初等几何研究试题标准答案()(李长明版)

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2018-2019-初等数学研究李长明-推荐word版 (9页)

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本文部分内容来自网络整理,本司不为其真实性负责,如有异议或侵权请及时联系,本司将立即删除!== 本文为word格式,下载后可方便编辑和修改! ==初等数学研究李长明篇一:初等数学研究(李长明周焕山编) p494第7题,p497第3题,p498第9题答案初等数学研究(李长明周焕山编) p494第7题,p497第3题,p498第9题答案7.在直角梯形ABCD中,AB是垂直二底的腰,另一腰切以AB为直径之圆于E,过E作底的平行线交AB于F,求证:AC平分EF.证明: ∠DAB=∠ABC=90°, 圆O以AB为直径, ∴AD,BC均与圆O相切; 又圆O与CD相切于E, ∴AD=ED;EC=BC;又AD∥EF∥BC,∴FG/BC=AF/AB=DE/DC=AD/DC=EG/EC=EG/BC.∴EG=FG .即AC平分EF.3.凸四边形ABCD的每条对角线皆平分它的面积.求证:ABCD是平行四边形证明:作AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,BM⊥AC于M,DN⊥AC于N.BD平分凸四边形ABCD的面积,∴12BD?AE=12BD?CF?AE=CF.又∠AEO=∠CFO=90?,∠AOE=COF(对顶角相等).??AEO??CFO∴AO=CO,同理易证得:BO=DO.?凸四边形ABCD是平行四边形.(对角线互相平分)9.在?ABC中,∠B≠90,BC边的垂直平分线交求证:DE//BC.?AB于D,?ABC的外接圆在A,C两点之切线交于E.证明:连结OA,OC,CD. AE,CE是圆O的切线,∴∠OAE=∠OCE=90?.∴BD=CD.∴∠DBC=∠DCB.2倍),∠BDC=180?-∠DCB-∠DBC.=∠ACE.(同弧弦切角等于圆周角∴∠AOC+∠AEC=180?. DM是BC的垂直平分线又∠AOC=2∠ABC.(同弧圆心角是圆周角的∴∠ACE=∠ADE.(同弧圆周角相等∴∠ADE=∠ABC.∴DE//BC∴∠BDC=180?-2∠DBC=180?-∠AOC=∠AEC.∴A,D,C,E四点共圆.),∠ABC)篇二:初等几何研究试题答案(1)(李长明版)初等几何研究试题答案(I)一、线段与角的相等1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: (1)若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.证明:(1)连接AC、AE、AF、AD在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4所以△ACE≌△AFD∴DF=CE(2)由(1)得∠1=∠2,∠3=∠4∵DF=CE∴△ACE≌△AFD∴AD=AE在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA2. 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O ,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=BD, 求证:BD平分∠ABC.12证明:延长AE,BC交于点F∠AED=∠BCA=90? ∠ADE=∠BDC∴∠CBD=∠CAF又∠ACF=∠BCA=90? AC=BC∴?ACF??BCD∴AF=BD11BD∴AE=AF22又ABEE⊥BE又AE=∴BE平分∠ABF即BD平分∠ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o-2α,求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形且底角是∠CDB=[180o-(180o-2α)]÷2=α. ∴∠BDE=(180°-2α)-α=180o -3α ∴A、B、D、E共圆同理A、C、D、E共圆∴∠BAC=∠CAD=∠DAE4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径. 求证:∠BAC=60o证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、ADC ∵∠DBC=90o, ∴CD是直径,则∠CAD=90o由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC∴BD∥AH, AD∥BH∴四边形ADBH是□ ∴AH=BD又∵AH等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R ∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30o ∴∠BDC=60o又∵∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠BDC=60o5. 在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图∵∠1=∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB = GO, ∵ ∠5=∠4=∠6,∴CO =CE,∵ FG∥AB,∴AF/CF=BG/CG=GO/CG, 又∵△FCO∽△COG,∴CO/CF=GO/CG=AF /CF, ∴CO=AF,∵CO=CE,∴AF=CE.6. 在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰.证:如图所示设AC、ED的交点为F。

初等几何研究试题答案(李长明版)

初等几何研究试题答案(李长明版)

