《初等几何研究》作业
精品《初等几何研究》练习题
《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是：。
3、第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是。
4、欧氏平行公理是：。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是。
10、解作图问题的常用方法有：、、、等。
11、数学公理系统的三个基本问题是性、性和性.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的，否则称A、B在a的 .13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了原理.15、罗氏平行公理是： .16、在罗氏几何中，共面的两条直线有种关系，它们分别是17、几何证明的通用方法一般有法、法、法、法、法、法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有的关系.19、尺规可作图的充要条件是 .20．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性和性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论.23．绝对几何包括有组公理，它们分别是 .24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： .25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 .26、．常用的几何变换有等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 .28．请写出两条作图公法： .29．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。
初等几何研究答案
《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。
3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。
4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。
11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.33．①答案不惟一.34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.36． ①1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性和可加性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则1=⋅⋅ZBAZYACYXCBX（或－1）.28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。
初等几何研究综合测试题(二)
《初等几何研究》综合测试题（二）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD ，证明AB D ≌EBC 时，应用的方法是_______。
A. AAS ；B.SAS ；C.SSS ；D.定义。
2.已知：三角形的两边长为2和7，第三边的数值是奇数，那么 这个三角形的周长是__________。
A.14；B.15；C.16；D.17.3.判定四边形是正方形的条件是________-。
A.对角线相等；B.对角线相等且互相垂直；C.对角线互相垂直平分； D ．对角线相等且互相垂直平分。
4.有一个多边形的内角和是外角和的122倍，则边数是__________。
A.14；B.7；C.21；D.10.5.在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。
A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
6.圆的弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是__________。
A.30°；B.60°；C.150°；D.30°或150°.7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。
8.下列关于平移的说法中正确的是___________。
A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.互补两角有一条公共边，则这两个角的平分线所组成的角一定是直角。
（ ）2.有一边对应相等的两个等腰直角三角形全等。
（ ）3.任意两个等腰三角形都相似。
（ ）4.同角的余角都相等。
初等几何研究习题解集123
初等几何研究习题解集
习题一（12页）
2.利用外角定理证明：
2.证明：同一直线两条直线不可能相交。
证：设a l ⊥,b l ⊥,1290∠=∠=︒若a b C =，对ABC 而言，由外角定理可知12∠<∠，这与12∠=∠相矛盾。
,a b 不能相交。
证毕.
4.证明：圆外切四边形一双对边之和等于另一双对边之和叙述并证明逆定理。
证：设四边形ABCD 外切于o 切点为E,F,G,H
AB+CD=AE+EB+CG+GD
=AH+BF+FC+HD =(AH+HD)+(BF+FC)=AD+BC。
证毕.
逆定理：若四边形一双对边之和等于另一双对边之和，则此四边形必有内切圆; 证：设四边形ABCD 中:AB+CD=BC+AD 我们总可以作圆O 切四边形ABCD 的三边AB,AD,DC,于
E,H,G :
若o 与BC 边不相切,过C 作o 的切线CF(F 为切点).交AB 与N 在四边形ANCD 中,由原定理有,AN+CD= +AD 由已知AB+CD=BC+AD 两式相减AB-AN= BC- BN A,B,N 在同一直线上 ∴BN=BC-NC
