初等几何研究综合测试题(十三)
初一几何综合试题及答案
初一几何综合试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 平行四边形B. 梯形C. 等腰三角形D. 不规则多边形答案：C2. 一个角的补角是它的两倍，这个角的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B3. 一个等腰三角形的底角是40°，那么顶角的度数是多少？A. 100°B. 80°C. 60°D. 120°答案：B4. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是多少？A. 90°B. 180°C. 270°D. 360°答案：A5. 如果一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，那么第三边的取值范围是多少？A. 1cm到7cmB. 1cm到5cmC. 1cm到7cm（不包括1cm和7cm）D. 1cm到5cm（不包括1cm和5cm）答案：C6. 一个圆的半径是2cm，那么它的直径是多少？A. 4cmB. 2cmC. 6cmD. 8cm答案：A7. 一个圆的周长是6.28cm，那么它的半径是多少？B. 2cmC. 3cmD. 4cm答案：A8. 一个扇形的圆心角是60°，半径是4cm，那么它的面积是多少？A. 3.14cm²B. 6.28cm²C. 12.56cm²D. 25.12cm²答案：B9. 一个正六边形的内角和是多少？A. 720°B. 1080°D. 1800°答案：B10. 一个正五边形的外角和是多少？A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°答案：A二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个等边三角形的每个内角的度数是______。
答案：60°12. 如果一个多边形的内角和是900°，那么这个多边形的边数是______。
初三数学解析几何综合测试题
初三数学解析几何综合测试题解析几何是数学中的一个重要分支，它运用代数和几何的方法来研究图形和空间中的性质。
初中阶段，特别是初三学生在解析几何方面的学习是至关重要的。
为了加强对初三学生解析几何知识的巩固和提高，我们为大家准备了一套综合测试题，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握解析几何知识。
一、选择题1. 已知平面直角坐标系中，点A(-3,4)、点B(2,-2)，则AB的中点坐标为：A. (-0.5, 1)B. (-0.5, 3)C. (-0.5, 2)D. (-0.5, -1)2. 一个六边形的内角和是：A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°3. 下列哪一个点不在直线y=2x-1上：A. (0, -1)B. (-1, -3)C. (1, 1)D. (2, 3)4. 已知平面直角坐标系中，过点A(2,5)的直线l的斜率是3，如果l 过点B(4,y)，则y的值为：A. 8B. 10C. 12D. 145. 已知△ABC是等腰直角三角形，斜边AB的长度为5，求BC的长度为：A. 3B. 4C. 2D. 1二、填空题1. 平面直角坐标系中，点A(1,3)、点B(4,6)，则AB的斜率为______。
2. 圆心坐标为(1,2)，半径为3的圆的方程为__________。
3. 平面直角坐标系中，点P(5,-1)、点Q(1,-7)，则PQ的距离为__________。
4. 已知线段AB的中点坐标为(2,-3)，A的坐标为(-1,-1)，则B的坐标为__________。
5. 平面直角坐标系中，直线y=-2x+3与x轴和y轴的交点分别为__________。
三、解答题1. 在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)、点B(5,7)，求AB的斜率和长度。
2. 平面直角坐标系中，点C(4,2)关于原点O的对称点为C'，求C'的坐标。
3. 平面直角坐标系中，已知直线y=3x-2和直线y=-2x+5，求这两条直线的交点坐标。
中考几何综合探究练习题
中考几何综合探究练习题一、基础题1. 在△ABC中，若AB=AC，求证：∠B=∠C。
2. 若平行线l和m之间的距离为3cm，直线n平行于l和m，求直线n与l、m之间的距离。
3. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B在x轴上，若AB=5，求点B 的坐标。
4. 已知等边三角形的一边长为6cm，求该三角形的面积。
5. 在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，求BC的长度。
6. 若四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，求证：OA=OC。
二、提高题1. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，AB=8cm，求AC的长度。
2. 若直角三角形的两条直角边分别为6cm和8cm，求斜边上的高。
3. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(2,1)，求线段AB的中点坐标。
4. 已知等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm，求该三角形的面积。
5. 在△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，BC=10cm，求AC的长度。
6. 若四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，且AC=8cm，BD=6cm，求菱形的面积。
三、综合题1. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=105°，AB=12cm，求BC的长度。
2. 若直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边的长度。
3. 在平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B在y轴上，且AB=5cm，求点B的坐标。
4. 已知等腰梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为8cm，求该梯形的面积。
5. 在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AC=12cm，求BC的长度。
6. 若四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，且AC=24cm，BD=10cm，求矩形的面积。
四、应用题1. 一个等腰三角形的底边长为16cm，腰长为20cm，求这个三角形的高。
初等几何研究习题解集123
初等几何研究习题解集
习题一（12页）
2.利用外角定理证明：
2.证明：同一直线两条直线不可能相交。
证：设a l ⊥,b l ⊥,1290∠=∠=︒若a b C =，对ABC 而言，由外角定理可知12∠<∠，这与12∠=∠相矛盾。
,a b 不能相交。
证毕.
4.证明：圆外切四边形一双对边之和等于另一双对边之和叙述并证明逆定理。
证：设四边形ABCD 外切于o 切点为E,F,G,H
AB+CD=AE+EB+CG+GD
=AH+BF+FC+HD =(AH+HD)+(BF+FC)=AD+BC。
证毕.
逆定理：若四边形一双对边之和等于另一双对边之和，则此四边形必有内切圆; 证：设四边形ABCD 中:AB+CD=BC+AD 我们总可以作圆O 切四边形ABCD 的三边AB,AD,DC,于
E,H,G :
若o 与BC 边不相切,过C 作o 的切线CF(F 为切点).交AB 与N 在四边形ANCD 中,由原定理有,AN+CD= +AD 由已知AB+CD=BC+AD 两式相减AB-AN= BC- BN A,B,N 在同一直线上 ∴BN=BC-NC
这与ABN 中BN>BC-NC 相矛盾,因此N 与B 必重合. 即BC 切o 于F 证毕. 21
l B A C b a
B A
N
A
习题二（18页）
1.证明：两院相交点不能在连心线同一侧;
证:若o与I的交点AB在连心线的同一侧,由于两圆关于轴I对称,那么点A关于I对称点N也是I与o德交点,这样相交圆有三个交点,其交点不能在连心线的同一
侧. 证毕.。
苏教版第13章立体几何初步综合提升测试卷
苏教版第13章立体几何初步综合提升测试卷一、单选题1．下列叙述中，错误的一项为（）A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的各个侧面都是平行四边形C．棱柱的两底面是全等的多边形D．棱柱的面中，至少有两个面相互平行2．长方体的12条棱所能确定的平面个数为（）A．8 B．10C．12 D．143．在三棱锥P ABC-中，ABC的内心O到三边的距离均为1，PO⊥平面ABC，且PBC的BC边上的高为2，则该三棱锥的内切球的体积为（）A．323πB．83πC．43πD．43π4．已知空间直线l和平面α，则“直线l在平面α外”是“直线l∥平面α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件5．如图，G，H，M，N分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，则在下列图形中//GH MN的是（）A．B．C ．D ．6．祖暅(公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家).他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =圆环总成立据此，短轴长为2cm ，长轴为4cm 的椭球体的体积是（ ）3cm .A ．2π3B ．4π3C ．8π3D ．16π37．四面体ABCD 中，90,4,2ABC BCD AD BC ∠=∠=︒==，且AB 与CD 所成角为60︒，则该四面体的外接球表面积为（ ） A ．10πB ．16πC ．18πD ．20π8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD ==，11AA =，若面对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A ．1B ．3 C．1+D二、多选题9．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交C ．异面D ．以上皆不可能10．已知a 、b 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若a α⊥，a β⊥，则//αβB ．若a α⊥，b α⊥，则//a bC ．若a b ⊥，b α⊥，//a β，则//αβD ．若//αβ，a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，则//a b11．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12,1AB AA ==，M 为AB 的中点，点P 在线段1BC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．