初等几何研究试题答案(I)、线段与角的相等1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O0于F,求证:(1)若2 DBA2 CBA贝卩若DF二CE则 / DBA M CBA.证明:⑴连接AC AE AF、AD在O 0 中,由/ CBA W DBA得AC=AF在O O 中,由/ CBA W DBA得AE=AD由A C、B、E四点共圆得/仁/2由A D B、E四点共圆得/ 3二/4所以△ ACE^A AFD••• DF=CE(2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4v DF=CE• △ACE^A AFD••• AD=AE在O Q 中,由AD=AE^得/ DBA M CBA2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD,2求证:BD平分/ ABC.证明:延长AE,BC交于点F7 AED "BCA =90 ADE "BDC•CBD =/CAF又7 ACF BCA = 90 AC 二BC•ACF 三BCD . AF = BD1 1又、:AE BD . AE AF2 2又ABEE _ BE■ BE平分ABF即BD平分.ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-求证:/ BAC 2 CAD h DAE.证明:过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ©D•••/ DBC=90, • CD 是直径,则/CAD=90证明:连接BD,得△ CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=.:丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3«••• A B 、D E 共圆同理A C D E 共圆• h BAC h CAD h DAE4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心,若AH 等于外接圆的半径由题,可得AH L BC, BH丄AC••• BD// AH, AD// BH二四边形ADBH是□••• AH=BD又;AH等于外接圆的半径(R)• BD=R M CD=2R•••在Rt △ BCD中,CD=2BD即/ BCD=30• / BDC=60又;/ BAC K BDC BAC M BDC=605. 在厶ABC中, / C=90,BE是/B的平分线,CD是斜边上的高,过BE CD之交点0且平行于AB的直线分别交AC BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图;/ 1 = 2 3, / 仁/2. 2二/ 3, • GB = GO,;2 5=2 4=2 6, • CO =CE,;FG// AB,「. AF/CF二B$CG二G0CG,又;△ FCO^COG/. CO7CF=G/CG=A/CF,• CO=AF;CO=CE,\ AF=CE.6. 在厶ABC中,先作角A B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点 D E,若DE// BA,求证:△ ABC等腰.证:如图所示设AG ED的交点为Fv AD是/ A的平分线•••/仁/2T DE// AB 仁/ 3v CE// AD :丄 3二/ 5, / 4二/ 2•/仁/2二/3=Z 4=2 5则厶FAD ffi^ FCE是等腰三角形•A F=DF,EF=CF•A C=DE同理可证BC=DE•A C=BC• △ ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ ABC分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证:△ ABC是正三角形.AB D C证明:•/△ AOF △ AOE △ COD △ COE △ BOF △ BOD面积都相等--S A OFE=S A OEC即: 11111 1BF X 叶一FOX 叶BO X r= CEX 叶一OE< 叶一OC X r 2 2 2 2 2 21 12 (BF+FO+BO X r= - (CE+OE+OC X r••• BF+FO+BO二CCE+OE+OC••• CE+OE+OC-OG-OI二CE+OE+OC-OL-OJ• 2DH+2BH=2FK+2CK• 2BF=2CE又F、E分别为AB AC之中点••• AB=AC同理:AB=BC故厶ABC是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.C证明:又•••△ AOBA BOC、△ CODA DOA四个三角形的面积相等1 1OD DC OC r OB BC OC r2 2CD OC OD 二BC OB OCOD OC DC - OE - OG = OB OC BC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC•四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形证明:连结O i 、O 2,分别作O i 、O 2到AC 的垂线,垂足分别为P 、M•••在厶ABC 中 ,BO 是。

初等几何研究答案

初等几何研究答案

《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a 上任意两点A 、B ,把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线(或半直线),; ,并记作 AB 。

2、在绝对几何中,外角定理的内容是: 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。

3、第四组公理由 两 条公理组成,它们的名称分别是 度量公理(或阿基米德公理)和康托儿公理 。

4、欧氏平行公理是:对任意直线a 及其外一点A ,在a 和A 决定的平面上,至多有一条过A 与a 不相交的直线 。

5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理(或绝对几何) ,不同之处是 平行公理 。

6、几何证明的基本方法,从推理形式上分为 演绎 法与归纳法;从思维方向上分为 综合 法与分析法;从命题结构上分为 直接 证法与间接证法,其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。

7、过反演中心的圆,其反演图形是 不过 (过或不过)反演中心的 直线 。

8、锐角三角形的所有内接三角形中,周长最短的是 垂足三角形。

9、锡瓦定理:设⊿ABC 的三边(所在直线)BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ,则AX 、BY 、CZ 三线共点(包括平行)的充要条件是1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。

