5.1.2导数的概念及其几何意义教学课件高二下学期数学人教A版2019选择性必修第二册
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高二下学期数学人教A版选择性必修第二册5.1.2第二课时导数的几何意义课件
1．导数的概念
如果当Δx→0
时，平均变化率Δy无限趋近于一个确定的值，即Δy有极限，则称
Δx
Δx
y＝
f (x)在 x ＝ x0 处 _可_导__ ， 并 把 这个 _确__定_的__值__ 叫 做 y＝ f (x) 在 x＝ x0 处 的 导数 ( 也 称 为
_瞬__时_变__化_率___)，记作 f
′(x0)或__y_′|x_＝__x_0 _，即 f ′(x0)＝Δlixm→0
Δy
Δx ＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
问题2：导数f ′(x0)表示函数y＝f (x)在x＝x0处
的瞬时变化率，反应函数y＝f (x)在x＝x0附近的 变化情况.那么导数的几何意义是什么？
二、 新课讲授
5.1.2导数的概念及其几何意义(第二课时)
学科版本：人教A版202X新课标 教材版本：人教A版（202X） 教材章节：选择性必修第二册5.1.2 学段学科：高中数学 年级学期：高二上学期
一、 新课引入
引导语：
问题1：根据平均变化率的概念回顾导数的概念.
二、 新课讲授
[新知初探]
知识点一 导数的几何意义
四、 知识点二
知识点二 导函数的概念 1．定义：当 x 变化时，y＝ f′(x) 就是 x 的函数，我们称
它为 y＝f(x)的导函数(简称导数)． lim fx＋Δx－fx
2．记法：f′(x)或 y′，即 f′(x)＝y′＝_Δ_x→__0______Δ_x_____.
五、 例题练习，巩固新知
求曲线的切线方程 [例 1] 已知曲线 C：y＝x2，求曲线 C 上的横坐标为 2 的 点处的切线方程．
已知曲线上一点 P(x0，f(x0))，求在该点处切线方程的三个 步骤
数学人教A版(2019)选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义(共11张ppt)
1、平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y 就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0).
我们把比值 y ，即 y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
x
叫做函数y＝f(x) 从x0到x0＋∆x的平均变化率.
5.1.2 导数的概念及其几何意义
• 5.1 导数的概念及其意义
复习引入
两类变化率问题:
(1)跳水运动员的速度 h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11
平均速度 v h(t0 x) h(t0 )
x
瞬时速度
v(t0 )
lim
t 0
h( t 0
t ) t
h(t0 )
(2)抛物线的切线斜率 f(x)＝x2
割线斜率 k f ( x0 x) f ( x0 )
x
切线斜率
k0
ห้องสมุดไป่ตู้
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由 “平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的 表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题．
探究新知
在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为2m/s2与－6m/s2. 说明在第 2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s；在第6s附近，汽车的速度每秒大 约减少6m/s.
课堂小结
回顾本节课的内容，思考： 1、什么是导数？导数是如何描述事物的运动变化情况的？ 2、计算导数的步骤是什么？ 3、本节课蕴含了什么思想方法？
1 x
5.1.2导数的概念及其几何意义 课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4
巩固练习．求函数 y＝x－x在 x＝2 处的导数．
解： (导数定义法)：
4
4
Δy＝(2＋Δx)－
－2－2
2＋Δx
2Δx
＝Δx＋
，
2＋Δx
2Δx
Δx＋
2＋Δx
Δy
2
＝
＝1＋
，
Δx
Δx
2＋Δx
2
Δy
∴lim
＝lim 1＋2＋Δx＝2，
Δx→0 Δx
Δx→0
从而 y′|x＝2＝2.
= lim
.
→0
→0
巩固练习．若函数 f(x)＝－3x－1，则 f′(x)＝(
A．0 B．－3x
C．3 D．－3
)
－3x＋Δx－1－－3x－1
解析：k＝li
m
＝－3.
Δx
Δx→0
练习．如图，函数 y＝f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，
则 f(5)＋f′(5)＝________.
2
f (1 x) f (1)
则，k0 lim
x 0
(1 x) (1)
(1 x) (1)
lim
x 0
x
2
lim (x 2)
x 0
2
2
抛物线f ( x) x 在点(1,1)处的切线的斜率为 2
2
变式练习
求抛物线f ( x) x 1在点(0,1)处的切线方程.
