《分式》典型例题分析
分式的运算例题讲解
15.2 分式的运算1．分式的乘除(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：a b ·c d ＝a ·c b ·d . (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·d b ·c. 分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式．【例1】 计算：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b ； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1；(3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4； (4)4x 2＋4xy ＋y 22x ＋y÷(4x 2－y 2)．2．分式的乘方(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．(2)用式子表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n b n .解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．【例2】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫a 2－b 34； (2)⎝⎛⎭⎫x 2y －z 23.3．分式的加减(1)同分母分式相加减：①法则：分母不变，把分子相加减； ②用式子表示：a c ±b c ＝a ±b c. (2)异分母分式相加减：①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；②用式子表示：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bc bd. 警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．【例3】 计算：(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）22ab ； (2)a a 2－1－11－a 2； (3)1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y 2；(4)12m 2－9＋23－m ； (5)x －3x 2－1－2x ＋1； (6)4a ＋2－a －2.4．整数指数幂一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．根据整数指数幂的运算性质，当m ，n 为整数时，a m ÷a n ＝a m －n ，a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ，因此a m÷a n ＝a m ·a －n .特别地，a b＝a ÷b ＝a ·b －1，所以⎝⎛⎭⎫a b n ＝(a ·b －1)n ，即商的乘方⎝⎛⎭⎫a b n 可以转化为积的乘方(a ·b －1)n . 这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：(1)a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是整数)；(2)(a m )n ＝a mn (m ，n 是整数)；(3)(ab )n ＝a n b n (m ，n 是整数)．【例4】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－23－2； (2)a 2b －3(a －1b )3÷(ab )－1.5．科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为原数整数部分的位数减1；(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a ×10－n 的形式，其中n 为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a |＜10.提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小．【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来：(1)650 000； (2)－36 900 000； (3)0.000 002 1； (4)－0.000 006 57.6．分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．7．分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定．8．把分式化简后再求值 分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．【例6】 计算：1－x 2x 2＋4x ＋4÷(x －1)2·x 2＋3x ＋2x －1.【例7】 计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ÷⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2·2a 2－b 2＋2ab.【例8】 先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫3x x －1－x x ＋1·x 2－12x ，其中x ＝－3.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．