初等几何研究答案
初等几何研究试题答案(5)
求证：
AO1┴O2 O3
I F
O3 H
A O2 M B G
C
O
E
D
证明：如上图所示
取 AC 中点 M，连结 MO2、CE、AE、HC ∵ BH=AB BC=CE
★撼海一舟★作品,A用户名 fashengzhongD 1
E
· O 2 B C
证明：
连接 CD EA=EC ∠2=∠EAC 又 CD=BD ∠B=∠DCB 又 ∠2=∠B (外角=内对角） △ACE∽△BCD ∠BCD=∠AEC 又∠BDC+∠CDA=180° ∠AEC+∠CDA=180° A、D、C、E 四点共圆 ∠1=∠2 （同弦所对的圆周角） ∠1=∠B
+ = + + +
∴SQ⊥PR 3、凸四边形 ABCD 的每条对角线皆平分它的面积， 求证:ABCD 是平行四边形。
★撼海一舟★作品,A用户名 fashengzhongB
F O E D C
证明：设 AC 和 BD 相交于点 O，作 AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F， 连接 AF，CE ∵对角线 BD 平分四边形 ABCD 的面积 ∴S△ABD＝S△CBD ∴AE=CF 又∵AE⊥BD，CF⊥BD ∴AE∥CF ∴四边形 AECF 为平行四边形 ∴AO=CO 同理可得 BO=DO ∴四边形 ABCD 是平行四边形
12. 给定正方形 ABCD ， P,Q 分别为 AB,BC 上的点，满足 BP=BQ,自 B 作 BH⊥PC 于 H， 求证：∠DHC=90°。 证明：如图 BH 交 AD 于 F ∵BH⊥PC ∴∠PBH=∠BCP
初等几何研究 第十四章几何题的证明
证明：∵ DE∥AC E
CE∥AF
AC=AF
C
B
∴ ACEF 为菱形
F
∴∠FAE=∠EAC=∠FEA 在△ADF 中
D
A
第 5 题图
AF²=AD²+DF²－2AD·DFcos135° AF= 2 AD=1
DF 1 ( 6 2)
∴ cos DFA
3
∠DFA=30°
2
2
∴∠DAF=45°－∠FAC=45°－∠DAF=45°－30°=15°
初等几何研究习题解
《中学数学教材教法》，主编 赵振武 副主编 章士藻 第三分
册 《初等几何研究》习题解答
第十四章 几何题的证明
习题十四
1. 圆内三弦 AB、CD、EF 两两相交于 P、Q、R，且 PC=QE=RA,
PB=QD=RF,求证：△PQR 是正三角形.
证明：如图圆中三弦 AB、CD、EF 两两相交于 P、Q、R，并且 PC=QE=RA，
B
D
C
第 16 题图
∴ BE BD ① AD AC
CF CD ② AC BC
①×②得 BE CF BD CD AD AC AC BC
AD·BD·CD=BE·CF·BC
即
AD3=BC·BE·CF
17. 已知 AM 是△ABC 中 BC 边上中线，任作一直线交 AB、AC、
AM 于 P、Q、N，求证： AB 、 AM 、 AC 成等差数列
tan∠CAD －tan∠B= 1 ( 5 1)﹥0 2
而
∠CAD、∠B∈（0°， 90°） ∴ ∠CAD﹥∠B
16. 在△ABC 中，已知∠A=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥
初等几何研究试题答案(李长明版)
初等几何研究试题答案（I）、线段与角的相等1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O0于F,求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩若DF二CE则 / DBA M CBA.证明:⑴连接AC AE AF、AD在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD由A C、B、E四点共圆得/仁/2由A D B、E四点共圆得/ 3二/4所以△ ACE^A AFD••• DF=CE(2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4v DF=CE• △ACE^A AFD••• AD=AE在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD,2求证:BD平分/ ABC.证明：延长AE,BC交于点F7 AED "BCA =90 ADE "BDC•CBD =/CAF又7 ACF BCA = 90 AC 二BC•ACF 三BCD . AF = BD1 1又、:AE BD . AE AF2 2又ABEE _ BE■ BE平分ABF即BD平分.ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-求证：/ BAC 2 CAD h DAE.