】直线AC 与直线PO 交于点O ，所以平面PCA 与平面PBD 交于点O ，所以必相交于直线PO ，直线AM 在平面PAC 内，点N AM ∈故N ∈面PAC ，故O ，N ，P ，M 四点共面，所以A 错，点D 若与M ，N 共面，则直线BD 在平面PAC 内，与题目矛盾，故B 错，O ，M 为中点，所以OM PA ∥，ON PA P =，故ON OM O =，故C 错，故选D 。
2.【答案】D【解析】连接1B C 交1BC 于点O ，取AC 中点D ，连接OD ，设12AA AB AC BC ====，三棱柱111ABC A B C −为直三棱柱，∴四边形11BCC B 为矩形，O ∴为1B C 中点，1//DO AB ∴且112DO AB ===又1DC 1112OC BC ==，11cos 4DOC ∴∠==−， ∴异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值为11cos 4DOC ∠=， 故选：D 。
3.【答案】C【解析】因为截面PQMN 是正方形，所以PQ MN ∥、QM PN ∥， 则PQ ACD ∥平面、QM BDA ∥平面，所以PQ AC ∥，QM BD ∥，由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，故A 正确； 由PQ AC ∥可得AC PQMN ∥截面，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确； 综上C 是错误的， 故选C 。
4.【答案】A【解析】如图所示，三棱锥11D B EF −的体积为1 111112·2213323D EF V S B C ==⨯⨯⨯⨯=为定值，①正确； 11EF D C ∥，111B D C ∠是异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒，②正确；若11D B ⊥平面1B EF ，则11D B EF ⊥，而11EF D C ∥故1111D B D C ⊥，而11D B 与11D C 所成角为45︒，③错误；平面1D EF 即为平面11D C CD ，故直线11D B 与平面1D EF 所成的角是为11145C D B ∠=︒，④错误。
高中数学必修四(人教B版)练习：第三章 三角恒等变换3.1.1 Word版含解析
第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365[答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)． 求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析]cos47°＋sin17°sin30°cos17°＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0， 即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角． 又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y[答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎨⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos 2(α－30°)＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834.8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3， 又∵a 与b 的夹角为60°，∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
高中数学必修四同步练习题库：函数y=Asin(wx+φ)的图象(填空题：一般)
函数y=Asin(wx+φ)的图象（填空题：一般）1、（2011年苏州7）已知函数和两图象的对称轴完全相同，则的值为____________2、将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为__________．3、将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则．4、已知函数，，且在区间有最小值，无最大值，则__________．5、关于函数下列结论:①的最小正周期是；②在区间上单调递增；③函数的图象关于点成中心对称图形；④将函数的图象向左平移个单位后与的图象重合；其中成立的结论序号为．6、若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是__________．7、已知函数是奇函数，其中，则下列五个关于函数的图像的命题：①关于点对称②关于直线对称③可由函数的图像向右平移个单位得到④可由函数的图像向左平移个单位得到⑤可由函数的图像向左平移个单位得到其中真命题的序号是__________ (写出所有真命题的序号）.8、函数的图象为，如下结论中正确的是_________.①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.9、已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是______________10、若将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则称为的单位间隔函数，那么的单位间隔函数是_______________.11、将函数的图象沿轴向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则当取最小的值时，__________．12、设函数，先将纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度后得，则的对称中心为________13、已知函数的周期为4，将函数f(x)的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数y＝f(x)在上的值域为________．14、若函数的部分图像如图所示，则表示简谐振动的震动量时，相位为__________．15、已知函数的图象的一个最高点是，最低点的纵坐标为2，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度可以得到的图象，则__________．