作差法举例：若x ≠y 且x ＞0，y ＞0，比较4x ＋y 与x ＋y xy的大小．【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？10．分式混合运算的开放型题所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．举例：已知P ＝a 2＋b 2a 2－b 2，Q ＝2ab a 2－b 2，用“＋”或“－”连接P ，Q 共有三种不同的形式：P ＋Q ，P －Q ，Q －P ，请选择其中一种进行化简求值，其中a ＝3，b ＝2.【例10】 已知A ＝1x －2，B ＝2x 2－4，C ＝x x ＋2.将它们组合成(A －B)÷C 或A －B÷C 的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x ＝3.。
分式 知识点及典型例题
分 式【知识网络】【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ∙=,b c b d bda d a c ac÷=∙=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2一、考点、热点知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ∙∙=A B A ，CB C÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
分式经典题型分类例题及练习题
分式经典题型分类例题及练习题分式的运算一、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义在代数式 $\frac{x_1}{a-bx}-\frac{y}{x+y}$ 中，$\frac{x_1}{a-bx}$ 是分式。
题型二：考查分式有意义的条件当 $x$ 满足以下条件时，下列分式有意义：1）$\frac{x-4}{x+4}$2）$\frac{3x}{x^2+2}$3）$\frac{2}{x^2-1}$4）$\frac{16-x}{5-x}$5）$\frac{1}{|x|-3}-\frac{x}{x}$题型三：考查分式的值为的条件当 $x$ 取以下值时，下列分式的值为 $0$：1）$\frac{x-1}{x+3}$2）$\frac{|x|-2}{x-4}-\frac{2}{x}$3）$\frac{x^2-2x-3}{x-5}-\frac{x-6}{2}$题型四：考查分式的值为正、负的条件1）当 $x$ 为何值时，分式 $\frac{4}{8-x}$ 为正；2）当 $x$ 为何值时，分式 $\frac{5-x}{23+(x-1)/(x-2)}$ 为负；3）当 $x$ 为何值时，分式 $\frac{x+3}{|x|}$ 为非负数。
练：1.当 $x$ 取以下值时，下列分式有意义：1）$\frac{1}{6|x|-3}$2）$\frac{3-x}{(x+1)^2+1}$3）$\frac{1}{x}+\frac{1}{1+x}$2.已知 $x+\frac{1}{x}=3$，求$\frac{x^2+x+1}{2x+x^2}$ 的值。
3.解以下不等式：1）$\frac{1}{|x|-2}\leq x+1$2）$\frac{x+5}{x+2}-\frac{3}{x+3}>0$二、分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质：frac{AA}{BB}=\frac{MA\cdot MA^{-1}}{MB\cdot MB^{-1}}=\frac{A}{B}$2.分式的变号法则：frac{-a}{a}=-1$，$\frac{-b+b}{b-b}=1$题型一：化分数系数、小数系数为整数系数不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数。
分式典型知识点与例题总结
人教版八年级下册分式全章 知识点和典型例习题 知识点回顾知识点一：分式形如 的式子叫做分式 。
知识点二：分式B A 的值1.当 时,分式有意义;2.当 时,分式无意义;3.当 时,分式的值为0;4.当 时,分式的值为1;5.当 时, 分式的值为正;6.当 时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示 知识点四：分式中的符号法则用式子表示 知识点五： 分式的约分 约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时， 知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。
1.最简公分母= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示 除法法则： 用式子表示 知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式： 套 平方差公式： 2 . 公 完全平方和：式 完全平方差：知识点九：分式的加减法法则 加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先 再 最后再 。
知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂 知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成 其中101<≤a 。