直线1//BC 平面1A MCB ．A 和P 到平面1A MC 的距离相等 C ．存在点P ，使得AP ⊥平面1A MCD ．存在点P ，使得1AP A C ⊥12．已知三棱锥P ABC -的顶点均在半径为5的球面上，ABC 为等边三角形且外接圆半径为4，平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的体积可能为（ ） A ．20 B ．40C ．60D ．80三、填空题13．已知l ，m 为直线，α为平面，l //α，m ⊂α，则l 与m 之间的关系是___________. 14．如图，点M 为矩形ABCD 的边BC 的中点，1AB =，2BC =，将矩形ABCD 绕直线AD 旋转所得到的几何体体积记为1V ，将MCD △绕直线CD 旋转所得到的几何体体积记为2V ，则12V V 的值为________15．如图，1111A B C D 是以ABCD 为底面的长方体的一个斜截面，其中4AB =，3BC =，115AA DD ==，118BB CC ==，则该几何体的体积为___________.16．如图圆锥内的球O 与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为1，则圆锥侧面积的最小值为________．四、解答题17．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）该几何体的表面积.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面； （2）平面1EFA //平面BCHG .19．在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AA A B ==，120BAD ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ．（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ； （2）求四棱锥11C ABB A -的体积．20．已知平面四边形ABCD 中，AB AC ⊥，2AB AC AD CD ====，现将ABC 沿AC 折起，使得点B 移至点P 的位置(如图)，且PC PD =.（1）求证：CD PA ⊥；（2）若M 为PD 的中点，求点D 到平面ACM 的距离.21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BB AB AB BC ===，D 为AC 的中点，1AB B D ⊥，（1）求证：平面11ABB A ⊥平面ABC ； （2）求直线1DB 与平面11ABB A 所成的角.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2APB π∠=，3ABC π∠=，23PB =，24PA AD PC ===，点M 是AB 的中点，点N 是线段BC 上的动点.（1）求证：平面PCM ⊥平面PAB ； （2）若点N 到平面PCM 33BN NC 的值.参考答案1．A 【分析】对于A ，通过举反例判断；对于B ，C ，D 由棱柱的定义进行判断 【详解】在A 中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面， 例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A 错误；在B 中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B 正确；在C 中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C 正确； 在D 中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D 正确． 故选：A ． 2．C 【分析】由长方体的结构和面的定义可得选项． 【详解】在长方体中，由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面，共12个面． 故选：C ． 3．C 【分析】由三角形内心、侧面的高有BC ⊥面EPO ，即OE BC ⊥，根据已知有1OE =，2PE =，再根据sin OE FDEPO PE PF∠==即可求内切球的半径，进而求体积. 【详解】如下图，O 为ABC 的内心，若PE BC ⊥，则BC ⊥面EPO ，OE ⊂面EPO ，即有OE BC ⊥，∴1OE =，2PE =，若F 为内切球的球心，且FD PE ⊥，即内切球的半径为r FO FD ==， ∴sin OE FDEPO PE PF∠==，而PF PO FO =-，223PO PE OE -= 123r =-，得33r =，故该三棱锥的内切球的体积3443327V r π==. 故选：C. 4．B 【分析】结合线面位置关系，根据充分必要条件定义判断． 【详解】直线l 在平面α外，包括直线l 与平面α平行和相交，不充分，但直线l ∥平面α，一定有直线l 在平面α外，必要的，因此是必要不充分条件． 故选：B ． 5．D 【分析】根据异面直线的定义、平行线的性质、平行四边形的性质进行判断即可. 【详解】解：对于A ，若//GH MN ，可得G ，H ，M ，N 四点共面，则直线MG ，HN 共面， 这与MG ，NH 异面矛盾，所以A 中的两直线不平行；由异面直线的定义可得B ，C 中的两直线GH ，MN 为异面直线；由N ，H 为中点，可得//NH MG ，且NH MG =，则四边形MGHN 为平行四边形， D 中的两直线为平行直线. 故选：D. 6．C【分析】根据题中的S S =环圆总成立，可得半椭球体的体积，再利用柱体的体积公式和锥体的体积公式求解即可. 【详解】根据题意，因为S S =环圆总成立， 所以半椭球体的体积为22212πππ33V V b a b a b a -=-=柱锥， 由题意可知，1b =，2a =，所以半椭球体的体积为224ππ1233⋅⨯=， 从而椭球体的体积是38π3cm . 故选：C. 7．D 【分析】把四面体放入符合条件的长方体中，四面体外接球即长方体外接球，从而求得半径，求出表面积. 【详解】如图所示，把四面体放入符合条件的长方体中，在Rt AED △中，2ED BC ==，4=AD ，则224223AE =-=又AB 与CD 夹角为60，则60ABE ∠=，在Rt ABE △中，2tan 60AEBE ==，则四面体ABCD 的外接球即为长方体的外接球，则外接球半径为()222112322522AC =++=故外接球表面积为()24520ππ=故答案为：D. 【点睛】方法点睛：将四面体外接球转化为长方体外接球，从而求得半径. 8．D 【分析】将对角面11A BCD 绕1A B 旋转至与平面11ABB A 在同一平面内，可确定当1,,A P D 三点共线时，所求距离之和最短，利用解三角形的知识可求得最小值. 【详解】将长方体对角面11A BCD 绕1A B 旋转至与平面11ABB A 在同一平面内，如下图所示：则当1,,A P D 三点共线时，1AP D P +取得最小值1AD ， 又1AA AB ⊥，11AA =，3AB =13AA B π∴∠=，115326AA D πππ∴∠=+=， 在11A AD 中，由余弦定理得：222111111152cos 76AD AA A D AA A D π=+-⋅=， 17A D ∴=1AP D P +7.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的距离之和的最值的求解，解题关键是能够通过翻转平面，将问题转化为平面中的两点间的最短距离的求解问题. 9．ABC 【分析】利用空间中两直线的位置关系求解. 【详解】解：当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A 正确； 两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B 正确；一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C 正确； 故选：ABC. 10．AB 【分析】利用线面垂直的性质可判断A 选项、B 选项的正误；举出符合命题题设的事例，可判断C 选项、D 选项的正误. 【详解】对于A ，若a α⊥，a β⊥，由线面垂直的性质及面面平行的定义可得//αβ，故A 正确； 对于B ，若a α⊥，b α⊥，由线面垂直的性质定理可得//a b ，故B 正确；对于C ，在如下的正方体中，a ，b 是两条棱所在直线，,αβ是正方体两个表面所在的平面，显然有a b ⊥，b α⊥，//a β，而α与β相交，故C 错误；对于D ，圆锥SO 的底面所在平面为α，与该圆锥底面平行的截面所在平面为β，//αβ，圆锥SO 的两条母线所在为a ，b ，显然a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，而a 与b 相交，故D 错误. 故选：AB 11．AB 【分析】由线面平行判定定理可证1//BC 面1A MC ，由题设知1,,A B C 到面1A MC 的距离相等，即有A 和P 到平面1A MC 的距离相等，由面1A MC 与面1ABC 不垂直可判断是否存在AP ⊥平面1A MC ，过P 作//PE BC ，则AE 为AP 在面11ACC A 上的射影，即可判断1AP A C ⊥是否成立. 【详解】A ：连接1AC 交1A C 于D ，连接MD 则D 为1AC 中点，由M 为AB 的中点，所以1//MD BC ，而MD ⊂面1A MC ，1BC ⊄面1A MC ，则1//BC 面1A MC ，正确；B ：由A 知，1,,A BC 到面1A MC 的距离相等，P 在线段1BC 上，所以A 和P 到平面1A MC 的距离相等，正确；C ：由题设，易知面1A MC 与面1ABC 不垂直，AP ⊂面1ABC ，所以不可能有AP ⊥平面1A MC ，错误；D ：由题设知：如下图，过P 作//PE BC ，则AE 为AP 在面11ACC A 上的射影，而由下图知AE 不可能与1A C 垂直，所以1AP A C ⊥不可能成立.故选：AB. 12．AB 【分析】画出三棱锥P ABC -，O 、E 分别为ABC 外接圆的心、P ABC -外接球的球心，D 为BC 的中点，由外接圆、外接球的性质，结合已知确定相关线段的长度，进而求ABC 的面积，令P 到面ABC 的距离为d ，即有13P ABC ABC V d S -=⋅，由面面垂直可知PA PB =时d 最大，即可求P ABC V -的范围.【详解】如下图为三棱锥P ABC -，若O 、E 分别为ABC 外接圆的心、P ABC -外接球的球心，D 为BC 的中点，∴5R EC EP EA EB =====，4r OC ==，而EO ⊥面ABC 且ABC 为等边三角形， ∴43AB BC AC ===，6AD =，3EO =，又平面PAB ⊥平面ABC ， 令P 到面ABC 的距离为d ，则1433P ABC ABCV d S d -=⋅=，而当PA PB =时，有22max 352321d =-=，即0321d <≤，∴(0,123127]P ABC V -∈， 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：利用外接圆、外接球的性质求三棱锥相关线段的长度，由三棱锥体积求法，结合面面垂直及与外接球的几何关系确定P 到面ABC 的距离最大时P 的位置，进而求体积的范围.13．