九年级下册《三角函数的应用》专项练习1(选择、填空)
北师大九年级数学下册《1.4三角函数的应用》同步训练含参考答案
北师大九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系1.4 三角函数的应用 同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 如图，小明为测量学校旗杆的高度，在操场上选了一点，测得点到旗杆底端的水平距离为米，AB P P B 10度，则旗杆的高度为（ ）∠APB =αA.米10tanα B.米10sinα C.米10cosα D.米10tanα 2. 工地上有甲、乙二块铁板，铁板甲形状为等腰三角形，其顶角为，腰长为；铁板乙形状为直角45∘12cm 梯形，两底边长分别为、，且有一内角为．现在我们把它们任意翻转，分别试图从一个直径为4cm 10cm 60∘的圆洞中穿过，结果是（ ）8.5cm A.甲板能穿过，乙板不能穿过 B.甲板不能穿过，乙板能穿过C.甲、乙两板都能穿过 D.甲、乙两板都不能穿过3. 如图，斜坡长米，其水平宽度长为米，则斜坡的坡度为（ ）AB 20AC 103ABA.30∘B.60∘C.1:3D.1:2 4. 某飞机于空中处探测到地面目标，此时从飞机上看目标的俯角，并测得飞机距离地面目标A B B α=60∘的距离为米，则此时飞机高度为（ ） B 2400A.米1200 B.米4003C.米8003 D.米12003 5. 从高的测量仪上，测得某建筑物顶端仰角为，测量仪距建筑物，则建筑物的高大约为（ ） 1.5m 30∘60m A.34.65m B.36.14m C.28.28m D.29.78m6. 如图所示，是平面镜，光线从点出发经上的点反射后到达点，若入射角为，，CD A CD E B αAC ⊥CD ，垂足分别为，，且，，，则的值是（ ）BD ⊥CD C D AC =3BD =6CD =11tanαA.13B.311C.911D.1197. 如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树和之间的距离，在垂直A B 的方向上确定点，如果测得米，，那么和之间的距离是（ ）米．AB AC C AC =75∠ACB =55∘A BA.75⋅sin 55∘B.75⋅cos 55∘C.75⋅tan 55∘D.75tan 55∘8. 如图，市规划局准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面的坡度，则坡面的长AB =6m AC i =3:4AC度为（ ）A.10mB.8mC.6mD.63m 9. 如图，某人沿着坡比 的斜坡前进了米，那么他上升的高度为（ ）i =1:2(i =tanA)5A.米5B.米25C.米2.5D.米5 10. 某地区准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则AB =6m AC BC ∠ACB 45坡面的长度为（ ）ACA.8B.9C.10D.12 二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ， ）11. 如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上 处测得建筑物顶端的仰角为，沿方向前进AB C A 30∘CB 到达 处，在处测得建筑物项端的仰角为，则建筑物的高度等于________．12m D D A 45∘AB12. 如图所示，课外活动中，小明在与旗杆距离为米的处，用测角仪测得旗杆顶部的仰角AB 10C A 为．已知测角仪器的高米，则旗杆的高是________米．45∘CD =1.5AB13. 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡ABCD 面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，，则AB =12CD =123∠B =60∘ABED tanE =3133的长为________米．CE14. 有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人，小敏想知道校园内一棵大树的高（如图），她测得米，，请你帮她算出树高约为________米．CB =10∠ACB =50∘AB （注：①树垂直于地面；②供选用数据：，，）sin 50∘≈0.77cos 50∘≈0.64tan 50∘≈1.2B A30∘BC BC30m AC15. 如图，在点处测得塔顶的仰角为，点到塔底的水平距离是，那么塔的高度为________ m（结果保留根号）．AB1500C16. 如图，某高速公路建设中需要确定隧道的长度，已知在离地面米高度处的飞机上，测量人员测A B60∘45∘AB得正前方，两点处的俯角分别为和，则隧道的长为________米（结果保留根号）．1:217. 如图，两个高度相等且底面直径之比为的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液P cm体全部倒人乙杯，则乙杯中的液面与图中点的距离是________．AB B C BC1AB BCθ18. 如图，一架梯子斜靠在一面墙上，底端与墙角的距离为米，梯子与地面的夹角为，则θ梯子的长度为________米（结果用含的三角比表示）．三、解答题（本题共计 6 小题，共计46分，）A B C AB=2km B19. （7分）已知：如图，、、三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，．在村的正北方向D∠DAB=45∘∠DCB=28∘△ACD0.5km2有一个村，测得，．今将区域进行规划，除其中面积为的水塘外，0.1km2sin28∘=0.4695准备把剩余的一半作为绿化用地，试求绿化用地的面积．（结果精确到，，cos28∘=0.8829tan28∘=0.5317cot28∘=1.88.8，，）A C15∘20. （7分）如图，某游乐场内有一观光塔，在塔顶处进行观测，测得山坡上点处的俯角为，山脚点D60∘1:3CE:DE=:1:3B D E处的俯角为，已知该山坡的坡度为（即），且、、在同一直线上．若山坡上点C D20AB到山脚点的距离为米，求观光塔的高度．ABCD A D F21. （8分）如图，山上有一根电线杆，山脚下有一矩形建筑物，从、两点测得电线杆顶端的仰角α=48∘β=56∘AD=20m DC=33m分别为，，该建筑物顶端宽度，高度．计算电线杆顶端到地面的高度FG1m（精确到）．sin48∘≈0.7tan48∘≈1.1sin56∘≈0.8tan56∘≈1.5（参考数据：，，，）AB i=1:2A AC4m B C22.(8分) 如图，某仓储中心有一斜坡，其坡度为，顶部处的高为，、在同一水平地面上．(1)AB BC求斜坡的水平宽度；(2)DEFG DE=2.5m EF=2m矩形为长方体货柜的侧面图，其中，，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m D(5≈2.2360.1m)时，求点离地面的高．，结果精确到50CD D823. （8分）边防战士在海拔高度为米（即的长）的小岛顶部处执行任务，上午点，发现在海面上的A30∘AC B处有一艘船，此时测得该船的俯角为，该船沿着方向航行一段时间后到达处，又测得该船的俯角为45∘，求该船在这一段时间内的航程．CD=2m CD AH24. （8分）如图，竖直立着的水泥柱子上挂着一个矩形广告牌，已知，且与水平地面垂直，∠CAH=30∘∠DBH=60∘AB=20m A B H经过测量得到的数据如图所示．其中，，，点、、在一条直线AC BD E GH3≈1.7320.1上．视线和交于点，请根据以上数据计算广告牌的高度．（，结果精确到米）答案1. D2. A3. C4. D5. B6. D7. C8. A9. D10. C11. 6(3+1)m12. 11.513. 814. 1215. 10316. (1500‒5003)17. 618. 1cosθ19. 绿化用地的面积为．2.6km 220. 观光塔的高度为米•AB 10321. 电线杆顶端到地面的高度约为．FG 116m 22. 解：∵坡度为，，(1)i =1:2AC =4m ∴．BC =4×2=8m (2)作，垂足为，且与相交于．DS ⊥BC S AB H ∵，，∠DGH =∠BSH ∠DHG =∠BHS ∴，∠GDH =∠SBH ∴，GH GD=12∵，DG =EF =2m ∴，GH =1m ∴，，DH =12+22=5m BH =BF +FH =3.5+(2.5‒1)=5m 设，则，HS =xm BS =2xm ∴，x 2+(2x )2=52∴，x =5m ∴．DS =5+5=25m ≈4.5m 23. 该船在这一段时间内的航程米．(503‒50)24. 广告牌的高度是．GH 16.3m。
苏科版九年级下第7章锐角三角函数及其应用单元测试含答案
第7章锐角三角函数及其应用单元测试一、选择题1.已知，下列各式正确的是A. B.C. D.2.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是A. 10分钟B. 15分钟C. 20分钟D. 25分钟3.中，已知，则的面积是A. B. 4 C. D. 24.在中，若且，则等于A. B. C. D. 15.如图，在中，，点分别在边上若，则下列结论正确的是A. 和互为补角B. 和互为补角C. 和互为余角D. 和互为余角6.若把三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角的正切值A. 扩大为原来的5倍B. 不变C. 缩小为原来的5倍D. 不能确定7.的值等于A. B. C. D.8.直角三角形中，若各边的长度都扩大5倍，那么锐角的正弦A. 扩大5倍B. 缩小5倍C. 没有变化D. 不能确定9.的值等于A. B. 2 C. D. 5二、填空题10.如图，斜坡AB的坡度：3，该斜坡的水平距离米，那么斜坡AB的长等于______ 米11.如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为，测得河对岸A处的俯角为、B、C在同一条直线上，则河的宽度AB约为______ 精确到参考数据：12.面积为48的四边形ABCD的对角线交于点O，若，则______ 度13.在中，，若，则______ ．14.利用计算器求值结果精确到：______ ；______ ．三、解答题15.如图1，是午休时老师们所用的一种折叠椅把折叠椅完全平躺时如图2，长度厘米，厘米，B是CM上一点，现将躺椅如图3倾斜放置时，AM与地面ME成角，，椅背BC与水平线成角，其中BP是躺椅的伸缩支架，其与地面的夹角不得小于．若点B恰好是MC的黄金分割点，人躺在上面才会比较舒适，求此时点C与地面的距离结果精确到1厘米午休结束后，老师会把AM和伸缩支架BP收起紧贴AB，在的条件下，求伸缩支架BP可达到的最大值结果精确到1厘米参考数据：16.计算：．17.如图，海中有一个小岛P，它的周围25海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东方向上，航行30海里到达B点，此时测得小岛P在北偏东方向上．求渔船在B点时与小岛P的距离？如果鱼船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．18.如图，AB和CD是同一地面上的两座相距39米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为，楼底D的俯角为求楼CD的高结果保留根号．19.计算【答案】1. C2. B3. D4. C5. C6. B7. C8. C9. B10.11.12. 30或15013.14. ；15. 解：点B是MC的黄金分割点，，厘米，厘米，厘米．答：此时点C与地面的距离约为71厘米．，且物理力学知识得知，在其取值范围内为单调递增函数，又，当接近时，BP最大，此时厘米．答：伸缩支架BP可达到的最大值约为70厘米．16. 解：原式．17. 解：分别在点A和点B的正北方向取点D、画射线BE．根据题意得：，，，海里；没有触礁危险．理由：过点P作与F．，在直角中，，，，没有触角危险．18. 解：延长过点A的水平线交CD于点E，则有，四边形ABDE是矩形，米．，是等腰直角三角形，米．在中，，米，米．答：楼CD的高是米．19. 解：原式，原式．。
九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习(含答案)
九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为A．15tan37︒B．15sin37︒C．15tan 37°D．15sin 37°【答案】C【解析】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=15，∴tan C=ABBC，则AB=BC•tan C=15tan37°．故选C．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．2．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为A．200米B．2003米C．400米D．200（3+1）米【答案】D【解析】过A作AB⊥MN于B,在Rt △ABM 中, 90,200,30ABM AB M ∠==∠=，tan AB M BM∴∠=， 2003BM ∴=，在Rt △ABN 中, 90,45ABN N BAN ∠=∠=∠=，∴BN =AB =200，()200320020031MN ∴=+=+米.故选D.3．如图是一张简易活动餐桌，测得30cm OA OB ==，50cm OC OD ==，B 点和O 点是固定的．为了调节餐桌高矮，A 点有3处固定点，分别使OAB ∠为30，45，60，问这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是（不考虑桌面厚度）A ．402cmB ．40cmC ．403cmD ．30cm【答案】B【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠OAB =30时，桌面离地面最低， ∴DE 的长即为最低长度， ∵OA =OB =30cm ，OC =OD =50cm ， ∴AD =OA +OD =80cm ， 在Rt △ADE 中，∵∠OAB =30，AD =80cm ， ∴140cm.2DE AD ==故选:B.4．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB的坡度是1:3，堤坝高为40m，则迎水坡面AB的长度是A．80m B．803mC．40m D．403m【答案】A5．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为A．409秒B．16秒C．403秒D．24秒【答案】B【解析】如图，以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时开始对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故选B.6．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是A．6千米B．8千米C．10千米D．14千米【答案】B【解析】∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°，∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°，∴A到BC的距离就是线段AB的长度，∴AB＝8千米.BE=，她7．如图，小颖利用有一锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离6mAB=，那么这棵树高的眼睛距地面的距离 1.5m23 1.5mA．23m B．()32 1.5m D．4.5mC．()【答案】B【解析】在直角三角形ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，∴CD=AD tan30°=6×33=23，∴CE=CD+DE=23+1.5（m）．故选B．8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B 两点间的距离为多少米．A．7502B．3752C．3756D．7506【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为_____m．【答案】26【解析】在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=AD AB，∴AD=4sin60°=23（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=AD AC，∴AC=23sin45=26（m）．故答案是：26．10．我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A 的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+3）nmile处，则海岛A，C之间的距离为______nmile．