10、解作图问题的常用方法有: 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。

11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.33.①答案不惟一.34.①(0,+∞),②,(0,π/2),③连续,④单调递减. 35.①平移,②旋转,③轴对称.36. ①1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX (或-1)37.①写出已知与求作,②分析,③作法,④证明,⑤讨论.12、对于共面的直线a和a外两点A、B,若a与(AB)相交,则称A、B在a的异侧,否则称A、B在a的同侧.13、命题:“过直线外一点,至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时,主要依据了戴德金分割原理.15、罗氏平行公理是:对任意直线a及其外一点A,在a和A决定的平面上,至多有一条过A与a不相交的直线.,16、在罗氏几何中,共面的两条直线有3种关系,它们分别是平行,相交,分散.17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中,最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.20.由公理可以证明,线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性和可加性.21.如果线段与角对应,那么线段的中点与角的角平分线对应.22.命题:“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.23.绝对几何包括有四组公理,它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24.写出一条与欧氏平行公理等价的命题:.25.在罗氏几何中,两条直线为分散线的充要条件是.26、.常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等27.托勒密定理:四边形ABCD是圆内接四边形,则1=⋅⋅ZBAZYACYXCBX(或-1).28.请写出两条作图公法:过两点可作一条直线(或其部分)。

初等几何研究试题答案(3)李长明版

初等几何研究试题答案(3)李长明版

三、关于比例相似形⒈从 ABCD 的各顶向不过该顶的对角线引垂线,垂足为E 、F 、G 、H,求证: (ⅰ)EFGH 是 ; (ⅱ) EFGH ∽ ABCD.证明:(ⅰ) ∵AE ⊥BD DH ⊥AC∴A 、D 、E 、H 四点共圆(视角相等) ∴∠OEH=∠OAD 同理 ∠OGF=∠OCB又∵AD ∥BC ∴∠OAD=∠OCB ∴∠OEH=∠OGF ∴EH ∥GF 同理 EF ∥GHDACBEFGGH∴四边形EFGH 为平行四边形 (ⅱ)∵△OEH ∽△OAD∴.OD OHOA OE = ∴BD FHACEG =EFGH 与 ABCD 对角线夹角相等且对角线又成比例 ∴ EFGH ∽ ABCD 2.3.已知:AD 是△ABC 的中线,过C 的一直线分别交AD 、AB 与E 、F 。

求证:A E ·BF=2AF ·ED证明:延长CF 至点H ,使得CE=EH 连结BH ∵点D 是BC 上的中点 ∴DE 是△CBH 的中位线即D E ∥BH 且DE= 21BH∵DE ∥BH∴∠CED=∠CHB=∠AEF ∠AFE=∠BFH ∴△AFE ∽△BFH ∴BFAFBH AE =,且BH=2ED ∴AE ·BF=2AF ·ED4.直线l 与□ABCD 的边AB 、AD 和对角线AC 依次相交于E 、F 和G 。

求证:AGACAF AD AE AB =+证明:连结BF 、BE 、CF 和CE , ∵SS SS AEFACF AEFABF AEAB==S S SS AEFACE AEFADE AFAD==∴AGACAG GC AG AFAD AE AB SS SSS SAEFCEFAEFAEFACEACF=+=+=+=+ABC DE F G5.AB 、CD 是等腰梯形ABCD 的二底,求证:DC AB AD AC ∙+=22证明:(如上图)作CD 的延长线到点H ,使得AH 垂直CH作点C 的延长线,使得CP 垂直ABABCP AD AC DH CH CP AD AC AB BP AP DH CH BP DH AP CH CPB AHD CBPDAC APH CB AD CPB AHD DH CH CP AD DH CH DH CH AD DH CH AD CH DH AD CH AH AC ⋅+=+⋅+==+=+==∆≅∆∴∠=∠=∠==∠=∠+⋅+=-++=-+=+-=+=222222222222222 )( 90)( ))(( )( )( 故有又6.AD 是Rt △ABC 斜边上的高,作DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC于F.求证:AD 3=BC ∙BE ∙CFHDCA B证明:∵AD2=BD∙DC,BD2=BE∙BA,CD2=CF∙CA,∴AD4=BE∙CF∙AB∙AC=BE∙CF∙BC∙AD约去AD,得AD3=BC∙BE∙CF7 .在△ABC中,∠A=60°,∠B=80°。

初等几何研究试题答案(4)

初等几何研究试题答案(4)
L2 D'