平行或异面 【分析】在正方体里举例说明线线关系即可. 【详解】在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1//平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， A 1B 1与AB 平行，A 1B 1与BC 异面，∴l ，m 为直线，α为平面，l //α，m ⊂α， 则l 与m 之间的关系是平行或异面. 故答案为：平行或异面. 14．6 【分析】分析几何体的结构，计算出1V 、2V ，由此可得出结果. 【详解】将矩形ABCD 绕直线AD 旋转所得到的几何体是以1为底面圆的半径，母线长为2的圆柱，所以，21122V ππ=⨯⨯=，将MCD △绕直线CD 旋转所得到的几何体是以1为底面圆的半径，高为1的圆锥， 所以，2211133V ππ=⨯⨯⨯=. 因此，126V V =. 故答案为：6. 15．78 【分析】易知该几何体是直棱柱，底面为梯形11AA B B ，高为AD ，利用柱体的体积公式可求得结果. 【详解】因为平面11//AA B B 平面11DD C C ，平面1111A B C D 平面1111AA B B A B =，平面1111A B C D平面1111DD C C C D =，1111//A B C D ∴，同理可知，1111//B A C D ，所以，四边形1111D C B A 为平行四边形，则1111A B C D =，1111A D B C =，11AA DD =，11BB DD =，AB CD =且11//AA DD ，11//BB DD ，//AB CD ，易知，梯形11AA B B 与梯形11DD C C 全等，且1111AD A D B C BC ===，1111//////AD A D B C BC ， 所以，几何体1111AA B B DD C C -为棱柱，在原长方体中，AD ⊥平面11AA B B ，所以，四棱柱1111AA B B DD C C -的高为AD ，()()11115842622AA B B AA BB AB S +⋅+⨯===梯形，因此，11111126378AA B B DD C C AA B B V S AD -=⋅=⨯=梯形. 故答案为：78. 【点睛】方法点睛：解本题的关键在于分析几何体的形状，再结合几何体的体积公式求解，常见的求几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．16．(3π+ 【分析】设圆锥的底面圆半径为x ，SO y =，根据题意得到211y x y +=-，而圆锥的侧面积S x SA ππ=⋅⋅=转化为，最后利用换元法求解最小值即可. 【详解】设圆锥的底面圆半径为x ，SO y =，设球与侧面相切于点C ，在Rt SCO ∆中，SC =．因为1~SCO SO A ∆∆，则11CO SCO A SO =，即1x =211y x y +=-．在1Rt SAO ∆中，SA ==故圆锥的侧面积S x SA ππ=⋅⋅=π=== 令1y t -=，0t >，则12y t +=+，故23(3S t t ππ⎛⎫===++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2t t=，即t =，1y =时，取等号，所以圆锥侧面积S的最小值为(3π+．【一题多解】解法一：设1ASO θ∠=，在Rt SCO ∆中，1sin SO θ=，1tan SC θ=． 因为1~SCO SO A ∆∆，则11CO SC O A SO =，即111tan 11sin O A θθ=+， 所以1sin 1cos O A θθ+=，sin 1sin cos SA θθθ+=⋅，于是圆锥的侧面积212sin 1sin 1(sin 1)sin 1cos sin cos sin cos sin (1sin )S O A SA θθθθππππθθθθθθθ++++=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅-，令sin 1t θ+=，则sin 1(12)t t θ=-<<，则(322)2(1)(2)3223tS t t t tπππ=⋅=≥=+--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，当且仅当2t t=，即2t =时取等号，所以圆锥侧面积S 的最小值为(322)π+． 解法二：设SO h =，11AO BO r ==．1~SOC SAO ∆∆，且11OC OO ==，1AO OC SO SA∴=即221(1)h r h =++， 22(1)hr r h ∴=++，211h r h +=-， ∴圆锥的侧面积22212(1)13(223)11h S r r h r hr r h h h h h ππππππ+⎛⎫=++=⋅==⋅=-++≥+ ⎪--⎝⎭ 当且仅当21h =+时等号成立，故圆锥侧面积S 的最小值为(322)π+．故答案为：(322)π+. 【点睛】本题考查圆锥的内切球、圆锥中相关量的计算，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算直观想象核心素养． 17．（1）256；（2）240. 【分析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.【详解】连接11A C ，11B D 交于点O ，取11B C 的中点E ，连接PO ，OE ，PE（1）883192V =⨯⨯=长方体11111883643P A B C D V -=⨯⨯⨯=∴19264256V =+=总 （2）∵3PO =，4OE = ∴225PE PO OE =+=1485802S =⨯⨯⨯=四棱椎侧48388160S =⨯⨯+⨯=长方体80160240S =+=总【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据中位线定理证得11//GH B C ，再由棱柱的性质证得//GH BC ，根据平面公理可得证；（2）根据面面平行的判定定理的推论可得证. 【详解】 证明：（1）G ､H 分别为11A B ，11A C 中点，11//GH B C ∴，三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，//GH BC ∴B ∴､C ､H ､G 四点共面；（2）E ､F 分别为AB ､AC 中点，//EF BC ∴，11//////EF BC B C GH ∴，又EF 不在平面BCHG 中，BC ⊂平面 BCHG ，所以//EF 平面BCHG 又E ､G 分别为三棱柱侧面平行四边形11AA B B 对边AB ､11A B 中点，∴四边形1A EBG 为平行四边形，1//A E BG ，又1A E 不在平面BCHG ，BG ⊂平面BCHG ∴平面1EFA 中有两条直线1A E ､EF 分别与平面BCHG 平行 ∴平面1EFA //平面BCHG .19．（1）证明见解析；（2）2． 【分析】（1）连1DC ，通过证明四边形11B EDC 为平行四边形，可证得11E//C B D ，进而得证； （2）取AB 中点F ，可证得11CF ABB A ⊥面，进而可得体积. 【详解】（1）证明：连1DC ，由1B C //AD ，E 是棱AD 的中点，得，11//E B C D 且11=E B C D 故四边形11B EDC 为平行四边形．所以11E//C B D ， 又1C D ⊂平面11CDD C ，1B E ⊂/平面11CDD C ， 所以1//B E 平面11CDD C（2）取AB 中点F ，连接AC ，CF ，因为底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒， 所以CF AB ⊥，又1AA ⊥面ABCD ，∴1AA CF ⊥，∵1AA AB A =所以11CF ABB A ⊥面，即CF 为四棱锥11-C ABB A 的高，且CF 而11(12)1322AA B B S +⨯==直角梯形，所以四棱锥11-C ABB A 的体积1332V =⨯20．（1）证明见解析；（2）2217. 【分析】（1）由题设，易得PA AC ⊥且PAC PAD ≅，即有PA AD ⊥，根据线面垂直的判定及性质即可证PA CD ⊥；（2）由已知结合余弦定理求MC 、sin ACM ∠，进而求出AMC S △，根据D AMC M ADC V V --=即可求D 到平面ACM 的距离. 【详解】（1）证明：由题意知，PA AC ⊥，即90PAC ∠=︒， ∵AC AD =，PC PD =，PA PA =，∴PAC PAD ≅，则90PAD PAC ∠=∠=︒， ∴PA AD ⊥，又ACAD A =，∴PA ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ， ∴PA CD ⊥；（2）由M 为PD 的中点，即2MD =12cos 22CDMDC PD ∠==， 在MCD △中，2222cos 24222422MC MD DC MD DC MDC =+-⋅⋅∠=+-=，得2MC =，在AMC 中，2AC MC ==，2AM =3cos 4ACM ∠=，7sin 4ACM ∠=，∴11sin 2222AMC S AC CM ACM =⋅⋅⋅∠=⨯⨯= 设点D 到平面ACM 的距离为d ，则由等体积法有D AMC M ADC V V --=，故111332AMC ADC S d S PA ⋅⋅=⋅⋅221=⨯，解得d =故点D 到平面ACM 的距离为7. 【点睛】关键点点睛：（1）应用三角形全等得线线垂直，根据线面垂直的判定及性质证线线垂直；（2）利用等体积法求点面距.21．（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）先取等腰1ABB ∆底边中点O ，三线合一得线线垂直，由已知1AB B D ⊥，得AB ⊥平面1B OD ，则有AB OD ⊥，再由平行关系及190B BC ∠=︒，得到1OD BB ⊥，得证线面垂直，再证面面垂直；（2）由OD ⊥平面11ABB A ，得线面角，解直角三角形可求.【详解】 （1）如图，取AB 中点为O ，连结OD ，1OB ，则//OD BC .在1ABB ∆中，11B B B A =， ∴1OB AB ⊥1AB B D ⊥，111OB B D B ⋂=， ∴AB ⊥平面1B ODOD ⊂平面1B OD ，∴AB OD ⊥. 由已知，1BC BB ⊥，又//OD BC ，∴1OD BB ⊥1AB BB B ， ∴OD ⊥平面11ABB A又OD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面11ABB A .（2）OD ⊥平面11ABB A ，∴1DB O ∠即为所求.设2BC =.112OD BC ==，又1ABB ∆是等边三角形，1323B O =⨯=， ∴13tan 3DB O ∠=. ∴直线1DB 与平面11ABB A 所成的角为30.【点睛】在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，平面图形中常见的垂直关系有：等腰三角形三线合一；菱形（正方形）对角线互相垂直；矩形的四个内角都是直角；圆的直径所对的角是直角等等.线线垂直的证明，还要注意通过计算的方式（如勾股定理）证明，或者利用已知的垂直关系平移转化得到.22．（1）证明见解析；（2）13. 【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据垂直关系证明CM ⊥平面PAB ；（2）利用等体积转化P MNC N PMC V V --=，求解NC 的值.【详解】（1）证明：在PAB ∆中，因为2APB π∠=，23PB =2PA =，所以4AB =，因为点M 是AB 的中点，所以2BM PM ==，在BMC ∆中3MBC π∠=，得23CM =所以222BM CM BC +=，所以AB CM ⊥，在PMC ∆中，2PM =，23CM =4PC =，满足222PM CM PC +=，所以PM CM ⊥，而AB PM M =，所以CM ⊥平面PAB ，因为CM ⊂平面PCM ，所以平面PCM ⊥平面PAB .（2）过点P 作PO AB ⊥，垂足为O ，由（1）可知CM ⊥平面PAB ，因为CM ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PAB ，平面ABCD平面PAB =AB ，所以PO ⊥平面ABCD . 由P MNC N PMC V V --=，11....33MNC PMC S PO S d =，因为33d =3NC =，所以13BN NC =. 【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直的证明，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.。
