导数的概念及其几何意义-人教A版高中数学选择性必修第二册课件
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5.1.2导数的概念及其几何意义(上课课件)
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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1.导数的几何意义就是切线的斜率，因此比较导数大小的问题可以用 数形结合思想来解决．
曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况， 由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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4.(1)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运 输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务 Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方 案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
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2．f(x)在x＝x0处的导数、曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况、点(x0，f(x0))处切 线的斜率与点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的关系如表所示．
f(x)在 x＝x0 处的导数
f′(x0)>0 f′(x0)<0 f′(x0)＝0
曲线f(x)在x ＝x0附近的 升降情况
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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[刻画曲线h(t)在上述 三个时刻附近的变化情况． (1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0. 这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． (2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0. 这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．
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(2)已知函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，它们在平面直角坐标系中的图象 如图所示，则f1′(x0)，f2′(x0)，f3′(x0)，f4′(x0)的大小关系是( A ) A.f1′(x0)＞f2′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0) B.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0)＞f4′(x0) C.f4′(x0)＞f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0) D.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0)＞f2′(x0)
数学人教A版选择性必修第二册5.1.2导数的概念课件
∴当 Δx→0 时，f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）必趋于 f′(x0)＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）Δ－xf（x0－Δx）＝2k.
规律方法 由导数的定义可知，若函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，则 f′(x)＝
[思考] 1.导数或瞬时变化率可以反应函数变化的什么特征？
提示 导数或瞬时变化率可以反应函数在某一点处变化的快慢程度. 2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区分和联系？ 提示 (1)平均变化率与瞬时变化率的区分：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2] 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢. (2)平均变化率与瞬时变化率的联系：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率ΔΔyx趋于一个常数， 这个常数为函数在 x＝x0 处的瞬时变化率，它是一个固定值.
2
＝ lxim 0 Δx[
（Δx）2＋2Δx （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ lim 2] x0
Δx＋2 （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ 2
22.
规律方法 求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔxΔ）x －f（x0）；
又f′(1)＝3，∴a＝3. 答案 3
4.已知函数 f(x)＝ x，则 f′(1)＝________.
解析
f′(1)＝
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝ lim x0
1＋Δx－1 Δx
＝ lim x0
1＋1Δx＋1＝12.
答案
1 2
5.若 lim x0
5.1.2导数的概念及其几何意义 课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4
巩固练习．求函数 y＝x－x在 x＝2 处的导数．
解： (导数定义法)：
4
4
Δy＝(2＋Δx)－
－2－2
2＋Δx
2Δx
＝Δx＋
，
2＋Δx
2Δx
Δx＋
2＋Δx
Δy
2
＝
＝1＋
，
Δx
Δx
2＋Δx
2
Δy
∴lim
＝lim 1＋2＋Δx＝2，
Δx→0 Δx
Δx→0
从而 y′|x＝2＝2.
= lim
.
→0
→0
巩固练习．若函数 f(x)＝－3x－1，则 f′(x)＝(
A．0 B．－3x
C．3 D．－3
)
－3x＋Δx－1－－3x－1
解析：k＝li
m
＝－3.
Δx
Δx→0
练习．如图，函数 y＝f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，
则 f(5)＋f′(5)＝________.
2
f (1 x) f (1)
则，k0 lim
x 0
(1 x) (1)
(1 x) (1)
lim
x 0
x
2
lim (x 2)
x 0
2
2
抛物线f ( x) x 在点(1,1)处的切线的斜率为 2
2
变式练习
求抛物线f ( x) x 1在点(0,1)处的切线方程.
＝li m
Δx
Δx→0
＝li m (4x0＋2Δx＋4)
Δx→0
求切点坐标可以按以下步骤进行
高二数学人教A版选择性必修第二册第五章导数的概念及其几何意义课件
x
y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处可导 ， 并把这个确定的值叫做
y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处的导数 ( 也称为瞬时变化率 ) ， 记作 f (x0 )或 y |xx0. 用极限符号表示这个定义，就是
f
(x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) .