D B
C
L1
A
E'
E
证明:A.B.C 为 L1 上顺次取的三点,D、E 为 L2 上异于 L1 的两点 。 。 又∵∠AEC=90 , ∠ADB=90 ∴⊿ADB 的外接圆为以 AB 为直径所做的圆,记为⊙O1, ⊿AEC 的外接圆为以 AC 为直径所做的圆, 记为⊙O2. ∴作图可知⊙O1 是⊙O2 中,以 A 为切点的内切圆。 当 L2 向左移动时, 假设 L2 移动后交⊙O1、⊙O2 于点 D’,E’. 过⊙1 的圆心作线段垂直 AB 交⊙O1 于 F,交⊙O2 于 G. (1) 当 D 移至 F 时,AF﹤AD,AG﹤AE. ∵⊙O2 的半径大于⊙O2 的半径 ∴移动相同单位的距离,其所截线段 GF﹤DE ∴⊿ADE 的外接圆半径变小了。 (2) 当 L2 移过 AB 的中点时, 可知 AD﹥AD’,AE﹥AE’, 又∵D’O﹤OD, OE’ 6 证明:棱形 ABCD 两邻边 AB、BC 被其内切圆之任一切线所截的 线段 AM 和 CN 之积为定值。
A E M B F O N G C D
证明:连接 OM、ON(如图) 令∠AOE=∠1,∠EOM=∠2,∠MOF=∠2´,∠FON=∠3,∠NOG=∠3´,∠ GOC=∠1´ ∵A、C 关于点 O 对称 ∴∠1=∠1´ ∵AM、MN 都是⊙O 的切线 ∴∠2=∠2´ ∵NM、NC 都是⊙O 的切线 ∴∠3=∠3´ ∵∠1+∠2+∠2´+∠3+∠3´+∠1´=180° ∴∠1+∠2+∠3=∠1´+∠2´+∠3´=90° ∵∠NOM=∠2´+∠3=90°-∠1,且∠OAM=90°-∠1 ∴∠OAM=∠NOM ∵∠AMO=∠OMN ∠OAM=∠NOM

初等几何研究试题

初等几何研究试题

初等几何研究试题一、选择题 (5分⨯4=20分)1. 如图,CD EF AB ||||,已知20=AB ,,80=CD 100=BC 那么,EF 的值是____. A. 10, B.12, C.16, D.20第1题图 第2题图 2. 如图,在ABC ∆中,P 是AC 上的点,取BP 的中点Q ,连结CQ 并延长与AB 交于D ,则ABP S ∆与ACD S ∆的关系是_____.A. ABP ACD S S ∆∆<B. ABP ACD S S ∆∆=C. ABP ACD S S ∆∆>D. 不能确定.3. 如图,在ABC ∆中,BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高,o A 45=∠,那么,FBCE AEF S S :=______.A 1:1B 2:1C 3:1D 4:1第3题图 第4题图4. 如图,ABCD 是面积为1的正方形,PCB ∆是正三角形,PBD ∆的面积为_____.A.213- B. 8132- C. 43D. 413-二、填空题 (5分⨯4=20分)1.如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E 为AD 的中点,P 为CE 的中点,F 为BP 的中点,则BFD S =_____.第1题图 第2题图 2.如图,AB 是圆O 直径,4=AB ,弦3=BC ,ABC ∠的平分线交半圆于D ,BC AD ,的延长线交于E ,DCE ABCD S S :=______.3.已知圆O 是ABC ∆的外接圆,半径为r ,CO BO AO ,,分别交对边于F E D ,,, 则:CF BE AD 111++=______.(用r 表示)4.ABC ∆的三条高分别为c b a h h h ,,,又ABC ∆内任一点P 到三边距离分别为c b a p p p ,,,则=++c c b b a a h p h p h p ______.三、证明题(12分⨯5=60分)1. 在ABC ∆中,过点A 作直线BC l ||,B ∠的平分线交AC 于D ,交直线l 于E ,C ∠的平分线交AB 于F ,交直线l 于G ,且FG DE =,求证: ABC ∆是等腰三角形.2.M是以AB为直径的上不同于BA、的任一点,C是直径AB上的定点,过M作CM 垂直的直线交过处BD、,求证:A、的切线于E(1)ED,成等比数列;BM,EC(2)BEAD⋅是定值.3.三条中线把ABC∆分成6个三角形,若这6个三角开的内切圆中有4个相等,求ABC∆是正三角形.4.从等腰ABC ∆的底边AC 上的中点M 作BC 边的垂线MH ,点P 为线段MH 的中点,求证:BP AH ⊥.5.已知: ABC ∆内接于圆O ,N M L ,,分别是弧AB CA BC ,,的中点,连结LM NM ,分别交BC AB ,于E D ,;I 是ABC ∆的内心,求证: (1)BC DE ||;(2)IE DI DE +=.。

初等数学研究答案

初等数学研究答案

大学数学之初等数学研究,李长明,周焕山版,高等教育出版社 习题一1答:原则:(1)A ⊂B(2)A 的元素间所定义的一些运算或基本关系,在B 中被重新定义。

而且对于A 的元素来说,重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

(3)在A 中不是总能施行的某种运算,在B 中总能施行。

(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。

方式:(1)添加元素法;(2)构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。

a=b ,M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴, 假设bc ac M c =∈,即,则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+=',由归纳公理知M=N ,所以命题对任意自然数c 成立。