初等几何研究试题
初等几何研究试题一、选择题 （5分⨯4=20分）1. 如图,CD EF AB ||||,已知20=AB ,,80=CD 100=BC 那么，EF 的值是____. A. 10, B.12, C.16, D.20第1题图 第2题图 2. 如图,在ABC ∆中,P 是AC 上的点,取BP 的中点Q ,连结CQ 并延长与AB 交于D ,则ABP S ∆与ACD S ∆的关系是_____.A. ABP ACD S S ∆∆<B. ABP ACD S S ∆∆=C. ABP ACD S S ∆∆>D. 不能确定.3. 如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，o A 45=∠，那么，FBCE AEF S S :=______.A 1:1B 2:1C 3:1D 4:1第3题图 第4题图4. 如图，ABCD 是面积为1的正方形，PCB ∆是正三角形，PBD ∆的面积为_____.A.213- B. 8132- C. 43D. 413-二、填空题 （5分⨯4=20分）1．如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则BFD S =_____.第1题图 第2题图 2．如图,AB 是圆O 直径，4=AB ，弦3=BC ，ABC ∠的平分线交半圆于D ,BC AD ,的延长线交于E ,DCE ABCD S S :=______.3．已知圆O 是ABC ∆的外接圆，半径为r ,CO BO AO ,,分别交对边于F E D ,,, 则：CF BE AD 111++=______.(用r 表示)4．ABC ∆的三条高分别为c b a h h h ,,,又ABC ∆内任一点P 到三边距离分别为c b a p p p ,,，则=++c c b b a a h p h p h p ______.三、证明题(12分⨯5=60分)1. 在ABC ∆中，过点A 作直线BC l ||，B ∠的平分线交AC 于D ,交直线l 于E ,C ∠的平分线交AB 于F ,交直线l 于G ,且FG DE =,求证: ABC ∆是等腰三角形.2．M是以AB为直径的上不同于BA、的任一点，C是直径AB上的定点，过M作CM 垂直的直线交过处BD、,求证：A、的切线于E（1）ED,成等比数列；BM,EC（2）BEAD⋅是定值.3．三条中线把ABC∆分成6个三角形，若这6个三角开的内切圆中有4个相等，求ABC∆是正三角形.4．从等腰ABC ∆的底边AC 上的中点M 作BC 边的垂线MH ，点P 为线段MH 的中点，求证：BP AH ⊥.5．已知： ABC ∆内接于圆O ，N M L ,,分别是弧AB CA BC ,,的中点，连结LM NM ,分别交BC AB ,于E D ,；I 是ABC ∆的内心，求证： (1)BC DE ||;(2)IE DI DE +=.。
初中数学几何综合-含答案
一．选择题（共13小题）1．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M 不与B、C重合），过点C作CN垂直DM交AB于点N，连结OM、ON、MN．下列四个结论：其中正确结论是（）①S四边形ABCD＝4S四边形ONBM；②BM2+CM2＝2ON2；③△CON≌△DOM；④若AB＝2，则S△OMN的最小值是1．A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④2．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BD分别交AE、AF于M、N，连MF、EF，下列结论：①MN2＝BN2+DM2；②DE+BF＝EF；③AM＝MF且AM⊥MF；④若E为CD 中点，则＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1B．C．2D．4．如图，在正方形ABCD内一点E连接BE、CE，过C作CF⊥CE与BE延长线交于点F，连接DF、DE．CE＝CF＝1，DE＝，下列结论中：①△CBE≌△CDF；②BF⊥DF；③点D到CF的距离为2；④S四边形DECF＝+1．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M．则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，EH与CF交于点O．则HE的长为（）A．2B．C．2D．或27．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①FH∥AE；②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD；⑤若，则．其中哪些结论是正确（）A．①②④⑤B．②③④C．①②③D．②③④⑤8．如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点，BE ＝CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF．下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③CE+CF＝BD；④S四边形OECF＝S正方形ABCD，其中正确的是（）A．①②B．①④C．①②④D．①②③④9．如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，连接AM、EM、CM，延长EM交AB于点F，若AM＝EM，∠E＝30°，则下列结论：①FM＝ME；②BF＝DE；③CM⊥EF；④BF+MD＝BC，其中正确的结论序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AG平分∠BAC交BD于G，DE ⊥AG于点H．下列结论：①AD＝2AE：②FD＝AG；③CF＝CD：④四边形FGEA是菱形；⑤OF＝BE，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝（）A．90°B．45°C．30°D．22.5°12．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠F AE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④AD+DE＝DH；⑤若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个13．如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC＝2，则下列结论：①FB⊥OC；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共3小题）14．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE ＝40°，则∠DFC的度数为．15．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论：①EC＝2DG；②∠GDH＝∠GHD；③S△CDG＝S四边形DHGE；④图中只有8个等腰三角形．其中正确的有（填番号）．16．如图，在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、F A⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．若AE＝2，则FC＝．三．解答题（共24小题）17．如图，在直线l上将正方形ABCD和正方形ECGF的边CD和边CE靠在一起，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中FH交DG于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝4，求DM的长．18．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD 于点M，MN⊥CM，交AB于点N，（1）求∠BMN的度数；（2）求BN的长．19．如图示，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB，BC的延长线上，且∠EOF＝90°，OE与BC交于点M，连接EF，G是EF的中点，连接OG．（1）求证：OE＝OF（2）若∠BOG＝65°，求∠BOE的度数；（3）是否存在点M是BC中点，且使（1）的结论成立，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．20．如图，正方形ABCD中，AB＝，在边CD的右侧作等腰三角形DCE，使DC＝DE，记∠CDE为α（0°＜α＜90°），连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF．（1）求∠DEA的大小（用α的代数式表示）；（2）求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）当CF＝时，求点E到CD的距离．21．如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD 于点G，GF⊥AE交BC于点F．（1）求证：AG＝FG．（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长．（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．22．在正方形ABCD中，点E是DC上一点，连结AC，AE．（1）如图1，若AC＝8，AE＝10，求△ACE的面积．（2）如图2，EF⊥AC于点F，连结BF．求证：AE＝BF．23．如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接BD，若，求BG的长．24．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（不与O、C 重合），作AF⊥BE，垂足为G，分别交BC、OB于F、H，连接OG、CG．