初等几何研究综合测试题(二十)
初等几何研究综合测试题(十三)
《初等几何研究》综合测试题（十三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为___________。
A.1cm；B.2cm；C.3cm；D.4cm。
2.n边形对角线条数是__________。
A.；B.；C.；D.。
3. 在Rt AB C中，CD是斜边AB上的高，CD=6，且AD:BD=3:2，则斜边AB上的中线长等于________________。
A.；B.；C.；D..4.一个三角形的周长为偶数，其中两边分别为2和5，则第三边应是_________。
A.5；B.6；C.3；D.4.5.一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径应为________。
A. ；B.1.5r；C. ；D.2r。
6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。
A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；C.圆的切线垂直于过切点的半径；D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
7.不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是_________。
A.MA=MB ,NA=NB ；B.MA=MB,MN⊥AB；C.MA=NA，BM=BN；D.MA=MB,MN平分AB。
8.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。
A.在AC、BC两边高线的交点处；B.在AC、BC两边中线的交点处；C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处；D.在∠A、∠B两内角平分线的交点处。
二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.棱形既是中心对称图形又是轴对称图形。
（）2.将一个图形经过平移后再旋转得到另一个图形，则这个图形的位置不变。
精品《初等几何研究》练习题
《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是：。
3、第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是。
4、欧氏平行公理是：。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是。
10、解作图问题的常用方法有：、、、等。
11、数学公理系统的三个基本问题是性、性和性.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的，否则称A、B在a的 .13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了原理.15、罗氏平行公理是： .16、在罗氏几何中，共面的两条直线有种关系，它们分别是17、几何证明的通用方法一般有法、法、法、法、法、法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有的关系.19、尺规可作图的充要条件是 .20．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性和性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论.23．绝对几何包括有组公理，它们分别是 .24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： .25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 .26、．常用的几何变换有等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 .28．请写出两条作图公法： .29．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。
初等几何研究综合测试题(十八)
《初等几何研究》综合测试题（十八）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列命题是假命题的是（ ）A ．直角的补角是直角；B ．钝角的补角是锐角;C ．两直线被第三条直线所截,同旁内角互补;D ．过直线外的一点到直线上点的连线中，垂线段最短。
2．命题“同角的余角相等”的题设是（ ）A ．同角；B ．余角；C ．等角的余角；D ．同角的余角3．举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误．．的是（ ） A ．设这个角是045，则它的余角为045，但045=045； B ．设这个角为030，则它的余角为060，但030<060; C ．设这个角为050，则它的余角为040，但050>040; D ．设这个角为060，则它的余角为030，但060>030. 4．下列说法错误．．的是（ ） A ．到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上；B ．一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，这条直线平分已知角；C ．到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角；D ．已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角。
5．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于060”，先应假设这个三角形中有（ ） A ．每一个内角都小于060；B ．有一个内角小于060； C ．有一个内角大于060； D ．每一个内角都大于060。
6．如图1所示，直线BD 与直线CE 相交于点O ，且∠AOE=090，则∠AOB 的余角是（ ） A ．∠BOC ；B ．∠AOE ； C ．∠AOD ； D ．∠BOC 与∠EOD 。
7．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向 相同，这两次拐弯的角度是（ ）Ａ．第一次向左拐030，第二次向右拐030； Ｂ．第一次向右拐050，第二次向左拐0130；Ｃ．第一次向右拐050，第二次向右拐0130； Ｄ．第一次向左拐050，第二次向左拐0130．8．如图2所示，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，连结CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是（ ） A ．∠AEF=∠DEC; B ．ＦＡ：ＣＤ＝ＡＥ：ＢＣ； Ｃ．ＦＡ：ＡＢ＝ＦＥ：ＥＣ； Ｄ．ＡＢ＝ＡＣ． 二、判断题（本题5小题，每小题2分，共101．如果两个相等的角有公共顶点，且有一条边互为反向延长线，则 这两个角一定是对顶角（ ）2．一个角的余角的2倍和它的补角的1/2互为补角，则这个角的度数是36°。
初等几何研究复习题
习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。