【答案】2【解析】作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=22x，则CD=22x，在Rt△ABD中，BD=6 tan2ADABD=∠x，则22x+62x=18（1+3），解得，x=182，答：A，C之间的距离为182海里．故答案为：182.11．如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）【答案】没有【解析】已知OA=40，∠O=33°，则AB=40•sin33°≈21.79＞20．所以轮船没有触暗礁的危险．故答案为: 没有．12．数学组活动，老师带领学生去测塔高，如图，从B点测得塔顶A的仰角为60，测得塔基D的仰角为45，已知塔基高出测量仪20m，（即20mDC=），则塔身AD的高为________米．【答案】()2031-【解析】在Rt △ABC 中，AC =3BC ．在Rt △BDC 中有DC =BC =20，∴AD =AC−DC =3BC−BC =20（3−1）米． 故答案为：20（3−1）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度.他们在C 处仰望建筑物顶端A 处，测得仰角为45，再往建筑物的方向前进6米到达D 处，测得仰角为60，求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，3 1.732≈，2 1.414)≈【解析】设AB x =米， ∵∠C =45°，∴在Rt ABC △中，BC AB x ==米，60ADB ∠=， 6CD =米，∴在Rt ADB △中tan ∠ADB =ABBD， tan60°=6xx -， 解得)333114.2x =≈米答，建筑物的高度为14.2米．14．如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的P点测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时P点距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67）15．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）【解析】如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H．由题意知，AB=300cm，BE=AC=50cm，AH=50cm，∠AGH=30°．在Rt△AGH中，∵AG=2AH=100cm，∴CG=AC+AG=150cm，则CD=12CG=75cm．∵EG=AB﹣BE+AG=300﹣50+100=350（cm）．在Rt△EFG中，EF=EG tan∠EGF=350tan30°=350×33503（cm）．答：支撑角钢CD的长为75cm，EF 3503．。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-5三角函数的应用》题型分类练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》题型分类练习题（附答案）一．测量计算物体高度问题1．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．两栋居民楼之间的距离CD＝30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部？3．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）4．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）5．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）6．“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）7．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）8．如图，信号塔PQ座落在坡度i＝1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）9．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．10．图1是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：如图2，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD＝10cm，DE＝120cm，FG⊥DE，垂足为点G．（1）若∠θ＝37°50′，则AB的长约为cm；（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）（2）若FG＝30cm，∠θ＝60°，求CF的长．11．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）12．如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）二．实际问题数学抽象13．如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A＝30°，∠C＝45°，AC＝2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？14．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C 处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？15．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）16．如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．三．三角函数的应用17．如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）18．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）19．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）20．如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．（1）连结DE，求线段DE的长．（2）求点A，B之间的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）参考答案一．测量计算物体高度问题1．解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝20+5≈39.6（cm）．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°，∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝45°，∴CH＝BC sin60°＝10（cm），DP＝CD sin45°＝10（cm），∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝（10+10+5）（cm），∴下降高度：DE﹣DF＝20+5﹣10﹣10﹣5＝10﹣10≈3.2（cm）．2．解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，由图可知，FH＝CD＝30m，∵∠BFH＝∠α＝30°，在Rt△BFH中，BH＝，FC＝30﹣17.32＝12.68，再用12.68÷3≈4.23，所以在四层的上面，即第五层，答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）连接BC，∵BD＝3×10＝30＝CD，∴∠BCD＝45°，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．3．解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝5米，BH＝5≈8.65（米），∴DH＝15（米），在Rt△ADH中，AH＝≈＝20（米），∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．答：AB的长度约为11.4米．4．解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．由题意＝，即＝，CM＝（米），在Rt△AMN中，∵∠ANM＝90°，MN＝BC＝4，∠AMN＝72°，∴tan72°＝，∴AN≈12.32（米），∵MN∥BC，AB∥CM，∴四边形MNBC是平行四边形，∴BN＝CM＝（米），∴AB＝AN+BN＝12.32+1.5≈13.8（米）．5．解：方法一：如图1，过点D作DM⊥EF于M，过点D作DN⊥BA交BA延长线于N，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），∴BC＝AB•cos60°＝32×＝16（cm），∵DC＝84（cm），∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），∵∠F＝90°，∠DMF＝90°，∴DM∥FN，∴∠MDB＝∠ABC＝60°，在Rt△BDN中，sin∠DBN＝sin60°＝，∴DN＝×100＝50（cm），∵∠F＝90°，∠N＝90°，∠DMF＝90°，∴四边形MFND是矩形，∴DN＝MF＝50，∵∠BDE＝75°，∠MDB＝60°，∴∠EDM＝∠BDE﹣∠MDB＝75°﹣60°＝15°，∵DE＝70（cm），∴ME＝DE•sin∠EDM＝70×sin15°≈18.2（cm），∴EF＝ME+MF＝50+18.2≈104.8≈105（cm），答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．方法二：如图2，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，过点E作EG⊥HD延长线于G，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），∴BC＝AB•cos60°＝32×＝16（cm），∵DC＝84（cm），∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），同方法一得，DH＝BD•sin60°＝50（cm），∵在Rt△BDH中，∠DBH＝60°，∴∠BDH＝30°，∵∠BDE＝75°，∴∠EDG＝180°﹣∠BDH﹣∠BDE＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DEG＝90°﹣75°＝15°，∴DG＝DE•sin15°≈18.2（cm），∴GH＝DG+DH＝18.2+50≈104.8≈105（cm），∵∠F＝90°，∠H＝90°，∠G＝90°，∴EF＝GH≈105（cm），答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．6．解：∵BN∥ED，∴∠NBD＝∠BDE＝37°，∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴BE＝DE•tan∠BDE≈18.75（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA＝∠CAM＝45°，∴AF＝FC＝25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD＝EF，∵AE＝AB+EB＝35.75（cm），∴CD＝EF＝AE﹣AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．7．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°，在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．8．解：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．在Rt△QEN中，设EN＝x米，则EQ＝2x米，∵QN2＝EN2+QE2，∴20＝5x2，∵x＞0，∴x＝2，∴EN＝2（米），EQ＝MF＝4（米），∵MN＝3米，∴FQ＝EM＝1（米），在Rt△PFM中，PF＝FM•tan60°＝4（米），∴PQ＝PF+FQ＝（4+1）米．9．解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝AC sin30°＝50×＝25（cm），∵GD＝50﹣30＝20（cm），∴CD＝CG+GD＝25+20＝45（cm），连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝＝2CD＝90（cm），∴EH＝EC+CH＝AB﹣BE﹣AC+CH＝300﹣50﹣50+90＝290（cm），在Rt△EFH中，EF＝EH•tan30°＝290×＝（cm），答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm．10．解：（1）如图，作EP⊥BC于点P，作DQ⊥EP于点Q，则CD＝PQ＝10，∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠θ＝90°，且∠1＝∠2，∴∠3＝∠θ＝37°50′，则EQ＝DE sin∠3＝120×sin37°50′，∴AB＝EP＝EQ+PQ＝120sin37°50′+10＝83.2（cm），故答案为：83.2；（2）如图，延长ED、BC交于点K，由（1）知∠θ＝∠3＝∠K＝60°，在Rt△CDK中，CK＝＝（cm），在Rt△KGF中，KF＝＝＝（cm），则CF＝KF﹣KC＝﹣＝＝（cm）．11．解：过A作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH＝30×30＝900，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝9米，∴AB＝9，∴BG＝BH﹣HG＝7米，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9米，∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，∴共需土石为×200＝100（81﹣45）立方米．12．解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．由题意：tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x，∵四边形DMNC是矩形，∴DM＝CN＝2x，在Rt△NBC中，tan37°＝＝＝，∴BN＝x，∵x+3+x＝14，∴x＝3，∴DM＝6，答：坝高为6m．（2）作FH⊥AB于H．设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3+2y﹣y＝3+y，BH＝14+2y﹣（3+y）＝11+y，由△EFH∽△FBH，可得＝，即＝，解得y＝﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃），∴DF＝2﹣7，答：DF的长为（2﹣7）m．二．实际问题数学抽象13．解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，理由是：过B作BD⊥AC于D，∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，∴求出DB长和2.1m比较即可，设BD＝xm，∵∠A＝30°，∠C＝45°，∴DC＝BD＝xm，AD＝BD＝xm，∵AC＝2（+1）m，∴x+x＝2（+1），∴x＝2，即BD＝2m＜2.1m，∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．14．解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H＝90°，∴tan∠EFH＝i＝1：0.75＝＝，设EH＝4xm，则FH＝3xm，∴EF＝＝5xm，∵EF＝15m，∴5x＝15m，x＝3，∴FH＝3x＝9m．即山坡EF的水平宽度FH为9m；（2）∵L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，H＝AB+EH＝22.5+12＝34.5，H1＝0.9，∴日照间距系数＝L：（H﹣H1）＝＝，∵该楼的日照间距系数不低于1.25，∴≥1.25，∴CF≥29．答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．15．解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝OM＝0.6，∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝＝，∴GP＝OP＝≈0.404，∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．