(2)若a <b ,则bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即,,由,使得 则ac<bc 。

(3)若a>b ,则ac mc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即,,由,使得 则ac>bc 。

3证明:(1)用反证法:若b a b,a b a <>≠或者,则由三分性知。

当a >b 时,由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时,由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。

则a=b 。

(2)用反证法:若b a b,a b a =>或者,则由三分性知不小于。

当a >b 时,由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时,由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。

则a <b 。

(3)用反证法:若b a b,a b a =<或者,则由三分性知不大于。

当a<b 时,由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时,由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。

初等几何研究参考答案

初等几何研究参考答案

初等几何研究参考答案初等几何是数学中的一门基础学科,它研究的是平面和空间中的点、线、面以及它们之间的关系。

在学习初等几何的过程中,我们经常会遇到各种问题和难题,而参考答案则是我们解决问题的重要工具之一。

本文将探讨初等几何研究中的参考答案,并探讨其在学习过程中的作用和意义。

初等几何的参考答案是指针对具体问题给出的解答或解决方法。

它可以帮助我们验证自己的解答是否正确,也可以作为我们学习的参考和借鉴。

在学习初等几何的过程中,我们经常会遇到一些难题,有时候我们可能会陷入困境,不知道如何下手。

这时,参考答案就可以给我们提供一个思路和解题的方法,帮助我们更好地理解和掌握知识。

参考答案不仅仅是解答问题的工具,它还能够帮助我们培养一些重要的数学思维和解决问题的能力。

在初等几何中,我们需要运用一些基本的几何知识和定理来解决问题,而参考答案则可以帮助我们理清思路,找到解决问题的关键点。

通过参考答案的学习和借鉴,我们可以提高我们的分析和推理能力,培养我们的逻辑思维和数学思维。

然而,我们在使用参考答案的时候也需要注意一些问题。

首先,我们不能完全依赖于参考答案,而应该注重自己的思考和独立解题能力。

参考答案只是给出了一种解答方法,我们需要通过自己的思考来理解和掌握这个方法,并且能够灵活运用到其他类似的问题中。

其次,我们需要对参考答案进行深入的分析和思考,而不仅仅是简单地照搬答案。

通过自己的思考和分析,我们可以更好地理解问题的本质和解题的思路,从而提高我们的数学能力。

在学习初等几何的过程中,我们还可以通过参考答案来进行自我评估和提高。

通过对参考答案的对比和分析,我们可以找出自己解题中存在的问题和不足之处,从而加以改进和提高。

同时,我们还可以通过参考答案来扩展和拓宽我们的数学知识,了解一些更深入的定理和推论。

这样,我们就可以在初等几何的学习中不断进步,提高自己的数学水平。

总之,初等几何的参考答案在我们的学习中起着重要的作用。

它不仅可以帮助我们解决问题,还可以培养我们的数学思维和解决问题的能力。

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初等几何研究试题答案()(李长明版)————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:初等几何研究试题答案(I)一、线段与角的相等1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F,求证: (1)若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;(2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.证明:(1)连接AC、AE、AF、AD在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4所以△ACE≌△AFD∴DF=CE(2)由(1)得∠1=∠2,∠3=∠4∵DF=CE∴△ACE≌△AFD∴AD=AE在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA2. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=12BD, 求证:BD 平分∠ABC.证明:延长AE,BC 交于点FAED BCA 90 ADE BDC CBD CAFACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD11AE BD AE AF22ABEE BE BE ABF BD ABC∠=∠=︒∠=∠∴∠=∠∠=∠=︒=∴∆≅∆∴==∴=⊥∴∠∠Q Q Q Q 又又又平分即平分3. 