广东省广州市九年级上学期数学期末试卷附答案
2023-2024学年广东省广州市白云区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各图中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.下列方程中是一元二次方程的是()A. B. C. D.3.方程的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定4.下列事件为随机事件的是()A.太阳从东方升起B.度量四边形内角和，结果是C.某射击运动员射击一次，命中靶心D.通常加热到时，水沸腾5.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是()A. B. C. D.6.不透明的袋子中装有2个白球，3个红球和5个黑球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球，恰好是白球的概率为()A. B. C. D.7.如图，正六边形ABCDEF内接于，的半径是1，则正六边形ABCDEF的周长是()A.B.6C.D.128.如图，用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是()A.4B.2C.D.9.反比例函数的图象位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.如图，四边形ABCD内接于，E为BC延长线上一点，连接OD，OB，若，且，则的度数是()A.B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.设，是方程的两个根，则______.12.若点在反比例函数的图象上，则______.13.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色.指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的概率为指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指向OB时，当作指向白色扇形，则黑色扇形的圆心角______.14.如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，则______.15.如图某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度CD为______.16.如图，抛物线的开口向上，经过点和且与y轴交于负半轴.则下列结论：①，②；③；④，其中正确的结论是______填写所有正确结论的序号三、解答题：本题共9小题，共72分。
2022-2023学年广东省广州市白云区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷1. 点关于原点的对称点是( )A. B. C. D.2. 下列方程中，是一元二次方程的是( )A. B.C. D.3. 下列图形中，是中心对称图形的是( )A. 正五边形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 半圆4. 下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是( )A. B. C. D.5. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字.指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形指针指向扇形Ⅰ的概率是( )A. B. C. D.6. 如果在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，那么t的取值范围是( )A. B. C. D.7. 如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，AC是圆的直径，若，则的度数为( )A. B.C. D.8. 方程的根的情况是( )A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根9. 圆锥的底面直径是8，母线长是9，则该圆锥的全面积为( )A. B. C. D.10. 下列关于抛物线的说法中，正确的是( )A. 开口向上B. 必过点C. 对称轴为D. 与x轴没有交点11. 已知一个等边三角形三条角平分线的交点为O，把这个三角形绕点O顺时针旋转______ 后，所得图形与原来的图形重合填写小于的度数12. 已知函数，当时，记函数值y为，则______填写“>”“<”或“=”13. 如图，的直径是AB为10cm，弦AC为6cm，的平分线交于点D，则______14. 方程两个根的和为a，两个根的积为b，则______ .15. 为了估计箱子中白球的个数，在该箱再放入10个红球红球与白球除颜色不同以外，其他均相同，搅匀后，从箱子中摸出15个球.如果在这15个球中有2个是红球，那么估计箱子中白球的个数为______ 个.16. 点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，的面积是1，则下列结论中，正确的是______ 填序号①此反比例函数图象经过点；②此反比例函数的解析式为；③若点在此反比例函数图象上，则点也在此反比例函数图象上；④点，在此反比例函数的图象上且，则17. 尺规作图：如图，已知作边BC关于点A对称的图形保留作图痕迹，但不要求写作法18. 求二次函数的最小值，并写出当自变量x取何值时，y取得最小值.19. 解下列方程：；20. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系.当时，，求这个反比例函数的解析式.21. 如图，AB，CD是的两条弦，，，，垂足分别为E，比较CE和AF的大小，并证明你的结论.22. 线上教学的师生，可采用的方式包括：①连麦问答；②视频对话；③不定时签到；④投票；⑤选择题推送等.为了解学生最喜爱的方式，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图1和图2：本次随机抽查的学生人数为______ 人，补全图2；参加线上教学的学生共有6000名，可估计出其中最喜爱“①连麦问答”的学生人数为______ 人，图1中扇形①的圆心角度数为______ 度；若在“①，②，③，④”四种方式中随机选取两种作为重点交互方式，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“②，③”这两种方式的概率.23. 一次足球联赛，赛制为双循环形式每两队之间都赛两场，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？24. 已知抛物线若，求该抛物线与x轴交点的坐标；判断该抛物线与x轴交点的个数，并说明理由；若时，该抛物线与x轴有且只有一个交点，求m的取值范围.25. 如图，已知正方形ABCD边长为2，点O是BC边的中点，点E是正方形内一个动点，且连接BE，CE，求的度数；连接DE，若，求BE的长度；将线段DE绕点D逆时针旋转后，得到线段DF，连接CF，线段CF长是否存在最小值，若无，说明理由；若有，求出这个最小值.答案和解析1.【答案】A【解析】解：点关于原点的对称点的坐标为，故选：根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律．2.【答案】A【解析】解：A、，是一元二次方程，故符合题意；B 、，含有两个未知数，故不符合题意；C、，含有两个未知数，故不符合题意；D、，不是整式方程，故不符合题意；故选：根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程；由此问题可求解．本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转后能和原来的图形重合，A、C、D 都是轴对称图形不符合要求；是中心对称图形的只有故选：根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．4.【答案】B【解析】解：A、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；B、该函数是反比例函数，故本选项符合题意；C、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；D、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意．故选：根据反比例函数的定义解答即可．本题考查了反比例函数的定义，关键是注意反比例函数的一般形式是5.【答案】A【解析】解：转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字，指针指向扇形Ⅰ的概率是故选：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率6.【答案】C【解析】解：在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，，故选：根据当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大求解即可．本题主要考查反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性时解题关键．7.【答案】A【解析】解：、PB是的切线，A、B为切点，，，，，，，故选：利用切线长定理可得，，则，，再利用互余计算出，然后根据三角形内角和计算的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．8.【答案】A【解析】解：，，，，，方程没有实数根．故选：找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．本题考查了一元二次方程为常数根的判别式．当，方程有两个．不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．9.【答案】B【解析】解：圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积，故选：根据扇形面积公式、圆的面积公式计算，得到答案．本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：抛物线，该抛物线开口向下，故选项A错误，不符合题意；当时，，故选项B错误，不符合题意；对称轴为直线，故选项C正确，符合题意；当时，，，故选项D错误，不符合题意；故选：根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11.【答案】【解析】解：根据题意知，O为等边三角形的对称中心，即把这个三角形绕点O顺时针旋转，所得图形与原来的图形重合，故答案为：根据对称和旋转的知识得出结论即可．本题主要考查对称图形的旋转，熟练掌握对称图形的旋转是解题的关键．12.【答案】>【解析】解：由题意知：，，，故答案为：分别计算、的值；然后比较大小．本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题过程中，利用了代入求值的方法求解．13.【答案】【解析】解：是直径，，，，，平分，，，故答案为：利用勾股定理求出BC，证明，求出AD，可得结论．本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，角平分线的定义，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14.【答案】11【解析】解：，，方程两个根的和为a，两个根的积为b，，，，故答案为：先将化为一般形式，即可得到a和b的值，然后计算即可．本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．15.【答案】65【解析】解：设箱子中白球的个数为x，根据题意得：，解得，经检验是原方程的解，答：估计箱子中红球的数量为65个；故答案为：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．16.【答案】②③【解析】解：根据题意可得，，反比例函数在第一象限内，，，反比例函数的解析式为，故结论②正确；，故结论①错误；若点在此反比例函数图象上，则，，故结论③正确；结合函数图像特点，时，，故结论④错误；综上所述，正确结论为②③．故答案为：②③．，可得反比例函数的解析式为，再结合函数图像特点，分析每一个结论即可．本题考查了函数图像系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数图像的特点是解本题的关键，综合性较强，难度适中．17.【答案】解：如图，DE为所作．【解析】延长BA到D点使，延长CA到E点，使，则BC和DE关于点A 对称．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．18.【答案】解：，该抛物线的顶点坐标为，且开口方向向上，当时，y取得最小值，最小值为【解析】把抛物线解析式化成顶点式，得到的顶点坐标和开口方向即可得出答案．本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．19.【答案】解：，，所以，；，，或，所以，【解析】把方程两边开方得到，然后解一次方程即可；利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．20.【答案】解：设，当时，，，解得，即这个反比例函数的解析式是【解析】根据题意，可以先设，然后根据当时，，即可求得k的值，从而可以写出这个函数解析式．本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．21.【答案】解：，理由如下：，，，，，【解析】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．由，得到，同理：，而，即可证明问题．22.【答案】400 1800 108【解析】解：本次随机抽查的学生人数为人；“②”种方式的人数为人，条形统计图为：故答案为：400；人，所以估计最喜爱“①连麦问答”的学生人数为1800人，图1中扇形①的圆心角度数为；故答案为：1800，108；画树状图为：共有12种等可能的结果，其中恰好选中“②，③”这两种方式的结果数为2，所以恰好选中“②，③”这两种方式的概率用最喜爱“③”方式的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出最喜爱“②”方式的人数，然后补全条形统计图；用6000乘以样本中最喜爱“①连麦问答”的学生所占的百分比可估计参加线上教学的学生中最喜爱“①连麦问答”的学生人数；然后用乘以最喜爱“①连麦问答”的学生所占的百分比得到图1中扇形①的圆心角度数；画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选中“②，③”这两种方式的结果数，然后根据概率公式计算．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．23.【答案】解：设有x队参加比赛．依题意，得，，解得，不合题意，舍去答：共有10支队参加比赛．【解析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数队的个数，把相关数值代入计算即可．本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．24.【答案】解：当时，抛物线为，令，则，解得，，抛物线与x轴的交点为和；令，则，，当时，即，解得；当时，即，解得；当时，即，解得；当时，抛物线与x轴有两个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点；，抛物线对称轴为直线，①当抛物线的顶点在x轴上时，由知，当抛物线与x轴有且只有1个交点时，；②当时，该抛物线与x轴有且只有一个交点，如图：，解得，当时，，，解得；当时，，，解得，，综上所述，m的取值范围为或【解析】把代入解析式．然后令，解方程即可；令，由，，，解得m的取值范围，并判断抛物线与x轴交点个数；分抛物线与x轴只有一个交点和抛物线与x轴有两个交点两种情况讨论．本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数的图像与性质是解题关键．25.【答案】解：由题意知，点E在以BC为直径的半圆上，；当时，DE切于点E，连接BE，EC，OD，，，又，且OD平分EC，，即，，，，即，，，即，解得舍去负值；，，，在和中，，≌，，最小时，AE最小，连接AO交于点，在中，，，存在最小值为【解析】根据点E在以BC为直径的半圆上得出结论即可；当时，DE切于点E，连接BE，EC，OD，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出，再利用三角函数得出，最后根据勾股定理得出BE的长度即可；根据SAS证≌，得出，求出AE的最小值即可．本题主要考查正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．。