16．解：∵BH＝0.6米，sinα＝，∴AB＝＝1米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，BF＝AB，∴△EFK∽△FBJ∽△ABH，△FBJ≌△ABH，∴，BJ＝BH＝0.6米，即，解得，EK＝1.28，∴BJ+EK＝0.6+1.28＝1.88＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．三．三角函数的应用17．解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1，在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，∴BE＝AB•sin A＝1×sin35°≈0.6，∴AE＝AB•cos A＝1×cos35°≈0.8，在Rt△CDF中，∠D＝45°，CD＝1，∴CF＝CD•sin D＝1×sin45°≈0.7，∴DF＝CD•cos D＝1×cos45°≈0.7，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE＝CM，∴四边形BEMC是平行四边形，∴BC＝EM，在Rt△MEF中，FM＝CF+CM＝1.3，EF＝AD﹣AE﹣FD＝0.5，∴EM＝＝≈1.4，答：B与C之间的距离约为1.4米．18．解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．19．解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB 的延长线于E，∵AB∥CD，∴四边形AECF是矩形，∵∠BCD＝60°，∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，∴BE＝BC＝4，CE＝BC＝4，∵∠ADC＝135°，∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF＝AF＝CE＝4，由于FC＝AE，即4+2＝AB+4，∴AB＝4﹣2，∴S梯形ABCD＝（2+4﹣2）×4＝24，答：垂尾模型ABCD的面积为24．20．解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1m，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，∵△AEF是等边三角形，∴AK＝（m），∴FK＝＝（m），∴FM＝2FK＝（m），∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m），答：∠AFE的度数为60°，棚宽BC的长约为6.9m；（2）∵∠AFE＝74°，∴∠AFK＝37°，∴KF＝AF•cos37°≈0.80（m），∴FM＝2FK＝1.60（m），∴BC＝4FM＝6.40（m）＜6.92（m），6.92﹣6.40＝0.52≈0.5（m），答：当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．21．解：（1）如图，过点C作CF⊥DE于点F，∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°．∴∠DCF＝20°，∴DF＝CD•sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），∴DE＝2DF≈3.4cm，∴线段DE的长约为3.4cm；（2）∵横截面是一个轴对称图形，∴延长CF交AD、BE延长线于点G，连接AB，∴DE∥AB，∴∠A＝∠GDE，∵AD⊥CD，BE⊥CE，∴∠GDF+∠FDC＝90°，∵∠DCF+∠FDC＝90°，∴∠GDF＝∠DCF＝20°，∴∠A＝20°，∴DG＝≈≈1.8（cm），∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），∴AB＝2AG•cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．∴点A，B之间的距离22.2cm．。
(完整版)九年级数学下学期三角函数练习题
九年级数学下学期三角函数测试卷班级： 姓名： 座号： 成绩：一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC = 1，AB = 4 ， 则sinA 的值是 A ．1515 B ．41 C ．31 D ．4152．当锐角α>30°时，则cosα的值是 A ．大于12 B ．小于12C 3D 33．如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，现在从AC 上取一点B ，使得∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，要使A 、C 、E 在一条直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米；D ．o55tan 500米4. 如图1，在Rt △ABC 中，ACB ∠90=o，CD ⊥AB 于D ，若3BC =，4AC =，则tan BCD ∠的值为 （ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．455. 在△ABC 中，90C ∠=o，2B A ∠=∠，则cos A 等于（）Ａ．32Ｂ．123Ｄ．336. 如图2所示，旗杆AB 在C 处测得旗杆顶的仰角为30o， 向旗杆前进12m 到达D ，在D 处测得A 仰角为45o， 则旗杆的高AB 等于（ ）m ． Ａ．12 Ｂ．14Ｃ．16Ｄ．187. 在△ABC 中，90C ∠=o，12sin 13A =，周长为45，CD 是斜边AB 上的高，则CD 的长是（ ） Ａ．5613Ｂ．12613Ｃ．7613Ｄ．17128.△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 32sin 30B A +=（），则△ABC 是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形ＡＣＤＢ图1ＡＣＤＢ图2CE二、填空题：（每小题3分，共30分）1. 如图3，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD AB ∥．则α∠的余弦值为 2．已知：∠α是锐角，︒=36cos sin α，则α的度数是 。
2020—2021年北师大版初中数学九年级下册三角函数的应用专题练习及答案解析.docx
北师大版数学九年级下册三角函数的应用课时练习一、单选题（共15题）1．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．(11-米 B． C．(11- D．4)米答案：D解析：解答：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米， ∴在直角△CPD 中，DP=DC •cot30°m ，PC=CD ÷（sin30°）=4米，∵∠P=∠P ，∠PDC=∠B=90°， ∴△PDC ∽△PBO ，∴PD CDPB OB=，∴PB=112PD OB CD ⋅==米，∴BC=PB-PC=4)米．故选：D ．分析: 出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB 、PC ，再相减即可求得BC 长2.如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB 的长为3m ，点D 、B 、C 在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD 的长是（ ）解析：解答: 假设AC=x，∴BC=x，∵滑梯AB的长为3m，∴2x2=9，解得：x=2∵∠D=30°，∴2AC=AD，∴故选C．分析:根据∠ABC=∠BAC=45°，AB=3，求出AC的长，再利用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求出即可。
3.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（）A ．6sin 50oB ．6tan 50oC ．6cos50°D ．6cos50o答案：D解析：解答:∵BC=6米，∠ACB=50°，∴cos50°=BCAC，∴AC=6cos50cos50BC o o（米）； 故选D ．分析:此题考查了解直角三角形，解决此类问题的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决4.如图，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD=30°，在C 点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B 点到河岸AD 的距离为（ ）A．100米 B．米 C．3米 D．50米答案:C解析：解答:过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=12BC=50米，∴米，故选：B．分析:过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM 的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案5.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米 B．6米 C．8米 D．（答案:A解析：解答: 设CD=x，则AD=2x，由勾股定理可得，x，∵，∴x=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，=8米，∴BC=8-3=5米．故选A．分析:设CD=x ，则AD=2x ，根据勾股定理求出AC 的长，从而求出CD 、AC 的长，然后根据勾股定理求出BD 的长，即可求出BC 的长6.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为（ ）A ．5mB ．103m C ．．答案:D解析：解答:∵AB=10米，tanA=12BC AC∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得∴故选D．分析:可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长7.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（）A ．5cmB ．．10m D m答案:C解析：解答：如图所示：过点C 作CE ⊥AB 延长线于点E ，∵∠ABC=150°， ∴∠CBE=30°，∵从点B 到点C 上升的高度为5m ， ∴电梯BC 的长是10m ． 故选：C ．分析:根据直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而得出即可8. 一斜坡为1米，那么坡比为（ ）A ．1：3B ．1：13C ．1．1：10答案:A解析：解答:∵一斜坡为1米，∴坡的水平宽度为：3m ，∴坡比为：13故选：A．分析:直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，进而得出答案9.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（）A．56米 B．66米 C．（）米 D．（）米答案:C解析：解答:作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE 是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB 的坡度i 为1：2.5，在Rt △ABE 中，∵12.5BE AE ∴AE=50米， 在Rt △CFD 中， ∵∠D=30°， ∴DF=CFcot ∠米，∴（）米．故选C ．分析:过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可10.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD 和BC 的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF 为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75答案:D解析：解答: 如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=12×（GH-EF）=12×（2.1-1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM ：0.45=1：0.6， ∴EM=0.75， 故选：D ．分析:先过点E 作EM ⊥GH 于点M ，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM ，再根据斜坡AD 的坡度为1：0.6，得出EM ：GM=1：0.6，最后代入计算即可11.如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC 为6m ，则这两棵树之间的坡面AB 的长为（ ）A ．12mB ．．．答案:C解析：解答:如图，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6m ，∴AB=cos30AC ==om ）．故选C ．分析:AB 是Rt △ABC 的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB 的长．12.如图，市政府准备修建一座高AB=6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为（ ）m ．A ．10B ．8C ．6D ．答案:A解析：解答: ∵天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，∴sinC=35AB AC =， 则635AC = 解得：AC=10，则坡面AC 的长度为10m ． 故选：A ．分析:此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键m，∴AC=BC÷∴．故选：D．分析: 在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．14.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米 B．28米 C．30米 D．46米答案: D解析：解答：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．分析:根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．15.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高答案:D解析：解答：甲放的高度为：300×sin30°=150米．乙放的高度为：250×sin45°≈176.75米．丙放的高度为：200×sin60°所以乙的最高．故选D．分析:利用所给角的正弦值求出每个小朋友放的风筝高度，比较即可二、填空题（共5题）16.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了_____________米．答案: 1000解析：解答:过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，∵AB=2000米，∠A=30°，∴BC=ABsin30°=2000×12=1000．故答案为：1000分析: 过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=2000米，∠A=30°，求出BC的长度即可17.如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是_________米（结果保留根号）答案:解析：解答:如图，Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=13，AC=6，∴BC=AC•tanA=6×13 =2．根据勾股定理，得：=邻两树间的坡面距离是米．分析：在由每两棵树构建的直角三角形中，已知了水平宽为6米，根据坡度可求出坡面的铅直高度，进而可根据勾股定理求得坡面长，即相邻两树间的坡面距离．18.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：则AB的长为_______答案: 12米解析：解答:∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1∴BC：AC=1∴（米），==∴12故答案为12米．分析:在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC 的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长19.如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC=_________米．（可以用根号表示）答案：6m解析：解答：作CF ⊥AB 的延长线于F ，∵∠ABC=135°，∴∠CBF=180°-135°=45°，∴CF=BC •sin45°×2=6．故答案为6．分析:作CF ⊥AB 的延长线于F ，求出∠CBF=45°，然后利用三角函数求出CF 的长即可．三、解答题（共5题）21.两棵树种在倾角为24°36′的斜坡上，它们的坡面距离是4米，求它们之间的水平距离（可用计算器计算，精确到0.1米）答案：3.6米．解析：解答: 由题意得cos24°36′ =0.909，解得：水平距离≈3.6米．故答案为：3.6．分析:倾角为24°36′，即坡角为24°36′，利用余弦关系可求出它们之间的水平距离．22.如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：2，求坡角α的正弦值sinα∵AB的坡度i=1：3，∴tanα=12 AC BC设AC=x，BC=3x，根据勾股定理可得：则sin α=AC AC AB ==故答案为分析：本题考查了坡度坡角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用及坡角的定义 23.如图，如果某个斜坡AB 的长度为10米，且该斜坡最高点A 到地面BC 的铅垂高度为8米，求该斜坡的坡比答案：6米解析：解答：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．。