已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180º-2α,求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形且底角是∠CDB=[180º-(180º-2α)]÷2=α.∴∠BDE=(180°-2α)-α=180º-3α∴A、B、D、E共圆同理A、C、D、E共圆∴∠BAC=∠CAD=∠DAE4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径. 求证:∠BAC=60º证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、ADC∵∠DBC=90º, ∴CD是直径,则∠CAD=90º由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC∴BD∥AH, AD∥BH ∴四边形ADBH是□∴AH=BD又∵AH等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30º∴∠BDC=60º又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠BDC=60º5. 在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图∵∠1=∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB = GO,∵∠5=∠4=∠6,∴CO =CE,∵ FG∥AB,∴AF/CF=BG/CG=GO/CG,又∵△FCO∽△COG,∴CO/CF=GO/CG=AF/CF,∴CO=AF,∵CO=CE,∴AF=CE.6. 在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰.证:如图所示设AC、ED的交点为F∵AD是∠A的平分线∴∠1=∠2∵DE∥AB ∴∠1=∠3∵CE∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5则△FAD和△FCE是等腰三角形∴AF=DF,EF=CF∴AC=DE同理可证BC=DE∴AC=BC∴△ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ABC 分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证:△ABC 是正三角形.r rOF E DBCAHIG LK J证明:∵△AOF 、△AOE 、△COD 、△COE 、△BOF 、△BOD 面积都相等∴S △OFB =S △OEC即:21BF ×r+21FO ×r+21BO ×r=21CE ×r+21OE ×r+21OC ×r 21 (BF+FO+BO)×r=21(CE+OE+OC)×r ∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE又F 、E 分别为AB 、AC 之中点 ∴AB=AC 同理:AB=BC故△ABC 是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等 证明:该四边形为菱形.ABDCEFIHGO证明:又∵△AO B 、△BOC 、△COD 、△DOA 四个三角形的面积相等()()1122OD DC OC r OB BC OC r ∴++⨯=++⨯ CD OC OD BC OB OC ∴++=++ OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG ++--=++-- 2222DF CF BH CH ⇒+=+22DC BC DC BC ⇒=⇒=∴四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 .证明:连结O 1 、O 2,分别作O 1 、O 2到AC 的垂线,垂足分别为P 、M∵在△ABC 中,BO 是☉O 1 、☉O 2的公切线 ∴BO ⊥O 1 O 2又∵☉O 1 、☉O 2半径相同,且都与AC 相切 ∴O 1 O 2‖AC ∴BO ⊥AC BD ⊥AC∵两个相等的内切圆☉O 1 、☉O 3在对顶三角形 △AOB 与△COD 中 ∴周长C △AOB =C △COD∴AO+BO+AB=CO+DO+CD 又∵OP=OQ=OM=ON∴(AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) ∴2AB=2CD ∴AB=CD 同理AD=BC∴四边形ABCD 是平行四边形ABDCP N O 1 O 2 O OO M Q又∵AC ⊥BD∴四边形ABCD 是菱形10. 在锐角△ABC 中,BD,CE 是两高,并自B 作BF ⊥DE 于F,自C 作CG ⊥DE 于G ,证明:EF=DG .