16、函数的部分图象如图，则函数表达式为_________；若将该函数向左平移 1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍得到函数__________.17、为得到函数的图象,要将函数的图象向右平移至少__________个单位.18、给出下列命题：①定义在上的函数满足，则一定不是上的减函数；②用反证法证明命题“若实数，满足，则都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设都不为0”；③把函数的图象向右平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为；④“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.其中所有正确命题的序号为__________．19、下列4个命题：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；②四边形为长方形，，，为中点，在长方形内随机取一点，取得的点到的距离大于1的概率为；③把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象；④已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为.其中正确的命题有__________．(填上所有正确命题的编号)20、将函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则实数的最小值为________21、某同学对函数进行研究后，得出以下结论：①函数的图像是轴对称图形；②对任意实数，均成立；③函数的图像与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的序号是______．22、某同学对函数进行研究后，得出以下结论：①函数的图像是轴对称图形；②对任意实数，均成立；③函数的图像与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的序号是______．23、将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则的图象关于点__________对称(填坐标)24、给出下列命题：①存在实数，使；②函数是偶函数；③若是第一象限角，且，则；④函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．其中结论正确的序号是______．（把正确的序号都填上）25、函数的部分图像如图所示，则_______．26、若将函数的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是________．27、将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到函数的图象，则的解析式为________．28、要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝cos(x－)的图象向右平移___个单位长度．29、（2015年苏州B15）已知函数（其中，，）的周期为，且图象上有一个最低点为．（1）求的解析式；（2）求函数的单调增区间．30、（2012年苏州12）已知函数,若，且在区间内有最大值，无最小值，则__________．31、（2013年苏州11）如图是函数图象上的一段，则在区间上，使等式成立的的集合为___________.32、（2012年苏州9）如果将函数的图象平移后得到函数的图象，则移动的最小距离为_________．33、（2016年苏州B8）函数且的部分图象，则______.34、（2017年苏州8）函数的单调增区间为___________.35、（2011年苏州B6）函数在 [ 0，] 上的单调减区间是 ____．36、为得到函数的图象，可以把的图象向右平移个单位得到，那么的最小正值是________．37、将函数f(x)＝sin x的图象向右平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为________．38、若动直线与函数的图象分别交于两点，则线段长度的最大值为_________.39、若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是____．40、函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式______．41、已知函数的图象为直线的交点中，相邻两个交点距离的最小值为，且对任意实数恒成立，则=__________.42、已知函数（），是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则__________．43、如图所示，某地一天时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为__________．44、已知函数 (其中),若的图象经过点,则在区间上的单调递增区间为______.45、函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为__________．46、将函数的图象向左平移个单位后，恰好得到函数的的图象，则的最小值为______．47、函数与对称轴完全相同，将图象向右平移个单位得到，则的解析式是_______________。
数学必修四练习题 参考答案
数学必修四练习题（一）参考答案1.D2.C3.D4.D5.A6.B7.A8.B9.C 10.A 11.4 12.向左平移16π个单位 13.-1 14.|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭15.② 16.310 17. (0,9) 18.解：（I ）11.22AE AB BE AB BC a b =+=+=+ 11.22AF AD DF AD AB a b =+=+=+ （II ）设正方形边长为2，由题意知0.a b ⋅=221111()() 4.2222AE AF a b a b a b ⋅=+⋅+=+=|||| 5.AE AF == 4cos ,.5||||AE AF AE AF AE AF ⋅∴== ∴向量,AE AF 夹角的余弦值为4.5 19.（1）511-（2）75 20.解：（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----(cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=- （2）∵31cos()25πα-= ∴ 1sin 5α-= 从而1sin 5α=- 又α为第三象限角∴cos α==，即()f α=21.解：（I ）由题可知，函数()f x 的周期为22ππ⨯=，22πωπ∴==，则()s i n (2)f x x ϕ=+（02πϕ<<） 又2()sin()033f ππϕ=+=，23πϕπ∴+=，.3πϕ=()sin(2).3f x x π∴=+ （II ）当12x π=时，max ()sin(2)1123f x ππ=⋅+= 又函数的周期为π，∴()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又7()1,12f π=- 所以函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦区间上有唯一一个零点， ()f x 在75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且5()06f π=，则函数()f x 在,12b π⎛⎫ ⎪⎝⎭区间上有唯一一个零点，从而b 的最大值为5.6π数学必修四练习题（二）参考答案一．选择题：BCCAB DDBAC二．填空题：11、（-6，19）。
