欧氏几何的公理化方法 PPT
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欧氏几何的原理和应用
欧氏几何的原理和应用1. 欧氏几何的概述欧氏几何，是指由希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中所提出的一套基本原理和公理，被广泛应用于平面和空间的几何学中。
它以点、直线和平面为基础，通过定义距离、角度等几何概念，建立了一套完整的几何理论体系。
2. 欧氏几何的基本原理和公理欧氏几何的基本原理和公理包括以下几个方面：•公理1：点线度量公理。
欧氏几何中，可以用长度表示的线段具有可加性，即两个线段的长度之和等于这两个线段连在一起的线段的长度。
•公理2：等距传递性公理。
如果两个线段等距，且一个线段和另一个线段等距，则这两个线段之间的所有线段都等距。
•公理3：等角传递性公理。
如果两个角等对顶角，且一个角和另一个角等对顶角，则这两个角之间的所有角都等对顶角。
•公理4：一致性公理。
如果点A在线段BC上，点B在线段CD上，则点A、B、C、D四个点在同一条直线上。
3. 欧氏几何的应用欧氏几何的原理和公理在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：3.1 建筑设计在建筑设计中，欧氏几何的原理和公理被用于确定建筑物的尺寸和布局。
设计师根据欧氏几何的原理进行空间规划，确保建筑物的各个部分符合几何比例和美学原则。
例如，在设计一座居住建筑时，设计师可以利用欧氏几何的原理来确定房间的大小、窗户的位置等，让整个空间更加协调和谐。
3.2 测量和地理学欧氏几何的原理被广泛应用于测量和地理学领域。
地理学家和测量工程师使用欧氏几何的原理来确定地球表面上的距离、角度和面积。
他们通过测量线段长度、角度大小等来绘制地图，并计算出地图上不同地点之间的距离和位置关系。
3.3 计算机图形学欧氏几何在计算机图形学中也扮演着重要的角色。
计算机图形学是一门研究如何利用计算机来生成、处理和显示图像的学科。
在三维计算机图形学中，欧氏几何的原理被用来计算和描述三维空间中的物体和场景。
例如，在计算机游戏开发中，设计师可以利用欧氏几何的原理来实现物体的运动、相机的视角变换等效果。
欧氏几何的公理化方法A
异同。 (3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。 (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn 公理化思想方法的作用
(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之 不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。 有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明 他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简 他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他 人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已”——徐光启
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn 公理化思想方法的作用
(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之 不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。 有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明 他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简 他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他 人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已”——徐光启
第七章欧氏几何的公理体系简介
第七章欧氏几何的公理体系简介§7.1欧氏几何的公理体系简介一、希尔伯特的公理体系简介1、原始概念点、直线、平面是几何研究的基本对象，属于不加定义的基本元素；“在……上”（属于、通过都是它的同义语）、“在……之间”、：“合同”及“连续”等是不加定义的原始概念。
2、欧氏公理公理Ⅰ结合公理（共八条）Ⅰ：至少有一条直线通过已知的两点；1Ⅰ：至多有一条直线通过已知的两点；2这两条公理的二个直接推论是：推论1o：两个不同的点确定唯一直线；推论2o：两条不同的直线至多只有一个交点。
由于这两条推论的表述比较直接，因此通常用作中学教材的公理。
Ⅰ：一条直线上至少有两个点；至少有三点不在同一条直线上；3Ⅰ：至少有一个平面通过已知不共线的三点。
每个平面上至少4有一个点；5Ⅰ：至多有一个平面通过已知不共线的三点。
公理4Ⅰ和公理5Ⅰ也有一条直接推论： 推论：不共线的三点确定唯一平面。
这条推论通常作为中学立体几何教材的第一条公理。