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
f (x) x2在P0 (1,1)处的切线斜率 割线斜率
k f (1 x) f (1) x 2 x
切线斜率
f (1) lim f (1 x) f (1) 2
x0
x
实际上，导数可以描述许多运动变化事物
的瞬时变化率. 比如效率、国内生产总值的
增长率等.
例1 设 f (x) 1 ，求 f (1).
5，
可以是正值k ，也可f (以1是负值x，)但不f为(10). x 2
t 为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以选取自变量x的一个改变量 ， 可以是正值，也可以是负值，但不为 0.
x
计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
问题1
问题1
问题3 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运
动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？
问题1 高台跳水运动员的速度 h(t) 4.9t2 4.8t 11
平均速度
v h(1 t) h(1) 4.9t 5 t
瞬时速度
h(1) lim h(1 t) h(1) 5
t 0
t
问题2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ抛物线的切线斜率
高中数学人教A版 选择性必修第二册 导数的概念及其几何意义 课件
答案：B 解析：由导数的定义，知函数 f (x) 在 x x0 处的导数与 x0 有关，与 h 无关.故选 B.
3.已知函数 y f (x) 2 ，且 f (m) 1 ，则 m 的值为( )
x
2
A.-4
B.2
C.-2
D. 2
答案：D
解析：
y
f (m x)
f (m)
2 2 m x m
9.已知函数 f (x) 在 x x0 处的导数为 12，则 lim f x0 x f x0 的值为( )
x0
3x
A.-4
B.4
C.-36
D.36
答案：A
解析：因为函数 f (x) 在 x x0 处的导数为 12，
所以 lim f x0 x f x0 1 lim f x0 f x0 x 12 4 .故选 A.
A. (2,6)
B. (1,2)
C. (2,2)
D. (2,6) 或(2, 2)
答案：C
解析：由题意，得切线斜率 k 3 ，设切点为 x0, x02 x0 ，
则 lim x0 x2 x0 x x02 x0
x0
x
2x0 1，所以 2x0 1 3 ，
所以 x0 2 ，则切点为 (2,2) .故选 C.
lim(Δx 3) 3 . Δx0
同理可得 f (6) 5 .
在第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 3C / h 与5C / h .
说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3C / h 的速率下降；在第 6 h 附近，
原油温度大约以 5C / h 的速率上升. 一般地， f (x0 )(0 x0 8) 反映了原 油温度在时刻 x0 附近的变化情况.
高中数学(新人教A版)选择性必修二：导数的概念及其意义【精品课件】
x 0
x
பைடு நூலகம்
0
x
0
x
x
1 x
例2
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 h时，原油的温度（单位：℃）为＝（）＝2 − 7 + 15（0 ≤ ≤ 8）.计
算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
y
所以v '(2) lim
lim t 2 2. 同理可得 ′（6）＝ − 6.
t 0 t
t 0
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与−6 m/s2.说明在第2 s附近，汽车的速度
每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
一确定的数.这样，当变化时，＝ ′（）就是x的函数，我们称它为＝（）的导函
数（简称导数）.＝（）的导函数有时也记作′，即
f ( x x) f ( x)
f '( x) y ' lim
.
x 0
x
函数（）在＝处的导数 ′（）、导函数 ′（）之间的区别与联系：
这时，在＝0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当＝1时，曲线ℎ（）在＝1处的切线1的斜率ℎ′（1） < 0.
这时，在＝1附近曲线下降，即函数ℎ（）在＝1附近单调递减.
（3）当＝2时，曲线ℎ（）在＝2处的切线2的斜率ℎ′（2） < 0.