已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。
证明（同一法）：设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。
∵AD ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B=90°作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′，则 FE ′=21AB=AF=BF∴∠2=∠A E ′F, ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥AD ∥BC连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥AD ∥BC ∴E ′F 与EF 共线∵FE ′=21AB=21(AD+BC), FE =21(AD+BC)∴E ′F = E F∴E ′与E 重合，证毕.习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。
知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。
解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ， 则BF 是△DAC 的中位线。
∴BF 21AC∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=21AB=BE21∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21CD=21×10=5cm即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。
习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。
已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。
D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作DF ⊥ AC 延长线于F 。
求证：DE －DF 为常量。
证明：作△ABC 的边AB 上的高CH ，再作CG ⊥DE 于G ，则四边形CHEG 为矩形。
初等几何研究综合测试题(十六)
《初等几何研究》综合测试题（十六）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.已知ABCD 为平行四边形，下列判断正确的是__________。
A.若∠A=90°，则ABCD 为正方形；B.若AB=BC ，则ABCD 为菱形；C.对角线互相平分垂直；D.以上都不对。
2. 下列判断正确的是_________。
A.任意两个等腰三角形都相似；B.任意两个直角三角形都相似； C ．有一个角相等且有两边对应成比例的两个三角形都相似； D.任意两个等腰直角三角形都相似。
3.如图，Rt AB C 中，CD 是斜边AB 上的高，DE ⊥AC 于E,AC:CB=4:5,则AE:EC 等于_______。
A.4:5；C.16:25；D.以上都不对。
4.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于__________。
A.顶角的一半；B.底角的一半； C.90°减去顶角的一半；D. 90°减去底角的一半。
5.如图，圆锥的底面半径OA=3cm ，高SO=4cm ，则它的侧面积 为__________2cm .A.12π；B.15π；C.16π；D.20π.6. 6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。
A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；C.圆的切线垂直于过切点的半径；D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
7.下列图形中，不一定为轴对称图形的是_________。
A.直角；B.线段；C.直角三角形；D.等腰直角三角形。
8.如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。
A.在AC 、BC 两边高线的交点处； B.在AC 、BC 两边中线的交点处；C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处；D.在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处。
初等几何研究
1.（证明线段相等）例1：在ABC ∆的两边AB 、AC 上向外做正方形ABEF 和ACGH ，则BC 边上的高线AD 平分FH 。
证明：过点F 作PQ FQ ⊥,过点H 作DP HP ⊥在ΔADB 和ΔFQA 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠AB AF DBA QAF ADB FQA90AD FQ ΔADB ΔFQA =⇒≅∴在中ΔCAD 和ΔAFP⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠AC AH DAC PHA 90CDA APHAD PH ΔCAD ΔAHP =⇒≅∴HP FQ =∴在中和HPM FQM ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠HP FQ HMP FMQ PHM QFM ΔH P M ΔF Q M ≅∴ HM FM =∴即M 为FH 的中点。
2：C 是弦AB 的中点，通过C 引弦PQ ，并在此弦两端作圆的切线PX 和QY 。
它们交直线AB 于X 、Y 。
证PX=QY 、AX=BY 。
3：AB 是圆的直径，从圆上一点C 作AB CD ⊥于D 。
且在A 、C 两点的切线相交于E ，证明：BE 平分CD 。
证明:过点B 作AB BF ⊥交EC 于FEA//CD//BF ∴ECDM AE DM AB BD EF CF EF BF EC CM ===== DM CM =∴即BE 平分CD 。
4：设AD 、BE 、CF 是ABC ∆的高线，则DEF ∆称为ABC ∆垂足三角形。
证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角。
证明： FCDM 共圆FDM FCM ∠=∠∴DBEM 共圆EDM EBM ∠=∠∴90BAC EBM BAC FCM =∠+∠=∠+∠EBM FCM ∠=∠∴EDM FDM ∠=∠∴即AD 平分FDE ∠同理可得BF 平分DFE ∠,CE 平分FED ∠即这三条高线平分DEF ∆的内角或外角。
5：二圆外切于P ，一圆在其上一点C 的切线交另一圆于A 、B 。
求证：PC 是APB ∠的外角平分线。
6：等边三角形外接圆周上任意一点到顶点连线中最长的等于其余两线之和。
初等几何研究试题