2023-2024学年广东省广州市花都区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省广州市花都区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是()A. B. C. D.2.下列图形是中心对称图形的是()A. B.C. D.3.某班第一小组7名同学的毕业升学体育测试成绩满分30分依次为：25，23，25，23，27，30，25，这组数据的中位数和众数分别是()A.23，25B.23，23C.25，23D.25，254.如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若隧道单心圆的半径OA的长是5m，净高CD为8m，则此路面AB宽为()A.7B.8C.9D.105.如图，D，E分别是的边AB，AC上的点，且，BE交DC于点：：3，则的值为()A.B.D.以上答案都不对6.若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是()A. B. C. D.7.如图，正比例函数和反比例函数的图象交于、两点，若，则x的取值范围是为()A.或B.或C.或D.或8.如图，的直径CD过弦EF的中点G，，则等于()A.B.C.D.9.如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积接缝忽略不计是()A.B.C.D.10.如图，抛物线与直线交于A、B两点点A在点B的左侧，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为()B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.抛物线的顶点坐标为______.12.如图，在中，，AD：：2，，则BC的长是______.13.小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，于是她便用同一枚图钉做实验进行研究，得到如下的数据：掷图钉的次数101003005008001000针尖朝上的频率请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是______.14.若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是______.15.某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是______.16.如图，AB是的直径，弦CD平分圆周角，则下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；正确的有______.三、解答题：本题共9小题，共72分。
2023-2024学年广东省广州市黄埔区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）已知⊙O半径为10cm，圆心O到点A的距离为10cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．相切B．圆外C．圆上D．圆内3．（3分）下列事件属于必然事件的是（）A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B．掷一次骰子，向上一面的点数是6C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯4．（3分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝60°，∠APD＝80°，则∠B 等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．（3分）如图，AB，AC分别切⊙O于B，C两点，若∠OBC＝26°，则∠A的度数为（）A．32°B．52°C．64°D．72°6．（3分）将抛物线y＝3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x﹣1）2﹣2D．y＝3（x+1）2+27．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x12+x22＝（）A．2B．﹣2C．﹣1D．108．（3分）若点A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b9．（3分）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向边连续翻转2023次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2023的位置，则P2023的横坐标x2023为（）A．2021B．2022C．2023D．不能确定10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜⑤b＞c．；其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P1的坐标为．12．（3分）一元二次方程x2+6x＝3x+2化成一般式为：．13．（3分）不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是．14．（3分）圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积是．15．（3分）点A是反比例函数y＝（k＞0）上的点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为8，则一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况为．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为cm．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：x2﹣4x＝5．18．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度数．19．（6分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是；（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．20．（6分）如图，在▱OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过定C．（1）求k的值及直线OB的函数表达式；（2）试探究此反比例函数的图象是否经过▱OABC的中心．21．（8分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）结合图象直接回答：当0＜x＜3时，则y的取值范围是．22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）23．（10分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．（1）求出这两次价格上调的平均增长率；（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？24．（12分）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求3m+n的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．25．（12分）如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，PC．（1）如图1，若BC＝PB，∠CBP＝30°，求∠APC的度数；（2）如图2，当∠APC＝135°时，求证：CD＝PB；（3）如图3，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一点，CQ＝2，连接AQ，PQ，求△APQ面积的最大值．2023-2024学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【解答】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．2．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d ＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【解答】解：∵⊙O的半径为10cm，点A到圆心O的距离为10cm，∴d＝r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆上，故选：C．【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．3．【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【解答】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件．B、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件．C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件．D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件．故选：C．【点评】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再根据对顶角相等得出∠BPC的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵∠A＝60°，∴∠C＝∠A＝60°，∵∠APD＝80°，∴∠BPC＝80°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣80°＝40°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质，熟练掌握定理及性质是解题的关键．5．【分析】先根据切线长定理和切线的性质得到AB＝AC，∠OBA＝90°，则可计算出∠ABC ＝64°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠A的度数．【解答】解：∵AB，AC分别切⊙O于B，C两点，∴AB＝AC，OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∵∠OBC＝26°，∴∠ABC＝90°﹣26°＝64°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝64°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝52°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．6．【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y＝3x2的对称轴为直线x＝0，顶点坐标为（0，0），则抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y＝3x2的对称轴为直线x＝0，顶点坐标为（0，0），∴抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为y＝3（x﹣1）2+2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y＝a（x ﹣k）2+h，其中对称轴为直线x＝k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y＝a（x﹣k﹣m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移．7．【分析】利用根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，对所求的代数式进行整理变形，最后整体代入进行计算即可．【解答】解：根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣2×（﹣3）＝10．故选：D．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是学会利用根的判别式的值，判断一元二次方程的根的情况．8．【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）所在的象限，确定a、b、c大小关系．【解答】解：∵k2+3＞0，∴反比例函数y＝（k为常数）的图象位于一三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∴点A（﹣1，a）在第三象限，B（1，b），C（2，c）在第一象限，∴a＜0，b＞c＞0，∴a＜c＜b，故选：D．【点评】考查反比例函数的图象和性质，考查当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小的性质，利用图象法比较直观．9．【分析】观察规律可知每4个一循环，可以判断P2023在505次还要再翻三次，即完成从P到P3的过程，以此可以求出P2023的横坐标．【解答】解：从P到P4要翻转4次，横坐标刚好加4，∵2023÷4＝505……3，∴505×4﹣1＝2019，还要再翻三次，即完成从P到P3的过程，横坐标加3，则P2023的横坐标x2023＝2022．故选：B．【点评】本题考查了通过图形观察规律的能力，并根据规律进行简单计算的能力．10．【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2a+b×（﹣1）+c＝0，∴a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，c＝b﹣a，∵对称轴为直线x＝1∴＝1，即b＝﹣2a，∴c＝b﹣a＝（﹣2a）﹣a＝﹣3a，∴4ac﹣b2＝4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2＝﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．12．【分析】根据一元二次方程的一般式为：ax2+bx+c＝0，经过移项、合并同类项将一元二次方程x2+6x＝3x+2化成一般式即可．【解答】解：x2+6x＝3x+2，移项，得x2+6x﹣3x﹣2＝0，合并同类项，得x2+3x﹣2＝0，即把一元二次方程x2＝4x﹣6化成一般式是：x2+3x﹣2＝0，故答案为：x2+3x﹣2＝0．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．13．【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率稳定值即可．【解答】解：根据题意，袋子中白球的个数约是8×0.25＝2（个），故答案为：2个．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14．【分析】根据勾股定理求出母线长，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，∴圆锥的母线长＝＝13（cm），∴圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π（cm2），故答案为：65πcm2．【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长以及扇形面积公式是解题的关键．