知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤 、 、 、 、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有 个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值 【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是 ； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 ；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。
分式经典例题及答案
分式的性质一、知识回顾1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。
2、分式有意义、无意义的条件：① 分式有意义的条件：分式的分母不等于0；② 分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3、分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
4、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
5、分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
6、分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
二、典型例题A．x=-2 B．x=0C．x=1或2 D．x=1分析：先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．这种题一定要考虑到分母不为0.解答：∴{ x-1=0 ①{ x+2≠0② ，解得x=1．故选D．A．x=1 B．x=-1C．x=±1D．x≠1分析：要使分式的值为0，一定要分子的值为0并且分母的值不为0．解答：由x2-1=0解得：x=±1，又∵x-1≠0即x≠1，∴x=-1，故选B．A．x≠5B．x≠-5 C．x>5 D．x>-5分析：要使分式有意义，分式的分母不能为0．解答：∵x-5≠0，∴x≠5；故选A．A．x<2 B．x<2且x≠-1 C．-1<x<2 D．x>2分析：易得分母为非负数，要使分式为正数，则应让分子大于0，分母不为0．解答：根据题意得：2-x>0，且（x+1）2≠0，∴x<2且x≠-1，故选B．A．x>0 B．x≥0C．x≥0且x≠1D．无法确定分析：分母x2-2x+1=（x-1）2，为完全平方式，分母不为0，则：x-1≠0时，要使分式的值为非负数，则3x≥0，由此列不等式组求解．解答：依题意，得{ 3x≥0①{ x-1≠0② ，解得x≥0且x≠1，故选C．例6：下列说法正确的是（）A．只要分式的分子为零，则分式的值为零B．分子、分母乘以同一个代数式，分式的值不变C．分式的分子、分母同时变号，其值不变分析：根据分式的值为 0 的条件是：（1）分子为 0；（2）分母不为 0．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变．解答：A、分式的分子为零，分母不为 0，则分式的值为零，故错误；B、分子、分母乘以同一个不等于 0 的代数式，分式的值不变，故错误；C、正确；D、当 x 取任意实数时，分式（|2-x|+x）/2 有意义，故错误．故选C．A．-7/2 B．7/2 C．2/7 D．-2/7分析：先把分式的分子、分母都除以 xy ，就可以得到已知条件的形式，再把 1/x-1/y=3 代入就可以进行计算．解答：根据分式的基本性质，分子分母都除以 xy 得，故选 B．分析：根据已知条件求出（a-b）与 ab 的关系，再代入所求的分式进行求值．分析：设恒等式等于一个常数，求出 x ，y ， z 与这个常数的关系式，再进行证明．解答：解：则 x=ka-kb， y=kb-kc， z=kc-ka，x+y+z=ka-kb+kb-kc+kc-ka=0 ，∴x+y+z=0．三、解题经验本节题目变化多端，我们要多做练习以积累经验，牢记分式有无意义的条件。
分式典型例题
【分式典型例题】例1. 若分式11||+-x x 的值为零，求x 的值。
解：当⎩⎨⎧=-≠+)2(01||)1(01x x 时，分式的值为零。
由（1）得：1-≠x由（2）得：1±=x ∴当1=x 时，11||+-x x 的值为零。
例2. 若分式732-x x 的值为负，求x 的取值范围。
分析：欲使732-x x 的值为负，即使0732<-x x ，就要使2x 与73-x 异号，而02≥x ，若0=x 时，732-x x 不能为负，因此，只有⎩⎨⎧<->07302x x 才成立。
解：当⎩⎨⎧<->)2(073)1(02x x 时，分式732-x x 的值为负， 由（1）得0≠x ，由（2）得37<x 037≠<∴x x 且∴x 的取值范围是037≠<x x 且例3. 如果把分式y x xy+的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A. 不变B. 扩大3倍C. 缩小3倍D. 缩小9倍分析：x ，y 都扩大3倍，即变为3x ，3y ， 则y x xy yx xy y x xy y x y x +⨯=+=+=+⋅33)(393333 因此，分式y x xy+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式值扩大3倍。
解：选B 。