证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ©D•••/ DBC=90, • CD 是直径，则/CAD=90证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=.:丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3«••• A B 、D E 共圆同理A C D E 共圆• h BAC h CAD h DAE4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半径由题，可得AH L BC, BH丄AC••• BD// AH, AD// BH二四边形ADBH是□••• AH=BD又;AH等于外接圆的半径（R）• BD=R M CD=2R•••在Rt △ BCD中,CD=2BD即/ BCD=30• / BDC=60又；/ BAC K BDC BAC M BDC=605. 在厶ABC中, / C=90,BE是/B的平分线,CD是斜边上的高，过BE CD之交点0且平行于AB的直线分别交AC BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图；/ 1 = 2 3, / 仁/2. 2二/ 3, • GB = GO,；2 5=2 4=2 6, • CO =CE,；FG// AB,「. AF/CF二B$CG二G0CG,又；△ FCO^COG/. CO7CF=G/CG=A/CF,• CO=AF；CO=CE,\ AF=CE.6. 在厶ABC中,先作角A B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线，并连结它们的交点 D E,若DE// BA,求证：△ ABC等腰.证：如图所示设AG ED的交点为Fv AD是/ A的平分线•••/仁/2T DE// AB 仁/ 3v CE// AD :丄 3二/ 5, / 4二/ 2•/仁/2二/3=Z 4=2 5则厶FAD ffi^ FCE是等腰三角形•A F=DF,EF=CF•A C=DE同理可证BC=DE•A C=BC• △ ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ ABC分成6个三角形，若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证：△ ABC是正三角形.AB D C证明：•/△ AOF △ AOE △ COD △ COE △ BOF △ BOD面积都相等--S A OFE=S A OEC即: 11111 1BF X 叶一FOX 叶BO X r= CEX 叶一OE< 叶一OC X r 2 2 2 2 2 21 12 (BF+FO+BO X r= - (CE+OE+OC X r••• BF+FO+BO二CCE+OE+OC••• CE+OE+OC-OG-OI二CE+OE+OC-OL-OJ• 2DH+2BH=2FK+2CK• 2BF=2CE又F、E分别为AB AC之中点••• AB=AC同理:AB=BC故厶ABC是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中，若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.C证明:又•••△ AOBA BOC、△ CODA DOA四个三角形的面积相等1 1OD DC OC r OB BC OC r2 2CD OC OD 二BC OB OCOD OC DC - OE - OG = OB OC BC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC•四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形证明:连结O i 、O 2,分别作O i 、O 2到AC 的垂线，垂足分别为P 、M•••在厶ABC 中 ,BO 是。
初等几何研究综合测试题(十七)
