初等几何研究试题答案(6)

2
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2
2
°
在∠DEF 的角平分线上。
1
2
证明：∵∠ DEF=180O- ∠ 1- ∠ 2=180O-(180O-2 ∠ B)- ∠ 1=180O-(180O-2 ∠ B)-(180O-2 ∠ C)=2(∠B+∠C)-180O=180O-2∠A 又∵∠DOF=2∠A ∴D.E.F.O 四点共圆 ∵O 是外心 ∴FO=DO ∴∠FEO=∠DEO
求证： （1）A、H、D 共圆。 （2）E、H、G 共线。 （3）FD、FE、BD、BE 四线段成比例
证明：如图所示：连结 AE、AD （1）∵BC =BH·BA(摄影定理） BC =BD·BE(割线定理） ∴BD·BE=BH·BA ∴A、H、D、E 四点共圆 (2）∵∠ABD=∠ABG ∴∠GBH=∠DBH(对称性） 又∵A、H、D、E 四点共圆 ∴∠FEA=∠DHB(对角等于内对角） ∠AHE=∠EDA（同弧所对的角） 又∵AE=AD ∴∠AEF=∠ADF
A2 C1 B1
I
B2 B A1 C
证明：连接 A1，B1 和 C1 ∵圆 I 内切于△ABC, ∴AI，BI,CI 分别平分∠A,∠B,∠C, 即 AI,BI,CI 分别平分弧 B1C1，C1A1，B1A1 ∴A1A2，B1B2，C1C2 是△A1B1C1 的内角平分线 ∴A1A2，B1B2，C1C2 共点。
H
2 2
∴∠AEF=∠DHB=∠GHB=∠ADE=∠AHE ∴∠GHB=∠AHE（对顶角） ∴E、H、G 三点共线 (3)∵∠ABD=∠ABG ∴由对称知:HB 平分∠DHG(∠GHB=∠DHB) 又∵ CH 垂直 AB ∴HC 平分∠DHE ∴HC、HB 是∠DHE 的内外角平分线 ∴
DF HD BD = = FE HE BE
EC BC DB BC FC AC 、 、 EA AB AD AC FB AB AD CE BF AC BC AB 1 BD AE CF BC AB AC
由梅涅劳斯定理知，D、E、F 共线。 8. 在△ABC 与△AˊBˊCˊ中，三双对应顶点的连线 AAˊ、BBˊ、CCˊ交于一点 S ， 设三双对应边 BC、BˊCˊ,CA、CˊAˊ和 AB、AˊBˊ分别交于 P、Q 和 R . 求证：P﹑Q 和 R 共线 .
AX s a
同理
BX s b
a பைடு நூலகம் BD BY DY s b DY 2
DY s b a 2
DE AB,BX BY DP DY s b a 2
又
PE DE DP c (s b a ) b AE 2 2 2 AE 再由 DE AB 即知 AP 平分
②
在△SAB 与截线 RA'B'中根据梅氏定理可得：
AR BB ' SA ' . . 1 RB B ' S S ' A
将上式①②③相乘可得：
③
BP CQ AR . . 1 PC QA RB
根据梅氏定理可得 P、Q、R 三点共线。
9. □EFGH 的顶点在□ABCD 各边，求证：对角线 AC,BD,EG, FH 共点
∴O 在∠DEF 的角平分线上。
6.在△ABC 中，∠A、∠B 的平分线分别交于对边于 D、E，∠C 的 外角平分线交于对边延长线于 F，求证：D、E、F 共线。
证： ∵AD 平分∠A ∴BD／DC＝AB／AC ∵BE 平分∠B ∴CE／EA＝BC／BA ∵CF 平分∠C 的外角 ∴AF／BF＝CA／CB …③ …② …①
又∵PQ +QC =(2√2) +1 =3 =PC ∴∠PQC=90°, ° ∠BQC=∠PQC+∠BQP=90+45 =135° 又∵∠APB=180°-45 =135° ∴∠BQC=∠APB=135° 即 A、P、Q 共线（∠APB、∠BQP 是邻补 角）
