全国优秀案例任意角的三角函数教学设计案例)

任意角的三角函数
陈正泉
一、教学内容解析
这是一堂关于任意角的三角函数的概念课．
在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值．在此基础上，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么关系了．任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想．三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用．而任意角三角函数的概念又是整个三角函数内容的基础，所以它不仅是三角函数内容的核心概念，同时在高中数学中还占有重要的地位．本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的定义是这节课的重点，能够利用单位圆认识该定义是解决教学重点的关键．
二、教学目标解析
1．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义：
（1）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数；
（2）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数；
（3）知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
2．在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会数形结合的思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题．
三、教学问题诊断分析
1．学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，原因是学生在此之前都是研究直角三角形中锐角的三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比值来表示锐角三角函数．要克服这一困难，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系．2．学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性．针对这一问题，应引导学生利用相似三角形的知识来认识，明白对于一个确定的角，其三角函数值也就唯一确定了，表示其三角函数的比值不会随终边上所取点的位置的改变而改变．
3．学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，还可能会出现障碍，主要原因还是受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在
直角三角形中思考问题．要帮助学生克服这一困难，就要让学生知道，借助单位圆，用终边与单位圆交点的坐标来表示三角函数，就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，用单位圆统一定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函数定义的本质，同时还能定义任意角的三角函数．
四、教学支持条件分析
为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．
五、教学过程设计
（一）教学基本流程
（二）教学情景
1．复习锐角三角函数的定义
问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1，在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？
图1
设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．
师生活动：教师提出问题，学生回答．
2．认识任意角三角函数的定义
问题2：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？
设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．
师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进
行思考：
（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？
以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．
如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义，那么可以进一步提出下列问题来启发学生进行思考：
（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？
进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论：
（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角α的三角函数呢？
图2
如果学生仍用直角三角形边长的比值来定义，则可以作下列引导：
（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角α的终边不在第I象限又该怎么办？
图3
（5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，比如把点用坐标表示，把线段的长用坐标算出来．我们还是回到锐角三角函数的问题上，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的三条边长呢？
渗透数形结合的思想．
（6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？
问题3：大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？
设计意图：为引入单位圆进行铺垫．
师生活动：教师提出问题后，可组织学生展开讨论．在学生不能正确回答时，可启发他们思考下列问题：
（1）我们在定义1弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂些？
（2）对于一个三角函数，比如y＝sinα，它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定以后，能不能取终边上任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单些？怎样取？
加强与几何的联系．
问题4：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？
设计意图：引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出
任意角三角函数的定义．
师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理．
问题5：根据任意角三角函数的定义，要求角α的三个三角函数值其实就是分别是求什么？
设计意图：让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角函数概念的本质．
师生活动：在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值． 例1：已知角α的终边经过点P （
21，－23），求角α的正弦、余弦和正切值．
设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．
师生活动：在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识：
变式1：求3
π5的正弦、余弦和正切值． 变式2：已知角α的终边经过点P （－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值．
3．进一步理解任意角三角函数的概念
问题6：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？
设计意图：研究一个函数，就要研究其三要素，而三要素中最本质的则是对应法则和定义域．三角函数的对应法则已经由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域．通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．
师生活动：学生求出定义域，教师进行整理．
问题7：上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？
设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想．
师生活动：学生回答，教师整理．
例2：求证：（1）当不等式组⎩⎨⎧><0
tan ,0sin θθ成立时，角θ为第三象限角；
（2）当角θ为第三象限角时，不等式组⎩
⎨⎧><0tan ,0sin θθ成立． 设计意图：通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念．
师生活动：在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练．
问题8：既然我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？
设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想． 师生活动：在教师引导下，由学生讨论完成．
例3：先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值：
（1）sin 4π9； （2）cos 3π； （3）tan ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-6π11； （4）cos ()︒-672． 设计意图：将确定函数值的符号与求函数值这两个问题合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念．
师生活动：先完成题（1），再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题．
4．练习
1．填表：。