（1）求证：△AOH≌△BOE；（2）求∠AGO的度数；（3）若∠OGC＝90°，BG＝，求△OGC的面积．25．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF 的周长等于BC的长．（1）若AB＝24，BE＝6，求EF的长；（2）求∠EOF的度数；（3）若OE＝OF，求的值．26．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°（1）求证：∠BAG＝∠CBF；（2）求证：AG＝FG；（3）若GF＝2BG，CF＝，求AB的长．27．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．28．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．29．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．30．如图1，在正方形ABCD中，G为线段BD上一点，连接AG，过G作AG⊥GE交BC 于E，连接AE．（1）求证：BG＝DG+BE；（2）如图2，AB＝4，E为BC中点，P，Q分别为线段AB，AE上的动点，满足QE＝AP，则在P，Q运动过程中，当以PQ为对角线的正方形PRQS的一边恰好落在△ABE的某一边上时，直接写出正方形PRQS的面积．31．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．（1）求证：四边形AEBC是矩形；（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．32．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．33．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．34．已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF ＝BE，线段EF与边CD相交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）如果AB＝BE，DG＝CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．35．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．（1）求证：四边形AFED是矩形．（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．36．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）若CM＝5，且AC＝8，求四边形ADEC的周长．37．如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD ＝BO，连接AD、DC、CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．38．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．39．如图，在平行四边形BPCD中，点O为BD中点，连接CO并延长交PB延长线于点A，连接AD、BC，若AC＝CP，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若AB＝9，BC＝12，AE＝3，则AF的长为．40．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连结AE，交OD于点F，连结CF，若CF＝CE＝1，求AC长．2021年01月06日杨莲莲的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M 不与B、C重合），过点C作CN垂直DM交AB于点N，连结OM、ON、MN．下列四个结论：其中正确结论是（）①S四边形ABCD＝4S四边形ONBM；②BM2+CM2＝2ON2；③△CON≌△DOM；④若AB＝2，则S△OMN的最小值是1．A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△AON≌△BOM，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，∴AO＝BO，∠OAN＝∠OBM＝45°，∠AOB＝90°，∵CN⊥DM，∴∠MCN+∠CMD＝∠CMD+∠CDM＝90°，∴∠CDM＝∠BCN，∵CD＝BC，∠DCM＝∠CBN，∴△CDM≌△BCN（AAS），∴CM＝BN，∴AN＝BM，∴△AON≌△BOM（SAS），∴S△AON＝S△BOM，∴S四边形ONBM＝S△AOB＝S正方形ABCD，∴S四边形ABCD＝4S四边形ONBM；故①正确；∵△AON≌△BOM，∴ON＝OM，∠AON＝∠BOM，∴∠NOM＝∠AOB＝90°，∴△NOM是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∵BN2+BM2＝MN2，∴CM2+BM2＝2ON2，故②正确；∵∠MON＝∠COD＝90°，∴∠NOC＝∠MOD，∵OD＝OC，ON＝OM，∴△CON≌△DOM（SAS），故③正确；∵AB＝2，∴S正方形ABCD＝4，∵△AON≌△BOM，∴四边形BMON的面积＝△AOB的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN＝x＝CM，则BM＝2﹣x，∴△MNB的面积＝x（2﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1﹣＝，故④不正确，故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，二次函数的最值以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．2．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BD分别交AE、AF于M、N，连MF、EF，下列结论：①MN2＝BN2+DM2；②DE+BF＝EF；③AM＝MF且AM⊥MF；④若E为CD 中点，则＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①过B作BD的垂线，截取BH＝MD，连接AH，HN，如图，易证△ADM≌△ABH，△AHN≌△AMN，得MN＝HN，最后根据勾股定理可作判断；②延长CB，截取BI＝DE，连接AI，如图，易证△ADE≌△ABI，△AIF≌△AEF，得IF＝EF，即DE+BF＝EF，成立．③作辅助线，则可证△AFJ为等腰直角三角形，CK＝BF＝KJ，证明∠JCK＝45°，推出四边形BCJK为平行四边形，所以GJ＝BC＝AD，可证△GJM≌△DAM，则M为AJ的中点，又∠AFJ＝90°，故AM＝MF且AM⊥MF，成立．④延长CB，截取BL＝DE，连接AL，可设DE＝a，BF＝x，则EF＝LF＝a+x，CF＝2a﹣x，CE＝a，由勾股定理可知：3x＝2a，则＝＝，成立．【解答】解：①过B作BD的垂线，截取BH＝MD，连接AH，HN，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠ABH＝45°＝∠ADM，在△ADM和△ABM中，∵，∴△ADM≌△ABH（SAS），∴∠DAM＝∠BAH，AM＝AH，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAM+∠BAN＝∠BAH+∠BAN＝45°，∴∠MAN＝∠HAN＝45°，在△AHN和△AMN中，∵，∴△AHN≌△AMN（SAS），∴MN＝HN，Rt△BHN中，HN2＝BH2+BN2，∴MN2＝BN2+DM2，成立．②延长CB，截取BI＝DE，连接AI，如图，在△ADE和△ABI中，∵∴△ADE≌△ABI（SAS），同理得△AIF≌△AEF（SAS），∴IF＝EF，即DE+BF＝EF，成立；③如图，过F作FJ⊥AF交AE的延长线于J，过J作JK⊥BC于K，连接CJ，过J作JG ∥BC交BD于G，∴∠AFJ＝∠AFB+∠JFK＝90°，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠JFK，∵∠EAF＝45°，∠AFJ＝90°，∴△AFJ是等腰直角三角形，在△ABF和△FKJ中，∵，∴△ABF≌△FKJ（SAS），∴AB＝FK＝BC，BF＝KJ，∴CK＝BF＝KJ，∴∠JCK＝45°，∴∠DBC＝∠JCK，∴BG∥CJ，∵JG∥BC，∴四边形BCJK为平行四边形，∴GJ＝BC＝AD，∵AD∥BC∥GJ，∴∠DAM＝∠MJK，在△GJM和△DAM中，∵，∴△GJM≌△DAM（AAS），∴AM＝MJ，则M为AJ的中点，又∠AFJ＝90°，故AM＝MF且AM⊥MF，成立．④延长CB，截取BL＝DE，连接AL，可设DE＝a，BF＝x，则EF＝LF＝a+x，∵E为CD中点，∴CD＝BC＝2a，∴CF＝2a﹣x，CE＝a，在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2∴（a+x）2＝a2+（2a﹣x）2解得：3x＝2a，则＝＝，成立．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1B．C．2D．【分析】作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN'，PN'，根据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再证得△MCN'∽△BCA，从而推得△MCN'为等腰直角三角形，结合BM＝3．正方形的边长为4，求得CM，即为MN'，问题可解．【解答】解：如图所示，∵对角线BD平分∠NPM，∴作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∠NPO＝N′PO，NO＝N′O∵在正方形ABCD中，AB＝4∴AC＝AB＝4，∵O为AC中点∴OA＝OC＝2∵N为OA的中点∴ON＝∴ON'＝CN'＝∴AN'＝3∵BM＝3∴CM＝4﹣3＝1∴＝＝∵∠MCN'＝∠BCA∴△MCN'∽△BCA∴∠CMN'＝∠ABC＝90°∵∠MCN'＝45°∴△MCN'为等腰直角三角形∴MN'＝CM＝1∴PM﹣PN的值为1．故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质，明确正方形的相关性质及相似三角形的判定、勾股定理等知识点，是解题的关键．4．如图，在正方形ABCD内一点E连接BE、CE，过C作CF⊥CE与BE延长线交于点F，连接DF、DE．CE＝CF＝1，DE＝，下列结论中：①△CBE≌△CDF；②BF⊥DF；③点D到CF的距离为2；④S四边形DECF＝+1．