《《初等几何研究》综合测试题（十七）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1．如果三角形的一个角等于其他两个角的差，则这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形；B ．锐角三角形；Ｃ．直角三角形；Ｄ．钝角三角形．２．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许将火柴棒折断，并完全用完）能摆出不同形状的三角形的个数是（ ） A ．1； B ．2； C ．3； D ．4．３．已知：如图１，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=2，BC=3，则DC 的长度是（ ） A ．38； Ｂ．32； Ｃ．34； Ｄ．35．４．下列各条件中，不能作出惟一三角形的是（ ） Ａ．已知两角和夹边；Ｂ．已知两边和夹角； Ｃ．已知两边和其中一边的对角；Ｄ．已知三边．５．如图２的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）６．已知：如图３，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H ，请判断下列结论： ①BE=DF ；②AG=GH=HC ；③EG=21BG ；④AGE ABE S S ∇∇=．其中正确的结论有（ ）A ．1个；B ．２个；Ｃ．３个； Ｄ．４个．７．某人到瓷砖商店去购买一种正多边形形状的瓷砖铺设地面，他购买的瓷砖形状不可以是（ ） A ．正三角形； Ｂ．正四边形； Ｃ．正六边形； Ｄ．正十二边形．8．如图4，O 是正六边形ABCDEF 的中心， 下列图形中可由△OBC 平移得到的是（ ）A ． △ＯＣＤ；Ｂ．△ＯＡＦ；Ｃ．△ＯＡＢ；Ｄ．△ＯＥＦ图1图2DCBADC二、判断题（对的打“√”，错的打“×”，每小题2分，共10分）1.n 边形外角和等于360°．（ ）2.相等的角一定是对顶角．（ ）3.一个钝角减去一个锐角，所得的差一定是个锐角．（ ）4.两条直线同平行于第三条直线，则这两条直线平行．（ ）5.如果两个相等的角有一条公共边，则另一条边一定在同一条直线上．（ ）三、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分）1．如图5，在R t △ABC 中，CD 是斜边上的中线，CE 是高，已知AB=10cm,DE=2.5cm,则CD=______cm. ∠DCE=________度.2．等腰三角形的腰为5,底为6,P 是底边上任一点,则P 到两腰的距离之和是_________. 3．如图６，梯形纸片ABCD,已知AB//CD,AD=BC,AB=6,CD=3,将该梯形纸片沿对角线AC 折叠,点Ｄ恰与AB 边上的E 点重合,则∠B__________.4．如图７，以△ABC 的AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结BG 、CE ，则 （1）△ABG 与△AEC 的关系是________;（2）若把△AEC 看成是△ABG 绕点A 旋转而得到的，则旋转角是________度.四、计算题（本题共1小题，满分6分）如图8,已知△ABC 三边比为4:5:6,三边中点连线成三角形周长为30cm. 求: △ABC 三边的长.五、证明题（本题共27分）图5E图6BE图7F图8C1..(9)O ABC OA OB AC BC +<+ 设是内任一点，求证：图3请你用所学的知识证明：三角形的内角和等于0180.（用两种方法证明）六、 探究题（本题15分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。
初等几何研究试题答案(3)李长明版
三、关于比例相似形⒈从 ABCD 的各顶向不过该顶的对角线引垂线，垂足为E 、F 、G 、H,求证： (ⅰ)EFGH 是 ; (ⅱ) EFGH ∽ ABCD.证明：（ⅰ） ∵AE ⊥BD DH ⊥AC∴A 、D 、E 、H 四点共圆（视角相等） ∴∠OEH=∠OAD 同理 ∠OGF=∠OCB又∵AD ∥BC ∴∠OAD=∠OCB ∴∠OEH=∠OGF ∴EH ∥GF 同理 EF ∥GHDACBEFGGH∴四边形EFGH 为平行四边形 （ⅱ）∵△OEH ∽△OAD∴.OD OHOA OE = ∴BD FHACEG =EFGH 与 ABCD 对角线夹角相等且对角线又成比例 ∴ EFGH ∽ ABCD 2.3.已知：AD 是△ABC 的中线，过C 的一直线分别交AD 、AB 与E 、F 。
求证：A E ·BF=2AF ·ED证明：延长CF 至点H ，使得CE=EH 连结BH ∵点D 是BC 上的中点 ∴DE 是△CBH 的中位线即D E ∥BH 且DE= 21BH∵DE ∥BH∴∠CED=∠CHB=∠AEF ∠AFE=∠BFH ∴△AFE ∽△BFH ∴BFAFBH AE =,且BH=2ED ∴AE ·BF=2AF ·ED4.直线l 与□ABCD 的边AB 、AD 和对角线AC 依次相交于E 、F 和G 。