!例4. 计算：（1）x x x x x x x 4126)3(446222--+⋅+÷+-- （2）22221111⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--a a a a a a a（3）x x x -+-++1111112 （4）231421222+++⋅--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a a a a a a 解：（1）x x x x x x x 4126)3(446222--+⋅+÷+-- 421)2(21)3(4)2)(3(31)2()3(22--=--=---+⋅+⋅--=x x x x x x x x （2）22221111⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--a a a a a a a 】aa a a a a a a a a 1)1()1()1()1)(1()1(2222+-=-+⋅-⋅-+--=（3）x x x -+-++1111112 11)1)(1(111---+++=x x x x 11)1)(1(1)1)(1(111)1)(1(1)1)(1(1)1)(1(12--=-+-=-+--+-=-++--++-+-=x x x x x x x x x x x x x x x （4）231421222+++⋅--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a a a a a a 231241)1(222+++⋅--⋅+-+=a a a a a a a a a a1)1)(2(1)2()2)(2(12+=+++⋅--+⋅+=a a a a a a a a a a a例5. 解方程。
《分式》典型例题及解析
《分式》典型例题及解析例1．分式中，当x = a时，下列说法正确的是( )A．分式的值为零 B．分式无意义C．当a≠时，分式的值为零D．当a≠−时，分式无意义答案：C说明：当x = a时，分子x−a = 0，但需满足分式有意义，即分母2x−3≠0，x≠∴当a≠时，分式值为0，因此，答案为C．例2．分式有意义，则x的值为( )A．x≠−1 B．x≠−2 C．x≠1 D．x ≠−1，x≠−2且x≠1答案：D说明：有意义，需满足x+1≠0且x−≠0，得x≠−1且≠0，即，所以当x≠−1，x≠−2且x≠1时分式有意义，答案为D．例3．下列各式从左到右变形错误的是( )A．=B．=C．=D．=答案：D说明：选项A、B中的变形都是将左边的分式分子、分母同乘以−1，即得到右边的分式，变形过程都是正确的；选项C左边的分式隐含条件a≠0，因此，分子、分母可以同时除以a，即得到右边的分式，变形过程也是正确的；只有选项D中的变形需附加条件b ≠0，因此，答案为D．例4．当=时，A应为( )A．x−1 B．x+1 C．3(x+1)D．3(x−1)答案：D说明：由=得=，因为分式的分母x+2乘以(x−1)才能化为x2+x−2，所以根据分式的基本性质，分子3也应乘以(x−1)得3(x−1)，所以A = 3(x−1)，答案为D．例5．下列命题中不正确的是( )A．不论x取任何实数时，分式都有意义B．x = 0时，分式的值为0C．(2x+y)÷(y−x) =D．当x<0时，分式<0答案：B说明：不论x取任何实数，x2+1始终不会为0，所以分式有意义，选项A命题成立；选项B中命题显然错误；选项C、D中的命题不难看出都是正确的，所以答案为B．例6．分式与是同一个分式吗？分析：分式=它有意义的条件是(x+2)(x−3)≠0即x≠−2且x≠3，而分式有意义的条件是x−3≠0即x≠3，当x = −2时，分式有意义．答：由于两分式有意义的条件不同，所以与不是同一个分式．。
分式方程的典型例题解析
分式方程的典型例题解析分式方程是一种含有分式的方程，它的解法可以通过化简分式，通分消去分母，然后根据整式方程的解法进行求解。
在解分式方程时，我们需要注意分式的约分和消去分母的方法，以及解方程过程中可能出现的特殊情况。
下面我们通过几个典型的例题来具体解析分式方程的解法。
例题一：求解方程$\frac{2}{x} + \frac{3}{x+2} = \frac{5}{x^2+2x}$。
解：首先将分式方程中的分式通分，得到$\frac{2(x+2)}{x(x+2)} +\frac{3x}{x(x+2)} = \frac{5}{x(x+2)}$。
然后将分式相加并合并同类项，得到$\frac{2x+4+3x}{x(x+2)} =\frac{5}{x(x+2)}$。
继续化简，得到$\frac{5x+4}{x(x+2)} = \frac{5}{x(x+2)}$。
由于等号两边的分式相等，所以分子相等，即$5x+4=5$。
解得$x=1$。
因此，原方程的解为$x=1$。
例题二：求解方程$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-3}$。
解：同样地，将方程通分，得到$\frac{x-2}{(x-1)(x-2)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3(x-2)}{(x-1)(x-2)}$。
合并同类项，得到$\frac{x-2+2(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3(x-2)}{(x-1)(x-2)}$。
进一步化简，得到$\frac{x-2+2x-2}{(x-1)(x-2)} = \frac{3x-6}{(x-1)(x-2)}$。
继续化简，得到$\frac{3x-4}{(x-1)(x-2)} = \frac{3x-6}{(x-1)(x-2)}$。
由于等号两边的分式相等，所以分子相等，即$3x-4=3x-6$。
然而，这个方程没有解，因为等号两边的式子相等，无法将方程化简成一个恒等式。
分式方程典型易错点及典型例题分析