15．【分析】根据反比例函数y＝（k＞0）系数k的几何意义得到S△AOB＝|k|＝8，求得到k的值，再根据一元二次方程根的判别式的正负得出根的情况．＝|k|＝8，【解答】解：根据题意得S△AOB∵k＞0，∴k＝16，∴一元二次方程x2﹣4x+k＝0为：一元二次方程x2﹣4x+16＝0，∵Δ＝16﹣64＜0，∴方程x2﹣4x+k＝0无实数根，故答案为：无实数根．【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，一次二次方程的根的情况，根据反比例函数比例系数的几何意义求得k的值是解题的关键．16．【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【解答】解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，∴MA＝，MG＝OB＝，AG≥AM﹣MG＝，当A，M，G三点共线时，AG最小＝（）cm，故答案为：（）．【点评】本题主要考查了正方形的性质，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【分析】先将原方程化为一般式，然后运用二次三项式的因式分解法进行求解．【解答】解：∵x2﹣4x＝5∴x2﹣4x﹣5＝0∴（x﹣5）（x+1）＝0∴x﹣5＝0，x+1＝0∴原方程的解为：x1＝5，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18．【分析】根据旋转的性质可得△ACE是等腰直角三角形，所以∠CAE＝45°，易知∠ACD ＝90°﹣20°＝70°，根据三角形外角性质可得∠EDC度数，又∠EDC＝∠B，则可求．【解答】解：根据旋转的性质可知CA＝CE，且∠ACE＝90°，所以△ACE是等腰直角三角形．所以∠CAE＝45°；根据旋转的性质可得∠BCD＝90°，∵∠ACB＝20°．∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°．∴∠EDC＝45°+70°＝115°．所以∠B＝∠EDC＝115°．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角以及旋转后对应的线段．19．【分析】（1）根据概率公式即可求解；（2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解．【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，故答案为；（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为．【点评】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解．20．【分析】（1）将C点代入反比例函数解析式即可求出k，根据平行四边形的性质可求出B点坐标，再用待定系数法求直线OB的解析式即可；（2）先根据中点坐标公式求出平行四边形的中心坐标，然后代入反比例函数解析式即可确定．【解答】解：（1）将点C（1，2）代入反比例函数y＝，得k＝2，∵A（3，0），∴OA＝3，在▱OABC中，OA∥BC，且OA＝BC，∴点B坐标是（4，2），设直线OB的解析式：y＝kx，代入B（4，2），得4k＝2，解得k＝，∴直线OB解析式是：y＝x；（2）∵▱OABC的中心就是OB中点，且OB的中点坐标（2，1），∴将x＝2代入，可得y＝1，∴反比例函数的图象经过▱OABC的中心．【点评】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握待定系数法求解析式以及平行四边形的性质是解题的关键．21．【分析】（1）令x＝0，即可求出函数与y轴的交点坐标，令y＝0，即可求出与x轴的交点坐标，配方之后即可求出函数的顶点坐标；（2）找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标，即可画出函数图象；（3）根据函数图象直接得到答案．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，则抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），故答案为：（1，0），（3，0），（0，3），（2，﹣1）；（2）列表：描点、连线，如图，（3）由（2）中的函数图象知，当0＜x＜3时，则y的取值范围是﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的图象与二次函数的画法，要对二次函数有一个明确的认识方可正确解答．22．【分析】（1）由OD＝OB得∠1＝∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC＝∠1+∠ODB ＝2∠1，而∠A＝2∠1，所以∠DOC＝∠A，由于∠A+∠C＝90°，所以∠DOC+∠C＝90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；（2）由∠A＝60°得到∠C＝30°，∠DOC＝60°，根据含30度的直角三角形三边的关﹣S扇形DOE 系得CD＝OD＝2，然后利用阴影部分的面积＝S△COD和扇形的面积公式求解．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1+∠ODB＝2∠1，而∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠A+∠C＝90°，∴∠DOC+∠C＝90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝60°，∴∠C＝30°，∠DOC＝60°，在Rt△DOC中，OD＝2，∴CD＝OD＝2，﹣S扇形DOE∴阴影部分的面积＝S△COD＝×2×2﹣＝2﹣．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形面积的计算．23．【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，利用经过两次上调价格后的价格＝原价×（1+这两次价格上调的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元．【解答】解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，依题意得：10（1+x）2＝16.9，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）．答：这两次价格上调的平均增长率为30%．（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，依题意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，整理得：m2﹣4m+3＝0，解得：m1＝1，m2＝3．又∵要让顾客获得更大的优惠，∴m的值为3．答：每包应该降价3元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．【分析】（1）求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；（2）分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分别求解即可；（3）分两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为（1，0），顶点P的坐标为（2，1），3m+n＝12﹣3＝9；（2）①当CP＝CQ时，C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，故此时Q点坐标为（2，﹣7）；②当CP＝PQ时，可得：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）；③当CQ＝PQ时，可得：过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣，当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为（2，﹣）；故：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（2，﹣）或（2，﹣7）；（3）图象翻折后的点P对应点P′的坐标为（2，﹣1），①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时直线BC和抛物线的交点有3个，b＝﹣3；②当直线y＝x+b与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；即：x2﹣4x+3＝x+b，Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0，解得：b＝﹣．即：b＝﹣3或﹣．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，难点在于（3），关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度不大．25．【分析】（1）分别求出∠APB和∠BPC，即可求∠APC的大小；（2）以B为圆心，AB为半径作圆，根据优弧AC所对的圆周角是135°，可知点P在圆B上，由此可得BP＝CD；（3）当BP⊥AQ时，△APQ面积有最大值，设BP与AQ的交点为K，用等积法求出BK的长，在求出PK＝，则可求△APQ面积的最大值为16．【解答】（1）解：∵∠CBP＝30°，∠ABC＝90°，∴∠ABP＝60°，∵BC＝PB，∴AB＝PB，∴△ABP是等边三角形，∴∠APB＝60°，∵∠BPC＝∠BCP＝75°，∴∠APC＝135°；（2）证明：∵∠ABC＝90°，AB＝BC，以B为圆心，AB为半径作圆，∵劣弧AC所对的圆心角是270°，∴优弧AC所对的圆周角是135°，∵∠APC＝135°，∴P点在圆B上，∴BP＝BC，∵BC＝CD，∴BP＝CD；（3）解：∵CQ＝2，AB＝8，∴BQ＝6，∴AQ＝10，当BP⊥AQ时，△APQ面积有最大值，设BP与AQ的交点为K，∵AB•BQ＝AQ•BK，∴BK＝，∵AB＝BP，∴PK＝8﹣＝，∴△APQ面积的最大值为10×＝16．【点评】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，圆周角与圆心角的关系是解题的关键。
广州市九年级(上)期末数学试卷含答案
九年级（上）期末数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在1，0，2，-3这四个数中，最大的数是（）A. 1B. 0C. 2D. -32.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 0025米，把0.000 0025用科学记数法表示为（）A. 2.5×106B. 0.25×10-5C. 25×10-7D. 2.5×10-63.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )A. 正六边形B. 正八边形C. 正十边形D. 正十二边形4.一元二次方程2x2+x-3=0的根的情况是（）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定5.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD∥AC，如果∠BOD=130°，那么∠B的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°7.反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A. k＜2B. k≤2C. k＞2D. k≥28.如果从-1，2，3三个数中任取一个数记作m，又从0，1，-2三个数中任取一个数记作n，那么点P（m，n）恰在第四象限的概率为（）A. B. C. D.9.若△ABC与△DEF相似，且对应边的比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为（）A. 2：5B. 2：3C. 4：9D. 4：2510.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.分解因式：a2-a=______．12.如图所示，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为______．13.把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______ ．14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（8，4），将矩形OABC绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上的点B′处，得到矩形OA′B′C′，OA′与BC相交于点D，则经过点D的反比例函数解析式是______ ．15.如图，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C，D为半圆上的三等分点，则图中阴影部分的面积等于______ ．16.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2019个图共有______枚棋子．三、解答题（本大题共9小题，共66.0分）17.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．18.商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是______；（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．19.已知x2-2x-7=0，求（x-2）2+（x+3）（x-3）的值．20.如图1，在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到矩形AEFG．延长CB与EF交于点H．（1）求证：BH=EH；（2）如图2，当点G落在线段BC上时，求点B经过的路径长．21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=8．（1）利用尺规作图作∠BAC的平分线，交⊙O于点D（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CD，若AC=CD，求∠B的度数．22.如图，已知直线y=x与双曲线y=交于A、B两点，点B的坐标为（-4，-2），C为第一象限内双曲线y=上一点，且点C在直线y=x的上方．（1）求双曲线的函数解析式；（2）若△AOC的面积为6，求点C的坐标．23.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为B（1，0）和C，与y轴的交点坐标为（0，-1.5）且此抛物线过点A（3，6）（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标．24.如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且C是弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若=，求证：AE=AO；（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=2，求AD的长．25.如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：-3＜0＜1＜2，故选：C．根据正数大于0，0大于负数，可得答案．本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．2.【答案】D【解析】解：0.0000025=2.5×10-6，故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】C【解析】解：360÷36=10．故选：C．利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．4.