北师大版九年级数学下册 1.6 三角函数的应用-测高问题(含答案)
北师大版九年级数学下册 1.6 三角函数的应用-测高问题一、单选题1．如图，小明在300米高的楼顶上点A处测得一塔的塔顶D与塔基C的俯角分别为30°和60°，则塔高CD为（）A.100米B.1003米C.180米D.200米2．休闲广场的边缘是一个坡度为i＝1：2.5的缓坡CD，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB＝0.5m，B到缓坡底端C的距离BC＝0.7m．若秋千的长OA＝2m，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为（）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．0.7m3．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米4．（2017重庆A卷第11题）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A.5.1米B.6.3米C.7.1米D.9.2米二、填空题5．学校两幢教学楼的高度AB=CD=20m, 两楼间的距离AC=15m，已知太阳光与水平线的夹角30°，则甲楼投在乙楼上的影子的高度为_____m高.（保留根号）6．如图所示，在两建筑物之间有一高为15米的旗杆，从高建筑物的顶端A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的底端墙角C点，且俯角a为60°，又从A点测得矮建筑物左上角顶端D点的俯角β为30°，若旗杆底部点G为BC的中点（点B为点A向地面所作垂线的垂足）则矮建筑物的高CD为_____．三、解答题7．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH＝22米，HF＝2米，HE＝1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）8．如图，王明站在地面B处用测角仪器测得楼顶点E的仰角为45°，楼顶上旗杆顶点F的仰角为55°，已知测角仪器高AB=1.5米，楼高CE=14.5米，求旗杆EF的高度（精确到1米）．（供参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4．）9．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量： c ，c ， c ， c ．（结果精确到0.1）（1）如图2，，．①填空：_________°；②求投影探头的端点到桌面的距离．（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为c 时，求的大小．（参考数据：sin，cos，sin，cos）10．如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．求楼间距AB的长度为多少米？（参考数据：sin32.3°＝0.53，cos32.3°＝0.85，tan32.3°＝0.63，sin55.7°＝0.83，cos55.7°＝0.56，tan55.7°＝1.47）11．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）12．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3＝1.73）13．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m ．（1）求∠CAE 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？ （结果精确到个位，参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈，6 2.4≈）．14．随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为 开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测 量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG=27m ， GF=17.6m （注：C 、G 、 F 三点在同一直线上，CF ⊥AB 于点 F ）．斜坡 CD=20m ， 坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度．（参考数据：3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）15．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC 垂直于地面AB ，P 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为PDE ∆，F 为PD 中点， 2.8AC m =，2PD m =，1CF m =，20DPE ∠=.当点P 位于初始位置0P 时，点D 与C 重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与PE 垂直时，遮阳效果最佳.（1）上午10:00时，太阳光线与地面的夹角为65（图3），为使遮阳效果最佳，点P 需从0P 上调多少距离？（结果精确到0.1m ）（2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 700.94≈，cos 700.34≈，tan 70 2.75≈，2 1.41≈，3 1.73≈）16．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A =120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=34，求灯杆AB 的长度．17．如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24米，小明在点E （B ，E ，D 在一条直线上）处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8米到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB 长．（精确到0.1米）参考值：2≈1.41，3≈1.73．18．如图，在某街道路边有相距10m 、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面A 处测得路灯PQ 的顶端仰角为14°，向前行走25m 到达B 处，在地面测得路灯MN 的顶端仰角为24.3°，已知点A ，B ，Q ，N 在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin24.3°≈0.41，cos24.3°≈0.91，tan24.3°≈0.45）19．如图，在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A 、C 、E 在同一直线上．（1）求斜坡CD 的高度DE ；（2）求大楼AB 的高度（结果保留根号）20．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m 的标语牌，即3CD m =．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D 到地面的距离．测角仪支架高 1.2AE BF m ==，小明在E 处测得标语牌底部点D 的仰角为31︒，小红在F 处测得标语牌顶部点C 的仰角为45︒，5=AB m ，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D 到地面的距离DH 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，H 在同一平面内）（参考数据：tan 310.60︒≈，sin 310.52︒≈，cos310.86)︒≈21．如图，为了测量建筑物AB 的高度，在D 处树立标杆CD ，标杆的高是2m .在DB 上选取观测点E 、F ，从E 测得标杆和建筑物的顶部C 、A 的仰角分别为58、45，从F 测得C 、A 的仰角分别为22、70.求建筑物AB 的高度（精确到0.1m ） .（参考数据：tan 220.40≈，tan 58 1.60≈，tan 70 2.75≈.）22．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P 处测得古塔顶端M 的仰角为60︒，沿山坡向上走25m 到达D 处，测得古塔顶端M 的仰角为30︒．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助小明计算古塔的高度ME ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.732≈）23．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30º，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）24．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60，同i=的斜坡从C走到时测得教学楼窗户D处的仰角为30(A、B、D、E在同一直线上)．然后，小明沿坡度1:1.5F处，此时DF正好与地面CE平行．(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，2 1.41≈，≈)．3 1.7325．某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A 处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m）（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m）（cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）i 的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF 26．如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度1:2与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45，然后沿坡面CF上行了205米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30，求楼AB的高度．27．（2017四川省达州市）如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为25米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）28．如图，小明在教学楼的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为45°，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为10米．请你帮助小明计算树的高度（精确到0.1米）．29．（2017湖北省鄂州市）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．30．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）参考答案1．D【解析】【分析】构造AD为斜边的直角三角形，利用直角三角形的性质以及相应的三角函数求出CE、DE的长，进而求解即可【详解】解：延长CD交过A的水平线于点E．∵在300m高的峭壁上测得一塔的塔基的俯角为60°．∴BC＝3003．易得AE＝3003，CE＝AB＝300．∵在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶的俯角分别为30°，且BC＝3003．∴DE＝100 ∴CD＝200．故选：D．本题考查了解直角三角形的应用以及仰角俯角问题，熟练掌握相关概念是解题关键 2．D 【解析】 【分析】延长OA 与BC 交于点B ，延长A 'E ，与BC 的延长线交于点F ，过点A '作A 'H ⊥OB 于点H ． 根据三角函数得到AH ，HB ，进而得到CF ，由1=2.5EF CF ，进行计算即可得到答案. 【详解】解：如图，延长OA 与BC 交于点B ，延长A 'E ，与BC 的延长线交于点F ，过点A '作A 'H ⊥OB 于点H ．在Rt △OHA '中，=cos370.8OHOA ︒=、，=sin370.6A HOA ︒=、、， ∴OH ＝0.8OA '＝0.8×2＝1.6（m ），A 'H ＝0.6OA '＝0.6×2＝1.2（m ），∴AH ＝OA ﹣OH ＝2﹣1.6＝0.4（m ），HB ＝HA +AB ＝0.4+0.5＝0.9（m ），A 'F ＝HB ＝0.9（m ），BF ＝HA '＝1.2m ， ∴CF ＝BF ﹣BC ＝1.2﹣0.7＝0.5（m ）， 在Rt △EFC 中， 1=2.5EF CF ， EF ＝25CF ＝25×0.5＝0.2（m ），∴A 'E ＝A 'F ﹣EF ＝0.9﹣0.2＝0.7（m ）【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是掌握三角函数的计算及实际应用. 3．A【解析】【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AM EM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB +，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．A【解析】如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE=PQ=2，CQ=PE，∵i=140.753 CQBQ==，∴设CQ=4x、BQ=3x，由BQ² +CQ²=BC²可得(4x)²+(3x)²=102，解得：x=2或x=−2(舍)，则CQ=PE=8，BQ=6，∴DP=DE+PE=11，在Rt△ADP中,∵AP=11tan tan40DPA=∠︒≈13.1，∴AB=AP−BQ−PQ=13.1−6−2=5.1，故选：A.点睛：此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．5．2053-【解析】【分析】延长MB与CD交于E点，过E作EF垂直于AB与点F，由题意得∠E=∠MBN=30°，在Rt△BEF中，可求出BF，则EC=AF=AB-BF.【详解】如图所示，延长MB与CD交于E点，过E作EF垂直于AB与点F，由题意得∠E=∠MBN=30°，EF=AC=15m，在Rt△BEF中3BF=EF tan E=15=533∠⨯，∴EC=AF=AB-BF=20-53.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.6．20米【解析】【分析】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC和在Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度．【详解】解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10米．