6Ⅰ：如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线上所有点都在这个平面上；7Ⅰ：如果两个平面有一个公共点，那么至少还有另外一个公共点；8Ⅰ：至少存在四个点不在同一个平面上。
在八条结合公理中，如果只是建立平面几何，可以去掉后面的五条。
公理Ⅱ 顺序公理（共四条）1Ⅱ：如果B 介于点A 和点C 之间，则A 、B 、C 是一条直线上的三个不同点，并且B 也介于C 、A 之间。
2Ⅱ：对于任意两点A 、B ，直线AB 上至少有一点C ，使B 介于A 、C 之间；3Ⅱ：一条直线上的任意三点，至多有一点介于其余两点之间；4Ⅱ：（巴士公理）设A 、B 、C 是不共线的三点，直线a 在平面ABC 内，但不过A 、B 、C 中任何一点，如果a 上有一点介于A 、B 之间，那么a 上也必有另一点介于A 、C 或B 、C 之间；顺序公理用来规定直线上点的相互关系。
公理Ⅲ 合同公理（共五条）1Ⅲ：设AB 是给定线段，X A ''是从A '点出发的射线，则在X A ''上有且仅有一点B '，使得AB B A =''，对于每条线段AB ，都有BA AB =。
欧氏几何的公理体系与中国平面几何的历史PPT(35张)
在全书的开头列出的5个公设和五个公理如下。 相等。 等量减等量，其差相等。 彼此能重合的物体是全等的。 整体大于部分。
公设适用于几何部分：
由任意一点到任意（另）一点可作直线。 一条有限直线可以继续延长。 以任意点为心及任意距离可以画圆。 凡直角都相等。 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角
傅先生曾亲自编写了平面几何教科书，于二，三十年代在北京师
大附中讲授，使听他讲课的学生受益匪浅。其中钱学森，段学复， 闵嗣鹤，熊全淹等人在新中国成立后成为数学界，物理学界的栋 梁。
1958年，江泽涵教授的中译本《几何基础》由科学出版社出 版，这是根据第七版的俄译本和1956年第八版的一些补充译成 的。 文革后，征得了江泽涵教授的同意，朱鼎勋教授根据德文 第十二版， 对1958年的中译本进行增补， 修订， 于1987年出 了《几何基础》中译本第二版。 下述引文均出自该版。《几何
第三类是合同公理，（或全等公理）。 1. 设A和B是一直线a 上的两点, A’是这直线或另一直线 a’上的一点， 而且给定了 直线a’上A’的一侧。则在a’ 上点A’的这一侧， 恒有一点 B’, 使得线段AB和线段A’B’合同或相等. 记作AB=A’B’. 2. 若 A’ B’ = AB, 且A’’B’’=AB, 则A’B’=A’’B’’. 3. 关于两条线段的相加。 4. 关于角的合同，（或相等）。 5. 若 两个三角形△ABC 和△A’ B’C’ 有下列合同式：AB=A’B’， AC=A’C’，∠BAC=∠B’A’C’，则也恒有合同式 ∠ABC=∠A’B’C’，且∠ACB=∠A’C’B’. （此处没有提 BC=B'C'，故有别于三角形全等的判定边角边）。
《几何原本》列出了五条公理与五条公设，并在各章的开头 给出了一系列定义，然后根据这些定义，公理和公设推导出了 465个数学命题，（按照目前通行的希思英译本《Euclid’s Elements》13卷计算, 该书的中译本于1990年出版），其系统之 严谨，推理之严密，令人叹为观止。
几何学：第五公设——公理化方法
再由简到繁，由易到难地证明一系列命题；首次用公理化方法 建立数学知识逻辑演绎体系，成为后世西方数学的典范。
公理：1．等于同量（thing）的量彼此相等。 2．等量加等量，其和相等。 3．等量减等量，其差相等。 4．彼此能重合的物体（thing）是全等的。 5．整体大于部分。
公设：1．由任意一点到任意一点可作直线。 2．一条有限直线可以继续延长。 3．以任意点为心任意距离可以画圆。 4．凡直角都相等。 5．平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某侧的
十部著作：《原本》，《数据》，《二次曲线》， 《辩伪术》，《论剖分》，《衍论》，《曲面轨迹》， 《光学》，《镜面反射》，《现象》。
二．《原本》：（Elements ）
版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本， 1350年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本， 1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本， 1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。
两个内角和小于二直角，则这二直线延长后在该侧相交。
• 第五公设——从欧几里得到兰伯特 用现代数学公理化方法的标准来衡量，《原本》的公理
体系存在严重缺陷。例如： 《原本》第1卷 命题16：在任意三角形中，若延长一边，
则外角大于任何一个内对角。
鉴于此，有人把第 5 公设也作为一个缺陷，试图用其他 公理，公设或定理证明它，以至将它取消。
设直线 a 不通过不在一条直线上的三点A，B，C ，当 a 与
AB 相交时；a 与 AC 或 BC 相交，二者必居其一。 引理：
1°任意 ABC的两个内角和小于 ． 2°对于 ABC的B，DBC，能使(ABC )= (DBC)， 且存在一个内角 (1/2)B.