数学必修四练习题(四)
数学必修四练习题（四） 一、 选择题1、sin3000的值等于（ ）A.12 B. 122、已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（ ）A ． 2B . 3 C. 5 D. 10 3、已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则nm等于( ) A ．21-； B ．21； C ．2-； D ．2； 4、式子sin2cos3tan4的值（ ）A 小于0B 大于0C 等于0D 不存在5、在△ABC 中，D 是AB 上一点，若λλ则且,31,2CB CA CD DB AD +===（ ）A ．32B ．31C ．－31D ．－326、若α是第四象限角，则πα-是第（ ）象限角A 一B 二C 三D 四7、已知ABC ∆的三个顶点分别是），（），，（），，（y C B A 124231-，重心)1,(-x G ，则y x 、的值分别是( )A ．5,2==y xB ．25,1-==y xC ．1,1-==y xD ．25,2-==y x8、若角α的终边落在直线x +y =0上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ） A 2 B 2- C 2-或2 D 09、已知函数()2cos xx f =,则下列等式中成立的是（ ）A ．()()x f x f =-π2B ．()()x f x f =+π2C ．()()x f x f =-D ．()()x f x f -=-10、已知D 、E 、F 分别是△AB C 的边BC 、CA 、AB 的中点，且=a ，=b ，=c ,则下列各式：①21=c -21b ②=a +21b ③21-=a +21b ④++=0其中正确的等式的个数为( )A.1B.2C.3D.4 二、填空题11、设θ分别是第二象限角，则点)cos ,(sin θθP 落在第_________象限12、函数y=f(x) 的图象上每个点的纵坐标保持不变, 将横坐标伸长到原来的2倍, 然后再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位, 得到的曲线与y=21sinx 的图象相同, 则y=f(x) 的函数表达式是_________;13、已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2a i j =- ，b i j λ=+ 且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是14、已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论:①直线OC 与直线BA 平行; ②;AB BC CA +=③;OA OC OB +=④2.AC OB OA =- 其中正确结论的个数是 三、解答题15、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式（其中πϕπω<<->>,0,0A ）16、已知).1,2(),0,1(==b a 求①|3|b a +； ②当k 为何实数时,k -a b 与b a3+平行？平行时它们是同向还是反向？17、已知2tan =x ，求xx x x sin cos sin cos -++sin 2x 的值18、已知O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及.OP OA t AB =+.试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．19、已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),O 为坐标原点.设AB =a, BC =b, CA =c 且CM =3c, CN =-2b(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .数学必修四练习题（四）参考答案一、选择题 1-6 DCAAA 6-10 ADDCC 二、填空题11、四 12、)22sin(21π-=x y 13、21->λ 14、 3个三、解答题15、y=3sin （2x+3π） 16、①58② k=31- ，反向 17、511-18、解：(1)∵O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，∴OA =(1,2),AB=(3,3), OP OA t AB =+=(1+3t,2+3t).若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，解得t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t <02＋3t >0，解得－23<t <－13.(2)∵OA ＝(1,2)，PB ＝PO ＋OB ＝(3－3t,3－3t )， 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA ＝PB ，而⎩⎨⎧3－3t ＝13－3t ＝2无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．19、解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)， ∴⎩⎨⎧－6m ＋n ＝5－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1n ＝－1。
2012年全国高考数学试题必修四精选练习一