【答案】B【解析】解：在方程2x2+x-3=0中，△=12-4×2×（-3）=25＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：B．根据方程的系数结合根的判别式△=b2-4ac，找出△的正负，由此即可得出结论．本题考查了根的判别式，找出根的判别式△=b2-4ac=25＞0是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选：D．根据中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6.【答案】B【解析】解：∵∠BOD=130°，∴∠AOD=50°，又∵AC∥OD，∴∠A=∠AOD=50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠B=90°-50°=40°．故选：B．先求出∠AOD，利用平行线的性质得出∠A=40°，再由圆周角定理和直角三角形的性质求出∠B的度数即可．本题考查了圆周角定理、平行线的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和平行线的性质是解题关键．7.【答案】C【解析】解：∵反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k-2＞0，解得k＞2．故选C．先根据当x＞0时，y随x的增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．8.【答案】A【解析】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）恰在第四象限的结果数为2，所以点P（m，n）恰在第四象限的概率=．故选：A．画树状图展示所有9种等可能的结果数，再根据第四象限内点的坐标特征找出点P（m，n）恰在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．9.【答案】B【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF的周长之比为2：3．故选：B．由△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．10.【答案】B【解析】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y=×2×2-（2-x）×（2-x）=-x2+2x．当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y=×[2-（x-2）]×[2-（x-2）]=x2-4x+8，∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．故选：B．此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．11.【答案】a（a-1）【解析】解：a2-a=a（a-1）．这个多项式含有公因式a，分解因式时应先提取公因式．本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项．12.【答案】9：16【解析】【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故答案为：9：16．13.【答案】y=-（x+1）2+3【解析】解：根据题意，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，3），∴平移后抛物线解析式为：y=-（x+1）2+3．故答案为：y=-（x+1）2+3．抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式．本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线的解析式．14.【答案】y=【解析】解：∵B（8，4），∴OA=8，AB=OC=4，∴A′O=OA=8，A′B′=AB=4，tan∠COD==，即=，解得CD=2，∴点D的坐标为（2，4），设经过点D的反比例函数解析式为y=（k≠0），则=4，解得k=8，所以，经过点D的反比例函数解析式为y=．故答案为：y=．利用∠COD的正切值列式求出CD的长度，然后写出点D的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式解答即可．本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用三角函数求出CD的长度，从而得到点D的坐标是解题的关键，还考查了坐标与图形-旋转．15.【答案】【解析】解：连接CO，DO，∵C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，∴∠COD=60°，∵△PCD的面积等于△OCD的面积，∴都加上CD之间弓形的面积得出S阴影=S扇形OCD==，故答案为：．连接CO，DO，利用等底等高的三角形面积相等可知S阴影=S扇形COD，利用扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形面积的计算．根据图形推知图中阴影部分面积=扇形OCD的面积是解题的关键．16.【答案】6058【解析】解：观察图形知：第1个图形有3+1=4个棋子，第2个图形有3×2+1=7个棋子，第3个图形有3×3+1=10个棋子，第4个图形有3×4+1=13个棋子，…第n个图形有3n+1个棋子，当n=2019时，3×2019+1=6058个，故答案为：6058根据图形中点的个数得到有关棋子个数的通项公式，然后代入数值计算即可．本题考查了图形的变化类问题，能够根据图形得到通项公式是解决本题的关键．17.【答案】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200（1-x）2=98解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．【解析】设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1-x）2，据此列出方程求解即可．此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．18.【答案】（1);（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况，∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：=．【解析】解：（1）∵商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，∴他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：；故答案为：；（2）见答案．（1）由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】解：原式=x2-4x+4+x2-9=2x2-4x-5，∵x2-2x-7=0∴x2-2x=7．∴原式=2（x2-2x）-5=9．【解析】本题应先将原式去括号、合并同类项，将原式化为2x2-4x-5，再将已知x2-2x-7=0化为x2-2x=7，再整体代入即可．本题考查了整式的化简和整体代换的思想．20.【答案】（1）证明：如图1中，连接AH，由旋转可得AB=AE，∠ABH=∠AEH=90°，又∵AH=AH，∴Rt△ABH≌Rt△AEH，∴BH=EH．（2）解：由旋转可得AG=AD=4，AE=AB，∠EAG=∠BAD=90°，在Rt△ABG中，AG=4，AB=2，∴cos∠BAG==，∴∠BAG=30°，∴∠EAB=60°，∴弧BE的长为=π，即B点经过的路径长为．【解析】（1）欲证明BH=EH，只要证明Rt△ABH≌Rt△AEH即可；（2）想办法求出旋转角∠EAB即可解决问题；本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）如图1所示，AD即为所求的∠CAB的平分线；（2）如图2所示：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC，又∵∠ADC=∠B，∴∠CAD=∠B，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB=∠B，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°．【解析】（1）由角平分线的基本作图即可得出结果；（2）由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠CAD=∠B，再由角平分线得出∠CAD=∠DAB=∠B，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠B=90°，即可求出∠B的度数．本题考查了作图-基本作图，圆周角定理、等腰三角形的性质、本题综合性强，有一定难度，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．22.【答案】解：（1）∵点B（-4，-2）在双曲线y=上，∴=-2，∴k=8，∴双曲线的函数解析式为y=．（2）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，∵正比例函数与反比例函数的交点A、B关于原点对称，∴A（4，2），∴OE=4，AE=2，设点C的坐标为（a，），则OF=a，CF=，则S△AOC=S△COF+S梯形ACFE-S△AOE，=×+（2+）（4-a）-×4×2=，∵△AOC的面积为6，∴=6，整理得a2+6a-16=0，解得a=2或-8（舍弃），∴点C的坐标为（2，4）．【解析】（1）利用待定系数法即可解决．（2）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据S△AOC=S△COF+S梯形ACFE-S△AOE=6，列出方程即可解决．本题考查反比例函数与一次函数交点、解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用分割法求四边形面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）根据题意得，解得，∴抛物线解析式为y=x2+x-；（2）y=x2+x-=（x2+2x+1-1）-=（x+1）2-2，∴P点坐标为（-1，-2）；当y=0时，x2+x-=0，解得x1=1，x2=-3，则C点坐标为（-3，0），设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（3，6），C（-3，0）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+3，当x=-1时，y=x+3=2，∴Q点坐标为（-1，2）．【解析】（1）把三个已知点的坐标代入y=ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法把一般式配成顶点式，从而得到P点坐标为（-1，-2）；再解方程x2+x-=0得C点坐标为（-3，0），接着利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，然后求出自变量为-1对应的一次函数值得到Q点的坐标．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．24.【答案】（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，∵AC=CG，∴=，∴∠ABC=∠CBG，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图1，∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，∴==，∴==，∵OA=OB，∴AE=OA；（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，∵∠E=30°∴∠EBD=60°，∴∠CBD=∠EBD=30°，∵CD=2，∴BD=6，DE=6，BE=12，∴AE=BE=4，∴AH=2，∴EH=2，∴DH=4，在Rt△DAH中，AD==2．【解析】（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到==，==，即可得到结论；（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=6，DE=6，BE=12，在Rt△DAH中，AD=，求出答案即可．本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AD∥BC，∠A=∠C=90°，在Rt△ABD中，BD=10，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD，EF=AD=4，BF=DF=5，∴∠BEF=∠A=90°=∠C，EF∥BC，∴∠BFE=∠DBC，∴△BEF∽△DCB；（2）如图1，过点Q作QM⊥EF于M，∴QM∥BE，∴△QMF∽△BEF，∴，∴，∴QM=（5-2t），∴S△PFQ=PF×QM=（4-t）×（5-2t）=0.6=，∴t=（舍）或t=2秒；（3）如图，∵△BGD∽△BAD，∴，∴，∵四边形EPQG是矩形，∴QG=PE=t，∴∴t=（4）当点Q在DF上时，如图2，PF=QF，∴4-t=5-2t，∴t=1当点Q在BF上时，PF=QF，如图3，∴4-t=2t-5，∴t=3PQ=FQ时，如图4，∴，∴t=，PQ=PF时，如图5，∴，∴t=，综上所述，t=1或3或或秒时，△PQF是等腰三角形．【解析】（1）先判断出EF∥AD，进而判断出∠EFB=∠CBD，即可得出结论；（2）先判断出△QMF∽△BEF，进而得出QM=（5-2t），再利用面积公式建立方程求解即可；（3）由△BGD∽△BAD，得出QG．再用矩形的对边相等即可得出结论；（4）分点Q在DF和BF上，利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻t的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解．。