公理：1．等于同量（thing）的量彼此相等。 2．等量加等量，其和相等。 3．等量减等量，其差相等。 4．彼此能重合的物体（thing）是全等的。 5．整体大于部分。
公设：1．由任意一点到任意一点可作直线。 2．一条有限直线可以继续延长。 3．以任意点为心任意距离可以画圆。 4．凡直角都相等。 5．平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某侧的
十部著作：《原本》，《数据》，《二次曲线》， 《辩伪术》，《论剖分》，《衍论》，《曲面轨迹》， 《光学》，《镜面反射》，《现象》。
二．《原本》：（Elements ）
版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本， 1350年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本， 1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本， 1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。
两个内角和小于二直角，则这二直线延长后在该侧相交。
• 第五公设——从欧几里得到兰伯特 用现代数学公理化方法的标准来衡量，《原本》的公理
体系存在严重缺陷。例如： 《原本》第1卷 命题16：在任意三角形中，若延长一边，
则外角大于任何一个内对角。
鉴于此，有人把第 5 公设也作为一个缺陷，试图用其他 公理，公设或定理证明它，以至将它取消。
设直线 a 不通过不在一条直线上的三点A，B，C ，当 a 与
AB 相交时；a 与 AC 或 BC 相交，二者必居其一。 引理：
1°任意 ABC的两个内角和小于 ． 2°对于 ABC的B，DBC，能使(ABC )= (DBC)， 且存在一个内角 (1/2)B.
《欧几里得几何学》课件
公理一
任意两点A和B可以确定一条且仅有一 条直线。
02
公理二
给定一条直线，可以找到一个且仅有 一个点，使得该点到这条直线的距离 为零。
01
公理五
通过给定直线外的一个点，有且仅有 一条与给定直线平行的直线。
05
03
公理三
通过给定的一点和不在给定直线上的 另一点，可以确定一条且仅有一条与 给定直线不同的直线。
黎曼几何学
以球面几何为基础，挑战欧几里得几何学的平坦空间假设。
弯曲空间理论
挑战欧几里得几何学的直线和圆的概念，提出空间可以弯曲。
欧几里得几何学在现代科技中的应用前景
建筑学
01
利用欧几里得几何学原理设计建筑结构和外观。
工程学
02
在机械、航空、船舶等领域，利用欧几里得几何学进行精确设
计和制造。
计算机图形学
数学教育
欧几里得几何学是数学教育中的重 要组成部分，对于培养学生的逻辑 思维和空间想象力具有重要意义。
欧几里得几何学与其他几何学的关系
非欧几里得几何
与欧几里得几何学相对，非欧几里得 几何学包括球面几何、双曲几何等， 它们在空间定义和公理体系上与欧几 里得几何有所不同。
解析几何
解析几何通过引入坐标系和代数方法 来研究几何问题，它与欧几里得几何 学相互补充，共同构成了现代几何学 的基础。
《欧几里得几何学》ppt课件
目录
• 欧几里得几何学简介 • 欧几里得几何学的基本假设 • 欧几里得几何学的基本定理 • 欧几里得几何学的推论与证明 • 欧几里得几何学的实际应用 • 欧几里得几何学的未来发展与挑战
01
欧几里得几何学简介
定义与起源
定义
欧几里得几何学，也称为欧式几 何，是基于古希腊数学家欧几里 得的几何体系，它研究的是平面 和三维空间的几何结构。
欧拉公式PPT课件
信号处理
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
20欧氏几何的公理体系
第二十讲 欧式几何的公理体系与非欧几何 20.1 欧氏几何的公理体系 20.2 非欧几何简介
初 等 数 学 专 题 研 究
20.1 欧氏几何的公理体系 一、欧氏公理体系中的原始概念 1、不加定义的基本元素：点，直线，平面 2、不加定义的基本关系：“在之上”（同义语为 属于、通过）；“在之间”；“合同”； 二、欧氏公理体系中的结合公理Ⅰ（一共8条） Ⅰ1：过两点恒有一线 Ⅰ2：过两点至多有一线 Ⅰ3：一线上至少含两点；至少有三点不共线。 Ⅰ4：过不共线三点恒有一平面；每个平面至少含一点。 Ⅰ5：过不共线三点至多有一平面。 Ⅰ6：有一线有两点在一个平面上，整条直线都在平面上。 Ⅰ7：两平面有一个公共点，则至少还有另一个公共点。 Ⅰ8：至少有四点不共面。
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理III（五条，合同记作≡）
α O Y X O1 X1
初 等
β
Y1
III5：A,B,C是不共线三点,A1,B1,C1也不共线,若AB =A1B1且 AC = A1C1,并且∠BAC = ∠B1A1C1,那么∠ABC = ∠A1B1C1.