在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10米，∴FD＝AF•tanβ＝10×＝10米，∴CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．故答案为：20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度. 7．（1）45°；（2）2.75米【解析】【分析】（1）由cos∠FHE＝HEHF＝22可得答案；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM＝AB，HN＝EG，Rt△ABC中，求得AB＝BC tan60°＝1.33；Rt△ANH中，求得HN＝AH sin45°＝12；根据EM＝EG+GM可得答案．【详解】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝HEHF＝12＝22，∴∠FHE＝45°．答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM＝AB，HN＝EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝AB AC，∴AB＝BC tan60°＝1.3×3＝1.33（米），∴GM＝AB＝1.33（米），在Rt△ANH中，∠F AN＝∠FHE＝45°，∴HN＝AH sin45°＝22×22＝12（米），∴EM＝EG+GM＝12+1.33≈2.75（米）．答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．故答案为：（1）45°；（2）2.75米．【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．8．5米.【解析】【详解】易知四边形ABCD为矩形，CD＝AB＝1.5米，∴DE＝CE－AB＝13．在Rt△ADE中，∵∠EAD＝45°，AD＝DE＝13米，在Rt△ADF中，∠FAD＝55°，DF＝AD·tan55°＝13×1.4＝18.2，∴EF＝DF－DE＝18.2－13＝5.2≈5（米）．答：旗杆EF的高约为5米．【点睛】本题考查三角函数，解答本题要求考生掌握三角函数的定义，利用三角函数的定义来做题，要会做有关三角函数的题.9．（1）①160°，② c ;(2) 当投影探头的端点到桌面的距离为c 时，为33.2°．【解析】【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质解答便可；②过点作于点，解直角三角形求出，进而计算使得结果；（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，求出，再解直角三角形求得便可．【详解】解：（1）①过点作，如图1，则，，，，，故答案为：160；②过点作于点，如图2，则sin sin，投影探头的端点到桌面的距离为：；（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图3，则，，，，，，sin，，．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．10．50m．【解析】【分析】如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB=CM=DN，设EM＝xm，AB＝DN＝CM＝ym．根据题中所给角度的正切构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，作CM⊥BE于M，DN⊥BE于N．则四边形CDNM是矩形，设EM＝xm，AB＝DN＝CM＝ym．在Rt △CEM 中，∵tan ∠ECM ＝EM CM＝0.63， ∴x y＝0.63 ①， 在Rt △DEN 中，∵tan ∠EDN ＝EN DN ＝1.47， ∴42x y +＝1.47 ②， 由①②可得y ＝50，答：楼间距AB 的长度为50m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型.11．云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【解析】【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ，∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米），由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BD BAD AD∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）. 在Rt ACD ∆中，tan CD CAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）.∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）.答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．12．旗杆AB的高度约等于8.2m【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，设BM=x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】过点C作CE AB⊥于点E，2 CD=，1 tan3CMD∠=，6MD∴=，设BM x=，6BD x∴=+，60AMB∠=︒，30BAM∴∠=︒，3AB x∴=，已知四边形CDBE是矩形，2BE CD∴==，6CE BD x==+，32AE x∴=-，在Rt ACE∆中，tan30AECE︒=，∴13263x x -=+， 解得：33x =+，33338.2AB x m ∴==+≈【点睛】此题考查解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数的定义，解题关键在于作辅助线和列出方程组. 13．（1）75°；（2）这棵大树折断前高约10米．【解析】【分析】（1）延长BA 交EF 于点G ，根据直角三角形的性质求出∠GAE 的度数，再由补角的定义即可得出结论；（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ，在△ADH 中，利用锐角三角函数的定义求出DH 的长，同理可得出AC 的长，由AB ＝AC ＋CD 即可得出结论．【详解】（1）延长BA 交EF 于点G ，在Rt AGE 中，E 23∠=︒，∴GAE 67∠=︒．又∵BAC 38∠=︒，∴CAE 180673875∠=︒-︒-︒=︒；（2）过点A 作AH CD ⊥，垂足为H ，在ADH 中，ADC 60AD 4∠=︒=，，DH cos ADC AD∠=， ∴DH 2=． AH sin ADC AD∠=， ∴AH 23=，在Rt ACH 中，C 180756045∠=︒-︒-︒=︒， ∴AC 26=，CH AH 23==． ∴AB AC CD 2623210=+=++≈（米）．答：这棵大树折断前高约10米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．14．瀑布AB 的高度约为45.4 米．【解析】【分析】过点D 作DM⊥CE，交CE 于点M，作DN⊥AB，交AB 于点N，在Rt△ CMD 中，通过解直角三角形可求出CM 的长度，进而可得出MF、DN 的长度，再在Rt△BDN、Rt△ADN 中，利用解直角三角形求出BN、AN 的长度，结合AB=AN+BN 即可求出瀑布AB 的高度．【详解】如图，过点D 作DM⊥CE，交CE 于点M，作DN⊥AB，交AB 于点N，在Rt△CMD 中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，∴CM=CD•cos40°≈15.4 ，DM=CD•sin40°≈12.8 ，∴DN=MF=CM+CG+GF=60m，在Rt△BDN 中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，∴BN=DN•tan10°≈10.8 ，在Rt△ADN 中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，∴AN=DN•tan30°≈34.6 ，∴AB=AN+BN=45.4m，答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题、坡度坡角问题，添加辅助线构造直角三角形，求出 AN 、BN 的长度是解题的关键．15．（1）点P 需从0P 上调0.6m ；（2）点P 在（1）的基础上还需上调0.7m . 【解析】【分析】（1）如图2，当点P 位于初始位置0P 时，02CP m =. 10:00时，太阳光线与地面的夹角为65，点P 上调至1P 处，165CPE ∠=.11145.1,45CPF CF PF m C CPF ∠===∠=∠=,1 CPF ∆为等腰直角三角形，12CP m =，即可求出点P 需从0P 上调的距离.（2）中午12:00时，太阳光线与PE ，地面都垂直，点P 上调至2P 处，过点F 作2FG CP ⊥于点G ，22cos7010.340.34GP P F m =⋅=⨯=，2220.68CP GP m ==，根据1212PP CP CP =-即可求解.【解答】（1）如图2，当点P 位于初始位置0P 时，02CP m =. 如图3，10:00时，太阳光线与地面的夹角为65，点P 上调至1P 处，190∠=，90CAB ∠=，∴1115APE ∠=， ∴165CPE ∠=. ∵120DPE ∠=，∴145CPF ∠=. ∵11CF PF m ==，∴145C CPF ∠=∠=， ∴1CPF ∆为等腰直角三角形，∴12CP m =，∴0101220.6P P CP CP m =-=-≈，即点P 需从0P 上调0.6m .（2）如图4，中午12:00时，太阳光线与PE ，地面都垂直，点P 上调至2P 处， ∴2//P E AB .∵90CAB ∠=，∴290CP E ∠=.∵220DP E ∠=，∴22270CP F CP E DP E ∠=∠-∠=.∵21CF P F m ==，得2CP F ∆为等腰三角形，∴270C CP F ∠=∠=. 过点F 作2FG CP ⊥于点G ，∴22cos7010.340.34GP P F m =⋅=⨯=， ∴2220.68CP GP m ==，∴121220.680.7PP CP CP m =-=-≈，即点P 在（1）的基础上还需上调0.7m .【点评】考查等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练运用三角函数是解题的关键.可以数形结合.16．灯杆AB的长度为2米．【解析】分析：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．设BF=3x知EF=4x、DF=BFtan BDF∠，由DE=18求得x=4，据此知BG=BF-GF=1，再求得∠BAG=∠BAC-∠CAG=30°可得AB=2BG=2．详解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．由题意得∠BDE=α，tan∠β=34．设BF=3x，则EF=4x在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=BF DF，∴DF=31=62BF xx tan BDF=∠，∵DE=18，∴12x+4x=18． ∴x=4． ∴BF=12，∴BG=BF-GF=12-11=1， ∵∠BAC=120°，∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°． ∴AB=2BG=2，答：灯杆AB 的长度为2米．点睛：本题主要考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．17．教学楼AB 的高度AB 长13.3m ． 【解析】 【分析】如图，延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m ，HF=GE=8m ，MF=BE ，HN=GD ，MN=BD=24m ，设AM=xm ，则CN=xm ，在Rt △AFM 中，可得MF=x ，在Rt △CNH 中，可得HN=3x ，根据HF=MF+HN ﹣MN 可得关于x 的方程，解方程求得x 的值，继而可求得AB 的值. 【详解】延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，如图所示，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m ，HF=GE=8m ，MF=BE ，HN=GD ，MN=BD=24m ， 设AM=xm ，则CN=xm ， 在Rt △AFM 中，MF=tan 451AM x=︒=x ，在Rt △CNH 中，HN=3tan 3033CN xx==︒， ∴HF=MF+HN ﹣MN=x+3x ﹣24，即8=x+3x ﹣24， 解得，x≈11.7， ∴AB=11.7+1.6=13.3m ，答：教学楼AB 的高度AB 长13.3m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 18．路灯的高度约为8.4m ． 【解析】 【分析】设PQ ＝MN ＝xm ，根据正切的定义分别用x 表示出AQ 、BN ，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设PQ ＝MN ＝xm ，在Rt △APQ 中，tanA ＝PQAQ， 则AQ ＝tan x A ≈0.25x＝4x ，在Rt△MBN中，tan∠MBN＝MN BN，则BN＝tan MNMBN≈0.45x＝209x，∵AQ+QN＝AB+BN，∴4x+10＝25+209x，解得，x≈8.4，答：路灯的高度约为8.4m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．19．（1）2米；（2）（6+4）米.【解析】【分析】（1）在在Rt△DCE中，利用30°所对直角边等于斜边的一半，可求出DE=2米；（2）过点D作DF⊥AB于点F，则AF=2，根据三角函数可用BF表示BC、BD，然后可判断△BCD是Rt△，进而利用勾股定理可求得BF的长，AB的高度也可求.【详解】（1）在Rt△DCE中，∠DEC=90°，∠DCE=30°，∴DE=DC=2米；（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，则AF=DE=2米.∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，∴BF=DF.设BF=DF=x米，则AB=（x+2）米，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，∴sin∠BCA=，∴BC=AB÷sin∠BCA=（x+2）÷=米，在Rt△BDF中，∠BFD=90°，米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°.∴，解得：或(舍) ，则AB=米．考点：1特殊直角三角形；2三角函数；3勾股定理. 20．能，点D 到地面的距离DH 的长约为13.2m ． 【解析】 【分析】延长EF 交CH 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到CN NF =，根据正切的定义求出DN ，结合图形计算即可． 【详解】 能，理由如下：延长EF 交CH 于N ， 则90CNF ∠=︒，45CFN ∠=︒， CN NF ∴=，设DN xm =，则(3)NF CN x m ==+， 5(3)8EN x x ∴=++=+，在Rt DEN ∆中，tan DNDEN EN∠=，则tan DN EN DEN =∠， 0.6(8)x x ∴≈+，解得，12x =，则12 1.213.2()DH DN NH m =+=+=，答：点D 到地面的距离DH 的长约为13.2m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 21．建筑物AB 的高度约为5.9m . 【解析】分析：在Rt CED 中,用三角函数表示DE 的长度, 在Rt CFD 中，用三角函数表示出DF 的长度,从而得到22tan22tan58EF =-,同理得tan45tan70AB ABEF =-,建立等量关系,求出即可. 详解：在Rt CED 中，58CED ∠=，∵tan58CDDE=. ∴2tan58tan58CD DE ==.在Rt CFD 中，22CFD ∠=，∵tan22CDDF=∴2tan22tan22CD DF ==.∴22tan22tan58EF DF DE =-=-.同理tan45tan70AB ABEF BE BF =-=-. ∴22tan45tan70tan22tan58AB AB -=-. 解得()5.9m AB ≈.因此，建筑物AB 的高度约为5.9m .点睛：此题主要考查了仰角与俯角问题，根构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力. 22．