这与ABN 中BN>BC-NC 相矛盾,因此N 与B 必重合. 即BC 切o 于F 证毕. 21
l B A C b a
B A
N
A
习题二（18页）
1.证明：两院相交点不能在连心线同一侧;
证:若o与I的交点AB在连心线的同一侧,由于两圆关于轴I对称,那么点A关于I对称点N也是I与o德交点,这样相交圆有三个交点,其交点不能在连心线的同一
侧. 证毕.。
初等几何研究习题2(李长明版)
汕头职业技术学院初等几何研究习题课数学教育（师范类）1. I是△ABC的内心，AI、BI、CI的延长线分别交△ABC的外接圆于D、E、F求证：EF⊥AD。
D AB C EFI 五、关于平行与垂直2. A、B、C、D在圆周上相继的四点，P、Q、R、S分别是弧AB、BC、、CD、DA的中点，求证：PR⊥QS。
ACBP QDRS3. 凸四边形ABCD的每条对角线皆平分它的面积，求证：ABCD是平行四边形。
A BDC4. 已知：△BCX 和△DAY 是□ABCD 外的等边三角形，E 、F 、G 、H 是YA 、AB 、XC 、CD 的中点。
求证：EFGH 是平行四边形。
ABXD C YE F GH5. 在△ABC的各边上向外作正方形BCDE、CAFG、ABHI，其中心依次为O1、O2、O3求证：AO1⊥O2O3。
AO1O2BCO36. 在正方形ABCD 内任取一点E ，连接AE 、BE ，在△ABE 外以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和EBFG ，连NC 、AF 。
求证：NC∥AF 。
A BCD E MNFG7. 以□ABCD的对角线AC为一边的两侧各作一个正三角形ACP、ACQ。
求证：BPDQ是□。
ABPDCQ8. 已知：凸五边形的四条边平行于所对的对角线。
求证：第五边也平行于所对的对角线。
CA B DE9.在△ABC中，∠B≠90°，BC边的垂直平分线交AB于D，△ABC的外接圆在A、C两点之切线交于E.求证：DE∥BC.AD EB C10.P 是正方形ABCD 的边CD 上的一点,过D 作AP 的垂线分别交AP 、BC 于Q 、R ，O 是正方形的中心.求证:OP ⊥OR.ABCDOPR12. 给定正方形ABCD ，P 、Q 分别人为AB 、BC 上的点，满足BP=BQ ，自B 作BH ⊥PC 于H ，求证:∠DHQ=900.ABCDO PHQ13. 在△ABC中，AB=AC，O为外心，D为AB的中点，E是△ACD的重心。
初等几何研究试题
初等几何研究试题一、选择题 （5分⨯4=20分）1. 如图,CD EF AB ||||,已知20=AB ,,80=CD 100=BC 那么，EF 的值是____. A. 10, B.12, C.16, D.20第1题图 第2题图 2. 如图,在ABC ∆中,P 是AC 上的点,取BP 的中点Q ,连结CQ 并延长与AB 交于D ,则ABP S ∆与ACD S ∆的关系是_____.A. ABP ACD S S ∆∆<B. ABP ACD S S ∆∆=C. ABP ACD S S ∆∆>D. 不能确定.3. 如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，o A 45=∠，那么，FBCE AEF S S :=______.A 1:1B 2:1C 3:1D 4:1第3题图 第4题图4. 如图，ABCD 是面积为1的正方形，PCB ∆是正三角形，PBD ∆的面积为_____.A.213- B. 8132- C. 43D. 413-二、填空题 （5分⨯4=20分）1．如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则BFD S =_____.第1题图 第2题图 2．如图,AB 是圆O 直径，4=AB ，弦3=BC ，ABC ∠的平分线交半圆于D ,BC AD ,的延长线交于E ,DCE ABCD S S :=______.3．已知圆O 是ABC ∆的外接圆，半径为r ,CO BO AO ,,分别交对边于F E D ,,, 则：CF BE AD 111++=______.(用r 表示)4．ABC ∆的三条高分别为c b a h h h ,,,又ABC ∆内任一点P 到三边距离分别为c b a p p p ,,，则=++c c b b a a h p h p h p ______.三、证明题(12分⨯5=60分)1. 在ABC ∆中，过点A 作直线BC l ||，B ∠的平分线交AC 于D ,交直线l 于E ,C ∠的平分线交AB 于F ,交直线l 于G ,且FG DE =,求证: ABC ∆是等腰三角形.2．M是以AB为直径的上不同于BA、的任一点，C是直径AB上的定点，过M作CM 垂直的直线交过处BD、,求证：A、的切线于E（1）ED,成等比数列；BM,EC（2）BEAD⋅是定值.3．三条中线把ABC∆分成6个三角形，若这6个三角开的内切圆中有4个相等，求ABC∆是正三角形.4．从等腰ABC ∆的底边AC 上的中点M 作BC 边的垂线MH ，点P 为线段MH 的中点，求证：BP AH ⊥.5．已知： ABC ∆内接于圆O ，N M L ,,分别是弧AB CA BC ,,的中点，连结LM NM ,分别交BC AB ,于E D ,；I 是ABC ∆的内心，求证： (1)BC DE ||;(2)IE DI DE +=.。
初等几何A卷
《初等几何研究》考试A 卷一、单项选择题（本题共5个小题,每小题2分，共10分） 1.条件:||p x x =,条件2:q x x ≥-,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“若 ab=0,则a=0或b=0”的逆否命题是( )A. 若a=0或b=0,则ab=0B.若0ab ≠,则0a ≠或0b ≠C.若 0a ≠或0b ≠,则0ab ≠D. 若 0a ≠且0b ≠,则0ab ≠3.在空间中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一条直线的两直线平行;(2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;(3)有三个角是直角的四边形是矩形;(4)自一点向一条已知直线引垂线有且仅有一条。
