《任意角的三角函数》教学设计
任意角的三角函数的定义教案
教 案课题：《任意角的正弦函数、余弦函数、和正切函数》教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别；3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
教学重点：1. 任意角的三角函数的定义；2. 运用任意角的三角函数的定义求函数值。
教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；教学方法：1. 情境教学法；2. 问题驱动教学法。
教学过程：一、 复习引入（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。
这节课我们要研究的问题是任意角的三角函数。
初中阶段我们学习了锐角的三角函数。
【问题1】在直角三角形中，锐角的三角函数是怎样定义的？（学生回答）【问题2】如图，在R t △ABC 中，求sin α,cos α,tan α。
（学生口答）sin α= cos α=tan α=二、 新授知识【目标一】任意角的三角函数的定义是什么？【情境二】事实上，锐角的三角函数定义，可以看作是在角的锐角的一边上任取一点，构造一个直角三角形，用直角三角形的边之比来定义。
我们可以看出，取的点不同，所构造的三角形的大小也不一样。
α的各三角函数值与所构造的三角形的A CB α sin BC AB α=cos AC AB α=tan BC AC α=3 4 535443大小有关吗？（无关，由三角形相似的性质可以得到。
）【情境三】角的概念推广之后，角可以是任意大小，把角放在直角三角形中定义它的三角函数显然已经达不到要求，必须寻求一种新的方法！前面我跟同学们暗示过：今后在研究任意角的相关时，我们常常把角放在坐标系里进行研究！【问题四】任意角在坐标系中是如何放置的？（学生回答）将角的顶点放在原点，始边与x轴正半轴重合。
角的终边可能会落在某一象限内，也可能在坐标轴上。
4.2任意角的三角函数(教学设计)-中职《数学》(高教版)
§4.2任意角的三角函数一、学习要求：理解任意角的三角函数的定义，熟记三角函数在各个象限内的符号，了解各三角函数线，能作出已知角在单位圆中的三角函数线。
二、学习重点、难点：重点：任意角三角函数的定义；三角函数在各个象限内的符号；求三角函数值。
难点：三角函数线三、学时安排：共2学时第一学时：学习任意角饿三角函数定义，和三角函数在各个象限的符号，并理解和运用。
第二学时：学习三角函数线，通过三角函数线求三角函数值（不编写学案）。
四、学习过程：第一学时（一）课前尝试1、学习方法：认真阅读课本P.165-167内容，注意理解三角函数的定义，符号法则的推出过程及作用。
2、尝试练习：（1）已知P（1,-2）是角α终边上一点，求α的三个三角函数值。
（2）确定下列三角函数值的符号：sin(740)-︒19 tan()6π-（二）课堂探究：1、探究问题在初中，我们学习了锐角的三角函数值，当角的概念推广以后，对于一个任意角的三角函数，应该如何求呢？比如：sin120︒ 7cos()6π tan300︒ 等等 2、知识链接：回忆： （1）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A α∠=，则sin α= cos α= tan α=（2）把上述Rt ABC ∆放置在直角坐标中，如图所示：sin α= cos α= tan α=（3）任意角的三角函数定义：图4-2-1 图4-2-2 图4-2-3（4）三角函数在各个象限内的符号法则：y y yO x O x O xαsin αcos αtan图4-2-43、拓展练习：（1）P.166例2 P 点的坐标还可怎么取？（2）思考：为什么正弦函数、余弦函数的定义域为R ，正切函数的定义域不是R ？4、当堂训练：书本上P.167.课内练习1。
5、归纳总结：（三）课后拓展：1.已知角α终边经过点(3,4),(0)P t t t <，求sin ,cos ,tan ααα的值。
《任意角的三角函数》教学设计
《任意角三角函数》教学设计一、教学内容分析本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。
在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
二、学生情况分析本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。
以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。
三、教学目标知识与技能目标：借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。
方法与过程目标：在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。
情感态度与价值观：在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。
四、教学重、难点分析：重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。