A A1
a A
初 等 数 学 专 题 研 究
这条公理又 叫巴士公理
C
B
四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III1：A,B是直线a上两点，C是直线b上点，给定b上C的一侧， 那么在b上的这一侧，恒有一点D，使得AB≡CD,因线段端点 未分先后，所以也有AB≡DC.
a A B C D b
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III2：若AB≡CD且EF≡CD，那么AB≡EF（传递性）
初 等 数 学 专 题 研 究
初 等 数 学 专 题 研 究
20.1 欧氏几何的公理体系 一、欧氏公理体系中的原始概念 1、不加定义的基本元素：点，直线，平面 2、不加定义的基本关系：“在之上”（同义语为 属于、通过）；“在之间”；“合同”； 二、欧氏公理体系中的结合公理Ⅰ（一共8条） Ⅰ1：过两点恒有一线 Ⅰ2：过两点至多有一线 Ⅰ3：一线上至少含两点；至少有三点不共线。 Ⅰ4：过不共线三点恒有一平面；每个平面至少含一点。 Ⅰ5：过不共线三点至多有一平面。 Ⅰ6：有一线有两点在一个平面上，整条直线都在平面上。 Ⅰ7：两平面有一个公共点，则至少还有另一个公共点。 Ⅰ8：至少有四点不共面。
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理III（五条，合同记作≡）
α O Y X O1 X1
初 等
β
Y1
III5：A,B,C是不共线三点,A1,B1,C1也不共线,若AB =A1B1且 AC = A1C1,并且∠BAC = ∠B1A1C1,那么∠ABC = ∠A1B1C1.
A A1
a A
初 等 数 学 专 题 研 究
这条公理又 叫巴士公理
C
B
四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III1：A,B是直线a上两点，C是直线b上点，给定b上C的一侧， 那么在b上的这一侧，恒有一点D，使得AB≡CD,因线段端点 未分先后，所以也有AB≡DC.
a A B C D b
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III2：若AB≡CD且EF≡CD，那么AB≡EF（传递性）
初 等 数 学 专 题 研 究
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欧氏几何的公理化方法
欧氏几何的公理化方法
一、公理化思想方法的内涵与价值 二、直观公理化时期——《几何原本》 三、思辨性的公理化时期——非欧几何 四 、 形 式 主 义 的 公 理 化 时 期 —— 希 尔 伯 特 的
《几何基础》 五 、 结 构 主 义 的 公 理 化 时 期 —— 布 尔 巴 基 的
《原本》的不足： 《原本》的逻辑体系是不严密、不完备的
1、缺少连续公理 2、缺少合同公理 3、缺少顺序公理
《原本》对一些基本元素（原始概念），如点、 线、面等进行定义，这是不可能的。
《原本》中的公理体系作为几何学的 逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样 修改、补充分理、定义才能使几何学成 为逻辑上完美无缺的科学？
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
公理化方法的发展经历了以下几个时期
1、直观公理化时期 2、思辨性的公理化时期 3、形式主义的公理化时期 4、结构主义的公理化时期
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之 不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。 有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明 他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简 他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他 人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已”——徐光启
公理的自明性 公理化体系所依赖的“演绎推理”规则
公理化方法的目标：形成一个演绎的科 学体系
公理的选取必须符合：
相容性 独立性 完备性
公理化思想方法的作用
(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性
异同。 (3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。 (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性
内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截 线的这一侧。
公理
Ⅰ.等于同一量的量彼此相等； Ⅱ.等量加等量，其和仍相等； Ⅲ.等量减等量，其差仍相等； IV.互相合同的就是相等的； V. 全量大于部分。
欧几里得证明方法思路清晰，整个证明 建立在严密的公理化基础上，使几何学成 为 了真正的科学
《几何原本》中的命题有两种类型
5）四个量形成第一个量与第二个量 之比以及第三个量与第四个量之比，我 们说这两个比是相同的：如果取第一、 第三两个量的任何相同的倍数，取第二、 第四两个量的任何相同的倍数后，从头 两个量的倍数之间大于、等于、或小于 可以推出后两个量的倍数之间的相应关 系。
命 题 1 任 意 多 个 量 ， 分 别 是 同 样 多 个 量 的 相 同 倍 数 ， 那 么 不 管 那 些 个 量 的 倍 数 是 多 少 ， 它 们 的 总 起 来 也 有 那 么 倍 数 。
第四卷：16个命题 包含圆的内接和外多边形的性质及 正5、6边形的作图等。 第五卷：25个命题 内容为欧道克斯的比例论