求证：AGACAF AD AE AB =+证明：连结BF 、BE 、CF 和CE ， ∵SS SS AEFACF AEFABF AEAB==S S SS AEFACE AEFADE AFAD==∴AGACAG GC AG AFAD AE AB SS SSS SAEFCEFAEFAEFACEACF=+=+=+=+ABC DE F G5.AB 、CD 是等腰梯形ABCD 的二底，求证：DC AB AD AC ∙+=22证明：（如上图）作CD 的延长线到点H ，使得AH 垂直CH作点C 的延长线，使得CP 垂直ABABCP AD AC DH CH CP AD AC AB BP AP DH CH BP DH AP CH CPB AHD CBPDAC APH CB AD CPB AHD DH CH CP AD DH CH DH CH AD DH CH AD CH DH AD CH AH AC ⋅+=+⋅+==+=+==∆≅∆∴∠=∠=∠==∠=∠+⋅+=-++=-+=+-=+=222222222222222 )( 90)( ))(( )( )( 故有又6.AD 是Rt △ABC 斜边上的高,作DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC于F.求证：AD 3=BC ∙BE ∙CFHDCA B证明：∵AD2=BD∙DC,BD2=BE∙BA,CD2=CF∙CA,∴AD4=BE∙CF∙AB∙AC=BE∙CF∙BC∙AD约去AD,得AD3=BC∙BE∙CF7 .在△ABC中，∠A=60°，∠B=80°。
初等几何研究试题答案(4)
。
D B
C
L1
A
E'
E
证明：A.B.C 为 L1 上顺次取的三点，D、E 为 L2 上异于 L1 的两点 。 。 又∵∠AEC=90 , ∠ADB=90 ∴⊿ADB 的外接圆为以 AB 为直径所做的圆，记为⊙O1, ⊿AEC 的外接圆为以 AC 为直径所做的圆, 记为⊙O2. ∴作图可知⊙O1 是⊙O2 中，以 A 为切点的内切圆。 当 L2 向左移动时， 假设 L2 移动后交⊙O1、⊙O2 于点 D’,E’. 过⊙1 的圆心作线段垂直 AB 交⊙O1 于 F,交⊙O2 于 G. （1） 当 D 移至 F 时，AF﹤AD,AG﹤AE. ∵⊙O2 的半径大于⊙O2 的半径 ∴移动相同单位的距离，其所截线段 GF﹤DE ∴⊿ADE 的外接圆半径变小了。 （2） 当 L2 移过 AB 的中点时， 可知 AD﹥AD’,AE﹥AE’, 又∵D’O﹤OD, OE’ 6 证明：棱形 ABCD 两邻边 AB、BC 被其内切圆之任一切线所截的 线段 AM 和 CN 之积为定值。
A E M B F O N G C D
证明：连接 OM、ON（如图） 令∠AOE=∠1,∠EOM=∠2,∠MOF=∠2´,∠FON=∠3,∠NOG=∠3´,∠ GOC=∠1´ ∵A、C 关于点 O 对称 ∴∠1=∠1´ ∵AM、MN 都是⊙O 的切线 ∴∠2=∠2´ ∵NM、NC 都是⊙O 的切线 ∴∠3=∠3´ ∵∠1+∠2+∠2´+∠3+∠3´+∠1´=180° ∴∠1+∠2+∠3=∠1´+∠2´+∠3´=90° ∵∠NOM=∠2´+∠3=90°-∠1,且∠OAM=90°-∠1 ∴∠OAM=∠NOM ∵∠AMO=∠OMN ∠OAM=∠NOM
初等几何研究试题答案(6)李长明版
六、关于共线点与共点线1、证明四边形两双对边中点连线的交点与两对角线之中点共线证明：连接EF.FG.GH.HE.HJ.OJ.OI(如图)∵E.H 分别是AB.AD 的中点， F,G 分别是BC.CD 的中点∴EH =12BD FG=12BD ∵EH ∥FG ∴四边形EFGH 是平行四边形 ∴ OH=OF∵H.J 分别是AD.AC 的中点，F.I 分别是BG.BD 的中点 ∴HJ=12CD IF=12CD ∴HJ ∥IF ∴∠JHO=∠FIO∵∠JHO=∠FIO , HJ=FI,HO=FO ∴△JHO ≅△IFO ∴∠HOJ=∠FOI ∴I.O.J 三点共线∴四边形两双对边中点连线的交点，与两对角线之中点共线2. 已知：E ，F 分别在正方形ABCD 的两边BC,CD 上，是∠EAF=45°，但AC 不是∠EAF 的角平分线，自E,F 作AC 的垂线，垂足分别是P,Q 求证：△BPQ 的外心与B ，C 共线A DCFBEP Q证明： ∵FQ ⊥AC∴∠ABE=∠AQF 又∵∠EAF=45° ∴∠BAE=∠QAF ∴△ABE ∽△AQF 可得AQ AB AFAE同理可得，△AEP ∽△AFD 即AD AP=AFAE∴AQ AB =ABAP利用切割线定理之逆定理，因△BPQ 的外心在BC 上，等价于AB,APQ 是切，割线 ∴△BPQ 的外心在BC 上3.在Rt △AB 为斜边，CH 为斜边上 的高，以AC 为半径作☉A ，过B 作☉A 的任一割线交☉A 于D 、E ，交CH 于F(D 在B 、F 之间),又作∠ABG=∠ABD ，G 在☉A 上，G 与D 在AB 异侧。