2012年高考数学精选练习一（必修四）一、选择题1．（2012年高考（重庆文））sin 47sin17cos30cos17-（ ）A ．2-B ．12-C ．12 D ．22 ．（2012年高考（浙江文））把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是 （ ）3 ．（2012年高考（天津文））在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,设点,P Q 满足,(1),A P A B A Q A C R λλλ==-∈ .若2BQ CP ⋅=-,则λ= （ ）A ．13B ．23C43D ．24 ．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ= （ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π45．（2012年高考（浙江文））设a,b 是两个非零向量. （ ）A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a ⊥bB ．若a ⊥b,则|a+b|=|a|-|b |C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD ．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|6．（2012年高考（大纲文））ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a = ,CA b = ,0a b ⋅= ,||1a = ,||2b =,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b -C ．3355a b -D ．4455a b -二、填空题7．（2012年高考（大纲文））当函数sin (02)y x x x π=≤<取最大值时,x =____. 8．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.9．（2012年高考（上海文））在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||CD BC =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ . 10．（2012年高考（湖南文））如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP =且AP AC= _____.三、解答题：11．（2012年高考（湖南文））已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.12．（2012年高考（陕西文））函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.。
高中数学必修四同步练习题库：两角和差的正弦、余弦和正切公式(简答题：容易)
两角和差的正弦、余弦和正切公式（简答题：容易）1、.已知,求的值2、已知为锐角，，，求的值.3、中，若，且为锐角，求角．4、求证：－2cos(α＋β)＝.5、已知在中，为中点，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.6、在中，角所对边分别为的面积为6.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.7、函数的最大值为，它的最小正周期为. （1）求函数的解析式；（2）若，求在区间上的最大值和最小值.8、已知分别是的内角所对的边，.（1）证明：；（2）若,求.9、（2015秋•淮南期末）=（）A．1B．2C．3D．410、已知，求的值11、已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.12、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)13、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边，两个锐角,的终边分别与单位圆相交于A,B 两点．（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）若角的终边与单位圆交于点，设角的正弦线分别为，试问：以作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由.14、已知15、已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(2)若的三个内角满足,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断的形状.17、已知为锐角，且求.18、（本小题满分12分）已知，写出用表示的关系等式，并证明这个关系等式．19、如图，有三个并排放在一起的正方形，.（1）求的度数；（2）求函数的最大值及取得最大值时候的x值。
20、（本小题12分）已知0<a<p，；(1)求的值；（2）求的值；21、求值： .22、（本题满分14分）在中，分别是所对的边，已知,，三角形的面积为，（1）求C的大小；（2）求的值．23、已知，（1）求的值；（2）求角.24、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)25、化简（1）（2）26、已知，求下列各式的值：（1）（2）27、已知均为锐角，求的值。
人教版高二必修四数学第二章平面向量试题
以下是为⼤家整理的关于《⼈教版⾼⼆必修四数学第⼆章平⾯向量试题》的⽂章，供⼤家学习参考！第四部分练习与试卷2.1 平⾯向量的概念及其线性运算（练习）【练习⽬标】1、理解平⾯向量和向量相等的含义，理解向量的⼏何表⽰；2、掌握向量加、减法的运算，并理解其⼏何意义；3、掌握向量数乘的运算，并理解其⼏何意义，以及两个向量共线的含义；4、了解向量线性运算的性质及其⼏何意义。
【⾃我测试】1、下列命题中（1）与⽅向相同（2）与⽅向相反（3）与有相等的模（4）若与垂直其中真命题的个数是 ( )A、0B、1C、2D、32、已知AD、BE是 ABC的边BC、AC上的中线，且，，则为 ( )A、 B、 C、 D、3、O是平⾯上⼀定点，A、B、C是平⾯上不共线的三个点，动点P满⾜，则P的轨迹⼀定经过 ABC的( )A、外⼼B、内⼼C、垂⼼D、重⼼4、若⾮零向量、满⾜| + |=| — |，则与所成⾓的⼤⼩为_________________。
5、已知点M是 ABC的重⼼，若，求的值。
6、 ABC的外接圆的圆⼼为O，两条边上的⾼的交点为H，，求实数的值。
2.2 平⾯向量的坐标运算【练习⽬标】1、知识与技能：了解平⾯向量的基本定理及其意义、掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰；理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件。