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识逐项判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠DCF，在△BCE与△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），故①正确；∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF，∴∠DFB＝∠BCD＝90°，∴BF⊥DF，故②正确，过点D作DM⊥CF，交CF的延长线于点M，∵∠ECF＝90°，FC＝EC＝1，∴∠CFE＝45°，∵∠DFM+∠CFB＝90°，∴∠DFM＝∠FDM＝45°，∴FM＝DM，∴由勾股定理可求得：EF＝，∵DE＝，∴由勾股定理可得：DF＝2，∵EF2+BE2＝2BE2＝BF2，∴DM＝FM＝，故③错误，∵△BCE≌△DCF，∴S△BCE＝S△DCF，∴S四边形DECF＝S△DCF+S△DCE＝S△ECF+S△DEF＝+，故④错误，故选：B．【点评】本题考查四边形的综合问题，涉及正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形面积公式等知识内容，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．5．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M．则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD ＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；过点M作MN⊥AB于N，由相似三角形的性质得出＝＝，解得MN＝a，AN＝a，得出NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得BM＝a，求出ME+MF＝+a＝a，MB＝a，得出ME+MF＝MB，故④正确．于是得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE＝BF＝BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则MN∥BC，∴△AMN∽△AFB，∴＝＝，即＝＝，解得MN＝a，AN＝a，∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得：BM＝＝＝a，∵ME+MF＝+a＝a，MB＝a，∴ME+MF＝MB，故④正确．综上所述，正确的结论有①③④共3个．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，EH与CF交于点O．则HE的长为（）A．2B．C．2D．或2【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，分别求得HO和OE的长后即可求得HE的长．【解答】解：∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CGFE的对角线，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，又∵H是AF的中点，∴CH＝HF，∵EC＝EF，∴点H和点E都在线段CF的中垂线上，∴HE是CF的中垂线，∴点H和点O是线段AF和CF的中点，∴OH＝AC，在Rt△ACD和Rt△CEF中，AD＝DC＝1，CE＝EF＝3，∴AC＝，∴CF＝3，又OE是等腰直角△CEF斜边上的高，∴OE＝，∴HE＝HO+OE＝2．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，难度较大．7．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①FH∥AE；②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD；⑤若，则．其中哪些结论是正确（）A．①②④⑤B．②③④C．①②③D．②③④⑤【分析】①根据正方形对角线互相垂直、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可得结论；②根据矩形的判定和性质、直角三角形的性质，证明三角形全等即可得结论；③根据全等三角形性质、矩形的性质进行角的计算即可得结论；④根据边边边证明三角形全等即可得结论；⑤根据割补法求四边形的面积，再求等腰直角三角形的面积，即可得结论．【解答】证明：①在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，∠ADB＝45°，∵EF∥CD∴∠EFD＝90°，得矩形EFDC．在Rt△FDG中，∠FDG＝45°，∴FD＝FG，∵H是DG中点，∴FH⊥BD∵正方形对角线互相垂直，过A点只能有一条垂直于BD的直线，∴AE不垂直于BD，∴FH与AE不平行．所以①不正确．②∵四边形ABEF是矩形，∴AF＝EB，∠BEF＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴BE＝GE，∴AF＝EG．在Rt△FGD中，H是DG的中点，∴FH＝GH，FH⊥BD，∴∠AFH＝∠AFE+∠GFH＝90°+45°＝135°，∠EGH＝180°﹣∠EGB＝180°﹣45°＝135°，∴∠AFH＝∠EGH，∴△AFH≌△EGH，∴AH＝EH，∠AHF＝∠EHG，∴∠AHF+AHG＝∠EHG+∠AHG，即∠FHG＝∠AHE＝90°，∴AH⊥EH．所以②正确．③∵△AFH≌△EGH，∴∠F AH＝∠GEH，∵∠BAF＝CEG＝90°，∴∠BAH＝∠HEC．所以③正确．④∵EF＝AD，FH＝DH，EH＝AH，∴△EHF≌△AHD所以④正确．⑤如图，过点H作HM⊥AD于点M，设EC＝FD＝FG＝x，则BE＝AF＝EG＝2x，∴BC＝DC＝AB＝AD＝3x，HM＝x，AM＝x，∴AH2＝（x）2+（x）2＝x2，S四边形DHEC＝S梯形EGDC﹣S△EGH＝（2x+3x）•x﹣×＝2x2S△AHE＝AH•EH＝AH2＝x2∴＝＝．所以⑤不正确．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形和梯形的面积等内容，解题关键是综合利用以上知识解决问题．8．如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点，BE ＝CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF．下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③CE+CF＝BD；④S四边形OECF＝S正方形ABCD，其中正确的是（）A．①②B．①④C．①②④D．①②③④【分析】①易证得△ABE≌△BCF（ASA），则可证得结论①正确；②由△ABE≌△BCF，可得∠FBC＝∠BAE，证得AE⊥BF，选项②正确；③证明△BCD是等腰直角三角形，求得选项③错误；④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，故①正确；②由①知：△ABE≌△BCF，∴∠FBC＝∠BAE，∴∠FBC+∠ABF＝∠BAE+∠ABF＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；③∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝BC，∴CE+CF＝CE+BE＝＝BC，故③错误；④∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，在△OBE和△OCF中，∵，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE＝S△OCF，∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD，故④正确；故选：C．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，连接AM、EM、CM，延长EM交AB于点F，若AM＝EM，∠E＝30°，则下列结论：①FM＝ME；②BF＝DE；③CM⊥EF；④BF+MD＝BC，其中正确的结论序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】①证明△AFM是等边三角形，可判断；②③证明△CBF≌△CDE（ASA），可作判断；④设MN＝x，分别表示BF、MD、BC的长，可作判断．【解答】解：①∵AM＝EM，∠AEM＝30°，∴∠MAE＝∠AEM＝30°，∴∠AMF＝∠MAE+∠AEM＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠F AD＝90°，∴∠F AM＝90°﹣30°＝60°，∴△AFM是等边三角形，∴FM＝AM＝EM，故①正确；②连接CE、CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDM，AD＝CD，在△ADM和△CDM中，∵，∴△ADM≌△CDM（SAS），∴AM＝CM，∴FM＝EM＝CM，∴∠MFC＝∠MCF，∠MEC＝∠ECM，∵∠ECF+∠CFE+∠FEC＝180°，∴∠ECF＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，在△CBF和△CDE中，∵，∴△CBF≌△CDE（ASA），∴BF＝DE；故②正确；③∵△CBF≌△CDE，∴CF＝CE，∵FM＝EM，∴CM⊥EF，故③正确；④过M作MN⊥AD于N，设MN＝x，则AM＝AF＝2x，AN＝x，DN＝MN＝x，∴AD＝AB＝x+x，∴DE＝BF＝AB﹣AF＝x+x﹣2x＝x﹣x，∴BF+MD＝（x﹣x）+x＝x，∵BC＝AD＝x+x x，故④错误；所以本题正确的有①②③；故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟记正方形的性质确定出△AFM是等边三角形是解题的关键．【点评】此题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定以及菱10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AG平分∠BAC交BD于G，DE⊥AG于点H．下列结论：①AD＝2AE：②FD＝AG；③CF＝CD：④四边形FGEA是菱形；⑤OF ＝BE，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①根据正方形的性质和角平分线的定义得：∠BAG＝∠CAG＝22.5°，由垂直的定义计算∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠EAD＝∠EAD＝22.5°，得ED是AG的垂直平分线，则AE＝EG，△BEG是等腰直角三角形，则AD＝AB＞2AE，可作判断；②证明△DAF≌△ABG（ASA），可作判断；③分别计算∠CDF＝∠CFD＝67.5°，可作判断；④根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可作判断；⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，表示OF和BE的长，可作判断．