2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷一、单选题（30分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）不解方程，判断方程2x2﹣6x＝7的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．（3分）已知⊙O半径为10cm，圆心O到点A的距离为10cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．相切B．圆外C．圆上D．圆内4．（3分）将二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x+5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x﹣5）2﹣1 5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9 6．（3分）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜57．（3分）设A（2，y1），B（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的两点，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y28．（3分）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（）A．36°B．53°C．74°D．128°9．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，DE＝2CE，连接AE交BD于点F，则DF：BD＝（）A．2：1B．2：3C．2：5D．1：310．（3分）如图，抛物线y＝﹣x（x+6）与x轴负半轴交于点A，点B为线段OA上一动点，点D的坐标为（﹣3，﹣6），连接BD，以BD为底边向右侧作等腰直角△DCB，若点C恰好在抛物线上，则AB长为（）A．4B．4.5C．5D．5.5二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）已知点A（﹣2，3），B（3，m）在反比例函数上，则m＝．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则ab＝．13．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是．14．（3分）已知圆锥的底面半径为cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为．15．（3分）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为米．（结果可带根号）16．（3分）如图，矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，矩形AEFG 绕点A旋转，给出下列结论：①3BE＝DG；②BE⊥DG；③当∠BAG＝60°时，4S△ABG ＝3S△ADG；④DE2+BG2＝315，其中正确的结论．三、解答题17．（4分）解方程：x2﹣10x+9＝0．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转180°后的△A1B1C1．（2）求线段OC在旋转过程中所扫过的图形面积．19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…（1）求该二次函数的表达式；（2）根据二次函数y＝ax2+bx+c图象，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围．20．（6分）某校准备从2名男生（A、B）和3名女生（C、D、E）五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生E被选中的概率是（直接填写答案）；（2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中2名女生的概率．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值．22．（10分）（1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交CA于D点，O是BC 上一点，经过B、D两点的⊙O分别交BC、BA于点E、F．（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：CA与⊙O相切；（3）当BD＝2，∠ABD＝30°时，求劣弧BD的长．24．（12分）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）以下四边形中，是勾股四边形的为（填序号即可）；①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为60°的菱形．（2）如图1，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转n°得到△EDC．①连接AD，当n＝60，∠BAD＝30°时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．②如图2，将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点P，连接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝2，AE＝8，求AC的长度．25．（12分）已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（30分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．2．（3分）不解方程，判断方程2x2﹣6x＝7的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac进行求解并判断即可．【解答】解：∵2x2﹣6x＝7，∴2x2﹣6x﹣7＝0，原方程中，a＝2，b＝﹣6，c＝﹣7，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣7）＝36+56＝92＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：B．3．（3分）已知⊙O半径为10cm，圆心O到点A的距离为10cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．相切B．圆外C．圆上D．圆内【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d ＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【解答】解：∵⊙O的半径为10cm，点A到圆心O的距离为10cm，∴d＝r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆上，故选：C．4．（3分）将二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x+5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x﹣5）2﹣1【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝（x﹣2﹣3）2+2﹣3，即y＝（x﹣5）2﹣1，故选：D．5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，故选：C．6．（3分）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜5【分析】根据反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，可解的答案．【解答】解：∵图象在第一、三象限，∴m﹣5＞0，解得m＞5．故选：B．7．（3分）设A（2，y1），B（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的两点，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【分析】先根据已知条件求出二次函数的图象开口方向和对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+a，∴抛物线的开口向下，的对称轴是直线x＝﹣1，∴离对称轴越近越大，∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣2），∴y1＜y2．故选：A．8．（3分）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF ＝53°，则∠A的度数是（）A．36°B．53°C．74°D．128°【分析】连接OD、OF，由切线的性质得∠ODA＝∠OF A＝90°，再根据圆周角定理求得∠DOF＝2∠DEF＝106°，则∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OF A﹣∠DOF＝74°，于是得到问题的答案．【解答】解：连接OD、OF，∵⊙O分别与AB、AC相切于点D、点F，∴AB⊥OD，AC⊥OF，∴∠ODA＝∠OF A＝90°，∵∠DEF＝53°，∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°，∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OF A﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°，故选：C．9．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，DE＝2CE，连接AE交BD于点F，则DF：BD＝（）A．2：1B．2：3C．2：5D．1：3【分析】由△DFE∽△BF A得到DF：BF＝DE：AB，由DE＝2CE得出DE：AB＝2：3，从而可以解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴△DFE∽△BF A∴DF：BF＝DE：AB，∵DE＝2CE，∴DE：DC＝2：3，∴DE：AB＝2：3，∴DF：BF＝2：3，∴DF：BD＝2：5，故选：C．10．（3分）如图，抛物线y＝﹣x（x+6）与x轴负半轴交于点A，点B为线段OA上一动点，点D的坐标为（﹣3，﹣6），连接BD，以BD为底边向右侧作等腰直角△DCB，若点C恰好在抛物线上，则AB长为（）A．4B．4.5C．5D．5.5【分析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥EC，交EC延长线于点F，设点，然后证明△CBE≌△DCF，则CE＝DF，BE＝CF，即可求出点C的坐标，再求出点B的坐标，从而求出AB的长度．【解答】解：∵，令y＝0，则x1＝0，x2＝﹣6，∴点A的坐标为：（﹣6，0），过点C作CE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥EC，交EC延长线于点F，设点，如图：∵△DCB是等腰直角三角形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵CE⊥x轴，DF⊥EC∴∠BEC＝∠F＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝∠BCE+∠DCF＝90°，∴∠CBE＝∠DCF，∴△CBE≌△DCF，∴CE＝DF，BE＝CF，∵，D（﹣3，﹣6），∴，∴，解得：，x2＝1；∵x＞﹣3，∴x＝1，∴点C的坐标为（1，﹣4），∴BE＝CF＝﹣4﹣（﹣6）＝2，∴点B的横坐标为1﹣2＝﹣1，∴AB的长度为﹣1﹣（﹣6）＝5；故选：C．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）已知点A（﹣2，3），B（3，m）在反比例函数上，则m＝﹣2．【分析】利用待定系数法求出k的值，代入点B的横坐标计算即可．【解答】解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数上，∴k＝﹣2×3＝﹣6，则反比例函数的解析式为：y＝，∴当x＝3时，m＝＝﹣2，故答案为：﹣2．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则ab＝﹣6．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝3，则ab＝﹣2×3＝﹣6．故答案为：﹣6．13．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是35°．【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于60°，从而可以得到∠BOB′的度数，由∠AOB＝15°可以得到∠AOB′的度数．【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A′OB′，∴∠BOB′＝50°．∵∠AOB＝15°，∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°．故答案为：35°．14．（3分）已知圆锥的底面半径为cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为6πcm2．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径是cm，则底面周长＝2πcm，圆锥的侧面积＝×2π×3＝6π（cm2）．故答案为：6πcm2．15．（3分）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为2米．（结果可带根号）【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线解析式为y＝ax2+c，把（2，0）和（2，0）代入得，，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2，把y＝0.5代入得：x＝±，则水面的宽度是2米．故答案为：2．16．（3分）如图，矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，矩形AEFG 绕点A旋转，给出下列结论：①3BE＝DG；②BE⊥DG；③当∠BAG＝60°时，4S△ABG ＝3S△ADG；④DE2+BG2＝315，其中正确的结论②③．【分析】通过证明△ADG∽△ABE，由相似三角形的性质可求4BE＝3DG，可以判断①错误；由相似三角形的性质可得∠AEB＝∠AGD，由余角的性质可证BE⊥DG，可以判断②正确；由勾股定理可求BG2+DE2＝325，可以判断④错误；分别求出S△ABG，S△ADG，即可判断③，即可求解．【解答】解：∵矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，∴∠DAB＝∠GAE＝90°，＝，＝，∴∠DAG＝∠BAE，＝，∴△ADG∽△ABE，∴＝＝，∴4BE＝3DG，故①错误；如图：设BE与DG交于点H，∵△ADG∽△ABE，∴∠AEB＝∠AGD，又∵∠AOE＝∠GOH，∴∠EAO＝∠GHO＝90°，∴BE⊥DG，故②正确；如图，连接BD，GE，DE，BG，∵AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，∴BD2＝AB2+AD2＝81+144＝225，GE2＝AE2+AG2＝100，∵BE⊥DG，∴BH2+DH2＝BD2，BH2+HG2＝BG2，HG2+HE2＝GE2，DH2+HE2＝DE2，∴BD2+GE2＝BG2+DE2，∴BG2+DE2＝325，故④错误；如图，过点G作GN⊥AB于N，GP⊥直线AD于P，∵∠BAP＝90°，∴四边形APGN是矩形，∴AN＝GP，NG＝AP，∵∠BAG＝60°，∴∠GAP＝30°，∴GP＝AG＝4，AP＝PG＝4，∴S△ABG＝×AB•NG＝×9×4＝18，S△ADG＝×AD•GP＝×12×4＝24，∴4S△ABG＝3S△ADG．故③正确；综上所述：正确的结论是②③．故答案为：②③．三、解答题17．（4分）解方程：x2﹣10x+9＝0．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣10x+9＝0，（x﹣1）（x﹣9）＝0，x﹣1＝0或x﹣9＝0，x1＝1，x2＝9．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转180°后的△A1B1C1．（2）求线段OC在旋转过程中所扫过的图形面积．【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点，连线组成三角形即可；（2）根据扇形面积公式可得答案．【解答】解：（1）如图：△A1B1C1即为所求三角形；（2）∵OC2＝52+32＝34，∴线段OC在旋转过程中所扫过的图形面积为＝＝17π．19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…（1）求该二次函数的表达式；（2）根据二次函数y＝ax2+bx+c图象，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）根据函数的图象和性质求x的取值范围即可．【解答】解：（1）由表格可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，∵抛物线过点（﹣1，0），∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，∴a＝1，∴二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4（或y＝x2﹣2x+3）；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴点（﹣1，0）的对称点为（3，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围是x＞3或x＜﹣1．20．