这时，在＝2附近曲线下降，即函数ℎ（）在＝2附近也单调递减.
f ( x0 x) f ( x0 )
y
lim
x 0 x
x 0
x
x
பைடு நூலகம்
0
x
0
x
x
1 x
例2
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 h时，原油的温度（单位：℃）为＝（）＝2 − 7 + 15（0 ≤ ≤ 8）.计
算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
y
所以v '(2) lim
lim t 2 2. 同理可得 ′（6）＝ − 6.
t 0 t
t 0
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与−6 m/s2.说明在第2 s附近，汽车的速度
每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
一确定的数.这样，当变化时，＝ ′（）就是x的函数，我们称它为＝（）的导函
数（简称导数）.＝（）的导函数有时也记作′，即
f ( x x) f ( x)
f '( x) y ' lim
.
x 0
x
函数（）在＝处的导数 ′（）、导函数 ′（）之间的区别与联系：
这时，在＝0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当＝1时，曲线ℎ（）在＝1处的切线1的斜率ℎ′（1） < 0.
这时，在＝1附近曲线下降，即函数ℎ（）在＝1附近单调递减.
（3）当＝2时，曲线ℎ（）在＝2处的切线2的斜率ℎ′（2） < 0.
这时，在＝2附近曲线下降，即函数ℎ（）在＝2附近也单调递减.
f ( x0 x) f ( x0 )
y
lim
x 0 x
x 0
x
新教材高中数学第5章导数的概念及其几何意义pptx课件新人教A版选择性必修第二册
根据导数的几何意义，可知函数y＝f (x)的切线斜率在[a，b]内单调
递增，观察图象，只有A选项符合．
发现规律 导数几何意义理解中的两个关键点
f ′(x0)＞0
关键点一：y＝f (x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔_________;
f ′(x0)＜0
f ′(x0)＝0
k＜0⇔__________；k＝0⇔_________．
[解]
Δ
+Δ 3 +1− 3 −1
＝
Δ
Δ
3 Δ 2 +3 2 Δ+ Δ 3
＝
Δ
＝3xΔx＋3x2＋(Δx)2，
Δ
则 lim ＝3x2，因此y′＝3x2．
Δ→0 Δ
设过点M(1，1)的直线与曲线y＝x3＋1相切于点(0 ，03 ＋1)，根据
导数的几何意义知曲线在点P处的切线的斜率为k＝302 ①，过点M和
如图，割线P0P的斜率k＝_____________．记Δx＝x－x
0，当点P沿着
曲线y＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝
f (x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0
切线P0T
处的导数f ′(x0)就是_________的斜率k
0，即
0 +Δ − 0
1
2
3
4
5
2．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是(
)
A．在点(x0，f (x0))处与y＝f (x)的图象只有一个交点的直线的斜率
B．过点(x0，f (x0))的切线的斜率
C．点(x0，f (x0))与点(0，0)的连线的斜率
5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高中数学人教A版选择性必修第二册
s
v ;
t
(2)求平均速度
（3）求极限 lim
x 0
s
s(t t ) s (t )
lim
.
t
t
x 0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)－f(x0)
y
x
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)求平均变化率
（3）求极限 f ' ( x0 ) lim
x 0
y
x
是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
10
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.
x
1
lim [3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 .
3 x 0
y
4
1
y x3
3
3
P
2
1
-2 -1
O
-1
x
1
2
-2
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
根据导数的定义,
x
x
x
y
4 x x 2 7x
'
lim x 3 3,
v ;
t
(2)求平均速度
（3）求极限 lim
x 0
s
s(t t ) s (t )
lim
.
t
t
x 0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)－f(x0)
y
x
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)求平均变化率
（3）求极限 f ' ( x0 ) lim
x 0
y
x
是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
10
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.
x
1
lim [3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 .
3 x 0
y
4
1
y x3
3
3
P
2
1
-2 -1
O
-1
x
1
2
-2
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
根据导数的定义,
x
x
x
y
4 x x 2 7x
'
lim x 3 3,