初等几何研究试题一、选择题 （5分⨯4=20分）1. 如图,CD EF AB ||||,已知20=AB ,,80=CD 100=BC 那么，EF 的值是____. A. 10, B.12, C.16, D.20第1题图 第2题图 2. 如图,在ABC ∆中,P 是AC 上的点,取BP 的中点Q ,连结CQ 并延长与AB 交于D ,则ABP S ∆与ACD S ∆的关系是_____.A. ABP ACD S S ∆∆<B. ABP ACD S S ∆∆=C. ABP ACD S S ∆∆>D. 不能确定.3. 如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，o A 45=∠，那么，FBCE AEF S S :=______.A 1:1B 2:1C 3:1D 4:1第3题图 第4题图4. 如图，ABCD 是面积为1的正方形，PCB ∆是正三角形，PBD ∆的面积为_____.A.213- B. 8132- C. 43D. 413-二、填空题 （5分⨯4=20分）1．如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则BFD S =_____.第1题图 第2题图 2．如图,AB 是圆O 直径，4=AB ，弦3=BC ，ABC ∠的平分线交半圆于D ,BC AD ,的延长线交于E ,DCE ABCD S S :=______.3．已知圆O 是ABC ∆的外接圆，半径为r ,CO BO AO ,,分别交对边于F E D ,,, 则：CF BE AD 111++=______.(用r 表示)4．ABC ∆的三条高分别为c b a h h h ,,,又ABC ∆内任一点P 到三边距离分别为c b a p p p ,,，则=++c c b b a a h p h p h p ______.三、证明题(12分⨯5=60分)1. 在ABC ∆中，过点A 作直线BC l ||，B ∠的平分线交AC 于D ,交直线l 于E ,C ∠的平分线交AB 于F ,交直线l 于G ,且FG DE =,求证: ABC ∆是等腰三角形.2．M是以AB为直径的上不同于BA、的任一点，C是直径AB上的定点，过M作CM 垂直的直线交过处BD、,求证：A、的切线于E（1）ED,成等比数列；BM,EC（2）BEAD⋅是定值.3．三条中线把ABC∆分成6个三角形，若这6个三角开的内切圆中有4个相等，求ABC∆是正三角形.4．从等腰ABC ∆的底边AC 上的中点M 作BC 边的垂线MH ，点P 为线段MH 的中点，求证：BP AH ⊥.5．已知： ABC ∆内接于圆O ，N M L ,,分别是弧AB CA BC ,,的中点，连结LM NM ,分别交BC AB ,于E D ,；I 是ABC ∆的内心，求证： (1)BC DE ||;(2)IE DI DE +=.。
初等几何研究综合测试题(三)
初等几何研究综合测试题(三)《初等几何研究》综合测试题（三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。
A.一定全等；B.一定不全等；C.可能全等，可能不全等；D.以上都不是。
2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图__________。
第3题图A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD 相交于点O，则图中面积相等的三角形共有___________。
A.1对；B.2对；C.3对；D.4对。
4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。
A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
5.如图，在V ABC中，DE//BC，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC等于________。
A．3:5；B．3:2; C．2:3；D．2:5。
6.⊙O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm，CD=48cm，AB、CD的距离为22cm，则⊙O的半径是__________。
A.15cm；B.20cm；C.25cm；D.30cm。
7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。
8.下列关于平移的说法中正确的是___________。
A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.角的大小与边的长短有关。
（）2.一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。
（）3.两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角不相等。
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《初等几何研究》综合测试题（二十）
适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。
A.一定全等；
B.一定不全等；
C.可能全等，可能不全等；
D.以上都不是。
2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。
A.1种；
B.2种；
C.3种；
D.4种。
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，
则图中面积相等的三角形共有___________。
A.1对；
B.2对；
C.3对；
D.4对。
4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。
A.1种；
B.2种；
C.3种；
D.4种。
5.如图，在 ABC中，DE//BC，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC等于________。
A．3:5；B．3:2; C．2:3；D．2:5。
6.⊙O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm，CD=48cm，AB、CD的距离为22cm，则⊙O的半径是__________。
A.15cm；
B.20cm；
C.25cm；
D.30cm。
7.在平移过程中，对应线段
A.互相平行且相等；
B.互相垂直且相等；
C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；
D.以上都不对。
8.下列关于平移的说法中正确的是___________。
A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；
B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；
C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；
二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）
1.正方形形既是中心对称图形又是轴对称图形。
（√）
2.位似中心一定在两个图形之间。
（×）
3.位似中心在连接两个对应点的线段之外的位似图形叫做外位似。
（√）
4.两个位似图形对应点连线的交点个数为1或2。
（×）
5.设点A与B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C关于x对称。
（×）
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
1.一个角的补角和它的余角的3倍的和等于它的周角的11
12
，则这个角的度数是________.