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAG＝22.5°，∵AG⊥ED，∴∠AHE＝∠EHG＝90°，∴∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADE＝22.5°，∵∠ADB＝45°，∴∠EDG＝22.5°＝∠ADE，∵∠AHD＝∠GHD＝90°，∴∠DAG＝∠DGA，∴AD＝DG，AH＝GH，∴ED是AG的垂直平分线，∴AE＝EG，∴∠EAG＝∠AGE＝22.5°，∴∠BEG＝45°＝∠ABG，∴∠BGE＝90°，∴AE＝EG＜BE，∴AD＝AB＞2AE，故①不正确；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAF＝∠ABG＝45°，∵∠ADF＝∠BAG＝22.5°，∴△DAF≌△ABG（ASA），∴DF＝AG，故②正确；③∵∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，∠CFD＝∠AFE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD，故③正确；④∵∠EAH＝∠F AH，∠AHE＝∠AHF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴EH＝FH，∵AH＝GH，AG⊥EF，∴四边形FGEA是菱形；故④正确；⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，由①知△BEG是等腰直角三角形，∴BE＝x，∴AB＝AE+BE＝x+x＝（+1）x，∴AO＝＝，∴OF＝AO﹣AF＝﹣x＝，∴＝＝，∴OF＝BE；故⑤正确；本题正确的结论有：②③④⑤；故选：C．形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握正方形的性质，注意数形结合思想的应用．11．如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝（）A．90°B．45°C．30°D．22.5°【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由作图知，∠CAP＝∠DAC ＝22.5°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，由作图知，∠CAP＝∠DAC＝22.5°，∴∠P＝180°﹣∠ACP﹣∠CAP＝22.5°，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线定义，正确的理解题意是解题的关键．12．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠F AE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④AD+DE＝DH；⑤若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①正确．证明△ADE≌△ABF（ASA）可得结论．②正确．证明△AGF≌△AGE（SAS），推出∠AGF＝∠AGE＝90°﹣∠BAG，推出∠EGF ＝180°﹣2∠BAG可得结论．③正确．证明△GAF≌△GAE，推出GF＝GE可得结论．④正确．过点H作HM⊥AD于M，HN⊥CD于N，证明△HMA≌△HNE（AAS），推出AM＝EN，HM＝HN，再证明四边形HMDN是正方形可得结论．⑤正确．当DE＝EC时，设DE＝EC＝a，BG＝x，则EG＝a+x，GC＝2a﹣x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ABF＝∠ADE＝∠BAD＝90°，∵AE⊥AF，∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠BAF＝∠DAE，∴△ADE≌△ABF（ASA），∴AE＝AF，故①正确，∵AG平分∠EAF，∴∠GAF＝∠GAE，∵AF＝AE，AG＝AG，∴△AGF≌△AGE（SAS），∴∠AGF＝∠AGE＝90°﹣∠BAG，∴∠EGF＝180°﹣2∠BAG，∵∠EGF＝180°﹣∠EGC，∴∠EGC＝2∠BAG，故②正确，∵△ADE≌△ABF，∴DE＝BF，∵△GAF≌△GAE，∴GF＝GE，∵FG＝BF+BG＝DE+BG，∴EG＝BG+DE，故③正确，过点H作HM⊥AD于M，HN⊥CD于N，∵AE＝AF，∠EAF＝90°，AH平分∠EAF，∴AH⊥EF，HF＝HE，∴HA＝HE＝HF，∵∠ADE+∠AHE＝180°，∴∠HAD+∠DEH＝180°，∵∠DEH+∠HEN＝180°，∴∠HAM＝∠HEN，∵∠AMH＝∠ENH＝90°，∴△HMA≌△HNE（AAS），∴AM＝EN，HM＝HN，∵∠HMD＝∠HND＝∠MDN＝90°，∴四边形HMDN是矩形，∵HM＝HN，∴四边形HMDN是正方形，∴DM＝DN＝HM＝HN，DH＝DM，∴DA+DE＝DM+AM+DN﹣EN＝2DM＝DH，故④正确，当DE＝EC时，设DE＝EC＝a，BG＝x，则EG＝a+x，GC＝2a﹣x，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，∴（x+a）2＝a2+（2a﹣x）2，解得x＝a，∴CG＝a，EG＝a，∴CE：CG：EG＝a：a：＝3：4：5，故⑤正确，故选：D．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13．如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC＝2，则下列结论：①FB⊥OC；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接BD，先证明△BOC是等边三角形，得FO＝FC，BO＝BC，故①正确；因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM，故②错误；再证明四边形EBFD是平行四边形，由OB⊥EF推出四边形EBFD是菱形故③正确，先判断出CM＝，再由∠CBM＝30°，判断出BC＝2，进而判断出④，由此不难得到答案．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB＝OC，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，在△OBF与△CBF中，，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM＝CM；∴①正确，∵∠OBC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM＝∠CBM＝30°，∴∠ABO＝∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE，∵OA＝OC，∠AOE＝∠FOC∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误；∵FO＝FC＝2，FM⊥OC，∠FCM＝30°，∴CM＝，∵∠CBM＝30°，∴BC＝2，∴BM＝3，∴④错误．综上可知其中正确结论的个数是2个，故选：B．【点评】本题属于四边形的综合题，考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质．全等三角形的判定和性质、菱形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共3小题）14．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE ＝40°，则∠DFC的度数为110°．【分析】根据正方形性质和已知得：AD＝DE，利用等腰三角形性质计算∠DAE＝25°，由三角形的内角和定理得：∠AFD＝110°，证明△ADF≌△CDF（SAS），∠DFC＝∠AFD ＝110°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵DC＝DE，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠ADE＝90°+40°＝130°，∴∠DAE＝＝25°，∴∠AFD＝180°﹣25°﹣45°＝110°，在△ADF和△CDF中，∵，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DFC＝∠AFD＝110°，故答案为：110°．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，属于基础题，熟练掌握正方形的性质是关键．15．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论：①EC＝2DG；②∠GDH＝∠GHD；③S△CDG＝S四边形DHGE；④图中只有8个等腰三角形．其中正确的有②③（填番号）．【分析】根据正方形的性质和已知推出四边形DECB是平行四边形，得到BD＝CE，BD ∥CE，无法证出G为CE的中点；得到BD∥CE，推出∠DCG＝∠BDC＝45°，求出∠BGC＝∠GBC，得到BC＝CG＝CD，求出∠CDG＝∠DHG即可；根据三角形的面积公式推出△CDG和四边形DHGE的面积相等；可得有9个等腰三角形．【解答】解：∵正方形ABCD，DE＝AD，∴AD∥BC，DE＝BC，∠EDC＝90°，∴四边形DECB是平行四边形，∴BD＝CE，BD∥CE，∵DE＝BC＝AD，∴∠DCE＝∠DEC＝45°，要使CE＝2DG，只要G为CE的中点即可，但DE＝DC，DF＝BD，∴EF≠BC，即△EFG和△BCG不全等，∴G不是CE中点，∴①错误；∵∠ADB＝45°，DF＝BD，∴∠F＝∠DBH＝∠ADB＝22.5°，∴∠DHG＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，∵BD∥CE，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∵∠DHG＝67.5°，∴∠HGC＝22.5°，∠DEC＝45°，∵∠BGC＝180°﹣22.5°﹣135°＝22.5°＝∠GBC，∴BC＝CG＝CD，∴∠CDG＝∠CGD＝（180°﹣45°）＝67.5°＝∠DHG，∴②正确；∵CG＝DE＝CD，∠DCE＝∠DEC＝45，∠HGC＝22.5°，∠GDE＝90﹣∠CDG＝90﹣67.5＝22.5°，∴△DEG≌△CHG，要使△CDG和四边形DHGE的面积相等，只要△DEG和△CHG的面积相等即可，根据已知条件△DEG≌△CHG，∴③S△CDG＝S四边形DHGE；正确，等腰三角形有△ABD，△CDB，△BDF，△CDE，△BCG，△DGH，△EGF，△CDG，△DGF；∴④错误；故答案为：②③．【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定等知识．综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．16．如图，在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、F A⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．若AE＝2，则FC＝2．【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再求出∠BAE＝∠DAF，∠ABE＝∠ADF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，从而判断出△AEF是等腰直角三角形，根据AE的长度求出EF，过点A作AH⊥EF于H，连接BH，根据等腰直角三角形的性质可得AH＝EH＝FH，利用“角边角”证明△APH 和△BPE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝AH，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠EHB＝45°，然后求出∠AHB＝∠FHB，再利用“边角边”证明△ABH和△FBH全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝BF，再根据全等三角形对应边相等求出BE＝DF，全等三角形对应角相等求出∠BAH＝∠BFE，然后求出∠BFE＝∠ADF，根据等角的余角相等求出∠EBF＝∠FDC，再利用“边角边”证明△BEF和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等可得FC＝EF．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∵F A⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BPE＝∠ADF+∠APD＝90°，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF，BE＝DF，∵F A⊥AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AE＝2，过点A作AH⊥EF于H，连接BH，。