（6分）某校准备从2名男生（A、B）和3名女生（C、D、E）五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生E被选中的概率是（直接填写答案）；（2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中2名女生的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好选中2名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生E被选中的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中恰好选中2名女生的结果有6种，∴恰好选中2名女生的概率为＝．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值．【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可求出答案；（2）先将足x1x2+x1+x2＝m2+6转化成﹣2m+5+4＝m2+6，再运用根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，∴；（2）∵x1，x2是该方程的两个根，∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，∵x1x2+x1+x2＝m2+6，∴﹣2m+5+4＝m2+6，∴m＝﹣3或1．22．（10分）（1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，利用五月份的全天包车数＝三月份的全天包车数×（1+全天包车数的月平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）当租金降价y元时，全天包车的租金为每辆（120﹣y）元，每月的全天包车数为（60+2y）次，根据公司每月获得的租金总额为8800元，可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽可能的减少租车次数，即可得出租金需降价10元．【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x，根据题意得：36（1+x）2＝81，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去）．答：全天包车数的月平均增长率为50%；（2）当租金降价y元时，全天包车的租金为每辆（120﹣y）元，每月的全天包车数为（60+2y）次，根据题意得：（120﹣y）（60+2y）＝8800，整理得：y2﹣90y+800＝0，解得：y1＝10，y2＝80，又∵要尽可能的减少租车次数，∴y＝10．答：当租金降价10元时，公司每月获得的租金总额为8800元．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交CA于D点，O是BC 上一点，经过B、D两点的⊙O分别交BC、BA于点E、F．（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：CA与⊙O相切；（3）当BD＝2，∠ABD＝30°时，求劣弧BD的长．【分析】（1）线段BD的垂直平分线与BC的交点即为圆心O；（2）连接OD，根据角平分线的定义，可得∠BDO＝∠ABD，从而证明AB∥OD，得到OD⊥AC，即可CA与⊙O相切；（3）求出∠BOD＝120°，设BD的中点为G，则OG⊥BD，在Rt△BOG中求出BO＝4，即可求劣弧BD的长＝＝．【解答】（1）解：如图：（2）证明：连接OD，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBO，∴∠BDO＝∠ABD，∴AB∥OD，∵∠BAC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥AC，∵D点在圆O上，∴CA与⊙O相切；（3）解：∵∠ABD＝30°，由（2）可知∠BDO＝∠DBO＝30°，∴∠BOD＝120°，∵BD＝2，∴BD＝4，设BD的中点为G，则OG⊥BD，在Rt△BOG中，BG＝2，∠GBO＝30°，∴BO＝4，∴劣弧BD的长＝＝．24．（12分）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）以下四边形中，是勾股四边形的为②③（填序号即可）；①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为60°的菱形．（2）如图1，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转n°得到△EDC．①连接AD，当n＝60，∠BAD＝30°时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．②如图2，将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点P，连接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝2，AE＝8，求AC的长度．【分析】（1）由勾股四边形的定义得出至少有一个内角是直角四边形必是勾股四边形，即可得出答案；（2）①只要证明△DAE是直角三角形，再利用勾股定理/旋转的性质即可解决问题．②如图2中，延长BC交FE的延长线于H．由△FPE≌△BP A，推出PE＝P A＝5，由CA ＝CE，推出CP⊥AE，推出∠APC＝90°，根据AC＝计算即可．【解答】（1）解：∵一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，∴此四边形的内角中至少有一个角为直角，①∵平行四边形的内角不一定有直角，∴平行四边形不一定是勾股四边形；②∵矩形的四个角都为直角，∴矩形是勾股四边形；③∵有一个角为直角的任意凸四边形，∴此四边形为勾股四边形；④∵有一个角为60°的菱形，∴菱形的四个内角分别为60°，120°，60°，120°，∴有一个角为60°的菱形不是勾股四边形，故答案为：②③；（2）①证明：如图1中，连接AE．∵△ABC绕点C顺时针旋转了60°到△DCE，∴AC＝BC，∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形．∴AE＝AC，∠ACE＝60°，∵∠DCB＝60°，∠BAD＝30°∴∠ABC+∠ADC＝270°，∴∠ADC+∠CDE＝170°，∴∠ADE＝90°，在Rt△DAE中，AD2+DE2＝AE2，∵DE＝AB，AC＝AE，∴AD2+AB2＝AC2，∴四边形ABCD是勾股四边形；②解：如图2中，延长BC交FE的延长线于H．∵∠DCH＝180°﹣n°＝（180﹣n）°，∠DEF＝（180﹣n）°，∴∠DEF＝∠DCH，∵∠DEF+∠DEH＝180°，∴∠DEH+∠DCH＝180°，∴∠CDE+∠H＝180°，∵∠ABC＝∠CDE，∴∠ABC+∠H＝180°，∴AB∥FH，∴∠F＝∠ABP，∵DE＝EF＝AB，∠EPF＝∠APB，∴△FPE≌△BP A（AAS），∴PE＝P A，∵AE＝PE+P A＝8，∴PE＝P A＝4，∵CA＝CE，∴CP⊥AE，∴∠APC＝90°，∴AC＝＝＝2．25．（12分）已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．【分析】（1）可求出根的判别式的值，由根的判别式的值直接判断；（2）令y＝0，求出含a的两个交点的横坐标，代入t＝ax2﹣x1即可；（3）求出平移后抛物线的解析式及A，B的坐标，求出直线AC的解析式及点C的坐标，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，证△AOP∽△CGM，推出＝，2MB+MC＝2（MB+GM），而MB+GM的最小值即B到CN最小距离CH，即可写出2MB+MC的最小值．【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，∵a＞0，∴（a+3）2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点；（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，∴或，∵a＞0，∴且x1＞x2，∴x1＝2，，∴，∴t＝a﹣5；（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4，向上平移一个单位得y＝x2﹣3，令y＝0，则x2﹣3＝0，得，∴，，∵OP＝1，∴直线，联立：，解得，，，即，，∴AO＝，在Rt△AOP中，AP＝＝2，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，∵CN∥x轴，∴∠GCM＝∠P AO，又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，∴△AOP∽△CGM，∴＝＝，∴，∵B到CN最小距离为CH，∴MB+GM的最小值为CH的长度，∴2MB+MC的最小值为．。
2023-2024学年广东省广州市增城区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.下列事件为随机事件的是()A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B.负数大于正数C.任意画一个三角形，其内角和是D.通常加热到时，水沸腾3.如果反比例函数的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是()A. B.2 C.0 D.4.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，则的度数为()A.B.C.D.5.解方程“”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为()A.B.，C.，D.6.某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是()A. B.C. D.7.如图，正方形ABCD的边长为2，是以点B为圆心，AB长为半径的一段圆弧，则的长为()A.B.C.D.8.如图，AB是的直径，PA，PC分别与相切于点A，点C，若，，则AB的长为()A.1B.2C.D.9.在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是()A. B. C.或 D.或10.如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则ac的值为()A.B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知的半径为5，点P在上，则OP的长为______.12.已知∽，其相似比为2：3，则它们的周长之比为______.13.一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共100个，这些球除颜色外都相同.小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则可估计红球的数量约为______个.14.若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数m的值等于__________.15.已知点，在反比例函数的图象上，且，则______填“<”或“>”或“=”16.如图，平面直角坐标系中有一点，在以为圆心，2为半径的圆上有一点P，将点P绕点A旋转后恰好落在x轴上，则点P的坐标是______.三、计算题：本大题共1小题，共4分。
2022-2023学年广东省广州中学九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2022-2023学年广东省广州中学九年级（上）期末数学试卷一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.）1．（3分）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“广州中学”四个字的篆书，其中能看作既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2向下平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为（）A．y＝2x2﹣1B．y＝2x2+1C．y＝2（x﹣1）2D．y＝2（x+1）2 3．（3分）二次函数y＝2（x+3）2+6，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴为直线x＝3C．顶点坐标为（3，6）D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小4．（3分）下列事件中，必然事件是（）A．打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王C．若a是实数，则|a|≥0D．六边形的一个内角为120°5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是（）A．弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD C．OE＝BE D．CE＝DE6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k＜4C．k＜﹣4D．k＞17．（3分）圆锥的高h＝3，母线l＝5，则圆锥的侧面积是（）A．15πB．20πC．24πD．36π8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，若以点D为圆心，12为半径作⊙D，则下列各点在⊙D外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，将△ACB绕点C逆时针旋转到△CDE的位置，当CD⊥AB时，连接AE，则∠CAE的度数为（）A．45°B．60°C．65°D．75°10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，下列结论：①a＞0；②c＜0；③4a＝b；④b2﹣4ac＜0；⑤a﹣b+c＞0．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）若2是关于x的一元二次方程x2+kx+2＝0的一个根，则常数k的值为．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点A（2，1）顺时针旋转90°得到点B（x，y），则x+y的值为．13．（3分）在一个不透明的袋中装有5个白色小球，n个红色小球，小球除颜色外其他完全相同．若从中随机摸出一个球，恰为白球的概率为，则n为．14．（3分）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：h＝﹣5t2+20t，则小球运动中的最大高度是m．15．（3分）如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，C是劣弧上一点，若∠ACB＝130°，则∠P＝．16．（3分）关于x的一元二次方程x2+x＝n有两个不相等的实数根，则抛物线y＝x2+x﹣n 的顶点在第象限．三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）17．（4分）解方程：x2+4x＝0．18．（4分）如图，⊙O中，弧AB＝弧AC，∠C＝70°，求∠A的度数．19．（6分）2022世界杯8强决赛部分赛程安排如下：时间比赛队伍记号12月10日03：00荷兰VS阿根廷比赛A12月10日23：00摩洛哥VS葡萄牙比赛B12月11日03：00法国VS英格兰比赛C 甲、乙两位同学各自从这3场比赛中随机抽取一场观看直播，请用列表法或画树状图求两位同学恰好观看同一场比赛的概率．20．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．画出将△ABC绕点O旋转180°后的△A1B1C1，并求旋转过程中点B经过的路线长．21．（8分）已知二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象直接回答：当x为何值时，y＜0．22．（10分）某商店需要在外墙安装落地窗，用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的宽度为x米，落地窗的面积为y平方米．落地窗的高不小于2米．