古塔的高度ME 约为39.8m ． 【解析】 【分析】作DC EP ⊥交EP 的延长线于点C ，作DF ME ⊥于点F ，作PH DF ⊥于点H ，先在Rt △DCP 中利用已知条件利用勾股定理求出DC 和PC 的长，从而可得DH 和EF 的长，设MF y =，分别在Rt △MPE 和Rt △MFD 中根据60°和30°的三角函数用y 的代数式表示出PE 和DF ，再根据PE 、DF 和DH 的关系列出方程，解方程后即可求出结果. 【详解】解：作DC EP ⊥交EP 的延长线于点C ，作DF ME ⊥于点F ，作PH DF ⊥于点H ，则DC PH FE ==，DH CP =，HF PE =，设3DC x =，∵3tan 4θ=，∴4CP x =， 由勾股定理得，222PD DC CP =+，即22225(3)(4)x x =+，解得，5x =， 则315DC x ==，420CP x ==， ∴20DH CP ==，15FE DC ==， 设MF y =，则15ME y =+，在Rt MDF V 中，tan MF MDF DF∠=，则3tan 30MFDF y ==o， 在Rt MPE V 中，tan ME MPE PE ∠=，则3(15)tan 603ME PE y ==+o ， ∵DH DF HF =-，∴33(15)203y y -+=，解得，7.5103y =+， ∴7.51031539.8ME MF FE =+=++≈. 答：古塔的高度ME 约为39.8m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和仰角、坡度等概念，熟练掌握锐角三角函数的定义、灵活运用数形结合和方程的思想是解题的关键. 23．13米. 【解析】试题分析：根据矩形性质得出DG=CH ，CG=DH ，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可． 试题解析：如图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DH ⊥CE 于H ， 则四边形DHCG 为矩形． 故DG=CH ，CG=DH ， 在直角三角形AHD 中，∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=33， ∴CG=3， 设BC 为x ，在直角三角形ABC 中，AC=tan BAC BC ∠=x1.11，∴DG=33+x1.11，BG=x ﹣3， 在直角三角形BDG 中，∵BG=DG•tan30°，∴x ﹣3=（33+x 1.11）33⋅解得：x≈13，∴大树的高度为：13米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．24．(1)点F 到地面的距离为23米；(2)宣传牌的高度约为4.3米． 【解析】 【分析】(1)过点F 作FG EC ⊥于G ，依题意知FG DE ，DF GE P ，90FGE ∠=o ；得到四边形DEFG 是矩形；根据矩形的性质得到FG DE =；解直角三角形即可得到结论； (2)解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：(1)过点F 作FG EC ⊥于G ，依题意知FG DE ，DF GE P ，90FGE ∠=o ； ∴四边形DEFG 是矩形； ∴FG DE =； 在Rt CDE ∆中，tan DE CE DCE =⋅∠； 6tan 3023=⨯=o (米)；∴点F 到地面的距离为23米； (2)∵斜坡CF ：1:1.5i =．∴Rt CFG ∆中， 1.523 1.533CG FG ==⨯=，∴336FD EG ==+． 在Rt BCE ∆中，tan 6tan 6063BE CE BCE =⋅∠=⨯=o ．∴AB AD DE BE =+-．336236363 4.3=++-=-≈(米)．答：宣传牌的高度约为4.3米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 25．（1）甲楼的高度为18.60m ，彩旗的长度为36.05m ；（2）乙楼的高度为31.25m ，甲乙两楼之间的距离为37.20m ． 【解析】试题分析：（1）在直角三角形ABE 中，利用锐角三角函数定义求出AE 与BE 的长即可；（2）过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于M ，在直角三角形GMF 中，利用锐角三角函数定义表示出GM 与GD ，设甲乙两楼之间的距离为xm ，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 试题解析：解：（1）在Rt △ABE 中，BE =AB •tan31°=31tan31°≈18.60，AE =cos31AB =31cos31≈36.05，则甲楼的高度为18.60m ，彩旗的长度为36.05m ；（2）过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于M ，在Rt △GMF 中，GM =FM •tan19°，在Rt △GDC 中，DG =CD •tan40°，设甲乙两楼之间的距离为xm ，FM =CD =x ，根据题意得：x tan40°﹣x tan19°=18.60，解得：x =37.20，则乙楼的高度为31.25m ，甲乙两楼之间的距离为37.20m ．点睛：此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 26．楼AB 的高度为()50303+米． 【解析】 【分析】 由12DE i EC ==，222DE EC CD +=，解得20DE m =，40EC m =，过点D 作DG AB ⊥于G ，过点C 作CH DG ⊥于H ，则四边形DEBG 、四边形DECH 、四边形BCHG 都是矩形，证得AB BC =，设AB BC x m ==，。
北师大版九年级下册数学-三角函数的应用巩固练习(Word版含答案)
九年级下册数学巩固练习（北师大版）1.4 三角函数的应用学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1.如图,有一斜坡AB ,坡顶B 离地面的高度BC 为30 m,斜坡的倾斜角是BAC ∠,若2tan 5BAC ∠=,则此斜坡的水平距离AC 为( )A.75 mB.50 mC.30 mD.12 m2.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB 的倾斜角为37°,大厅两层之间的距离BC 为6米,则自动扶梯AB 的长约为（参考数据：sin370.6︒≈,cos370.8︒≈,tan370.75︒≈）( )A.7.5米B.8米C.9米D.10米 3.如图,电线杆CD 的高度为h ,两根拉线AC 与BC 相互垂直(A ,D ,B 在同一条直线上),设CAB α∠=,则拉线BC 的长度为( )A.sin h αB.cos h αC.tan h αD.cos h α⋅ 4.如图,长4 m 的楼梯AB 的倾斜角ABD ∠为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角ACD ∠为45°,则调整后的楼梯AC 的长为( )A.23mB.26mC.(232m )-D.(262m )-5.如图,一艘潜水艇在海面下300 m 的点A 处发现其正前方的海底C 处有黑匣子,同时测得黑匣子C 的俯角为30°,潜水艇继续在同一深度直线航行960 m 到点B 处,测得黑匣子C 的俯角为60°,则黑匣子所在的C 处距离海面的深度是( )A.(4803300)m +B.3300)mC.780 mD.1260 m6.如图是拦水坝的横断面,堤高BC 为6米,斜面的坡度为1:2,则斜坡AB 的长为( )A.43B.5C.125D.24米7.如图,一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302至B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至C 港,C 港在A 港北偏东20°方向,则A ,C 两港之间的距离为( )A.(30303)+kmB.(30103)+kmC.(10303)+kmD.303km8.如图,在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC ,某同学为了测量信号塔的高度,在地面上A 处测得信号塔下端D 的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了8米到达地面上B 处,又测得信号塔顶端C 的仰角为45°,直线CD AB ⊥交直线AB 于点E ,E 、B 、A 三点在条直线上,则信号塔CD 的高度为( )A.203B.(2038)米C.(20328)米D.(20320)米9.如图,两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上,量得ABC α∠=,ADC β∠=,则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A.tan tan αβB.sin sin βαC.sin sin αβD.cos cos βα10.小明在学完《解直角三角形》一章后,利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度,如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等,小明先将PB 拉到PB '的位置,测得PB C α'∠=（B C '为水平线）,测角仪B D '的高度为1米,则旗杆PA 的高度为( )A.11sin α+米B.11cos α-米C.11sin α-米D.11cos α+米 二、填空题11.如图,在量角器的圆心O 处下挂一铅锤,制作了一个简易测倾仪.量角器的0刻度线AB 对准楼顶时,铅垂线对应的读数是50°,则此时观察楼顶的仰角度数是__________.12.数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度,已知无人机的飞行高度为40米,当无人机与旗杆的水平距离是45米时,观测旗杆顶部的俯角为30°,则旗杆的高度约为__________米（结果精确到1米,2 1.41≈3 1.73）.α=时,人字梯顶端离地面的高度AD约是13.如图人字梯AB,AC的长都为2 m,当50____________米.（结果精确到0.1 m,参考数据：︒≈）︒≈,tan50 1.19sin500.77︒≈,cos500.6414.如图,我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD,//DC AB,BC长6 m,坡角β为45°,AD的坡角α为30°,则AD长为______________m（结果保留根号）.15.如图,从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°,看楼下荷塘D处的俯角为60°,已知楼高AB为30米,则荷塘的宽CD为_______________米（结果保留根号）.三、解答题16.如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距20 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°,观测旗杆底部B的仰角为45°,求旗杆AB的高度（结果保留小数点后一位,参考数据：sin520.79≈）.︒≈,cos520.62︒≈2 1.41︒≈,tan52 1.2817.某校为检测师生体温,在校门安装了某型号测温门.如图为该测温门截面示意图,已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2 m,为了解自己的有效测温区间,身高1.6 m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度,此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时,测温门停止显示额头温度,此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度（额头到地面的距离以身高计,计算精确到0.1m,sin180.31︒≈）.︒≈,cos180.95︒≈,tan180.3218.小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选取了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G,使5mDG=,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方向移动,当移动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得2mEF=,测倾器的高FG=,小明眼睛与地面的距离 1.6mCD=.已知点F,G,D,B在同一水平直线上,且EF,CD,AB均垂直于FB,求这棵古树的高0.5mAB（小平面镜的大小忽略不计）.19.拓展小组研制的智能操作机器人,如图①,水平操作台为l,底座AB固定,高AB为50 cm,连杆BC长度为70 cm,手臂CD长度为60 cm.点B,C是转动点,且AB,BC与CD始终在同一平面内.（1）转动连杆BC,手臂CD,使143CD l,如图②,求手臂端点D离操作台l的高度∠=︒,//ABCDE的长（精确到1 cm.参考数据：sin530.8︒≈）.︒≈,cos530.6（2）物品在操作台l上,距离底座A端110 cm的点M处,转动连杆BC,手臂CD,手臂端点D 能否碰到点M？请说明理由.20.在数学实践与综合课上,某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1,2号楼进行测高实践,如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点B垂直起飞到达点A处,测得1号楼顶部E的俯角为67°,测得2号楼顶部F的俯角为40°,此时航拍无人机的高度为60米,已知1号楼的高度为20米,且EC和FD分别垂直地面于点C和D,点B为CD的中点,求2号楼的高度.（结果精确到0.1米）（参考数据：︒≈,tan67 2.36︒≈）︒≈,cos670.39︒≈,tan400.84sin400.64︒≈,cos400.77︒≈,sin670.92参考答案1.答案：A解析：90C ∠=︒,2tan 5BAC ∠=,30m BC =,302tan 5BC BAC AC AC ∴∠===. 75m AC ∴=.故选A. 2.答案：D解析：由题意知BC AC ⊥,在Rt ABC △中,sin BC BAC AB ∠=,所以610sin370.6BC AB =≈=︒（米）,故选D.3.答案：B解析：因为CD AB ⊥,AC BC ⊥,所以90CAB ACD ∠+∠=︒,90ACD BCD ∠+∠=︒,所以CAB BCD a ∠=∠=.在Rt BCD △中,cos BCD ∠cos h BC α==,故 cos h BC α=.故选B. 4.答案：B5.答案：A解析：如图,过点C 向AB 作垂线,交AB 的延长线于点E ,延长CE 交海面于点F ,易知CF DF ⊥.960m AB ∴=,30BAC ∠=︒,60EBC ∠=︒,30BCA EBC BAC ∴∠=∠-∠=︒.BAC BCA ∴∠=∠.960m BC BA ∴==.在Rt BEC △中,sin CE EBC BC ∠=, 3sin 609604803(m)CE BC ∴=⋅==°. (4803300)m CF CE EF ∴=+=.6.答案：B 解析：斜面的坡度为1:2,6BC =米,212AC BC ∴==（米）,222212665AB AC BC ∴=+=+=.故选B.7.答案：B解析：根据题意,得652045CAB ∠=︒-︒=︒,402060ACB ∠=︒+︒=︒,302AB =如图,过B 作BE AC ⊥于E ,90AEB CEB ∴∠=∠=︒.在Rt ABE 中,45EAB ∠=︒,302AB =230AE BE ∴==km. 在Rt CBE中,60ECB ∠=︒,103tan 60BE CE ∴==︒(303)AC AE CE ∴=+=+km.∴A ,C 两港之间的距离为(303)+km,故选B.8.答案：C解析：根据题意,得8AB =米,20DE =米,30DAE ∠=︒,45EBC ∠=︒. 在Rt ADE △中,3203tan DE AE DE DAE==∠, (2038)BE AE AB ∴=-=米.在Rt BCE △中,tan 45(2038)CE BE =⋅=︒米, 203820(20328)CD CE DE ∴=-=-=米.9.答案：B解析：在Rt ABC 中,sin AC AB α=,在Rt ACD 中,sin AC AD β=,sin ::sin sin sin AC AC AB AD βαβα∴==. 10.答案：C解析：设旗杆PA 的高度为x 米,则PB x '=米,在Rt PB C '中,sin PC PB α=',则1sin x x α-=⋅.解得11sin x α=-.故选C. 11.答案：40°解析：如图,过A 点作AC ⊥铅垂线于C ,50AOC ∠=︒,40OAC ∴∠=︒,故此时观察楼顶的仰角度数是40°.12.答案：1413.答案：1.5解析：在Rt ADC △中,sin AD ACα=,sin 2sin5020.77 1.5AD AC α∴=⋅=⋅︒≈⨯≈（米）. 