求证：（1）A 、H 、D 共圆。
（2）E 、H 、G 共线。
（3）FD 、FE 、BD 、BE 四线段成比例证明：如图所示：连结AE 、AD（1）∵BC 2=BH ·BA(摄影定理） BC 2=BD ·BE(割线定理） ∴BD ·BE=BH ·BA∴A 、H 、D 、E 四点共圆 (2）∵∠ABD=∠ABG∴∠GBH=∠DBH(对称性） 又∵A 、H 、D 、E 四点共圆∴∠FEA=∠DHB(对角等于内对角） ∠AHE=∠EDA （同弧所对的角） 又∵AE=AD ∴∠AEF=∠ADF∴∠AEF=∠DHB=∠GHB=∠ADE=∠AHE ∴∠GHB=∠AHE （对顶角） ∴E 、H 、G 三点共线 (3)∵∠ABD=∠ABG∴由对称知:HB 平分∠DHG(∠GHB=∠DHB) 又∵ CH 垂直AB E 、H 、G 三点共线 ∴HC 平分∠DHE∴HC 、HB 是∠DHE 的内外角平分线 ∴FE DF =HE HD =BEBD4.设P是正方形ABCD内的一点，使PA:PB:PC=1:2:3,将BP 绕B 点朝着BC 旋转90BP 至Q.求证：A 、P 、 Q 共线.证明：连接 CQ ,∵PA:PB:PC= 1:2:3设AP=1 则 BP=2 CP=3 ∵BP 绕B 点朝着BC 旋转90° ∴∠PBQ=90°BP=BQ=2 ①∠BPQ=∠BQP=45°∴PQ =√BP 2+BQ 2=2√2 又∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB=BC ②∴∠ABC=∠PBQ= 90°即∠ABP+∠PBC=∠CBQ +∠PBC=90°∴∠ABP=∠CBQ ③∴△ABP≌△CBQ(由①②③可得到)∴PA=QC=1又∵PQ2+QC2=(2√2)2+12=32=PC2∴∠PQC=90°,∠BQC=∠PQC+∠BQP=90+45°=135°又∵∠APB=180°-45°=135°∴∠BQC=∠APB=135°即A、P、Q共线（∠APB、∠BQP是邻补角）5. 在∆ABC中，D,E,F分别在AB.BC.CA上，使得DE=BE,EF=CE.求证：∆ADF的外心O 在∠DEF的角平分线上。
初等几何研究习题2(李长明版)
汕头职业技术学院初等几何研究习题课数学教育（师范类）1. I是△ABC的内心，AI、BI、CI的延长线分别交△ABC的外接圆于D、E、F求证：EF⊥AD。
D AB C EFI 五、关于平行与垂直2. A、B、C、D在圆周上相继的四点，P、Q、R、S分别是弧AB、BC、、CD、DA的中点，求证：PR⊥QS。
ACBP QDRS3. 凸四边形ABCD的每条对角线皆平分它的面积，求证：ABCD是平行四边形。
A BDC4. 已知：△BCX 和△DAY 是□ABCD 外的等边三角形，E 、F 、G 、H 是YA 、AB 、XC 、CD 的中点。
求证：EFGH 是平行四边形。
ABXD C YE F GH5. 在△ABC的各边上向外作正方形BCDE、CAFG、ABHI，其中心依次为O1、O2、O3求证：AO1⊥O2O3。
AO1O2BCO36. 在正方形ABCD 内任取一点E ，连接AE 、BE ，在△ABE 外以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和EBFG ，连NC 、AF 。
求证：NC∥AF 。
A BCD E MNFG7. 以□ABCD的对角线AC为一边的两侧各作一个正三角形ACP、ACQ。
求证：BPDQ是□。
ABPDCQ8. 已知：凸五边形的四条边平行于所对的对角线。
求证：第五边也平行于所对的对角线。
CA B DE9.在△ABC中，∠B≠90°，BC边的垂直平分线交AB于D，△ABC的外接圆在A、C两点之切线交于E.求证：DE∥BC.AD EB C10.P 是正方形ABCD 的边CD 上的一点,过D 作AP 的垂线分别交AP 、BC 于Q 、R ，O 是正方形的中心.求证:OP ⊥OR.ABCDOPR12. 给定正方形ABCD ，P 、Q 分别人为AB 、BC 上的点，满足BP=BQ ，自B 作BH ⊥PC 于H ，求证:∠DHQ=900.ABCDO PHQ13. 在△ABC中，AB=AC，O为外心，D为AB的中点，E是△ACD的重心。
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《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。
3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。
4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。