分式方程典型易错点及典型例题分析一、错用分式的基本性质例1 化简错解：原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.正解：原式二、错在颠倒运算顺序例2 计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.正解：原式三、错在约分例1 当为何值时，分式有意义[错解]原式.由得.∴时，分式有意义.[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.[正解]由得且.∴当且，分式有意义.四、错在以偏概全例2 为何值时，分式有意义[错解]当，得.∴当，原分式有意义.[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.[正解] ，得，由，得.∴当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母例3 计算.[错解]原式=.[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.[正解]原式.六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时，分式的值为零.[错解]由，得.∴当或时，原分式的值为零.[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.[正解]由由，得.由，得且.∴当时，原分式的值为零.典例分析类型一：分式及其基本性质1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A. B.C.D.2．若分式的值等于零，则x ＝_______；3．求分式的最简公分母。
【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（）A．－1B．0C．1 D．±１（2）当x________时，分式没有意义．【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（）A．B．C．D．(一) 通分约分4．化简分式:【变式1】顺次相加法计算：【变式2】整体通分法计算：（二）裂项或拆项或分组运算5．巧用裂项法计算：【变式1】分组通分法计算：【变式2】巧用拆项法计算：类型三：条件分式求值的常用技巧6．参数法已知，求的值．【变式1】整体代入法已知，求的值.【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．已知：，求的值．【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．已知：，求的值．解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．（一）与异分母相关的分式方程7．解方程=【变式1】换元法 解方程：32121---=-xxx （二）与同分母相关的分式方程 8．解方程3323-+=-x x x 【变式1】解方程87178=----xx x 【变式2】解方程125552=-+-xx x9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A 地同时出发到B ．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少【变式2】 A 、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度．【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca aaa±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c ac ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a m b n , (a m)n= a mn7.负指数幂: a-p=1a0=1pa8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2。
分式例题讲解与剖析
分式例题讲解与剖析一、一周知识概述（一）知识点讲解1 、分式的意义（1）如果一个代数式的分子、分母都是整式、且分母中含有字母，那么这样的代数式叫分式 ; 且对任意分式 , 分母不为零 . 若 A ， B 是整式，则.A 称分式的分子， B 称分式的分母，如：不是分式，而是分式，且 x ≠ 0.（2）分式是分数的继续与拓展，分数是分式的特例，所以分数的性质分式亦成立 . 因此可得出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（除以）同一个不为零的整式，分式的值不变 .（3）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分 .（4）分式的变号法则：先明确一个概念，在分式中，如：，我们把“＋”或“－”叫做分式本身的符号 . 例如：的前面是“正号”，的前面是“负号”.在一个分式中，对分子、分母、分式本身的符号中，若改变它们其中任何两个的符号，分式的值不变 .（5）分式可写成 A·B－1，它们只是形式上的不同，实质一样 .2 、分式的乘除（1）分式的乘除法则：两个分式相乘把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 .（2）约分是分式乘法中一个重要运算过程，可将分式的分子、分母同除以最大公因式 . 有的要进行多次约分，使分子、分母再无公因式为止 . 这种最后形式的分式叫最简分式 . 相当于分数的约分直到最简分数 . 约分的过程和类型 .①若分子、分母是单项式，可直接约去分子、分母中相同因式的最低次幂及系数的最大公约数 .②若分子、分母是多项式，应分解因式后再约分 .③运算的最后结果按字母的降幂排列，且尽量使最高次项的系数为正 .（二）重难点解析1 、重点（1）分式的意义及符号法则（2）分式的基本性质（3）最简分式2 、难点：分式的值为零的条件：分子等于零但分母不为零，所以由分子等于零求出的字母的值，必须代入字母进行检验，看是否为零，若使分母的值为零，则分式无意义，那么这个字母的值要舍去 .