＝li m
Δx
Δx→0
＝li m (4x0＋2Δx＋4)
Δx→0
求切点坐标可以按以下步骤进行
5.1.2导数的几何意义高二数学教材教学课件(人教A版2019选择性)
01 复习导入
复习导入
导数的概念
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
复习导入 求某点处导数值的步骤
一差、二比、三极限
02 导数的几何意义
新知探究
新知探究
平均变化率的 几何意义
新知探究
问题2：观察右图，当点 P 沿着曲线y=f(x)趋近于点 f (x)
P0 时，割线 P0 P 的变化趋势是什么？
新知探究
问题：函数在点x =x0处的导数f ′(x0)、导函数 y = f ′(x)、导数之间有什么区别与联系呢？
l
（1）函数在一点x0处的导数 f ′(x0) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变 量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数 f (x)的导函数 f ′(x)，
A.f′(x1)>f′(x2) C.f′(x1)＝f′(x2)
B.f′(x1)<f′(x2) D.不能确定
新知探究
解：如图，根据导数的几何意义，f′(x1)为曲线 f(x)在点 A 处切线的斜率，设该 斜率为 k1，f′(x2l)为曲线 f(x)在点 B 处切线的斜率，设该斜率为 k2，由图象可得
3 即 12x－3y－16＝0.
新知探究
方法总结 求曲线上一点处的切线方程可按以下步骤进行：(1)求出该点的坐标.(2)求出 函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率.(3)利用点斜式写出切 线方程.
新知探究
新知探究
例 2.过点(1，－1)且与曲线 y＝x3－2x 相切的直线方程为 ( A )
(D )
新知探究
(1)由导数的l 几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随 x 增 大而变大，因此应选 A. (2)从导函数的图象可知两个函数在 x0 处斜率相同，可以排除 B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明 显看出 y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢 变小，排除 A.
高中数学选择性必修二(人教版)《5.1.2 导数的概念及其几何意义》课件
－2＋1 Δx＝－12，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x
＋2y＋4＝0.
[方法技巧] 1．过曲线上一点求切线方程的 3 个步骤
2．过曲线外一点 P 求切线方程的 6 个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))； (2)利用所设切点求斜率 k＝f′(x0)＝Δlitm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率； (4)根据斜率相等求得 x0，然后求得斜率 k； (5)根据点斜式写出切线方程； (6)将切线方程化为一般式．
[学透用活]
[典例 3] 求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程． [解] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等
于函数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim Δt→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝lim Δt→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlitm→0
知识点二 导数的几何意义
(一)教材梳理填空
导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝__Δlit_m→_0__—__ fx0＋Δx－fx0
————Δx———＝f′(x0)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．
解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)，
因为 y′＝lim Δt →0
x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1 Δx
＝3x2－2x，
则 y′| x＝x0＝3x20－2x0＝1，
解得 x0＝1 或 x0＝－13.
人教版高二下期数学选择性必修第二册-5.1.2 导数的概念及其几何意义(第2课时)【课件】
要点 3 导函数
从求函数 y＝f(x)在 x＝x0 处导数的过程可以看出，当 x＝x0 时，f′(x0)是一个 唯一确定的数．这样，当 x 变化时，y＝f′(x)就是 x 的函数，我们称它为 y＝f(x)
的___导__函_数____ (简称导数)．y＝f(x)的导函数记作__f′(_x_) ___或___y_′ __，即 f′(x)＝y
要点 2 函数的单调性与导数的关系 若 f′(x0)＝0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k＝__0___； 若 f′(x0)>0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k__>__0，且函数在 x＝x0 附近 _单__调_递__增_且 f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快； 若 f′(x0)<0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k_<__0，且函数在 x＝x0 附近 ___单_调__递_减____，且|f′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快．
f（x＋Δx）－f（x） Δx
＝
lim
Δx→0
（x＋ΔΔxx）2－x2＝Δlixm→0 (2x＋Δx)＝2x.