2、能⼒⽬标：会⽤坐标表⽰平⾯向量的加、减与数乘运算；3、情感⽬标：通过对平⾯向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学⽣的转化能⼒。
【⾃我测试】1、下列命题正确的是（）A、 B、C、 D、2、已知正⽅形ABCD的边长为1，，则 = （）A、0B、3C、D、3、已知，则共线的条件是（）A、 B、 C、 D、或4、如图，在中D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则（）A、 B、 C、 D、5、若，则实数p、q的值为（）A、 B、 C、 D、6、已知A、B、C是坐标平⾯上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则是（）A、等腰三⾓形B、等腰直⾓三⾓形C、直⾓三⾓形D、以上都不对2.3 平⾯向量的数量积及其运算【学习⽬标】1．知识与技能：（1）理解向量数量积的定义与性质；（2）理解⼀个向量在另⼀个向量上的投影的定义；（3）掌握向量数量积的运算律；（4）理解两个向量的夹⾓定义；【⾃我测试】1、已知，，和的夹⾓为，则为（）A． B． C． D．2、已知向量，，若，则（）A． B． C． D．3、在△ABC中，a,b,c分别为三个内⾓A,B,C所对的边，设向量，若 ,则⾓A的⼤⼩为（）A. B. C. D.4、设是任意的⾮零平⾯向量，且它们相互不共线，下列命题：①②③不与垂直④其中正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④5、若向量与的夹⾓为，，则向量的模为（）A. B. C. D.6、为锐⾓三⾓形的充要条件是（）A． B．C． D．7、设是两个⾮零向量，是在的⽅向上的投影，⽽是在的⽅向上的投影，若与的夹⾓为钝⾓，则（）A． B． C． D．8、在中，若且，则的形状是（）A．等边三⾓形 B．直⾓三⾓形 C．等腰⾮等边三⾓形 D．三边均不相等的三⾓形9、若，则与的夹⾓为； = ．10、已知， ,如果与的夹⾓为锐⾓,则的取值范围是11、 = 时，与垂直12、设向量其中，则的值是．13、已知向量与的夹⾓为，，则 = ．14、已知，⑴求与的夹⾓；⑵求；⑶若，，求的⾯积．15、已知向量且．⑴求及；⑵若的最⼩值是，求的值．2.4平⾯向量的应⽤【学习⽬标】1.经历⽤向量⽅法解决某些简单的平⾯⼏何问题、⼒学问题与其他⼀些实际问题的过程，体会向量是⼀种处理⼏何问题、物理问题等的⼯具，发展运算能⼒2.运⽤向量的有关知识对物理中的问题进⾏相关分析和计算，并在这个过程中培养学⽣探究问题和解决问题的能⼒1．在△ABC中，AB=a，AC=b，当a•b ＜0时，△ABC为（）Ａ．直⾓三⾓形Ｂ．锐⾓三⾓形Ｃ．钝⾓三⾓形Ｄ．等腰三⾓形2．若向量a、b、c满⾜a +b+c=0，|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a b+b c+c a等于（）Ａ． 11 Ｂ． 12 Ｃ． 13 Ｄ． 143．已知点，则∠BAC 的余弦值为．4．已知，且a 与b的夹⾓为钝⾓，则x的取值范围是．5．的顶点为，重⼼．求：（1）边上的中线长；（2）边上的⾼的长．6．已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．7．已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．8、已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．9、已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．平⾯向量测试卷命题⼈：蓝承⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题4分，共32分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1、设向量，，则下列结论中正确的是（）A、 B、C、与垂直D、∥2、在平⾏四边形ABCD中，AC为⼀条对⾓线，若， ,则（）A．（3，5） B．（2，4） C、（－2，－4） D．（－3，－5）3、义平⾯向量之间的⼀种运算“ ”如下，对任意的，，令，下⾯说法错误的是（）A.若与共线，则B.C.对任意的，有D.4、已知向量a,b满⾜a•b＝0，|a|=1，|b|=2，则|2a－b|＝（）A、8B、4C、2D、05、在中，，．若点满⾜，则（）A． B． C． D．6、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（）A、8B、4C、 2D、17、中，点在上，平⽅．若，，，，则（）A、 B、 C、 D 、8、已知和点满⾜ .若存在实数使得成⽴，则 =（）A． 2 B. 3 C. 4 D. 5⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．9、如图，在中，，，则 = 。
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数学必修四练习高考题 The following text is amended on 12 November 2020.2018年数学必修四练习——精选高考题每个高中生都有一个共同的目标——高考，每一次考试都在为高考蓄力，考向，要求也与高考一致。
本练习全部来源于2016、2017年高考真题，无论是备战期末考还是寒假提升，都是能力的拔高。
一、选择题1、设函数，其中.若且的最小正周期大于，则（A）（B）（C）（D）2、设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（A），（B），（C），（D），3、函数的最小正周期为（A）（B）（C）（D）4、已知,则（A）（B）（C）（D）5、设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（）、①和②均为真命题、①和②均为假命题、①为真命题，②为假命题、①为假命题，②为真命题6、设函数，则的最小正周期A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关7、函数y=sin x2的图象是（）8、已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）9、已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，则的最大值是(A) (B) (C) (D)10、为了得到函数y=sin的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点(A)向左平行移动个单位长度 (B) 向右平行移动个单位长度(C) 向上平行移动个单位长度 (D) 向下平行移动个单位长度二、填空题11、在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为 .12、在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．