欧道克斯的比例论 18个定义。
如 定义 1）小的量能量尽大的量时，小的量为 大的量的部分。
2）大的量能被小的量尽时，大的量为小的 量的倍数。
3）比是两个同类量的大小之间的一种关系。 4）可比的两个量，如果一个量的倍数大于 另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了 比。
一种是根据假设、公设、公理和定义利 用逻辑推理得出结论
另一类是作图题，由已知的对象找出或 作出所求对象。
第二卷：14个命题
包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。
第三卷：37个命题
包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论 及圆幂定理等。
命题16
在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆 外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间， 而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐 角。
放置着的； 5）面只有长度和宽度； 6）面的界线是线； 7）平面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的； 8）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度；… …
公设
Ⅰ.从任意点到另一点可以作直线 Ⅱ. 一条直线可以无限延长 Ⅲ.以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周 IV.凡直角都相等 V. 平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两
第十一～十三卷：立体几何，分别由 40、18、19个命题组成。包含直线与平面 的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积 之比及正多面体等
三、思辨性的公理化时期—— 非欧几何
《原本》的成就：
集古代数学之大成，论证严密，影响深远， 是2000千年来公认的第一部科学巨著。其中作 了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。
两方面的研究
一方面增加或改换公理
另一方面是试证第五公设
第V公设的试证
萨开里四边形
如图四边形ABCD中∠ A、 ∠B均为直角， AD＝BC。AB、CD分别叫它的上底边和下底 边，∠ A 、∠ B叫下底角， ∠ C 、∠ D叫上 底角。
D
N
C
M
B
有1） ∠ C ＝∠ D 2）上底边中点和下底边中点连线
垂直于上下底边。
即
m (abc )m am bm c。
第 六 卷 ： 33个 命 题 包 含 平 行 截 定 理 论 、 三 角 形 的 平 分 角 线 定 理 、 相 似 三 角 形 定 理 、 比 例 线 段 的 作 图 等 。
第七～九卷：数论初步
第十卷：讨论不可公度量的分类，包 括与整数的开方有关的几何运算。
《数学原本》 六、张景中公理几何体系 五、中学数学教材中的公理系统
一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是“公理”？ 公理 ：在一个系统中已为反复的实
践所证实而被 认为不需要证明的真理， 是可以作为证明中的理论依据。
什么是“公理化方法”？
公理化方法：从某些基本概念和基 本命题出发，依据特定的演绎规则，推 导是系列定理，从而构成一个演绎系统 的方法。
《几何原本》的主要内容
共13卷 第一卷：提出23个定义、5条公设、 5条公理、 48个命题 第一卷从定义、公设、公理开始，接 着用 48个命题讨论了关于直线和由直 线构成的平面图形。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安 静
1）点是无大小的； 2）线是有长度而无宽度的； 3）线的界线是点； 4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样
欧氏几何的公理化方法
一、公理化思想方法的内涵与价值 二、直观公理化时期——《几何原本》 三、思辨性的公理化时期——非欧几何 四 、 形 式 主 义 的 公 理 化 时 期 —— 希 尔 伯 特 的
《几何基础》 五 、 结 构 主 义 的 公 理 化 时 期 —— 布 尔 巴 基 的
《原本》的不足： 《原本》的逻辑体系是不严密、不完备的
1、缺少连续公理 2、缺少合同公理 3、缺少顺序公理
《原本》对一些基本元素（原始概念），如点、 线、面等进行定义，这是不可能的。
《原本》中的公理体系作为几何学的 逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样 修改、补充分理、定义才能使几何学成 为逻辑上完美无缺的科学？
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
公理化方法的发展经历了以下几个时期
1、直观公理化时期 2、思辨性的公理化时期 3、形式主义的公理化时期 4、结构主义的公理化时期
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之 不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。 有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明 他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简 他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他 人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已”——徐光启