二、例题讲解与剖析例一、1 、代数式中，分式的个数有（）A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个2 、根据下列各题要求回答问题（1） x 为何值时，分式无意义 .（2） x 为何值时，分式有意义 .（3） x 为何值时，分式的值为零 .（4） x 为何值时，分式的值为零解析：1、解：分式为：不是，因为π是一个无理数，所以选 C.2、解：（1）要使分式无意义，则分母为零，即 (2x－1)(x＋3)=0.∴ 2x－1=0 或 x＋3=0 ∴ x=或 x=－3.即当 x=或 x=－3 时，分式无意义 .（2）根据题意，得∴ x≠1 且 x≠0.即当 x 取 1 和 0 以外的任何实数分式有意义 .（3）根据题意，得∴只有当 x=－3 时，分子 |－3|－3=0 分母 (－3－3)2 ≠ 0∴当 x=－3 时，分式的值为零 .（4）由（3）：把 x=3 或－3分别代入分母中均不为零，∴当 x=3 或－3 时，分式的值为零 .例二、1 、若分式的值为非负数，求 x 的取值范围 .2 、若将分式（a、b 均为正数）中的字母 a、b 的值分别扩大为原来的 2 倍，则分式的值（）A ．扩大为原来的 2 倍B ．缩小为原来的C ．不变D ．缩小为原来的3 、下列等式中成立的是（）A ．B ．C ．D ．解析：1 、解：依题意，得由（Ⅰ）得由（Ⅱ）得无公共解 .∴当时，分式的值为非负数 .2 、解：选 B ，依题意，分子只扩大 2 倍，分母扩大了 4 倍 .3 、解：选 D. 利用分式基本性质，分子、分母都扩大 100 倍，分式的值不变 .例三、下列分式中，最简分式有（）A ． 1 个 B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个解：当分子、分母无公因式的分式，才是最简分式，按顺序只有③⑤两个式是最简分式，选 B.例四、求下列各式的值1 、已知 x2－3x＋1=0 ，求.2 、 x2＋2x＋y2－8y＋17=0 ，求的值 .3 、若 abc=1 ，求的值 .解析：1 、分析：从条件可分析出 x≠0 ，若 x=0 ，则 1=0 矛盾，与所求式子比较，可知等式两边同除以 x. 解：∵ x2－3x＋1=0 ，两边同除以 x （x≠0）∴∴又.2 、解：∵ x2＋2x＋y2－8y＋17=0 ∴ (x2＋2x＋1)＋(y2－8y＋16)=0∴ (x＋1)2＋(y－4)2=0 ∴ x=－1,y=4,.3 、解：分析：充分利用 abc=1 的条件，以及从左到右逐步代换方法：例五、计算下列各式1 、2 、3 、一台电子收报机它的译电效率相当于人工译电效率的 75 倍，试计算人工译电 2000 个字所用时间是电子收报机译电 3000 个字所需时间的多少倍 .解析：1 、分析：乘除混合运算是同级运算，应从左到右有顺序地进行 . 再者，将除式的分子、分母颠倒后相乘，分子、分母是多项式时，能分解因式要先分解因式 .2 、分析：有括号的先算括号内的，再算括号外的 .3 、分析：可利用字母表示人工译电和电子收报机译电在单位时间内译出的字数，然后相除 .解：设人工译电每分钟译 x 个字，则电子收报机每分钟可译 75x 个字 .依题意，得：，解此分式，答：人工译 2000 个字所用时间是电子收报机译 3000 个字所用时间的 50 倍。
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《分式》复习提纲
考点1. 分式的概念
1、下列各有理式 π
y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4,23,822++-+---中，分式的个数是（ ）
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
考点2. 分式的意义 分式：B
A (A ，
B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义⇔ ；② 分式无意义⇔ ；③ 分式值为零⇔
1、若分式3
2-x 有意义，则x__________ 2、 要使分式)
5)(32(23-+-x x x 有意义，则（ ） A. x ≠23- B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2
3-或x ≠5 ?
3、 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21a
a + 4、分式324
x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。
5、当x 时，分式2
52++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零； 当x 时，分式x x -+22
的值是零 考点3、最简公分母、最简分式
1、分式ac
b b
c a ab c 3,2,2--的最简公分母是 ；分式13x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________
2、下列分式中是最简分式的是（ ）
A. 122+x x
B. x 24
C. 1
12--x x D. 11--x x 3、下列分式中是最简分式的是（ ）
{
A. 2
2
2)(y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质
1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
（1）y x y x 3
221322
1-+； （2）b a b a -+2.05.03.0 2、把分式xy
y x +中的分子、分母的x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的21 C. 不变 D. 缩小为原来的4
1 3、约分（1）43
22016xy y x -= ；（2）4