5. 在∆ABC 中，D,E,F 分别在 AB.BC.CA 上，使得 DE=BE,EF=CE. 求证：∆ADF 的外心 O
2. 已知：E，F 分别在正方形 ABCD 的两边 BC,CD 上，是∠EAF=45°，但 AC 不是 ∠EAF 的角平分线，自 E,F 作 AC 的垂线，垂足分别是 P,Q 求证：△BPQ 的外心与 B，C 共线
证明： ∵FQ⊥AC ∴∠ABE=∠AQF 又∵∠EAF=45° ∴∠BAE=∠QAF ∴△ABE∽△AQF 可得
∵H.J 分别是AD.AC 的中点，F.I 分别是BG.BD 的中点 ∴HJ=
1 1 CD IF= CD 2 2
∴HJ∥IF
∴∠JHO=∠FIO
∵∠JHO=∠FIO , HJ=FI,HO=FO∴△JHO≅△IFO
∴∠HOJ=∠FOI∴I.O.J 三点共线
∴四边形两双对边中点连线的交点，与两对角线之中点共线
10. 有两个正方形 ABCD 与 AB1C1D1，B 与 B1 不重合。求证：直线 BB1、CC1 和 DD1 共点。
B
2
1· · 1' B1 3
A
D1 3' 2' C C1 D P
证明： 设 BB1、CC1 交于 P，在连结 AC、AC1，则有 2 2 ' Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｐ共圆
2 2 ' 1 1' ∆ABB'∞∆ACC' 3 3'
初等几何研究试题(6)
六、关于共线点与共点线 1、证明四边形两双对边中点连线的交点与两对角线之中点共线
证明：连接EF.FG.GH.HE.HJ.OJ.OI(如图) ∵E.H 分别是AB.AD 的中点， F,G 分别是BC.CD 的中点∴EH=
1 1 BD FG= BD 2 2
∵EH ∥FG ∴四边形EFGH 是平行四边形 ∴ OH=OF
E
思路：利用内切特性，证两线交点在第三线上。 证 设 AB=c，AC=b，BC=a，DE 与 XY 交于 P，如图所示。 现应证 P 在∠A 的角平分线上，为此，只需计算出
b P E ( A E ) 2
即可。而计算 PE，又分步如下： 由切线等长性可知
AX a 1 (a b c)s 2
E、H、G 三点共线
4.
设
P
是 正 方 形
ABCD
内 的 一 点 ， 使
PA:PB:PC=1:2:3,将 BP 绕 B 点朝着 BC 旋转 90
BP 至 Q. 求证：A、P、 Q 共线.
证明：连接 CQ,∵PA:PB:PC= 1:2:3 设 AP=1 则 BP=2 CP=3 ∵BP 绕 B 点朝着 BC 旋转 90° ∴∠PBQ=90°BP=BQ=2 ① ° ∠BPQ=∠BQP=45 2 2 ∴PQ=√BP +BQ =2√2 又∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB=BC ② ∴∠ABC=∠PBQ= 90°即∠ABP+∠PBC= ∠CBQ +∠PBC=90° ∴∠ABP=∠CBQ ③ ∴△ABP≌△CBQ(由①②③可得到) ∴PA=QC=1
12. 四边形 ABCD 外切于圆 O，AC⊥BD 并交于 E，P、Q、R、S 顺次为边 AB、BC、CD、 DA 上的切点，连结 PR、QS， 求证： （1）四边形 ABCD 以其一条对角线为对称轴 （2）PR 与 QS 都过 E. A
P E
S
B 2 Q
1 4 3
D O R
C 证明： 设 lAB、 lBC、 lCD 、lDA 分别表示四边形 ABCD 各边之长，则由四边形 ABCD 外切于圆。可知 lAB+ LCD= lBC+ lAB (1)
A、B'、C'、P 共圆
又 A、B、C、P
P 是两正方形外接圆的交点 P 在 DD'上 直线 BB1、CC1 和 DD1 共点。
11. I 为△ABC 的内心，X、Y 分别为内切圆与 AB、BC 的切
点，D、E 分别为 BC、CA 的中点. 求证：AI、XY 与 ED 共点.
