1.2.1 任意角的三角函数(二) 教案+习题

1.2.1 任意角的三角函数(二)学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域(重点).2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(重点).3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(难点)．预习教材P15－17完成下面问题： 知识点1 三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．【预习评价】函数y ＝cos x 的定义域为________．解析 由cos x ≥0得{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }．答案 {x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }知识点2 三角函数线 1．相关概念 (1)单位圆：以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段．规定：方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值． 2．三角函数线【预习评价】作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． (1)－π4； (2)17π6； (3)103π．答案题型一 三角函数线及其作法【例1】 分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)π4；(2)2π3；(3)－3π4；(4)11π6． 解 作图，如图所示：图(1)，(2)，(3)，(4)中的MP ，OM ，AT 分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线． 规律方法 三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1,0)点引x 轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T ，即可得到正切线AT ．【训练1】 (1)作出－π3的正弦线；(2)作出4π3的正切线．解 (1)作出－π3的正弦线MP 如图所示．(2)作出43π的正切线AT 如图所示．方向1 利用三角函数线比较大小【例2-1】 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5．解 如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan 2π3＝AT ；4π5的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin 4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′，由图可见，MP >M ′P ′>0，AT <AT ′<0， 所以(1)sin 2π3>sin 4π5，(2)tan 2π3<tan 4π5．方向2 利用三角函数线解不等式【例2-2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32；(2)tan α≥－1． 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，如图所示，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z ．(2)在单位圆过点A (1,0)的切线上取AT ＝－1，连接OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1，P 2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，如图所示，所以α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|－π4＋k π≤α<π2＋k π，k ∈Z ．规律方法 1.利用三角函数线比较大小的两个注意点 (1)角的终边的位置要找准；(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向． 2．利用三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角x 满足条件的终边范围．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求． 【训练2】 解不等式cos α≤－12．解 作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，如图所示，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z ．题型三 求三角函数的定义域 【例3】 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝sin x ·tan x ； (2)f (x )＝lg sin x ＋9－x 2． 解 (1)∵要使函数f (x )有意义， ∴sin x ·tan x ≥0，∴sin x 与tan x 同号或sin x ·tan x ＝0，故x 是第一、四象限的角或终边在x 轴上的角． ∴函数的定义域为{x |2k π－π2<x <2k π＋π2或x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．(2)由题意，要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，9－x 2≥0.由sin x >0得2k π<x <2k π＋π(k ∈Z )， ① 由9－x 2≥0得－3≤x ≤3，②由①②得：f (x )的定义域为{x |0＜x ≤3}．规律方法 求三角函数定义域的方法(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．【训练3】 求下列函数的定义域： (1)y ＝2cos x －1；(2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12．如图，∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． ∴函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.如图，∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3(k ∈Z )． 即x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )． ∴函数的定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．课堂达标1．下列四个命题中：①α一定时 ，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上． 不正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 由三角函数线的定义①③④正确，②不正确． 答案 B2．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析 方法一 (特值法)令α＝π3，则cos α＝12，tan α＝3，sin α＝32，故cos α<sin α<tan α．方法二 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，则OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α．答案 A3．比较大小：sin 1________sin π3(填“>”或“<”)．解析 因为0<1<π3<π2，结合单位圆中的三角函数线，知sin 1<sin π3．答案 <4．当x ∈[0,2π]时，不等式sin x ≥12的解集为________．解析 如图所示，不等式的解集为{x |π6≤x ≤5π6}．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6≤x ≤5π6 5．比较sin 4π7与tan 4π7的大小．解4π7的正弦线MP 与正切线AT 如图所示．由图易知sin 4π7>0，tan 4π7<0，∴sin 4π7>tan 4π7．基础过关1．下列说法不正确的是( )A ．当角α的终边在x 轴上时，角α的正切线是一个点B ．当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在C ．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D ．余弦线和正切线的始点都是原点解析 根据三角函数线的概念，A ，B ，C 是正确的，只有D 不正确，因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x 轴正半轴的交点上．答案 D2．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析 如图所示，当x ＝π4和x ＝－3π4时，sin x ＝cos x ，故使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是[－3π4，π4]．答案 A3．函数f (x )＝tan(2x －π4)的定义域为( )A ．{x |x ≠3π8＋12k π，k ∈Z }B ．{x |x ≠3π8＋k π，k ∈Z } C ．{x |x ≠3π8＋2k π，k ∈Z }D ．{x |x ≠5π8＋12k π，k ∈Z }解析 易知2x －π4≠π2＋k π，，k ∈Z ，即x ≠3π8＋12k π，k ∈Z ，故f (x )的定义域为{x |x ≠3π8＋12k π，k ∈Z }．答案 A4．若θ∈(π2，5π4)，则sin θ的取值范围是________．解析 如图所示，作出π2和5π4的正弦线，可得sin θ∈(－22，1)．答案 (－22，1) 5．比较大小：sin 1.2________sin 1.5(填“>”或“<”)．解析 ∵1.2∈(0，π2)，1.5∈(0，π2)，正弦线在(0，π2)内随角α的增大而增大，∴sin 1.2<sin 1.5． 答案 <6．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． (1)sin α＝23；(2)cos α＝－35．解 (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP ，OQ 为角α的终边，如图甲．(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM ，ON 为角α的终边，如图乙．7．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． 解 由题意，得自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z ．能力提升8．点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵56π<3<π，作出单位圆如图所示．设MP ，OM 分别为a ，b ． sin 3＝a >0，cos 3＝b <0， 所以sin 3－cos 3>0．因为|MP |<|OM |即|a |<|b |，所以sin 3＋cos 3＝a ＋b <0．故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．答案 D9．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，则函数g (x )＝a bx ＋7在[b ，a ]上( )A ．有最大值2B ．有最小值2C ．有最大值1D ．有最小值1解析 易知2x ＋π6∈[π6，7π6]，a >0，∴由三角函数线易得f (x )∈[－a ＋b,2a ＋b ]，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＝－5，2a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.∴g (x )＝2－3x ＋7，x ∈[－3,2]，故当x ＝2时，g (x )有最小值2．答案 B10．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为________．解析 如图所示．答案 [k π－π4，k π＋π4]，k ∈Z 11．sin 1，cos 1，tan 1的大小关系是________．解析 由题意1>π4，在单位圆中作出锐角α＝1的正切线、正弦线、余弦线，可知正切线最长，余弦线最短，所以有cos 1<sin 1<tan 1．答案 cos 1<sin 1<tan 112．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．解θ是第二象限角，即2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k ∈Z )． 作出θ2所在范围如图所示． 当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时， cos θ2<sin θ2<tan θ2． 当2k π＋5π4<θ2<2k π＋32π(k ∈Z )时， sin θ2<cos θ2<tan θ2． 13．(选做题)利用三角函数线证明：若0<α<β<π2，则β－α>sin β－sin α．证明 如图，单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，与角α，β的终边分别交于点Q ，P ，过P ，Q 分别作OA 的垂线，设垂足分别为点M ，N ，则由三角函数线定义可知：sin α＝NQ ，sin β＝MP ，过点Q 作QH ⊥MP 于点H ，于是MH ＝NQ ，则HP ＝MP －MH ＝sin β－sin α．由图可知HP <PQ ＝AP －AQ ＝β－α，即β－α>sin β－sin α．。