11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.33．①答案不惟一.34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.36． ①1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性和可加性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则1=⋅⋅ZBAZYACYXCBX（或－1）.28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。
已知圆心和半径可作一圆(或其部分)..29．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：不共线的三点A、B、C及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。
30．巴士公理：设A、B、C三点不共线，a是A、B、C所在平面上的一条直线，但不通过A、B、C中任一点，若a通过线段AB上一点，则必定也通过BC或CA上一点。
31．命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由 连续 公理保证的。
32．欧氏几何公理系统共有 5 组公理，它们分别是 结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理、平行公理 。
33．写出一条与罗氏平行公理等价的命题： 。
34．罗氏函数的定义域是 （0，+∞） ，值域是 （0，π/2） ，其性质有 连续 和单调递减.。
35．合同变换包括 平移 变换、 旋转变换和 轴对称变换。
36．梅内劳斯定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 被一直线分别截于X 、Y 、Z 点，则X 、Y 、Z 共线的充要条件是 1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1） 。
37．解作图问题的步骤一般分为： 写出已知与求作 、 分析 、 作法 、 证明 、 讨论 。
二、问答题：1、在数学公理系统中，模型指的是什么？对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型； 2、巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性？ 刻划了直线的无限延伸性及三角形的封闭性； 3、定义线段长度的两个条件是什么？ ①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；②当C BA ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC). 4、以下四个命题：“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形，它们相似但不合同”、“同一平面上，一条直线的垂线与其斜线必相交”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。
5、欧氏几何公理系统中，不加定义的原始概念有哪些？对它们为什么不加定义？点，直线，平面；因为一般数学概念都需要用已知概念来定义，所以必须要有不加定义的原始概念. 6、试给第一组公理一个模型.四面体就是第一组公理的一个最简单的模型，其中：“点”对应四面体的顶点，“直线”对应四面体的棱，“平面”对应四面体的面.可以验证，第一组公理中的每条（8条）公理在这个四面体的模型上都成立.7、第三组公理一共有几条？这组公理的名称与我们以前熟悉的哪些概念有关？一共有5条.这组公理的名称“合同”与长度、角度、相等、全等等概念有关.8、定义两个线段的大、小关系用到了哪些关系？介于关系，合同关系.9．欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义.结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等.10．数学公理系统的三个基本问题是什么？其含义分别是什么？相容性，独立性，完备性。
相容性即要求公理之间无矛盾，独立性即要求公理不能有多余的，完备性要求公理的个数足够，保证所有模型都同构.11．公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.12．由欧几里得《几何原本》中的第五公设引出了什么问题？产生了什么结果？由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生.13．原始关系概念“结合”的通常说法有哪些？通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。
