初等几何研究试题答案(2)李长明版

初等几何研究试题答案（II ）二、关于和、差、倍、分线段（角）1、 等腰ABC 中，0100,A B ∠=∠的平分线交AC 于D ，证明：BD+AD=BC 。

D 'BCA4321证：在BC 上取点D ,,使BD ,=BD,连结DD ,0100A ∠=且BD 平分∠ABC00120,40C ∴∠=∠=又BD=BD ,,0380∴∠=,23C ∠+∠=∠0240∴∠=即2C ∠=∠ ,,CD DD ∴=又03180A ∠+∠=∴点A 、D 、D ，、B 四点共圆且14∠=∠∴DD,=ADBC=BD,+CD ,=BD+AD已知，ABCD 是矩形，BC=3AB,P 、Q 位于BC 上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC +∠DPC=∠DQC解：作矩形BCEF 与矩形ABCD 相等，在EF 上选取点O 使得FO=2EO.连结BO 、DO 。

由图可知，由BO=DO ，且有△BF O ≌△OED,∵∠FBO+∠BOF=90º ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90º ∴∠BOD=90º △BOD 为等腰直角三角形 有∠DBO=45º ∴∠DBP+∠QBO=45º ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45º ∵△DQC 为等腰直角三角形∴有∠DQC=45º 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQCP QAB CF EO P D3、圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于X ，由X 向AB 、BC 、CD 和DA 作垂线,垂足分别为A ´、B ´、C ´和D ´. 求证：A ´B ´+C ´D ´=B ´C ´+D ´A ´证明：（方法一）∵X 、A ´、A 、D ´四点共圆(对角和180°) ∴∠XA ´D ´=∠XAD ´又∵∠XAD ´=∠XBC(圆周角）同理∠XA ´B ´=∠XBC,即∠XA ´D ´=∠XA ´B ´ 同理可得∠XB ´A ´=∠XB ´C ´,∠XC ´B ´=∠XC ´D ´, ∠XD ´C ´=∠XD ´A ´∴X 是四边形A ´B ´C ´D ´的内心。

∴A ´B ´+C ´D ´=B ´C ´+A ´D ´(方法二)利用正弦定理. 设r 是四边形ABCD 的外接圆CABA ′C ′DB ′D ′X半径，A B ''在以BX 为直径的圆上∴s i n A BX B B ''=同理sin C D XD D ''= ∴s i n=2r s i n s A B C D B D B A B''''+= 同理可得2sin sin B C A D r C D ''''+= 又A ∠和;C ∠B ∠和D ∠是两对互补的角∴A B C D B C AD ''''''''+=+4. 在梯形ABCB 中，AB//CB ∠D=2∠B,求证AB=AD+DC证明：在AB 上取一点E ，使AE=AD .∴∠AED=∠ADE因为AB//CD所以∠EDC=∠AED 所以∠AED=∠ADE=∠EDC 所以∠ADC= 2∠AED 因为∠D=2∠B 所以∠AED=∠B 所以DE//CB∴四边形DEBC 是平行四边形所以DC=EB所以AB=AE+EB=AD+DCD CA E B5 已知：G 是∆ABC 的重心，过G 作直线分别与AB,AC 交于E,F ，求证：EG ≤2GF 。

HGFEDCBA证明：在EF 上取点D 使DH//AB,故∆BE G ～∆GDF,故G 为∆ABC 的重心，则GH/BG=1/2=DG/EG ,故EG=2DG ≤2GF 命题得证6.已知：在凸四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于O ，且OA>OC ，OB>OD ，求证：BC+AD>AB+CDEC 1D 1CAODB证明：如图做AD 1=AD ，BC 1=BCAD 1=AD ，BC 1=BC∴四边形CDC 1D 1是菱形，则CD=C 1D 1又 在∆ABE 、11D C ∆E 中AE+BE>AB,E D E C 11+>11D C111C AB AD BC +>+∴D 1即BC+AD>AB+CD7. 在直角梯形ABCD 中，AB 是垂直二底的腰，另一腰切以AB 为直径之圆于E ，过E 作底的平行线交AB 于F ，求证AC 平分EF证明：连结AE 并交于的延长线于G 如图因为AD=DE ∴∠AED=∠DAE又∠AED=∠CEG 因为AD//BC ∴ AD//BG∴∠DAE=∠EGC ∴ ∠EGC= ∠GEC ∴CE=CG 又因为 BC=CE ∴ BC=CG ∴C 是BG 的中点∴M 也是EF 的中点∴FM=ME ∴AC 平分EF8、在梯形ABCD 的底边AD 上有一点E ，使△ABE 、△BCE 、△CDE 的周长相等。