A
X I P B D Y C
由①②③可得：BD／DC*CE／EA*AF／BF＝-1 根据梅涅劳斯定理得：D、E、F 共线
7，若三角形的三边两两不等。求证：三外角平分线与对边的交点共线。
D
E
A
C
F
B
证明：如图所示： D 为∠C 外角平分线与 AB 延长线的交点，E 为∠B 外角平分线与 AC 延长线的交点，F 为∠A 外角平分线与 BC 延长线的交点。 ∵ BE 为∠B 外角平分线，CD 为∠C 外角平分线，AF 为∠A 外角平分线 ∴有
A
E
D
F
O
H
B G C
证：连接 BE,DG 在□ABCD 中，∠B=∠D，AD∥BC ∴∠BGE=∠DEG 在□EFGH 中，EH=FG, EH∥FG, ∴∠FGE=∠HEG ∴∠FGB=∠HED ∴△FBG≌△HDE ∴BG=DE ∴四边形 BGDE 为平行四边形，BD,EG 为对角线 同理四边形 AFCH 为平行四边形，AC,FH 为其对角线 ∴AC,BD,EG, FH 共点
14、等圆⊙O1 与⊙O2 交于 AB，O 为 AB 的中点，过 O 引⊙O1 的弦 CD 交⊙O2 于 P，过 O 引⊙O2 的弦 EF 交⊙O1 于 Q，求证:AB、CQ、EP 三线交于一点。
证明：设 CQ，EP 分别交于 AB 于 M、N 为证 M≡N，应做 CD 关于 AB 对称线段 C’D’，则 C’、D’在⊙O2 上， ∵C’、D’、P、E 共圆 ∴∠C’EG=∠C’D’P=∠C’OA ∵OD’=OD=OP ∴∠PD’D=90° 又∵D,D’对称 ∴AB⊥DD’ ∴PD’∥AB ∴C’,O,N,E 共圆 由等角转化可得△OC’N≌△OCM ∴N≡M 即 CQ，EP 与 AB 共点。
S
B' C' A' Q R A C P
B
证明：如图 在△SBC 和截线 PC'B'中根据梅氏定理可得：
BP CC ' SB ' . . 1 PC C ' S B ' B
①
在△SCA 与截线 QA'C'中根据梅氏定理可得：
CQ AA ' SC ' . . 1 QA A ' S C ' C
再由四边形垂直又有 LAB*+lCD*=lBC*+lAB* (2) (1)*-(2)再除以 2，得 lAB•lCD=lBC•lAB (3) (1) (3)两式表明：lAB lCD lBC lDA 都是 X*+px+q=0 的一对根，故只有如下两种情况 LAB=lBC, lCD=lAB 或 lAB=lAD,lCD=lBC 前者表明 BD 为对称轴，如右图所示，后者断定 AC 是对称轴 ，由此得证 证（2）∵∠1=∠2=∠3=∠4 QS 过点 E 同理：PR 也过点 E 13. △ABC 的内切圆⊙I 分别切三边 BC，CA 和 AB 于 A1，B1 和 C1，线段 AI,BI,和 CI 分别 与⊙I 交于 A2，B2，C2. 求证：直线 A1A2，B1B2，C1C2 共点。 A
AB AE AQ AF AE AF
同理可得，△AEP∽△AFD 即
AP = AD
∴
AB AP = AQ AB
利用切割线定理之逆定理，因△BPQ 的外心在 BC 上，等价于 AB,APQ 是切，割线 ∴△BPQ 的外心在 BC 上
3.在 Rt △AB 为斜边，CH 为斜边上 的高，以 AC 为半径作 ☉ A，过 B 作☉A 的任一割线交☉A 于 D、E，交 CH 于 F(D 在 B、F 之间),又作∠ ABG=∠ABD，G 在☉A 上，G 与 D 在 AB 异侧。