13、在中，，，.若，，且，则的值为___________.14、已知向量a=（2,6）,b= ,若,则 .15、在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.16、函数的最大值为 .17、方程在区间上的解为___________18、若函数的最大值为5，则常数______.19、已知向量a、b, ｜a｜=1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是．20、已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．三、简答题21、在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.（I）f(x)的最小正周期；（II）求证：当时，．23、设.（I）求得单调递增区间；（II）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f(x)在区间[]上的单调性.25、已知函数f（x）=2sin ωx cosωx+cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.26、设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=.高一资料介绍高一上期中考部分—2018学年高一第一学期期中质量检测（物理）—2018学年高一第一学期期中质量检测（语文）—2018学年高一第一学期期中质量检测（数学）两份—2018学年高一第一学期期中质量检测（化学）物理部分1.高一物理运动学综合练习--基础2.高一物理运动学综合练习--提升3.高一物理牛顿定律综合练习--基础4.高一物理牛顿定律综合练习--提升数学部分年数学必修二专项练习年数学必修三专项练习年数学必修四专项练习年数学必修一能力提高卷年数学必修一练习——精选高考题年数学必修四练习——精选高考题高一上期末考部分—2018学年高一第一学期期末质量检测（语文）—2018学年高一第一学期期末质量检测（数学）必修一二—2018学年高一第一学期期末质量检测（数学）必修一三—2018学年高一第一学期期末质量检测（数学）必修一四5..2017—2018学年高一第一学期期末质量检测（英语）—2018学年高一第一学期期末质量检测（物理）—2018学年高一第一学期期末质量检测（化学）—2018学年高一第一学期期末质量检测（生物）—2018学年高一第一学期期末质量检测（历史）—2018学年高一第一学期期末质量检测（政治）—2018学年高一第一学期期末质量检测（地理）参考答案一、选择题1、【考点】三角函数的性质【名师点睛】本题考查了的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：当时，，满足题意，，不合题意，B选项错误；，不合题意，C选项错误；，满足题意；当时，，满足题意；，不合题意，D选项错误.本题选择A选项.2、【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.3、C【解析】试题分析：因为,所以其最小正周期,故选C.【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.③对于形如的函数,一般先把其化为的形式再求周期.4、D【解析】试题分析：由得,故选D.【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．5、D【解析】试题分析：因为必为周期为的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定.选D.函数性质考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.6、B7、D【解析】试题分析：因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称，排除A、C选项；当，即时，，排除B选项，故选D.考点：三角函数图象.8、D考点：解简单三角方程9、B考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.10、A【解析】试题分析：由题意，为得到函数，只需把函数的图像上所有点向左移个单位，故选A. 考点：三角函数图像的平移.二、填空题11、【解析】试题分析： ,则.【考点】1.平面向量基本定理；2.向量数量积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.12、【解析】试题分析：与关于轴对称，则，所以【考点】诱导公式【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于轴对称，则，若与关于轴对称，则，若与关于原点对称，则，13、【解析】 ,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.14、【解析】试题分析：由可得【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.15、【解析】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，，这样. 【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于轴对称，则，若与关于轴对称，则，若与关于原点对称，则.16、【解析】17、【解析】试题分析：化简得：，所以，解得或（舍去），所以在区间[0，2π]上的解为.考点：二倍角公式及三角函数求值.18、【解析】试题分析：，其中，故函数的最大值为，由已知，，解得.考点：三角函数的图象和性质.19、【解析】，即最大值为20、【解析】，所以三、简答题21、（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故.【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式22、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为，根据公式求周期；（Ⅱ）当时，先求的范围再求函数的最小值.23、（）的单调递增区间是（或）（）由得所以，的单调递增区间是（或）考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数的图象和性质.24、【解析】．(Ⅰ)定义域,（Ⅱ），，设，∵在时单调递减，在时单调递增由解得，由解得∴函数在上单调增，在上单调减25、26、-2由已知得：∴，解得．。