14．数学公理系统的三个基本问题中哪个最重要，必须首先满足？相容性最重要，必须首先满足，因为数学公理系统不允许有矛盾。
15．在欧氏几何公理系统中，线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的？线段“合同”的概念是由公理引出来的，线段“长度”的概念是以定义的形式引出来的。
16．在绝对几何公理系统中，命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否？若有问题，问题出在哪一步？为什么？不可以。
问题出在第二步“设⊿ABC的内角和为x”。
设任何三角形的内角和都相等是不对的。
在⊿ABC中，过A作AD交BC于D，如图所示。
设⊿ABC的内角和为x，用ω表示直角，则∠1+∠3+∠5=x ，∠2+∠4+∠6=x ； ∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x ， 即x +2ω= 2x ，因此x =2ω，得证。
三、轨迹问题：1、 若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。
已知：BC 是定线段，l 是过B 点的定直线，A 是l 上的动点，O 是⊿ABC 的外心，MN 是BC 的中垂线，求证：O 的轨迹是MN. (2分)① 完备性：O 是⊿ABC 的外心，则OA=OB=OC. 又∵MN 是BC 的中垂线，∴O 点必在MN 上.②纯粹性：在MN 上任取一点O,作OP ⊥l, 在l 上取点A,使PA=PB, 则OP 是AB 的中垂线. OP 与MN 的交点O 是⊿ABC 的外心， 即MN 上的任意点都符合条件.③结论：由①②可知，⊿ABC 的外心O 的轨迹是BC 的中垂线MN.④讨论：若A 与B 重合, 则⊿ABC 不存在，外心也就不存在. 过B 作l 的垂线交MN 于Q, 虽然Q 点不符合条件，但Q 点周围的任意点都符合条件, 即MN 上除Q 点外都符合条件.2、 ⊿ABC 的底边BC 固定,∠A=α是定角，延长BA 至D ，使BD=BA+AC ，求D 点的轨迹．（只作分析，并指出轨迹的图形即可）2、 探求：A 点轨迹是以BC 为弦的弓形弧，∵∠1=∠2=α/2是定值， ∴D 的轨迹也是以BC 为弦的弓形弧. 但要注意到A 的变化范围：A BCD1 23 4 5 6BPQ NOM AlαAD 1 2 T 3 4当A →B 时，BA 的极限位置是B 处的切线BT ， 这时D →T, AB →0,则BT=B(A)C, ∴∠4=∠BCT=∠3,又∠4=∠1，∴∠3=∠1= α/2 .因此：D 的轨迹是以BC 为弦,视角为α/2的弓形弧的一半CDT 弧, 或者说是以CT 为弦,视角为α的弓形弧.3、 到两定点A 、B 的距离之比为正实数m （m ≠1）之点的轨迹是一个圆.若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。
①探求：设点M 满足条件，即MA:MB=m, 则M 关于AB 的对称点M ’也满足条件； ∵轨迹是一个圆，∴圆心一定在直线AB 上. 又∵AB 上还有两点C,D 满足条件, 即CA:CB=DA:DB=m,∴轨迹应是以CD 为直径的圆.②完备性：即由MA:MB=m 证明M 在CD 为直径的圆上.∵ MA:MB=m=CA:CB=DA:DB, ∴MC,MD 分别为⊿ABM 的内角和外角平分线, ∴MC ⊥MD. (5分)③纯粹性：即对CD 为直径的圆上任一点M 证明MA:MB=m. 作MB 关于MC 的对称线，交AB 于A ’.∵MC ⊥MD, ∴MC, MD 是∠A ’MB 的内、外角平分线， 因此CBDB CDCB DB A C A D DB A D CB A C -=-'-'='='， 由CA:CB=DA:DB=m 可知CBDB CDCB DB CA DA DB DA CB CA -=--==，即CA ’=CA. ABC DM又A ’与A 在C 同侧，∴A ’与A 是同一点，因此得MA:MB=m.④下结论：满足命题条件的点的轨迹, 是以CD 为直径的圆周.⑤讨论: m=1，轨迹是AB 的中垂线；m<1, 圆在左侧； m>1, 圆在右侧.四、作图问题1、给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得∠APX=∠BPY. （只写作图过程并证明）．作法：作A 关于 l 的对称点A ’， 连接A ’B 与 l 交于P ，则P 点就是所求位置。