欧氏几何的公理化方法A

公理的自明性 公理化体系所依赖的“演绎推理”规则
公理化方法的目标：形成一个演绎的科 学体系
公理的选取必须符合：
相容性 独立性 完备性
公理化思想方法的作用
(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性
异同。 (3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。 (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
公理化方法的发展经历了以下几个时期
1、直观公理化时期 2、思辨性的公理化时期 3、形式主义的公理化时期 4、结构主义的公理化时期
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之 不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。 有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明 他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简 他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他 人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已”——徐光启
5）四个量形成第一个量与第二个量 之比以及第三个量与第四个量之比，我 们说这两个比是相同的：如果取第一、 第三两个量的任何相同的倍数，取第二、 第四两个量的任何相同的倍数后，从头 两个量的倍数之间大于、等于、或小于 可以推出后两个量的倍数之间的相应关 系。
命 题 1 任 意 多 个 量 ， 分 别 是 同 样 多 个 量 的 相 同 倍 数 ， 那 么 不 管 那 些 个 量 的 倍 数 是 多 少 ， 它 们 的 总 起 来 也 有 那 么 倍 数 。
垂直于上下底边。
萨开里作了如下三个互不相容的假设。
第三章 欧氏几何与公理化方法
欧氏几何的公理化方法
一、公理化思想方法的内涵与价值 二、直观公理化时期——《几何原本》 三、思辨性的公理化时期——非欧几何 四 、 形 式 主 义 的 公 理 化 时 期 —— 希 尔 伯 特 的
《几何基础》 五 、 结 构 主 义 的 公 理 化 时 期 —— 布 尔 巴 基 的
两方面的研究
一方面增加或改换公理
另一方面是试证第五公设
第V公设的试证
萨开里四边形
如图四边形ABCD中∠ A、 ∠B均为直角， AD＝BC。AB、CD分别叫它的上底边和下底 边，∠ A 、∠ B叫下底角， ∠ C 、∠ D叫上 底角。
D
N
C
A
M
B
有1） ∠ C ＝∠ D 2）上底边中点和下底边中点连线
即
m (abc )m am bm c。
第 六 卷 ： 33个 命 题 包 含 平 行 截 定 理 论 、 三 角 形 的 平 分 角 线 定 理 、 相 似 三 角 形 定 理 、 比 例 线 段 的 作 图 等 。
第七～九卷：数论初步
第十卷：讨论不可公度量的分类，包 括与整数的开方有关的几何运算。
第四卷：16个命题 包含圆的内接和外多边形的性质及 正5、6边形的作图等。 第五卷：25个命题 内容为欧道克斯的比例论
欧道克斯的比例论 18个定义。
如 定义 1）小的量能量尽大的量时，小的量为 大的量的部分。
2）大的量能被小的量尽时，大的量为小的 量的倍数。
3）比是两个同类量的大小之间的一种关系。 4）可比的两个量，如果一个量的倍数大于 另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了 比。
第十一～十三卷：立体几何，分别由 40、18、19个命题组成。包含直线与平面 的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积 之比及正多面体等
三、思辨性的公理化时期—— 非欧几何
《原本》的成就：
集古代数学之大成，论证严密，影响深远， 是2000千年来公认的第一部科学巨著。其中作 了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。
《几何原本》的主要内容
共13卷 第一卷：提出23个定义、5条公设、 理开始，接 着用 48个命题讨论了关于直线和由直 线构成的平面图形。
1）点是无大小的； 2）线是有长度而无宽度的； 3）线的界线是点； 4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样
《数学原本》 六、张景中公理几何体系 五、中学数学教材中的公理系统
一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是“公理”？ 公理 ：在一个系统中已为反复的实
践所证实而被 认为不需要证明的真理， 是可以作为证明中的理论依据。
什么是“公理化方法”？
公理化方法：从某些基本概念和基 本命题出发，依据特定的演绎规则，推 导是系列定理，从而构成一个演绎系统 的方法。
放置着的； 5）面只有长度和宽度； 6）面的界线是线； 7）平面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的； 8）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度；… …
公设
Ⅰ.从任意点到另一点可以作直线 Ⅱ. 一条直线可以无限延长 Ⅲ.以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周 IV.凡直角都相等 V. 平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两
内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截 线的这一侧。
公理
Ⅰ.等于同一量的量彼此相等； Ⅱ.等量加等量，其和仍相等； Ⅲ.等量减等量，其差仍相等； IV.互相合同的就是相等的； V. 全量大于部分。
欧几里得证明方法思路清晰，整个证明 建立在严密的公理化基础上，使几何学成 为 了真正的科学
《几何原本》中的命题有两种类型
一种是根据假设、公设、公理和定义利 用逻辑推理得出结论
另一类是作图题，由已知的对象找出或 作出所求对象。
第二卷：14个命题
包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。
第三卷：37个命题
包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论 及圆幂定理等。
命题16
在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆 外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间， 而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐 角。
《原本》的不足： 《原本》的逻辑体系是不严密、不完备的
1、缺少连续公理 2、缺少合同公理 3、缺少顺序公理
《原本》对一些基本元素（原始概念），如点、 线、面等进行定义，这是不可能的。
《原本》中的公理体系作为几何学的 逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样 修改、补充分理、定义才能使几何学成 为逻辑上完美无缺的科学？