设点 P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为点 P 处的切线与直线 y＝4x－5 平行，所以 2x0＝4，解得 x0＝2，所以
y0＝4，即满足条件的点的坐标为 P(2，4)．
(2)因为点 P 处的切线与直线 2x－6y＋5＝0 垂直，且直线 2x－6y＋5＝0 的斜 率为13，所以 2x0·13＝－1，解得 x0＝－32，所以 y0＝94，即满足条件的点的坐标为 P－32，94.
如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的每一点处都有导数，我们就说这个函数在
区间(a，b)上是可导函数．
课时学案
题型一 已知点在曲线上的切线问题
导数的概念及其意义(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
=
=
−1
1 + ∆ − 1
= ∆ + 2
切线的斜率
− 1
1 + ∆ 2 − 1
=
=
= ∆ + 2
−1
1 + ∆ − 1
当∆无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1
的一边无限趋近于1时，割线0 的斜率k都无限趋近于2
由 =
1+∆ −(1)
∆
= ∆ + 2
但 ∆可正、可负；
∆ = (2 ) − (1 )是函数值的改变量，可正、
可负，也可为0， 因此平均变化率可正、可负，也可为零
函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化
瞬时变化率
函数 f(x) 在 x = x0 处的 瞬时变化率
是函数 f(x) 从 x0 到 x0 + ∆x 的平均变化率
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
k= lim
x
Δ→0
= (Δx-6)=-6.
x→0
)
规律方法 求曲线上某点(x0,f(x0))处的割线或切线斜率的步骤
f(x 0 +x)-f(x 0 )
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
= = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8) .
计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
=
−1
1 + ∆ − 1
= ∆ + 2
切线的斜率
− 1
1 + ∆ 2 − 1
=
=
= ∆ + 2
−1
1 + ∆ − 1
当∆无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1
的一边无限趋近于1时，割线0 的斜率k都无限趋近于2
由 =
1+∆ −(1)
∆
= ∆ + 2
但 ∆可正、可负；
∆ = (2 ) − (1 )是函数值的改变量，可正、
可负，也可为0， 因此平均变化率可正、可负，也可为零
函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化
瞬时变化率
函数 f(x) 在 x = x0 处的 瞬时变化率
是函数 f(x) 从 x0 到 x0 + ∆x 的平均变化率
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
k= lim
x
Δ→0
= (Δx-6)=-6.
x→0
)
规律方法 求曲线上某点(x0,f(x0))处的割线或切线斜率的步骤
f(x 0 +x)-f(x 0 )
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
= = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8) .
计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义【教学课件】
1 ． 曲 线 y ＝ x2 － 2x ＋ 3 在 点 A( － 1,6) 处 的 切 线 方 程 是
________________．
4x＋y－2＝0 解析：由导数的定义知 y′|x＝－1
＝ lim Δx→0
－1＋Δx2－2－1＋Δx＋3－－12＋2×－1－3 Δx
＝－4，
∴所求切线方程为 y－6＝－4(x＋1)，
(2)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是切线 P0T 的斜率 k0，
即 k0＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
3．导数的概念
当 x 变化时，y＝f′(x)就是 x 的函数，我们称它为 y＝f(x)的导函
数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作 y′，即 f′(x)＝y′＝
得 f′(1)＝lim Δx→0
1＋ΔΔxx－1＝Δlixm→0
1＋1Δx＋1＝12，
∴f(x)在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝21(x－1)．
即 x－2y＋1＝0.
探究题 2 抛物线 y＝x2在点 P 处的切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，
求点 P 的坐标及切线方程．
解：设点 P 的坐标为(x0，y0)，
4．已知函数 f(x)＝lg(x＋1)，则 f′(2)的几何意义是
函数 f(x)＝lg(x＋1)的图象在点(2，lg 3)处切线的斜率． 5．曲线 y＝3x2－4x 在点(1，－1)处的切线方程为________．
y＝2x－3
解析：k＝f′(1)＝ lim Δx→0
31＋Δx2－41＋Δx－3×12－4×1 Δx
[(Δx)2－3Δx＋3]＝3，
所以切线的斜率为 3.
由点斜式可得切线方程为 y－1＝3(x＋1)，即 3x－y＋4＝0.