2. 如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为两村庄（视为两个点），
D A ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建设一个土特产品收购站
E ，使C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站__________km 处 3.若两个三角形全等，则它们对应高、对应中线、对应角的平分线
分别___________
4.在等腰三角形ABC 中, ∠C=90°,BC=2厘米,如果以AC 的中点O 为 旋转中心,将这个三角形旋转180°,点B 落在B ′处. 那么点B ′与B 相距______厘米.
四、计算题（本题共8分）
如图,斜边长为6厘米, ∠A=30°的直角三角板ABC 饶C 顺时针方向旋转
90°至△A ′B ′C 的位置,再沿CB 向左平移使点B ′落在原三角板ABC 的斜边AB 上.求三角板向左平移的距离。
五、证明题（本题共27分）
第2题图
A '
1.A B AC AD ∠∠两圆相交于两点、，在每一圆中各作一弦、使切于另一圆，求证：ABC=ABD.
22222.,,,,1, 1.: 1.a b c d a b c d ac bd +=+=+≤设为正实数且求证
3.,,AE ABC CAF BD AE ∠⊥ 如图是的一个外角的平分线于和CD 交于O,求证
:OA//BD.
六、探究题（本题15分）
六、探究题（本题15分）
如图，有一块半圆形的木板，现要它截成三角形板块，三角形的两个顶点分别为A ，B ，另一个顶点在AB
上，问：怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？
A
B
附：参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1C ；2B ；3C ；4B ；5A ；6C ；7C ；8D 。
二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1√；2×；3√；4×；5×。
三、填空题（本题4小题，每小题4分，共16分） 1. 30°. 2. 10 km 。
3. 相等。
四、计算题（本题8分）
如图,斜边长为6厘米, ∠A=30°的直角三角板ABC 饶C 顺时针方向旋转
90°至△A ′B ′C 的位置,再沿CB 向左平移使点B ′落在原三角板ABC 的斜边AB 上.求三角板向左平移的距离。
解略。
答案是3
五、证明题（本题27分）
分析:所证结论与托勒密定理较接近,可设法构造圆内接四边形
得出一种几何证法. 证明:由题意知,0<a,b,c,d<1,故可设a,b,c,
d 依次为直径为1的圆内接四边形的四边(如图).
3.,,,AE ABC CAF BD AE CE AE ∠⊥⊥ 如图是的一个外角的平分线于D 于E,BE 和CD 交于O,求证:OA//BD.
A '1.A
B A
C A
D ∠∠两圆相交于两点、，在每一圆中各作一弦、使切于另一圆，求证：ABC=ABD.
0..180()().DAB C CAB D C CAB D DAB ABC CAB C DAB D ABC ABD ∠=∠∠=∠∴∠+∠=∠+∠∠=-∠+∠∠-∠+∠∴∠=∠ 0
证明：， 又 ABD=18022222.,,,,1, 1.: 1.a b c d a b c d ac bd +=+=+≤设为正实数且求证
,,,.,AB a BC b CD c AD d ====≤≤≤2222不妨设因为a +b =1,c +d =1,故AC=1,0<BD 1.由托勒密定理得ac+bd AC*BD=BD 1.
六、探究题（本题15分）
如图，有一块半圆形的木板，现要它截成三角形板块，三角形的两个顶点分别为A ，B ，另一个顶点在AB ⋂
解：作O C ⊥AB 交AB ⋂
于点C ，连结AC, BC ，则依样裁出的 ⊿ABC 的面积最大。
现证明如下：
在AB ⋂
上任意一点1C (不同于点C)，连结A 1C ,B 1C ,
过点1C 作1C D ⊥AB ，垂足为D ，则
1111,22
ABC ABC S AB CO S AB C D ∆∆=
= . 连结O 1C ,则O 1C =OC ，在11111,ABC ABC Rt ODC OC C D OC C D S S ∆∆∆>∴>∴>中，，
⎫⇒
⎬
⎭
⎫
⇒⇒
⎬⎭
⎫⇒⎬⇒⎭⇒证0明:∠FAE =∠CAE ∠FAE =∠BAD ∠CAE =∠BAD △CEA:△BDA ∠CEA =∠BDA =90AE:AD =CE:BD AE:AD =OE:OB CE//BD CE:BD =OE:OB OA//BD.A B
A
B
C。