14.答案：62解析：如图,过点D 作DE AB ⊥于E ,过点C 作CF AB ⊥于F .CD AB ,DE AB ⊥,CF AB ⊥,DE CF ∴=.在Rt CFB 中,sin 6sin 4532CF BC β=⋅=⨯︒=.32DE CF ∴==（米）.在Rt ADE 中,30A ∠=︒,90AED ∠=︒,262AD DE ∴==.15.答案：(303)-解析：由题意可知,45ACB ∠=︒,60ADB ∠=︒,30BC AB ∴==,3103BD AB ==(30103)CD BC BD ∴=-=-米. 16.答案：旗杆AB 的高度约为5.6 m解析：在Rt BCD △中,tan BC BDC CD∠=, tan 20tan 4520(m)BC CD BDC ∴=⋅∠=⨯=︒. 在Rt ACD △中,tan AC ADC CD∠=, tan 20tan5220 1.2825.6(m)AC CD ADC ∴=⋅∠=⨯≈⨯=︒. 25.620 5.6(m)AB AC BC ∴=-≈-=.答：旗杆AB 的高度约为5.6 m.17.答案：小聪在地面的有效测温区间MN 的长度约为1.5 m 解析：如图,延长BC 交AD 于E .由题意得四边形DEBN 、四边形MCBN 都为矩形,BE DN ∴=, 1.6m DE NB MC ===,BC MN =,90AEB ∠=︒. 2.2m AD =,2.2 1.60.6(m)AE AD DE ∴=-=-=.tan AE ABE BE ∠=, 0.6 1.88(m)tan 0.32AE BE ABE ∴=≈≈∠. tan AE ACE CE∠=, 0.35(m)3CE ∴=≈.1.880.35 1.5(m)BC ∴≈-≈.1.5m MN ∴≈.答：小聪在地面的有效测温区间MN 的长度约为1.5 m.18.答案：这棵古树的高AB 为18 m解析：如图,过点C 作CH AB ⊥于点H ,则CH BD =,0.5m BH CD ==.在Rt ACH △中,45ACH ∠=︒,AH CH BD ∴==.0.5AB AH BH BD ∴=+=+.EF FB ⊥,AB FB ⊥,90EFG ABG ∴∠=∠=︒.由题意知EGF AGB ∠=∠,EFG ABG ∴△△.EF FG AB BG ∴=,即 1.620.55BD BD=++, 解得17.5m BD =.17.50.518(m)AB ∴=+=.答：这棵古树的高AB 为18 m.19.答案：（1）手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长约为106 cm（2）手臂端点D 能碰到点M .理由见解析解析：（1）过点C 作CP AE ⊥于点P ,过点B 作BQ CP ⊥于点Q ,如图所示.143ABC ∠=︒,53CBQ ∴∠=︒,在Rt BCQ △中,sin53700.856(cm)CQ BC =⋅︒≈⨯=.//CD l ,5650106(cm)DE CP CQ PQ ∴==+=+=.（2）手臂端点D 能碰到点M .理由如下：当B ,C ,D 共线时,如图所示.在Rt ABD △中,7060130(cm)BD BC CD =+=+=,50cm AB =, 222213050120(cm)AD BD AB ∴=-=-.120cm 110cm AD =>,∴手臂端点D 能碰到点M .20.答案：如图,过点E ,F 分别作EM AB ⊥,FN AB ⊥,垂足分别为M ,N .由题意得,20EC =米,67AEM ∠=︒,40AFN ∠=︒,CB DB EM FN ===,60AB =米, 602040AM AB MB ∴=-=-=米.在Rt AEM 中,tan AM AEM EM ∠=, 40tan tan 67AM EM AEM ∴==∠︒米. 在Rt AFN 中,tan AN AFN FN ∠=, 40tan 4014.2tan67AN ∴=︒⨯≈︒米. 6014.245.8FD NB AB AN ∴==-=-=米.答：2号楼的高度约为45.8米.。
2024年数学九年级下册三角函数基础练习题(含答案)
2024年数学九年级下册三角函数基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知sinA = 0.6，cosA = 0.8，那么tanA的值为（）A. 0.75B. 0.75C. 0.75D. 0.752. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，若sinB = 3/5，则cosA 的值为（）A. 4/5B. 3/4C. 4/3D. 3/43. 若0°＜θ＜90°，且cosθ = 4/5，则sin(90° θ)的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/34. 已知tanα = 1，则sinα和cosα的值分别为（）A. 1, 1B. 1, 0C. 1, 1D. 1, 05. 在直角坐标系中，点P(3, 4)位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 若sinθ = 0.5，则θ的终边可能位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 已知sinα = √3/2，且α为锐角，则cosα的值为（）A. 1/2B. √3/2C. 1/√2D. 1/28. 若0°＜θ＜180°，且cosθ = 1/2，则sinθ的值为（）A. √3/2B. √3/2C. 1/2D. 1/29. 在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为1/2，则这个锐角的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°A. sinAB. cosAC. tan(90° A)D. cotA二、判断题：1. 若一个角的正弦值等于它的余弦值，则这个角为45°。
（）2. 在直角三角形中，锐角的正弦值随着角度的增大而增大。
（）3. 若sinA = 0，则A为90°。
（）4. 对于任意锐角α，sinα和cosα的值都在0到1之间。
（）5. 在直角坐标系中，第二象限的点的横坐标为正，纵坐标为负。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-5三角函数的应用》优生辅导练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》优生辅导练习题（附答案）一．选择题1．为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为30cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为（）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）A．90cm B．86cm C．82cm D．80cm2．2020年平阴街道进行拓宽改造，县城面貌焕然一新，拓宽后振兴街主路双向四车道16米宽，两边安装路灯，如图路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．6米B．（8﹣2）米C．（8﹣2）米D．（8﹣4）米3．如图1是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆AB、BC、CD始终在同一平面内），AB垂直于底座且长度为9cm，BC的长度为10cm，CD的长度可以伸缩调整．如图2，∠BCD＝143°保持不变，转动BC，使得∠ABC＝150°，假如AD∥BC时为最佳视线状态，则此时CD的长度为（参考数据：sin53°≈0.80．cos53°≈0.60）（）A．8cm B．7.7cm C．7.5cm D．5.6cm4．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m5．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB ＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．B．C．D．6．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米7．3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，路线如图所示，已知腊山南站到北园站直线距离AD长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长AB约为4千米，路线的转弯角∠B为157.5°，∠C为150°，又测得∠D＝30°，则从二环西路站到济泺路站的距离BC的长为（）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，≈1.7）A．14.62千米B．14.64千米C．14.66千米D．14.68千米8．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（）（参考数据：＝1.732）A．2.33米B．2.35米C．2.36米D．2.42米9．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为1.4米，则该大灯距地面的高度为（）米．（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10≈）A．1B．1.2C．0.8D．0.8510．如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A．（a+b）米B．（a+b）米C．（a+b）米D．（a+b）米11．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．cm B．cm C．64cm D．54cm12．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是（）A．8米B．4米C．6米D．3米13．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE ＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m14．重庆移动为了提升新型冠状肺炎“停课不停学”期间某片区网络信号，保证广大师生网络授课、听课的质量，临时在坡度为i＝1：2.4的山坡上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ 落在警示牌上的影子EN长为3米，则信号塔PQ的高约为（）（结果精确到十分位，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）A．10.4B．11.9C．11.4D．13.415．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D 均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．A．10B．10﹣12C．12D．10+12 16．解放路上一座人行天桥如图所示，坡面BC的铅直高度与水平宽度的比为1：2，为了方便市民推车过天桥，有关部门决定在保持天桥高度的前提下，降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1：3，AB＝6m，则天桥高度CD为（）A．6m B．6m C．7m D．8m二．填空题17．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B′，D′，E′的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD′．已知直线BE⊥B′E′，CD′＝2CD，那么AB的长为cm，CD′的长为cm．18．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC ＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，则支架BC的长为cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）19．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B 在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，∠AOB为45°，OB长为（16+16）厘米，则AB的长为厘米．20．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？；（填“是”或“否”）请简述你的理由．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）三．解答题21．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E沿AB滑动，压柄BC可绕着转轴B 旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE 的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）22．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）23．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE ＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）24．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中AB＝300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，FE⊥AB于点E．点D、F到地面的垂直距离均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm．求CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．25．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）参考答案一．选择题1．解：作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，由题知，AP＝30cm，BC＝60cm，∠ABE＝70°，∴CH＝BC•sin70°≈60×0.94＝56.4（cm），∴坐垫C离地面高度约为56.4+30≈86（cm），故选：B．2．解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠PDC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝8米，∠PCD＝60°，∴PB＝＝＝8（米），PC＝＝＝4（米），∴BC＝PB﹣PC＝（8﹣4）米．故选：D．3．解：作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，如图3，∵∠ABC＝150°，BC∥AD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝4.5（cm），∴CF＝BE＝4.5cm，∴CD＝CF÷cos∠DCF，∵CF⊥AD，AD∥BC，∴∠DCF＝143°﹣90°＝53°，∴CD＝4.5÷0.6≈7.5（cm），∴CD的长度为7.5cm．故选：C．4．解：∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝＝，解得：B′C′＝3．故选：B．5．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG＝∠HEF＝90°，∵∠AEF＝143°，∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝53°，∠EAH＝37°，在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米，∴EH＝AE•sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72（米），∵AB＝1.2米，∴AB+EH≈1.2+0.72＝1.92≈1.9米．故选：A．6．解：如图所示，在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；在Rt△DEC中，DC＝cosβ×DE＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．故选：C．7．解：过点B作BN⊥AD于N，过点C作CM⊥AD于M，∵∠B＝157.5°，∠C＝150°，∠D＝30°，∴∠A＝22.5°，在△ABN中，AB＝4千米，∴BN＝AB×sin22.5°≈4×0.4＝1.6千米，AN＝AB×cos22.5°≈4×0.9＝3.6千米，∠ABN ＝67.5°,∴∠NBC＝90°,∵∠NBC＝∠BND＝∠CMA＝90°,∴四边形BNMC是矩形，∴CM＝BN＝1.6千米，BC＝MN，在△CDM中，DM＝≈＝2.72千米，∴MN＝AD﹣AN﹣DM＝14.68千米，∴BC＝MN＝14.68千米．