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）能否使窗的面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的直线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，且AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）连接BC，若BC＝6，AC＝8，求AE的长．24．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为CA上一动点，E为BC 延长线上的动点，始终保持CE＝CD．连接BD和AE，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接DF．（1）请判断线段BD和AF的位置关系并证明；（2）当时，求∠AEC的度数；（3）如图2，连接EF，G为EF中点，，当D从点C运动到点A的过程中，EF的中点G也随之运动，请求出点G所经过的路径长．25．（12分）已知抛物线G：y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A、B（点A在B的左侧），交y轴于点C（0，3），A点坐标为（﹣1，0）．（1）求b和c的值；（2）如图1，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，第一象限内的点P在抛物线G上运动，连接PD，以P为圆心，PD为半径作⊙P，记⊙P的面积为S，试求S的最小值；（3）F（m，n）是抛物线G上一点，且F不与点C重合，将抛物线的顶点先向左平移两个单位，再向上平移一个单位，得到点E，记T＝|FC﹣FE|，是否存在点F，满足：（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）≤6恒成立，同时使得T取得最大值？如存在，请求出点F的坐标；如不存在，请说明理由．2022-2023学年广东省广州中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.）1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．2．【分析】根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求出所得抛物线的函数表达式即可．【解答】解：∵把抛物线y＝2x2向下平移1个单位，∴所得抛物线的函数表达式是：y＝2x2﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：左加右减，上加下减．3．【分析】将二次函数的顶点式化为一般式，确定二次函数的系数，由此即可求解．【解答】解：y＝2（x+3）2+6＝2x2+12x+24，a＝2，b＝12，c＝24，∴A选项，开口向上，故A选项错误；B选项，对称轴为，故B选项错误；C选项，顶点坐标的横坐标为x＝﹣3，纵坐标为6，即顶点坐标为（﹣3，6），故C选项错误；D选项，开口向上，对称轴为x＝﹣3，在对称轴坐标x＜﹣3时，y随x 的增大而减小，故D选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数中图像的性质与系数的关系是解题的关键．4．【分析】根据事件的分类，逐一进行判断即可．【解答】解：A、打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛，是随机事件，不符合题意；B、从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王，是随机事件，不符合题意；C、若a是实数，则|a|≥0，是必然事件，符合题意；D、六边形的一个内角为120°，是随机事件，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查事件的分类．熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件分为必然事件和不可能事件，是解题的关键．5．【分析】根据垂径定理即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，∴＝，＝，CE＝DE，但OE不一定等于BE，故选项A、B、D正确，选项C不正确，故选：C．【点评】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．6．【分析】根据一元二次方程判别式得到Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，然后求出不等式的解集即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，解得：k＞4，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．7．【分析】先利用勾股定理计算出底面圆的半径为4，再根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以利用扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的底面圆的半径＝＝4，所以圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，从而判断出点B在圆外．【解答】解：连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝13，∵13＞12，∴点B在⊙D外，故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系等知识，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．9．【分析】根据旋转得出∠ECA＝30°，CE＝AC，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，∵△ACB绕点C逆时针旋转到△CDE的位置，∴∠ECA＝∠BCD＝30°，CE＝AC，∴△ACE是等腰三角形，∴∠CAE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：D．【点评】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等．10．【分析】利用二次函数的性质，结合函数的特性，利用数形结合的方法对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∴①的结论正确；令x＝0，则y＝c，∴抛物线与y轴交与点（0，c）．∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴②的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴b＝4a．∴③的结论正确；由图象知：抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴④的结论不正确；由图象知：当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴⑤的结论不正确．综上，正确的结论有：①②③，故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，利用数形结合法解答是解题的关键．二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）11．【分析】把x＝2代入方程x2+kx+2＝0得4+2k+2＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2+kx+2＝0得4+2k+2＝0，解得k＝﹣3，即常数k的值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．【分析】根据题意作出图形，利用旋转的性质即可得出点B的坐标，最后相加即可求解．【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵点A（2，1），∴OC＝2，AC＝1，∵点A（2，1）顺时针旋转90°得到点B，∴OD＝AC＝1，BD＝OC＝2，即x＝1，y＝﹣2，∴x+y＝1+﹣2＝﹣1．【点评】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．13．【分析】根据概率公式列式求得n的值即可．【解答】解：根据题意得：＝，解得：n＝15，经检验：n＝15是原方程的解，故答案为：15．【点评】本题考查了概率公式，掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．14．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：20．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15．【分析】由切线的性质得出∠PBO＝∠P AO＝90°，由∠ACB＝130°，得出∠AOB＝100°，再由四边形内角和等于360°，即可得出答案．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵P A，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∵∠ACB＝130°，∴∠AOB＝100°，∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠P AO﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．16．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+x＝n有两个不相等的实数根，由此可以得到此方程的判别式是正数，这样可以得到关于n的不等式，解不等式求出n的取值范围，代入抛物线y＝﹣x2+x﹣n的顶点坐标公式中，就可以判断顶点所在象限．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x＝n即x2+x﹣n＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝1﹣4（﹣n）＞0，∴n＞﹣，∵抛物线y＝x2+x﹣n的对称轴为x＝﹣，y最小值＝＝﹣n﹣，∵n＞﹣，则﹣n﹣＜﹣＝0，∴顶点在第三象限．故答案为：三．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点个数与相应一元二次方程的解的个数的关系，要熟悉二次函数的性质．三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）17．【分析】提公因式分解因式，得出两个一元一次方程求解即可．【解答】解：方程x2+4x＝0，分解因式得：x（x+4）＝0，所以x＝0或x+4＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣4．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．【分析】由圆周角定理得∠B＝∠C＝70°，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵弧AB＝弧AC，∴∠B＝∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，即∠A的度数为40°．【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．19．【分析】先画出树状图，根据树状图可以求得所有等可能的结果以及两位同学恰好观看同一场比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，其中两位同学恰好观看同一场比赛的情况有3种结果，∴两位同学恰好观看同一场比赛的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．【分析】直接利用旋转的性质得出对应点位置，再利用弧长公式得出答案．【解答】解：如图所示：△A1B1C1即为所求，旋转过程中点B经过的路线长为：＝3π．【点评】此题主要考查了旋转变换以及弧长公式，正确得出对应点位置是解题关键．21．【分析】（1）根据图象特点，可设解析式为交点式或一般式求解；（2）利用图象在x轴下方的图象y小于0得解．【解答】解：（1）设解析式为y＝ax2+bx+c．∵图象过点（1，1），（2，0），（0，0），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2bx；（2）根据图象知，当x＜0或x＞2时，y＜0．【点评】此题考查了运用待定系数法求函数解析式、运用图象得出函数与不等式的关系等知识点．利用数形结合得出是解题关键．22．【分析】（1）设窗框的宽度为x米，则高为（6﹣3x）米，根据矩形面积得出函数解析式，并根据落地窗的高不小于2米，求出自变量的取值范围；（2）令y＝2，代入函数关系式，则可判定所对应方程根的判别式和0的大小即可．【解答】解：（1）设窗框的宽度为x米，则高为（6﹣3x）米，窗户的透光面积为：y＝x•（6﹣3x）＝﹣x2+3x，∵落地窗的高不小于2米，∴（6﹣3x）≥2，解得x≤，∴自变量x的取值范围为0＜x≤，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+3x（0＜x≤）；（2）不能，理由：令y＝2，则﹣x2+3x＝2，整理得：3x2﹣6x+4＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×3×4＝﹣12＜0，∴此方程无解，∴不能使窗的透光面积达到2平方米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数关系式是解题关键．23．【分析】（1）连接OC，证明OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥CD，根据切线的判定定理证明；（2）连接BC、CE，过点O作OF⊥AE于F，根据垂径定理得到AF＝EF，根据勾股定理求出AB，再根据勾股定理列式计算即可．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC、CE，过点O作OF⊥AE于F，则AF＝EF，四边形CDFO为矩形，∴DF＝OC，OF＝CD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∵AC平分∠DAB，∴＝，∴CE＝BC＝6，设AF＝EF＝x，则DE＝5﹣x，∵CE2﹣DE2＝CD2，OA2﹣AF2＝OF2，∴CE2﹣DE2＝OA2﹣AF2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得：x＝，∴AE＝．【点评】本题考查的是切线的判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．24．【分析】（1）延长BD交AE于点H，由“SAS”可证△BCD≌△ACE，由旋转的性质和全等三角形的性质可得BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，∠EAF＝90°，由余角的性质可得∠AHB＝90°＝∠F AE，可得AF∥BD，可得结论；（2）由三角形的面积公式可得AH＝BD＝AE，可得BH垂直平分AE，由等腰三角形的性质可求解；（3）先求出点G在∠ACE的角平分线上运动，即可求解．【解答】解：（1）结论：BD∥AF．理由：如图1，延长BD交AE于点H，∵E绕A点逆时针旋转90°到AF，∴AE＝AF，∠EAF＝90°，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，∵∠E+∠CAE＝90°，∴∠E+∠CBD＝90°，∴∠AHB＝90°＝∠F AE，∴AF∥BD；（2）（2）∵S△ABD＝BD2，∴BD•AH＝BD2，∴AH＝BD＝AE，∴BH垂直平分AE，∴BA＝BE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ABE＝45°，又∵BA＝BE，∴∠AEC＝67.5°；（3）如图2，连接AG、CG，过点G作GM⊥CE交CE延长线于M，GN⊥AC于N，∵GM⊥CE，GN⊥AC，∠ACM＝90°，∴四边形CMGN是矩形，∵AF＝AE，∠EAF＝90°，G是EF中点，∴AG＝GE，AG⊥EF，∵∠CAG+∠ACM+∠CEG+∠AGE＝360°，∴∠CAG+∠CEG＝180°，∵∠CEG+∠GEM＝180°，∴∠CAG＝∠GEM，又∵∠ANG＝∠GME＝90°，∴△ANG≌△EMG（AAS），∴NG＝GM，∴四边形CMGN是正方形，∴CG平分∠ACE，∴点G在∠ACE的角平分线上运动，∴当D从C运动到A点，G点所经过的路径是正方形ACMG的对角线的一半，即为×AC＝＝AB＝2．