公理的自明性 公理化体系所依赖的“演绎推理”规则
公理化方法的目标：形成一个演绎的科 学体系
公理的选取必须符合：
相容性 独立性 完备性
公理化思想方法的作用
(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性
异同。 (3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。 (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性
内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截 线的这一侧。
公理
Ⅰ.等于同一量的量彼此相等； Ⅱ.等量加等量，其和仍相等； Ⅲ.等量减等量，其差仍相等； IV.互相合同的就是相等的； V. 全量大于部分。
欧几里得证明方法思路清晰，整个证明 建立在严密的公理化基础上，使几何学成 为 了真正的科学
《几何原本》中的命题有两种类型
5）四个量形成第一个量与第二个量 之比以及第三个量与第四个量之比，我 们说这两个比是相同的：如果取第一、 第三两个量的任何相同的倍数，取第二、 第四两个量的任何相同的倍数后，从头 两个量的倍数之间大于、等于、或小于 可以推出后两个量的倍数之间的相应关 系。
命 题 1 任 意 多 个 量 ， 分 别 是 同 样 多 个 量 的 相 同 倍 数 ， 那 么 不 管 那 些 个 量 的 倍 数 是 多 少 ， 它 们 的 总 起 来 也 有 那 么 倍 数 。
第四卷：16个命题 包含圆的内接和外多边形的性质及 正5、6边形的作图等。 第五卷：25个命题 内容为欧道克斯的比例论
欧道克斯的比例论 18个定义。
如 定义 1）小的量能量尽大的量时，小的量为 大的量的部分。
2）大的量能被小的量尽时，大的量为小的 量的倍数。
3）比是两个同类量的大小之间的一种关系。 4）可比的两个量，如果一个量的倍数大于 另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了 比。
一种是根据假设、公设、公理和定义利 用逻辑推理得出结论
另一类是作图题，由已知的对象找出或 作出所求对象。
第二卷：14个命题
包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。
第三卷：37个命题
包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论 及圆幂定理等。
命题16
在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆 外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间， 而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐 角。
放置着的； 5）面只有长度和宽度； 6）面的界线是线； 7）平面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的； 8）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度；… …
公设
Ⅰ.从任意点到另一点可以作直线 Ⅱ. 一条直线可以无限延长 Ⅲ.以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周 IV.凡直角都相等 V. 平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两
第十一～十三卷：立体几何，分别由 40、18、19个命题组成。包含直线与平面 的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积 之比及正多面体等
三、思辨性的公理化时期—— 非欧几何
《原本》的成就：
集古代数学之大成，论证严密，影响深远， 是2000千年来公认的第一部科学巨著。其中作 了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。
两方面的研究
一方面增加或改换公理
另一方面是试证第五公设
第V公设的试证
萨开里四边形
如图四边形ABCD中∠ A、 ∠B均为直角， AD＝BC。AB、CD分别叫它的上底边和下底 边，∠ A 、∠ B叫下底角， ∠ C 、∠ D叫上 底角。
D
N
C
M
B
有1） ∠ C ＝∠ D 2）上底边中点和下底边中点连线
垂直于上下底边。
即
m (abc )m am bm c。
第 六 卷 ： 33个 命 题 包 含 平 行 截 定 理 论 、 三 角 形 的 平 分 角 线 定 理 、 相 似 三 角 形 定 理 、 比 例 线 段 的 作 图 等 。
第七～九卷：数论初步
第十卷：讨论不可公度量的分类，包 括与整数的开方有关的几何运算。
《数学原本》 六、张景中公理几何体系 五、中学数学教材中的公理系统
一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是“公理”？ 公理 ：在一个系统中已为反复的实
践所证实而被 认为不需要证明的真理， 是可以作为证明中的理论依据。
什么是“公理化方法”？
公理化方法：从某些基本概念和基 本命题出发，依据特定的演绎规则，推 导是系列定理，从而构成一个演绎系统 的方法。
《几何原本》的主要内容
共13卷 第一卷：提出23个定义、5条公设、 5条公理、 48个命题 第一卷从定义、公设、公理开始，接 着用 48个命题讨论了关于直线和由直 线构成的平面图形。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安 静
1）点是无大小的； 2）线是有长度而无宽度的； 3）线的界线是点； 4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样