5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高中数学人教A版选择性必修第二册
s
v ;
t
(2)求平均速度
（3）求极限 lim
x 0
s
s(t t ) s (t )
lim
.
t
t
x 0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)－f(x0)
y
x
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)求平均变化率
（3）求极限 f ' ( x0 ) lim
x 0
y
x
是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
10
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.
x
1
lim [3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 .
3 x 0
y
4
1
y x3
3
3
P
2
1
-2 -1
O
-1
x
1
2
-2
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
根据导数的定义,
x
x
x
y
4 x x 2 7x
'
lim x 3 3,
v ;
t
(2)求平均速度
（3）求极限 lim
x 0
s
s(t t ) s (t )
lim
.
t
t
x 0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)－f(x0)
y
x
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)求平均变化率
（3）求极限 f ' ( x0 ) lim
x 0
y
x
是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
10
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.
x
1
lim [3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 .
3 x 0
y
4
1
y x3
3
3
P
2
1
-2 -1
O
-1
x
1
2
-2
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
根据导数的定义,
x
x
x
y
4 x x 2 7x
'
lim x 3 3,
5-1-2导数的概念及其几何意义 课件-高二下学期数学 人教A版(2019)选择性必修第二册
即当x 0时, kP0P kP0T
1. f / (x0 )的几何意义是 :
曲线y f (x)在点p(x0, f (x0 ))处的切线的斜率 .
判断f / xA , f / xB , f / xC 的符号？ f / xB 0
f / xC 0
f / xA 0
5.y=f(x)的导函数
5.1.2导数的概念及 其几何意义
一.复习引入
二.讲授新课 1.平均变化率
注意：
(1)函数f (x)在x0处有定义. (2)x是x的变化量, x x0 x x0
(3)y f (x0 x) f (x0 ), 而不是y f (x0 ) f (x0 x)
步骤：
(1)计算x x0 x x0
x0
2x
A. 1
B. 2
C.1
D. 1
2
B 5.已知函数y
f
Байду номын сангаас
x在x
x0处可导,
则
lim
h0
f x0 h
h
f x0 h
A. f / x0
B.2 f / x0
C. 2 f / x0
D. 0
3.切线定义
4.导数的几何意义 思考2. 割线P0P 的斜率与切线P0T斜率 的有什么关系？
当点p无限趋近于点p0时, k p0 p无限趋近于 切线kP0T的斜率.
h/ 1 y / |t1 lim(4.9t 5) 5 t 0
f / 1 y / |x1 lim(x 2) 2
思考1：(1)函数y
f
x在x
x0
x0处的导数一定存在吗？
lim 2
x0 x
？
三.例题讲解 练习2
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解：我们用曲线 h(t) 在 t t0 ，t1 ，t2 处的切线斜率，刻画曲线 h(t) 在上述三 个时刻附近的变化情况.
（1）当 t t0 时，曲线 h(t) 在 t t0 处的切线 l0 平行于 t 轴， h(t0 ) 0 .这时， 在 t t0 附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当 t t1 时，曲线 h(t) 在 t t1 处的切线 l1 的斜率 h(t1) 0 .这时，在 t t1 附近曲线下降，即函数 h(t) 在 t t1 附近单调递减.
的斜率 k0
，即
k0
lim
Δx0
f
(x0
Δx) Δx
f
(x0 )
f
(x0 )
.这就是导
数的几何意义.
例 3 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间 变化的函数 h(t) 4.9t2 4.8t 11的图象.根据图象，请描述、比较曲线 h(t) 在 t t0 ，t1 ，t2 附近的变化情况.
Δt Δt 0
Δt 0
同理可得 v(6) 6 .
在第 2 s 与第 6 s 时，汽车的瞬时加速度分别是 2 m/s2 与 6 m/s2 .说明 在第 2 s 附近，汽车的速度每秒大约增加 2 m/s ；在第 6 s 附近，汽车的速 度每秒大约减少 6 m/s .
2. 导数的几何意义
思考：如图，观察函数 y f (x) 的图象，平均变化率 Δy f (x0 Δx) f (x0 )
Δy Δx
有极限，则称
y
f
(x)
在
x
x0
处可导，并把这个确定的值叫做
y f (x) 在 x x0 处的导数（也称为瞬时变化率），记作 f (x0 ) 或 y xx0 ，
即
f
(x0 )
Δy lim Δx0 Δx
lim
Δx0
f
(x0
Δx) Δx
f
(x0 )
.