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.A B C ∆的顶点与一点O 所连的直线依次交对边所在直线于点X,Y,Z,则( ) A.1X BYCZ AX C YA Z B = B. 1B XC YA ZX C YA Z B =-C.1X BYCZ AX C YA Z B =- 或1B XC YA ZX C YA Z B = D.以上都不对5.两个正数之和为常数,则其乘积当两变数相等时为( )A.最小B.最大C.最小或最大D.不能达到最小或最大二、填空题（本题共10个小题,每小题2分，共20分）1、 称为绝对几何命题。
2、三角形任一顶点到垂心的距离 外心到对边的距离。
3、三角形中，大边上的角平分线较4、直角三角形中，斜边与其上的高之和 两条直线边之和。
5、三角形外接圆周上任一点在三边（所在直线）上的射影6、“凡直角皆相等”的否命题为 。
7、不能经有限次数使用直尺和圆规完成作图的问题称为 。
8、设直线12//a a ,则关于12,a a 的两个轴反射的乘积是一个 。
9、在作图题中,可以先作成图形的一个三角形从而奠定了全部图形的基础,这种作图法称为 。
10、设三角形两角的平分线相等,则此三角形必为 。
初等几何研究综合测试题(三)
《初等几何研究》综合测试题（三）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。
A.一定全等；B.一定不全等；C.可能全等，可能不全等；D.以上都不是。
2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。
A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
3.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 相交于点O ， 则图中面积相等的三角形共有___________。
A.1对；B.2对；C.3对；D.4对。
4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。
A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
5.如图，在 ABC 中，DE//BC ，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC 等于________。
A ．3:5； B ．3:2; C ．2:3；D ．2:5。
6.⊙O 中，AB 、CD 是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm ，CD=48cm ，AB 、CD 的距离为22cm ，则⊙O 的半径是__________。
A.15cm ；B.20cm ；C.25cm ；D.30cm 。
7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。
8.下列关于平移的说法中正确的是___________。
A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；二、 判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.角的大小与边的长短有关。
（ ）2.一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。
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《初等几何研究》作业
一．填空题
1．对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作 .
2．第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是 .
3．罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是 .
4．合同变换包括变换、变换和变换。
5．锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是 .
6．解作图问题的常用方法有：、、、等.
7．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性和性.
8．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论.
9．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： .
10．几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法.
11．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 .
12．请写出两条作图公法： .
13．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。
14．命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由公理保证的。
15．写出一条与罗氏平行公理等价的命题：。
16．不过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。
17．梅内劳斯定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截于X、Y、Z点，则X、Y、Z共线的充要条件是。
18．解作图问题的步骤一般分为：、、、、。
19．数学公理系统的三个基本问题是 性、 性和 性. 20．常用的几何变换有 等. 21．罗氏平行公理是： .
22．几何计算证明法一般有 法、 法、 法、 法、
法、 法等.
23．等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有 的关系 .