证明:设O,M 分别是BC,FG 的中点, 所以OM ∥BF,因为BF ⊥FG , 所以OM ⊥FG , 又因为∠BEC=∠BDC= 90 所以BCDE 四点在以BC 为 直径的圆上, 因为OM ⊥DE, 所以OM 平分ED, 所以FM-EM=MG-MD 即EF=DG.11. △ABC 中,M 是BC 的中点,I 是内心,BC 与内切圆相切与MGO F E DCBAK.求证:直线IM 平分线段AK.I OML KHG FEDCB A证明:作出∠A 的旁切圆O,设它与BC 边和AB,BC 的延长线分别切于D,E,F,(如图)连接AD 交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A 为中点成位似,则:IL ⊥BC,即K,I,L 共线于是原题借中位线可如下转化MI 平分AK, ∴M 平分DK ∴BD=KC后者利用圆I 与圆O 两条外公切线相等 ∴EG=FH∴BD+BK=CD+CK则反推过去,得到IM 平分线段AK.12.在△ABC 中,M 是BC 的中点,I 是内心,A H ⊥BC 于H,AH 交MI于E,求证:AE 与内切圆半径相等.E LK M HG FIBCA证明:如图所示作△ABC 的内切圆,∴切点分别交于BC 于点K 、AB 于点F 、AC 于点G ,连接KL 与AC∴ KL 是直径,又∵M 为BC 的中点,I 为内心,则A L ∥MI 又∵A H ⊥BC ∴A H ∥LK又∵点E 点I 分别都在AH 、LK 上 ∴A E ∥LI∴四边形AEIL 为平行四边形 ∴A E =LI 命题得证.13. 在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P点,记Q为PM与AC的交点,求证:∠QNM=∠MNP证明:利用矩形的中心设O是矩形ABCD的中心,则O也是MN的中点,延长QN交OC的延长线于R,如图,则O 又是PR的中点,故NC平分∠PNR.,而NM⊥NG.∴NM平分∠PNQ14. 给定以O为顶点的角,以及与此角两边相切于A、B的圆周,过A 作OB的平行线交圆于C,连结OC交圆于E,直线AE交OB于K,求证:OK=KB.证明:如图所示,过C 作圆的切线交OB 延长线于D. ∵OD,OA,CD 都是圆的切线,且A C ∥CD ∴四边形ACDO 是等腰梯形,∠DOA=∠D ∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAK ∴∠BOC=∠OAK ∵∠DOA=∠D ∴△AOK ~△ODC ∵21=OD CD ∴21=AO KO ∵OA=OB ∴OB=OA=2KO,即OK=KB15. 在等腰直角∆ABC 的两直角边CA,CB 上取点D 、E 使CD=CE,从C 、D 引AE 得垂线,并延长它们分别交AB 于K 、L,求证:KL=KB.ALK E HEDC B证明:延长AC至E'使CE'=CE,再连BE'交AE的延长线于H.∵∆ABC是等腰直角三角形∴AC=BC ,∠ACB=∠BCE'=90°又∵CE=CE' ∴∆BCE'≌∆ACE∴∠CAE=∠CBE'∵∠AEC=∠BEH ∴∆BHE∽∆ACE∴∠BHE=∠ACB=90°∵DL∥CK∥E'B及DC=CE'∴KL=LB.16. 点M在四边形ABCD内,使得ABMD为平行四边形,试证:若∠CBM=∠CDM,则∠ACD=∠BCM.证:作AN∥BC且AN=BC,连接DN、NC∵ABMD为平行四边形,AN∥BC且AN=BC∴ABCN、DMCN为平行四边形,AD=BM∴DN=CM、AN=BC∴△ADN≌△BMC∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7∵∠1=∠2∴∠3=∠4∴A、C、N、D共圆(视角相等)∴∠5=∠7(同弧AD)∴∠5=∠6即∠ACD=∠BCM1∠BDC,求证:△ABC是等17.已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°-2腰的.证明:延长CD使得BD=DE,并连结AE1∠BDC∵∠ADB=90°-2∴2∠ADB+∠BDC=180°又∠BDC+∠ADB+∠ADE=180°∴∠ADB=∠ADE又∵BD=DE,AD=AD∴△ADB≌△ADE∴∠ABD=∠AED=60°,AB=AE又∵∠ACD =60° ∴△ACE 为正三角形 ∴AC =AE ∴AB =AC∴△ABC 为等腰三角形18.⊙O 1、⊙O 2半径皆为r,⊙O 1平行四边形`过的二顶A 、B,⊙O 2过顶点B 、C,M 是⊙O 1、⊙O 2的另一交点,求证△AMD 的外接圆半径也是r.21OEMDBOOCA证明: 设O 为MB 的终点 连接CO 并延长⊙O 1于E 则由对称知O 为CE 的中点 ∵O 平分MBO 平分CE∴MEBC 是平行四边形∴ ∴ME ∥BC ∥AD∴MEAD 亦是平行四边形 ∴△MAE ≌△AMD∴△AMD 的外接圆半径也为r19. 在凸五边形ABCDE 中,有∠ABC =∠ADE ,∠AEC =∠ADB, 求证:∠BAC =∠DAE.证明:连接BD,CE,设它们相交于F,如图,∵∠AEC=∠ADB. ∴A,E,D,F 四点共圆. ∴∠DAE=∠DFE. 又∠ABC=∠ADE=∠AFE. ∴A,B,C,F 四点共圆. ∴∠BAC=∠BFC. 又∠DFE=∠BFC. ∴∠BAC=∠DAE.20. 在锐角△ABC 中,过各顶点作其外接圆的切线,A 、C 处的两切线分D CBEAF别交B处的切线于M、N,设BD是△ABC的高(D为垂足),求证:BD 平分∠MDN.