求证：BC=2ADEG B D C EF A证明：如下图在BC 边或其延长上取点C ′，使B C ′=AE,∵ABCD 是平行四边形 ∴AD //B C ' 又∵AE=B C '∴AE C 'B 是平行四边形 ∴AB=E C '∴△ABE 、△BE C '周长相等 又∵△ABE 、△BEC 周长相等 ∴C '=C ∴BC=AE 同理 BC=ED∴BC=21AD9、在△ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，D 为BC 上 的任一点，过D 作DP ∥CF 交BF 于P,作DQ ∥BE 交CE 于Q ，连结PQ 分别交BE 、CF 于R 、S ，求证：RS=31PQABCDEC ’证明：FC与DQ 的交点为G ，BE 与FC 的交点为H由题知点H 为△ABC 的重心，则31=EB HE ∵FC ∥PD ∴QDQGQP SQ =又∵QD ∥EB ∴EBHEQD GQ = ∴31===EB HE QD GD QP SQ ∴SQ=31QP 同理可证得PR=31QP ∴RS=31PQ10.以矩形ABCD 的各顶点为中心，分别以D C B A r r r r ，，，为半径作圆，使AC r r r r D B CA <+=+，再作两对圆☉A 、☉C 、☉B 、☉D的四条外公切线。

求证：这四条外公切线围成的四边形有一内切圆。

AHFERP SBDCGQEOBDCAEFMN证明：连结AC 、BD 交于O ，☉A 、☉C 的两条公切线为EF 、MN ，E 、F 、M 、N 为切点。

连AE 、CF 过点O 作OP ⊥EF ，垂足为P ，作OQ ⊥MN ，垂足为Q∴四边形ACFE 为直角梯形 ∴)(21)(21C A r r CF AE OP +=+= 同理 )(21)(21C A r r AN AM OQ +=+=同理 点O 到其他一对公切线长为)(21D B r r + 又D B CA r r r r +=+∴点到4条公切线的距离相等 ∴4条公切线所围成的四边形有内切圆11.在凸六边形ABCDEF 中，所有的内角相等，求证：AB-DE=EF-BC=CD-FABDER PQCAF证明：∵六边形各内角相等， ∴其内角皆为120° ∴各对边互相平行 作□ABCP □CDEQ PQ =∣AB-DE ∣ 同理，再作□AFEQ ，则PR=∣AB-DE ∣ QR=∣CD-AF ∣ ∵PQR 各内角皆为60° ∴PQ=QR=RP ∴AB-DE=EF-BC=CD-F A12.利用上题，若长度分别为a 1,a 2……a 6的线段，且满足条件a 1-a 4=a 2-a 5=a 3-a 6求证：这6条线段可以作为一个各内角皆相等的凸六边形，BDER PQCAF证:利用上题结果，可如下作之：（1） 先以彼此相等的三数a 1-a 4,a 2-a 5,a 3-a 6为边作正△PQR （2） 延长PQ 至C ，QR 至E ，使PC=a ，则QC=a 4,使QE=a 3,则QR=a 6 （3） 在PC 异侧各作□ PCBA 、□ QCDE（4） 过A 、E 分别引QE 、PA 的平行线，设它们相交于F ，则ABCDE即为所求。

13设⊙O 1、⊙O 2和⊙O 3是共点于O 的三个相等的圆周，A 、B 、O 是它们两两相交的另一点。

求证:OA+OB+OC=1800AO 3O 2O 1BOC证：利用两等圆的连心垂直平分公共弦设⊙O 2、⊙O 3交于A ，⊙O ３、⊙O ２交于B ，⊙O １、⊙O ２交于C 再连O 1O 2、O 2O 3和O 3O 1，则因OB 、OC 分别垂直平分O 3O 1、O 1O 2， 故知∠O 2O 1O 3=∠O ３O １O ＋∠OO １O ２＝12（∠BO １O ＋∠OO １C ）＝1)2OB OC (+同理：∠O ２＝1()2OC OA +31()2O OA OB ∠=+ 所以，1800=∠O 2O 1O 3＋∠O 2＋∠O 3＝OA OB OC ++14. 如图，设⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3是相等的三个圆周，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、A 1，⊙O 2与⊙O 3相交于B 、B 1 ，⊙O 3与 ⊙O 1 相交于C 、C 1 ，求证：111111111()180AA BB CC A B B C C A ++-++=︒C 1B 1A 1CBAo 3o 2o 1证明：连结O 1O 2，O 2O 3和O 3O 1，则有 ∠O 1=∠O 2O 1C 1+∠B 1O 1O 2﹣∠B 1O 1C 1=21(∠BOB 1+∠COC 1）﹣∠B 1O 1C 111111()2BB CC B C =+-同理211111()2O CC AA C A ∠=+-311111O ()2AA BB A B ∠=+-。