初一几何综合试题及答案
初一几何综合试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（）A. 2cm，3cm，5cmB. 3cm，4cm，7cmC. 4cm，5cm，9cmD. 5cm，6cm，10cm答案：B2. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C3. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长x的取值范围是（）A. 3＜x＜9B. 0＜x＜9C. 3＜x＜6D. 6＜x＜9答案：A4. 一个等腰三角形的两边长分别为3和6，那么这个三角形的周长是（）A. 9B. 12C. 15D. 18答案：C5. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 三角形的内角和是____度。
答案：1807. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是____。
答案：68. 一个等腰三角形的两边长分别为3和6，那么这个三角形的周长是____。
答案：159. 在一个三角形中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C=____。
答案：75°10. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是____。
答案：8三、解答题（共70分）11. 已知三角形ABC中，AB=5，BC=7，AC=6，求三角形ABC的面积。
（10分）解：根据海伦公式，首先计算半周长p=(AB+BC+AC)/2=(5+7+6)/2=9。
接着计算面积S=√[p(p-AB)(p-BC)(p-AC)]=√[9(9-5)(9-7)(9-6)]=√[9×4×2×3]=12。
所以，三角形ABC的面积为12平方单位。
12. 一个等腰三角形的两边长分别为3和6，求这个三角形的周长。
（10分）解：由于这是一个等腰三角形，所以底边长为3，腰长为6。
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《初等几何研究》综合测试题（十三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1.已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为___________。
A.1cm；
B.2cm；
C.3cm；
D.4cm。
2.n边形对角线条数是__________。
A.；
B.；
C.；
D.。
3. 在Rt AB C中，CD是斜边AB上的高，CD=6，且AD:BD=3:2，则斜边AB上的中线长等于________________。
A.；
B.；
C.；
D..
4.一个三角形的周长为偶数，其中两边分别为2和5，则第三边应是
_________。
A.5；
B.6；
C.3；
D.4.
5.一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径应为________。
A. ；
B.1.5r；
C. ；
D.2r。
6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。
A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；
C.圆的切线垂直于过切点的半径；
D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
7.不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是_________。
A.MA=MB ,NA=NB ；
B.MA=MB,MN⊥AB；
C.MA=NA，BM=BN；
D.MA=MB,MN平分AB。
8.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，
现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。
A.在AC、BC两边高线的交点处；
B.在AC、BC两边中线的交点处；
C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处；
D.在∠A、∠B两内角平分线的交点处。
二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）
1.棱形既是中心对称图形又是轴对称图形。
（）
2.将一个图形经过平移后再旋转得到另一个图形，则这个图形的位置不变。
（）
3.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
（）
4.相似图形一定构成位似图形。
（）
5.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心可选在任意位置。
（）
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
1.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= _____
2.点P（5，-6）可以由点Q（-5，6）通过二次平移得到，即先向____平移_____个单位，再向__平移_____个单位。
3.锐角⊿ABC内接于圆O，∠ABC=60°，∠BAC=36°，作OE⊥AB，交劣弧于点E，连结EC，则∠OEC=__________.
4.梯形的面积是24，中位线长是3cm，
高是 _______cm。
四、作图题（本题8分）
如图，已知：线段a，b，角，求作：,使AC=a，BD=b，对角线AC、BD的夹角∠AOB=。
五、证明题（本题3小题，每小题9分，共27分）1．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，
E，DE与AC相交于点P.
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长;
B
E
D
O1
O2
A
P
C
2.如图,在梯形ABCD中,已知AD//BC,BA,CD的延长线相交于
E,EF//DB交CB的延长线于F,在BC的延长线上取CG=BF.
求证:EG//AC.
六、探究题（本题15分）
国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，有四个村庄，A, B, C, D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如下图的实线部分。
请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（参考数据：）
附：参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1C；2D；3A；4A；5A；6B；7C；8C.
二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）
1 √；2× ；3√；4×；5. √
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
1. 180° 。
2. 左 ,10 ；上 12 ；
3. 12 ；
4. 8 。
四、作图题（8分）
如图，已知：线段a，b，角，求作：,使AC=a，BD=b，对角线AC、BD的夹角∠AOB=。
作法：先作△AOB，使
再延长AO到C，BO到D，使AO=CO，BO=DO，
连结AB、BC、CD、DA，
则四边形ABCD就是所求作的平行四边形。
五、证明题（27分）
1．（1）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，B
E
D
O1
O2
A
P
C
又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E。
∴AD∥EC （4分）
（2）设BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，①∵AD∥EC，∴②，
由①②可得，或（舍去）∴DE=9+x+y=16，
∵AD是⊙O2的切线，∴AD2=DBDE=9×16，∴AD=12。
（9分）
2.如图,在梯形ABCD中,已知AD//BC,BA,CD的延长线相交于E,EF//DB交CB的延长线于F,在BC的延长线上取CG=BF.
求证:EG//AC.
分析:一般说,若能找到公用底边在
一线段上,而它们的顶点在另一线段
上的两个三角形,就有可能把证明两
直线平行的问题转化为证明两个三
角形等积的问题.
证明过程略
提示：如图添加辅助线，具体过程略
六、探究题（15分）
国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，有四个村庄，A, B, C, D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如下图的实线部分。
请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（参考数据：）
（1）（2）（3）（4）
解：不妨设正方形的边长为1（也可设为a），则图（1）、（2）的总路线长分别是
AD+AB+BC=3, AB+BC+CD=3;
图(3)中总线路长为
图（4）中，延长EF交BC于点H，则F H⊥BC, BH=HC.
由∠FBH=30°,BH=及勾股定理得
此时，总线路长为.
显然3>2.828>2.732.
∴图（4）的连结线路最短，即图（4）的架设方案最省电线。