证明:如上图,m、n分别表示过M、N的切线长,再自M作MM’⊥AC 于M’, 作NN’⊥AC于N’,则有∵∠N=∠B=∠NCN’∴△MAM’∽△NCN’∴AM’/’CN’=AM/CN=m/n又∵MM’∥BD∥NN’∴M’D/DN’=MB/BN=m/n由等比性质知m/n=(M’D-AM’)/(DN’-CN’)=AD/DC∴△ADM∽△CDN∴DM/DN=m/n即DM/m=DN/n∴BD平分∠MDN21.已知:AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:DA、EB、FC是△DEF 的三条角平分线.证明:连结DF、FE、DE∵C F⊥AB AD⊥BC∴B、D、H、F共圆∴∠1=∠3∵AD⊥BC BE⊥AC∴B、D、E、A共圆∴∠2=∠3∴∠2=∠1∴AD平分∠EDF同理,CF平分∠EFDBE平分∠FED即证:DA、EB、FC是△DEF的三条角平分线22.已知AD是△ABC的高,P是AD上任意一点,连结BP-CP,延长交AC 、AB 于E 、F,证DA 平分∠EDF.证:过E 、F 两点分别作EH 、FG ,使EH ⊥BC,FG ⊥BC,且交CF 、BE 于I 、J∵EH ⊥BC,AD ⊥BC,FG ⊥BC ∴EH ∥AD ∥FG∴EI EH =AP AD =FJ FG ∴FJ EIFG EH =又∵GDHDPJ EP = ∴△EIP ∽△JFP ∴PJEP FJ EI = ∴△EHD ∽FGD∴∠DFJ =∠DEI ∴∠FDB=∠EDC 即∠ADF=∠ADE 即DA 平分∠EDF23.圆内三条弦PP 1、QQ 1、RR 1、两两相交,PP 1与QQ 1交于B,QQ 1与RR 1交于C,RR 1与PP 1交于A,已知:AP=BQ=CR,AR 1=BP 1=CQ 1,求BCADE F IJ P证:ABC是正三角形.解:设AP=BQ=CR=m,AR1=BP1=CQ1,则由相交弦定理得{m(c+n)=n(b+m)m(a+n)=n(c+m)m(b+n)=n(a+m)即ma=ncmb=namc=nb三式相加得m=n所以a=b=c即△ABC是正三角形24.H为 ABC的垂心,D、E、F分别为BC、CA、AB的中点,一个以H为心的圆交DE于P、Q,交EF于R、S,交FD于T、V.求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BU证明:连结AS 、AR 、RH由相交弦定理知:AH ·HA`=BH ·HB`=CH ·HC` AS 2=AR 2=AK 2+KR 2设O H 的半径为r, 在∆KRH 中,KR 2=r 2-HK 2∴AS 2=r 2+(AK+KH )·(AK-HK )=r 2+AH ·(AK-HK)在∆ABC 中,F 、E 为AB 、AC 的中点,且AA ⊥`BC ∴AK=KA`∴AS 2=AR 2=r 2+AH ·HA`同理:BT 2=BU 2=r 2+BH ·HB` CP 2=CQ 2=r 2+CH ·HC`BCHDE FRS T QK C`A `B ` A25、在锐角三角形ABC 中,AD 、BE 、CF 是各边上的高,P 、Q 分别在线段DF 、EF 上,且∠PAQ 与∠DAC 同向相等. 求证:AP 平分∠FPQRFDEABCPQ证明:作出△APQ 的外接圆,延长PF 交圆于R,分别连结 RA 、RQ 由图可知,AQPR 内接于圆 ∴∠PRQ=∠PAQ=∠DAC=21∠DFE 由外角定理得,∠PRQ+∠FQR=∠DFE ∴FC ∥RQ ∴AF ⊥RQ FR=FQ ∴AF 垂直平分RQ ∴∠ARQ=∠AQR 又AQPR 内接于圆∴∠APQ=∠ARQ ∠APR=∠AQR ∴∠APQ=∠APR ∴AP 平分∠FPQ00090)2()1(,45,30,15.26=∠==∠=∠=∠=∠=∠=∠∆∆BAC ABAC CQP BRP CPQ BPR ARQ AQR PQR C B A PQR 求证:之外,且在、、是任意三角形,PCBQRAS0 0901530~~ )2(~~45~~~30604515601..=∠∴∠+∠+∠+∠=∠=∠=∠=∠=∠∴∆∆∆∆=∴===⇒∆∆=∴∆∆∴∠=∠∠+∠=∠+∠⇒=∠=∠=⇒∆∆∆∆∆≅∆∴=∠=∠∴=∠∠=∠∴∆≅∆∴=-=∠=∠=∴∠=∠∆BACARQBARAQRCAQBACARQAQRBARCAQABRSPRCQAPQSACABSRSQARAQARABSRPSABRSPRAQACQSPSCQAPQSCQAPQSCQPAQPAQSAQPCQPAQSQPCQQSAQCQPAQSCQPBRPARSAQSASRASQQSRASRASQARSAQSARSARQARAQARQAQRPSASQRSPQRΘΘΘΘΘΘΘ又同理,即又)(如图所示,连结,的另一侧作正为一边在证明:以27.已知:凹四边形ABCD中,︒=∠=∠=∠45DBA.求证:AC=BD.证明: 如图,延长DC 交AB 于点E,延长BC 交AD 于点F. ∵︒=∠=∠45D A,DE AE =∴且︒=∠90AED又︒=∠45B︒=∠∴45ECB DBAC DEB S AEC S EB EC =∴∆≅∆∴=∴。

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