【点评】本题是几何变换综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25．【分析】（1）将点A，C坐标代入抛物线解析式中，即可求出b，c的值，（2）先求出点D坐标，设出点P坐标，进而得出S与点P横坐标的函数关系式，即可求出答案；（3）先求出直线CE的解析式为y＝﹣2x+3，再判断出点C，E，F在同一直线上，进而得出n＝﹣2m+3①，再判断出n＝﹣m2+2m+3②，即可求出点F坐标，最后将m，n的值代入（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）判断，即可得出答案．【解答】解：（1）∵点C（0，3）在抛物线G：y＝﹣x2+bx+c上，∴c＝3，∴抛物线G的解析式为y＝﹣x2+bx+3，∵点A（﹣1，0）在抛物线G的解析式为y＝﹣x2+bx+3上，∴﹣1﹣b+3＝0，∴b＝2，即b＝2，c＝3；（2）如图1，由（1）知，b＝2，c＝3，∴抛物线G的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线G的对称轴为直线x＝1，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），∵C（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴D（1，2），设点P（a，﹣a2+2a+3）（0＜a＜3），∴S＝πDP2＝π[（1﹣a）2+（2+a2﹣2a﹣3）2]＝π[（a﹣1）2﹣]2+π，当（a﹣1）2﹣＝0，即a＝1﹣（不符合题意）或a＝1+时，S最小，其最小值为π；（3）存在，由（2）知，抛物线G的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴此抛物线的顶点坐标为（1，4），由平移知，E（﹣1，5），∵C（0，3），∴直线CE的解析式为y＝﹣2x+3，∵T＝|FC﹣FE|，要T最大，则点C，E，F在同一直线上，∴点F（m，n）在直线CE上，∴n＝﹣2m+3①，∵点F（m，n）抛物线G上，∴n＝﹣m2+2m+3②，联立①②解得，或，∵点F（m，n）不与点C（0，3）重合，∴点F（4，﹣5），∴（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）＝（16﹣32+18）（25﹣50+28）＝6，即（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）≤6恒成立，∴存在点F（4，﹣5），满足：（m2﹣8m+18）（n2+10n+28）≤6恒成立，同时使得T取得最大值．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的面积公式，确定出点F 在直线CE上是解（3）的关键．。
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九年级上学期数学期末试卷一、单选题（共10题；共20分）1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图所示，在中，为中点，交于点，则与的面积比为（）．A. 1:1B. 1:2C. 1:3D. 1:43.下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A. B. C. D.4.如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为（）A. 25°B. 30°C. 45°D. 50°5.如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（）A. 5B.C. 3D.6.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）A. x（x﹣1）=15B. x（x+1）=15C. =15D. =157.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A. B. C. D.8.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.9.二次函数，在的范围内有最小值，则的值是（）A. -6B. -2C. 2D. 510.已知：是的直径，，是的切线，是上一动点，若，，，则的面积的最小值是（）A. 36B. 32C. 24D. 10.4二、填空题（共6题；共7分）11.如图，点、、都在上，若，则的度数是________．12.二次函数的顶点坐标是________．13.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心线段与线段是位似图形，若，，，则的坐标为________．14.如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为，则圆锥的全面积________．15.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=________．16.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有________（填序号）三、解答题（共9题；共92分）17.解下列一元二次方程：（1）（2）18.如图，在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为，，．（1）将绕点逆时针旋转后，得到，请画出；（2）求旋转过程中点经过的路径长（结果保留）19.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）求DE的长．20.已知关于x的一元二次方程有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．21.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）请尺规作图：作⊙O，使圆心O在AB上，且AD为⊙O的一条弦．（不写作法，保留作图痕迹）；（2）判断直线BC与所作⊙O的位置关系，并说明理由．22.如图，在一个的内部作一个矩形，其中点和点分别在两直角边上，在斜边上，，，设．（1）试用含x的代数式表示AD；（2）设矩形的面积为，当为何值时，的值最大，最大值是多少？23.如图，中，以边上一点为圆心作圆，与边、分别切于点、，与另一交点为．（1）求证：；（2）若的半径为，，求的长．24.已知：抛物线．（1）求证：抛物线与轴有两个交点．（2）设抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为，（其中）．若是关于的函数、且，求这个函数的表达式；（3）若，将抛物线向上平移一个单位后与轴交于点、．平移后如图所示，过作直线，分别交的正半轴于点和抛物线于点，且．是线段上一动点，求的最小值．25.在平面直角坐标系中，已知矩形中的点，抛物线经过原点和点，并且有最低点点，分别在线段，上，且，，直线的解析式为，其图像与抛物线在轴下方的图像交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）当时，求的取值范围；（3）在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；A不符合题意；B.是轴对称图形，也是中心对称图形；B符合题意；C.是轴对称图形，不是中心对称图形；C不符合题意；D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形．D不符合题意；故答案为：B．【分析】根据轴对称图形定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形定义：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形；由此即可得出答案.2.【解析】【解答】因为，△ABC中，D为AB中点，DE∥BC所以，DE是△ABC的中位线，所以，, ∽,所以，与的面积比为（）2= .故答案为：D【分析】由∽,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得结果.3.【解析】【解答】∵，∴∆=>0，即方程有两个不等的实数根，∵，∴，即方程没有实数根，∵，∴，即方程有两个相等的实数根，∵，∴，即方程没有实数根，故答案为：C．【分析】根据一元二次方程根的判别式，逐一判断选项，即可4.【解析】【解答】∵，是的切线，是的直径，∴∠CAP=90°，PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵，∴∠PAB=∠CAP- =75°，∴=180°-75°-75°=30°．故答案为：B．【分析】根据切线的性质和切线长的性质定理，即可求解．5.【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC= AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+（r﹣1）2，r= ，故选D．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．6.【解析】【解答】设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，=15，故答案为：C．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数= ，由此可得出方程．7.【解析】【解答】解：根据勾股定理，AB= =2 ，BC= ，所以，夹直角的两边的比为= ，观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故答案为B．【分析】求出三角形ABC的各边长，由勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形，则夹直角的两边的比可求得，然后将以下四个选项中的较短的两边的比计算出来，如果较短两边的比等于三角形ABC中夹直角的两边的比，且较短的两边的夹角是直角，根据相似三角形的判定可得两个三角形相似。
8.【解析】【解答】∵二次函数的图象对称轴是：直线x=-1，开口向上，∴抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越小，∵，，是二次函数的图象上的三点，∴，故答案为：C．【分析】根据二次函数的图象对称轴是：直线x=-1，开口向上，可知：抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越小，进而即可得到答案．9.【解析】【解答】∵抛物线的开口向下，对称轴是：直线x=-1，∴在的范围内，当x=2时，y取最小值，即：，解得：m=5，故答案为：D．【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴是：直线x=-1，则抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小，即可得到答案．10.【解析】【解答】∵是的直径，，是的切线，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴AD∥BC，即：四边形ABCD是直角梯形，过点D作DQ⊥BC于点Q，则四边形ABQD是矩形，∵，，，∴QC=BC-BQ=BC-AD=16-10=6，DQ=AB=2×4=8，∴，作MN∥CD与相切与点P，此时，点P是上所有的点中，到MN距离最小的点，即：此时，的面积的最小值= 平行四边形MNCD面积的一半．过点M作ME⊥BC于点E，则AM=BE，ME=AB=8，∵MN=CD=10，∴，∵MN是的切线，∴MP=MA，NP=NB，设MP=MA=BE=x，∴10-x=6+x，解得：x=2，∴BN=EN+BE=6+2=8，∴NC=BC-BN=16-8=8，∴平行四边形MNCD的面积=NC×DQ=8×8=64，∴的面积的最小值=64÷2=32．故答案为：B．【分析】过点D作DQ⊥BC于点Q，则四边形ABQD是矩形，进而求出，作MN∥CD与相切与点P，此时，点P是上所有的点中，到MN距离最小的点，即：此时，的面积的最小值= 平行四边形MNCD面积的一半．过点M作ME⊥BC于点E，则AM=BE，ME=AB=8，通过切线长定理，列方程，求出BE=2，进而得到：NC=8，求出平行四边形MNCD的面积，即可得到答案．二、填空题11.【解析】【解答】∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠ACB= ∠AOB= ×72°=36°，故答案是：36°．【分析】根据圆周角定理，即可求解．12.【解析】【解答】∵= ，∴二次函数图象的顶点坐标是：（-1,2），故答案是：（-1,2）．【分析】通过配方，把二次函数解析式化为顶点式，即可得到答案．13.【解析】【解答】∵以原点为位似中心线段与线段是位似图形，的对应点是，∴线段与线段的位似比是，∴点的对应点的坐标为：（6,2）．故答案是：（6,2）．【分析】根据的对应点是，可得线段与线段的位似比是，进而即可求出答案．14.【解析】【解答】∵圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为，∴底面圆的半径BO=1，∴底面面积=π，底面周长=2π，∴侧面积= =2π，∴圆锥的全面积=π+2π=3π．故答案是：．【分析】根据圆的面积公式和扇形的面积公式，即可求解．15.【解析】【解答】解：∵∠AOC的度数为105°，由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，∴∠AOB=105°-40°=65°，∵△AOD中，AO=DO，∴∠A= （180°-40°）=70°，∴△ABO中，∠B=180°-70°-65°=45°，由旋转可得，∠C=∠B=45°，故答案为：45°．【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO=DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．16.【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a＞0，即4a+b=0，所以①符合题意；∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②不符合题意；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴x=﹣1时，a﹣b+c=0，∴a+4a+c=0，∴c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，而a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴当x＜2时，函数值随x增大而增大，所以④不符合题意．故答案为：①③．【分析】根据抛物线的对称轴为x=2，即可得到-=2，根据等式的性质整理变形即可判断①；根据x=-3时y<0判断②；根据x=-1时y=0可得a-b+c=0，再结合4a+b=0得到b=-4a，进一步可将c用a表示出来，最后将b、c分别用a表示求出8a+7b+2c，再根据a的符号进行判断；由于抛物线的对称轴为直线x=2，则当x＜2时，函数值随x增大而增大，从而判断④.三、解答题17.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的求根公式，即可求解；（2）根据一元二次方程的直接开平方法，即可求解．18.【解析】【分析】（1）先画出绕点逆时针旋转后的各个顶点的对应点，再连线，即可得到答案；（2）根据弧长公式，即可求解19.【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行，内错角相等得出∠DAE=∠AMB，又∠DEA=∠B=90°，根据两组角对应相等的两个三角形相似得出△DAE∽△AMB ；（2）根据相似三角形对应边成比例得出DE：AD=AB：AM，根据比例式建立方程，求解即可得出DE的长。