4422+--x x x = 4、通分（1）
b a 21，21ab ； （2）y x -1，y x +1； （3）221y x -，xy x +21.。
考点5、计算
1、(1)222222x b yz a z b xy a ÷= ；（2）493222--⋅+-x x x x = ；（3）432
22
)1.().()(ab
a b b a --= (4) x x x x x x 362996222+-÷-+- （5）ab a b a a b a b a --+-2224. （6）
（7）xy y x xy y x 22)()(--+ （8）22y x x -－22x y y - （9） (
22212(1)441x x x x x x x
-+÷+⨯++-16
24432---x x
（11）211a a a --- （12）⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷--225262x x x x
（
2、先化简)2(2
222a b ab a ab
a b a ++÷--，当b= —1时，请你为 a 选一个适当的数代入求值
3、（1）如果2-=y x ，那么分式2
22
222223y xy x y xy x +-+-的值为 ； （2）如果
,211=+y x 那么分式y xy x y xy x 22323+-+-的值为 （3）已知122
432+--=--+x B x A x x x ，其中A 、B 为常数，则A －B 的值为 （4）某人上山的速度为a ，下山的速度为b ，则他上山、下山的平均速度（假设按原路返回）为____________
考点6、零指数幂与负整指数幂
计算：（1）221-⎪⎭
⎫ ⎝⎛= ；（2）220)2()21()2(---+--= ； 】
（3）013)13()3
1()2(16-+--÷- = （4）（8×105）÷（-2×104）= （5）()()23323a b ab ----⨯（结果只含正整数指数幂）=
a
a a +--22214)10(
考点7、科学计数法
（1） 用科学计数法表示：0-.000 0064=
（2） 一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于 米（请用科学记数法表示） 考点8、分式方程的概念
下列关于x 的方程是分式方程的是( )
A. 23356x x ++-=
B. 324x =π
C. x a b x a b a b
-=- D. 2(1)11x x -=- 考点9、分式方程的解
1、当x= 时,
125x x x x +--与互为相反数 ?
2、若分式方程14733x x x -+=--有增根，增根为 ；当k=_____时,分式方程0111
x k x x x x +-=--+有增根。
3、已知关于x 的分式方程
x x a x 311=---无解，则a = 4、关于x 的方程11
2=-+x a x 的解是正数，则a 的取值范围是 考点10、解分式方程
（1）x x 321=- （2）1132422x x +=-- （3）21212339x x x -=+--
~
（4）
x x x -+=-3231 （5）1262=++-x x x （6）2123442+-=-++-x x x x x
考点11、分式方程的应用题
1、某人生产一种零件,计划在30天内完成,若每天多生产6个,则25天完成且还多生产10个,问原计划每天生产多少个零件设原计划每天生产x 个,列方程式是( )
A. 3010256x x -=+
B. 3010256x x +=+
C. 3025106
x x =++ D.
301025106x x +=-+ 2、某工地调来72人挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调配劳动力使挖出的土能及时运走且不窝土,解决此问题可设派x 人挖土,其它人运土,列方程:①x+3x=72,②72-x=3x ,③7213x x -=, ④372x x
=-.上述所列方程正确的( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3、某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期为x 天,下面所列方程中错误的是( )
A.
213x x x +=+ B. 233x x =+ C. 1122133x x x x -⎛⎫+⨯+= ⎪++⎝⎭ D. 113x x x +=+ 、
4、某中学全体同学到距学校15千米的科技馆参观,一部分同学骑自行车走40分钟后,其余同学乘汽车出发,结果他们同时到达科技馆, 已知汽车的速度是自行车速度的3倍,求汽车的速度.设汽车的速度是x 千米/小时,则汽车行驶时间为______, 自行车行驶时间为______.根据题意列方程_____________________.解得汽车的速度为_______.
5、 为改善生态环境,防止水土流失,某村拟在荒坡地上种植960棵树, 由于青年团员的支持,每日比原计划多种20棵,结果提前4天完成任务,原计划每天种植多少棵设原计划每天种植x 棵,根据题意得方程_____ _______.
6、某商店经销一种商品,由于进货价降低%,使得利润率提高了8%,那么原来经销这种商品的利润率是_________.
7、 某人骑自行车比步行每小时快8千米,坐汽车比骑自行车每小时快16千米,此人从A 地出发,先步行4千米,然后乘坐汽车10千米就到在B 地,他又骑自行车从B 地返回A 地,结果往返所用的时间相等,求此人步行的速度.
8、某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天，需付甲工程队工程款万元, 乙工程队工程款万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款。