故选：D．8．解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED＝60°，∵AB的坡比为1：2.4，∴＝＝，设AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理知，5.22＝25x2+144x2．解得：x＝0.4，∴AF＝5x＝2（米），BF＝12x＝4.8（米），由题意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，∴EF＝AF＝（米），AE＝2EF＝（米），∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE＝AC+AE＝（6+）米，∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝6+﹣﹣4.8≈2.35（米），即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为2.35米，故选：B．9．解：过点A作AD⊥MN于点D，如图所示：在Rt△ADB与Rt△ACD中，tan∠ABD＝＝tan8°≈，tan∠ACD＝＝tan10°≈，∴BD≈7AD，CD≈AD，∵BD﹣CD＝BC，∴7AD﹣AD＝1.4，解得：AD＝1，即该大灯距地面的高度1米，故选：A．10．解：∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，∴AF＝EF＝米，∠AFE＝60°，∵∠EFG＝90°，∴∠MFG＝30°，∴PQ＝NP＝MN＝FM＝（米），DQ＝QK•cos30°＝（米），∴AD＝AF+4FM+dq＝a+4×+＝a+b（米），故选：A．11．解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），故选：C．12．解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，∵∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝4，∴AD＝BD＝AB sin45°＝4×＝4，∵坡度i＝1：，∴，则DC＝4，故AC＝＝8（m）．故选：A．13．解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∴tan∠E＝，∴DE≈＝2.8（m），故选：B．14．解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，可得QG⊥BA，∵QA＝3.9m，QG：AG＝1：2.4，∴设QG＝x，则AG＝2.4x，∴x2+（2.4x）2＝3.92，解得：x＝1.5，则AG＝2.4x＝3.6，∴EF＝NG＝3.6+4.4＝8（m），故tan53°＝＝≈1.3，解得：PF＝10.4（m），∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣1.5＝1.5（m），∴信号塔PQ的高约为：PQ＝10.4+1.5＝11.9（m）．故选：B．15．解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，，由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝x米，CE＝2x米．在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12）2，解得x＝12（米），∴BE＝12（米），CE＝24（米），DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），由tan30°＝，得，解得AE＝10（米）．由线段的和差，得AB＝AE﹣BE＝（10﹣12）（米），故选：B．16．解：如图作CD⊥AB于D．∵＝，设CD＝xm，则BD＝2xm，AD＝（6+2x）m，∵＝，∴＝，∴x＝6，∴天桥高度CD为6m．故选：A．二．填空题17．解：过A作AP⊥EB延长线交于点P，∵AF∥BE，∴∠ABP＝∠BAF，∴sin∠ABP＝0.8，cos∠ABP＝0.6，∴BP＝0.6AB，由BE旋转一定角度后得到B'E'可知，旋转角度为90°，过B'作BH⊥AP，交AP于点H，∵∠P AB+∠ABP＝90°，∠D'AP+∠P AB＝90°，∴∠D'AP＝∠ABP，B'H＝AB'sin∠D'AP＝AB sin∠P'AP＝0.8AB，∴28＝B'H+PB＝0.8AB+0.6AB＝1.4AB，∴AB＝20cm；设CD＝xcm，则AC＝BD＝cm，AD'＝AD＝x+cm，CD'＝2CD＝2x，∵∠D'AC＝90°，∴AC2+AD'2＝CD'2，∴，解得x＝20，或x＝﹣20（舍），∴CD'＝2x＝40cm，故答案为：20，40．18．解：如图2，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB＝90°，∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°，∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm），故答案为49．19．解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，则∠ACO＝∠ACB＝90°，∵∠AOC＝45°，∴∠AOC＝∠CAO＝45°，∴AC＝OC，设AC＝xcm，则OC＝xcm，BC＝（16+16﹣x）cm，∵∠ABC＝30°，∴＝，解得，x＝16，∴AB＝2AC＝32（cm），即AB的长为32cm．故答案是：32．20．解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，∴AC＝sin∠AOC•AO≈0.64×1.2＝0.768，∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙（点A到OB的距离小于OB与墙MN之间的距离），故答案为：否，点A到OB的距离小于OB与墙MN之间的距离；三．解答题21．解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，∴，＝cos37°，∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cos37°≈5×0.8＝4（cm）．∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm，∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm），∴DE＝＝＝3（cm）．答：连接杆DE的长度为cm．（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，∵∠ABC＝127°，∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，在Rt△DBH中，＝＝sin37°≈0.6，∴BH＝3cm，∴DH＝4cm，在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，∴（EB+3）2+16＝90，∴EB＝（）（cm），∴点E滑动的距离为：15﹣（﹣3）﹣2＝（16﹣）（cm）．答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm．22．解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8（m），∠OBE＝42°，∠BAO＝∠BAC＝62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝≈＝2（m）．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．23．解：设OE＝OB＝2xcm，∴OD＝DE+OE＝（190+2x）cm，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝（95+x）cm，∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝（95﹣x）cm，∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得：x≈9.4cm，∴OB＝2x≈19cm．24．解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝AC sin30°＝50×＝25，∵GD＝50﹣30＝20，∴CD＝CG+GD＝25+20＝45，连接FD并延长，与BA的延长线交于H，则∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝＝2CD＝90，∴EH＝EC+CH＝AB﹣BE﹣AC+CH＝300﹣50﹣50+90＝290，在Rt△EFH中，EF＝EH•tan30°＝290×＝，答：CD和EF的长度分别是45cm和cm．25．解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝OM＝0.6，∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝＝，∴GP＝OP＝≈0.404，∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．。
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三角函数的应用
一、选择题
A组
1.（2011年北京四中中考全真模拟15
）从小明家到学校有两条路。一条沿北偏
东45度方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走
200
米，到学校后门。若两条路的路程相等，学校南北走向。学校的后门在小明家北
偏东67.5度处。学校从前门到后门的距离是（ ）米
.
A.2002米;B.2003米;C.2005米;D.200米
答案：B
2.（2011.河北廊坊安次区一模）如图4，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街
天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为45，则坡面AC
的长度为（ ）
A.152 m B.10 m C.10 m D.302 m
答案:B
3. （2011浙江省杭州市10模）如图，小亮同学在晚上
由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他的身
影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A 25米，
离路灯B 5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高
度为 （ ▲ ）
A.6.4米 B. 8米 C.9.6米 D. 11.2米
第2题图
答案:C
4. （浙江省杭州市瓜沥镇初级中学2011年中考数学模拟试卷）
如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光
与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次
长（ ）
A. 633 B. 43 C. 63 D. 323
答案：B
5.（河北省中考模拟试卷）石家庄市在“三年大变样”城中村改造建设中，计划在
一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方
米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元
答案：C
B组
1.（2011杭州上城区一模）Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、
∠C的对边，那么c等于（ ）
A.cossinaAbB B. acosB+bcosA
C.sinsinabAB D.cossinabAB
答案：B
2.（2011浙江杭州义蓬一中一模）如图，小明发现电线杆AB的影子
落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD
与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度
为（ ）
A.14米 B.28米 C.314米 D.3214米
答案：D
3.（安徽芜湖2011模拟）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高
了（ ）
A.500m B.5200m C.3500m D.1000m
答案: B
150°
20m
30m
第5题
（第1题）
F
E
D
A
B
M
C
4.（浙江杭州进化2011一模）如图折叠直角三角形纸片的直
角，使点C落在斜边AB上的点E处. 已知AB=38, ∠B=30°,
则DE的长是（ ）
A. 6 B. 4 C. 34 D. 23
答案: B
5.（2011年北京四中34模）如图，矩形ABCD中，AB>AD，AB=a，过点A作
射线AM，使得∠DAM=60°，DE⊥AM与E，DF⊥AM与F，则DE+CF的值是
（用含a的代数式表示，7.13）（ ）
A.a B. a2017 C.a275 D. 2a
答案：D
6.（2011年浙江省杭州市模2）如图，在菱形ABCD
中，DE⊥AB，3cos5A，BE=2，则tan∠DBE的值
是（ ）
A.12 B.2
C.52 D.55
答案：B
二、填空题
A组
1.（2011年北京四中模拟28）
如图，一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为
__米.
答案：36
2. （2011浙江杭州模拟7）如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河
床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0.5的迎水坡AB，已知AB=45 米，则河
床面的宽减少了_______ 米.（即求AC的长）
A
C
B
0．5
i 1：
（第2题图）
答案:4
3. （2011浙江省杭州市8模）如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又
测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____米.
答案:6
4.（2011年宁夏银川）为了测量水塔的高度，取一根竹杆放在阳光下，已知2米
长的竹杆投影长为1.5米，在同一时刻测得水塔的投影长为30米，则水塔高为
_________米.
答案：40
B组
1.（2011灌南县新集中学一模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，cosB
＝14，
则BC等于
.
答案：5
2.（2011灌南县新集中学一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，
在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN
＝ .
答案： 3
3. （河南新乡2011模拟）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站
在距甲楼10米的A处目测得点A 与甲、乙楼顶BC、刚好在同一直线上，若小
明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米.
（第3题）
A时
B时
（第2题图）
N
M
C
B
A
答案：60米
4、（北京四中2011中考模拟13）如图，沿倾斜角为30º的山
坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为m2，那么相邻
两棵树的斜坡距离AB约为_________m;
（结果精确到0.1m，可能用到的数据：3≈1.732， 2≈1.414）.
答案：约为3.2
5.（北京四中2011中考模拟14）如图:为了测量河对岸旗杆AB
的高度,在点C处测得顶端A的仰角为30°,沿CB方向前进20m
达到D处,在D点测得旗杆顶端A的仰角为45°,则旗杆AB的高
度为__________m.（精确到0.1m）
答案：27.3
6. （2011深圳市模四） 如图所示，太阳光线与地面成60°
角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，•这时测得大树在地面
上的影子约为10米，则大树的高约为________米.（•保留根
号）
答案：310
7.（2011年北京四中33模）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC//AD，
迎水坡AB长10m，且34tanBAE，则河堤的高BE为 m.
答案：8
D
C
B
A
30º
A
B
C
2m
第6题图