24．尺规可作图的充要条件是 .
25.由公理可以证明，线段的合同关系具有 性、 性、 性和 性. 26.如果线段与角对应，那么线段的中点与角的 对应.
27.命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是 定理的推论.28.绝对几何包括有 组公理，它们分别是 .
29.写一条与欧氏平行公理等价的命题： . 30.在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 . 二．问答题
1．在数学公理系统中，模型指的是什么？ 2．定义线段长度的两个条件是什么？
3．以下四个命题：“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形，它们相似但不合同”、“同一平面上，一条直线的垂线与其斜线必相交”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？
4．欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义. 5．公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？ 6．由欧几里得《几何原本》中的第五公设引出了什么问题？产生了什么结果？ 7．原始关系概念“结合”的通常说法有哪些？
8．在欧氏几何公理系统中，线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的？ 9．在绝对几何公理系统中，命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否？若有问题，问题出在哪一步？为什么？
在⊿ABC 中，过A 作AD 交BC 于D ，如图所示。
设⊿ABC 的内角和为x ，用ω表示直角， 则∠1+∠3+∠5=x ，∠2+∠4+∠6=x ； ∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x ， 即x +2ω= 2x ，因此x =2ω，得证。
10．巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性？
11．第三组公理一共有几条？这组公理的名称与我们以前熟悉的哪些概念有关？
A B
C
D
1 2
3 4 5
6
12．定义两个线段的大、小关系用到了哪些关系？
13.欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义. 14.数学公理系统的三个基本问题是什么？其含义分别是什么？ 15.公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？
三．轨迹问题
1.若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线.
2. 到两定点A 、B 的距离之比为正实数m （m ≠1）之点的轨迹是一个圆.
3. ⊿ABC 的底边BC 固定,∠A=α是定角，延长BA 至D ，使BD=BA+AC ，求D 点的轨迹．（只作分析，并指出轨迹的图形即可）
4.到两定点A 、B 的距离之比为正实数m （m ≠1）之点的轨迹是一个圆.
四．作图问题
1．给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得∠APX=∠BPY. （只写作图过程并证明）
2．从已知圆外一点作一割线，使其圆外部分和圆内部分长度相等.（只写作图过程并讨论） 3已知直线x 、y 平行，其外侧各有一点A 、B x （如图），求作从A 到B 的最短路线，其中在x 、y
之间的一段要求与x 垂直。
（只写作图过程并证明） y
4．给定锐角三角形ABC ，求作其内接正方形，使其两个相邻顶点在BC 边上，另两个顶点分别在AB 和AC 边上。
（只写作图过程）
5．求作一圆，使该圆过两定点，并与一定直线相切.（只写作图过程） 6.给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得AP+BP 距离最短. （只写作图过程并证明）
X
Y
B
A
A
B
X
Y
B
A
五. 证明题
1．证明线段的合同关系满足反身性和对称性. 2．已知正方形ABCD ，作BF ∥AC ，
使AF=AC ，（如右图）， 则3∠CAF=2∠CAB.
3．利用前两组公理证明定理7：对于A 、C 两点, 直线AC 上至少有一点B 在A 、C 之间. 4．在⊿ABC 边AB 的同侧
作三个正方形ACEF 、 CBGH 、BAIJ （如右图）， 求证：FJ ∥AG ， 且FJ=AG.
5．利用第一组公理和第二组公理的前三条，证明每条直线上至少有5个不同的点。
6．已知⊿ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C = 4∶2∶1，求证：
7．用同一法证明命题：已知P 为正方形ABCD 内一点，若∠PAB=∠PBA=15o
，则⊿PCD 是等边三角形. 8．过圆中AB 弦的中点M 任作两弦CD 、EF ，设CF 、DE 与AB 分别交于P 、Q ，求证：PM=MQ. 9.利用前两组公理证明定理7：对于A 、C 两点,直线AC 上至少有一点B 在A 、C 之间.
F
D
C
H
I
J
A
B
C
F
G
.1
11c
b a =+。