例 1 设 f (x) 1 ，求 f (1) . x
Δx0
Δx
1. f x x2 在 x 1处的导数为( B )
A. 2x
B.2
C. 2 x
D.1
解析： lim
y
lim
f (1 x)
f (1)
1 2x (x)2 lim
1
lim(2 x) 2 .
x x0
x0
x
x0
x
x0
故选 B.
2. 曲线 y x2 3x 在点 A2,10 处的切线的斜率 k 是( D )
割线 P0 P 的斜率 k
f
(x) x
f (x0 x0
)
.记
Δx
x
x0
，当点
P
沿着曲线
y f (x) 无限趋近于点 P0 时，即当 Δx 0 时， k 无限趋近于函数
y f (x) 在 x x0 处的导数.因此，函数 y f (x) 在 x x0 处的导数 f (x0 )
就是切线
P0T
Δx
Δx
表示什么？瞬时变化率
f
(x0 )
lim Δy Δx0 Δx
lim
Δx0
f
(x0
Δx) Δx
f
(x0 )
表示什么？
容易发现，平均变化率 Δy Δx
f (x0
Δx) Δx
f (x0 )
表示割线 P0 P 的斜率.
如下图，在曲线 y f (x) 上任取一点 P(x ，f (x)) ，如果当点 P(x ，f (x)) 沿着曲线 y f (x) 无限趋近于点 P0 (x0 ，f (x0 )) 时，割线 P0 P 无限趋近于一个 确定的位置，这个确定位置的直线 P0T 称为曲线 y f (x) 在点 P0 处的切线.
解：在第 2 s 和第 6 s 时，汽车的瞬时加速度就是 v(2) 和 v(6) .
根据导数的定义，
Δy v(2 Δt) v(2) (2 Δt)2 6(2 Δt) 60 (22 6 2 60) Δt 2 ，
Δt
Δt
Δt
所以 v(2) lim Δy lim(Δt 2) 2 .
解：
f
(1)
lim
Δx0
f
(1 Δx) Δx
f
(1)
1 lim 1 Δx Δx0 Δx
1
lim
Δx0
1
1 Δx
1 .
例 2 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 t s 时汽车的速度（单 位： m/s ）为 y v(t) t2 6t 60 ，求汽车在第 2 s 与第 6 s 时的瞬时加 速度，并说明它们的意义.
从求函数 y f (x) 在 x x0 处导数的过程可以看到，当 x x0 时，
f (x0 ) 是一个唯一确定的数.这样，当 x 变化时， y f (x) 就是 x 的函数，
我们称它为 y f (x) 的导函数（简称导数）. y f (x) 的导函数有时也记
作 y ，即 f (x) y lim f (x Δx) f (x) .
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义
学习目标： 1. 理解导数的概念及其几何意义； 2. 掌握用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线问题. 教学重点： 导数的概念及利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用. 教学难点： 导数的概念及其几何意义的理解.
上节课研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平 均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切 线斜率.这两类问题都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率” 的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用上述思 想方法研究更一般的问题.
1. 导数的概念
对于函数 y f (x) ，设自变量 x 从 x0 变化到 x0 x ，相应地，函数值
（3）当 t t2 时，曲线 h(t) 在 t t2 处的切线 l2 的斜率 h(t2 ) 0 .这时，在 t t2 附近曲线下降，即函数 h(t) 在 t t2 附近也单调递减.
从图中可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明曲线 h(t) 在 t t1 附近比在 t t2 附近下降得缓慢.
y 就从 f (x0 ) 变化到 f (x0 Δx) .这时， x 的变化量为 Δx ， y 的变化量为
Δy
f (x0 Δx)
f
(x0
)
.我们把比值
Δy Δx
，即
Δy Δx
f (x0 Δx) Δx
fHale Waihona Puke (x0 ) 叫做函数 y f (x) 从 x0 到 x0 x 的平均变化率.
如果当 Δx 0 时，平均变化率 Δy 无限趋近于一个确定的值，即 Δx