五、教学方法与策略：教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用"启发探索、讲练结合”的方法组织教学.六、教具、教学媒体准备：为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维教学过程一、情景设置：问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的?（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评）/ P锐角三角函数的定义：在直角厶OAF中，/ A是直角，那么/问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表/示锐角三角函数呢？ _______/P（学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤 )建立平面直角坐标系，设点 P 的坐标为（x ，y ）,那么|OP|=J x 2 • y 2，于是问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点 P 有何关系？这说明三角函数值的决定量是什么？学生互动：锐角:-的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点 P 的位置无关,可以利用相似三角形证明•教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关，----- 仅与角〉有关• 问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗? 学生回答：对于确定的角：•，比值-,-,-都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角 :-的r r x函数•问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？r( . x 2 y 20)，我们规定:取r=1，即选取角:-终边与单位圆的交点为P （x ，y ），r ry贝U sin 二=y, cos 二=x, tanx三角函数正弦函数余弦函数正切函数对应法则自变量y*请你给出任意角的三角函数定义。
《数学》教案：任意角的三角函数
（1） ；（2） ；
（3） ．
提问
巡视
指导
思考
动手
解答
交流
通过课堂练习及时了解学生对知识的掌握情况
归纳总结
1．任意角的正弦、余弦和正切函数。
2．各象限角的三角函数值的正负号。
3．界限角的三角函数值。
回顾
总结
思考
记忆
通过归纳总结，回顾所学知识
课后练习
完成教材中习题4.2
通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解
通过表格讲述各象限角三角函数的正负号
通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解
讲解界限角的三角函数值
通过例题加深学生理解
理解应用
练习4.2.1
1．已知点 为角 的终边上的一点，且 ，那么 ______．
2．已知点 为角 的终边上的一点，则 ______．
表4-4
所在象限
点P的坐标
x
y
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
例2判断下列各三角函数值的正负号：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
解（1）因为 角是第三象限的角，所以 ．
（2）因为 角是第四象限的角，所以 ．
（3）因为 ， 角是第一象限的角，所以 角也是第一象限的角， ．
（4）因为 ， 角是第四象限的角，所以 角也是第四象限的角， ．
第4章三角函数
课题4.2任意角的三角函数
【教学目标】
1．掌握任意角的正弦、余弦和正切函数。
2．掌握三角函数的正负号，了解用计算器进行角度与三角函数值转换。
【教学重点】
任意角的正弦、余弦和正切函数及三角函数的正负号。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案主题：任意角的三角函数目标：1.了解任意角的定义；2.掌握任意角的弧度制和角度制的互相转换；3.学习任意角的正弦、余弦和正切函数的定义和性质。
正文：一、任意角的定义任意角是指大于零度小于360度的角。
在平面直角坐标系中，我们可以根据终边在坐标面上的位置，求出任意角的正弦、余弦和正切函数值。
二、弧度制和角度制的互相转换弧度制是一种以弧长作为衡量角度大小的制度，它规定一个圆周的长度是这个圆的半径 r 的π倍，因此一个完整的圆周就是2πr。
1圆周角对应弧度是2π，1度对应弧度是π/180。
弧度制和角度制互相转换的公式如下：•弧度制转角度制：角度 = 弧度x (180/π)•角度制转弧度制：弧度 = 角度x (π/180)三、正弦、余弦和正切函数的定义和性质对于一个任意角θ，其正弦、余弦和正切函数分别定义如下：•正弦函数sinθ = 纵坐标/半径•余弦函数cosθ = 横坐标/半径•正切函数tanθ = 纵坐标/横坐标以下是正弦、余弦和正切函数的性质：•正弦函数是奇函数，即 sin(-θ) = -sinθ；•余弦函数是偶函数，即 cos(-θ) = cosθ；•正弦函数和余弦函数的最大值和最小值均为1和-1；•正切函数的值域为实数集 R。
四、练习题1.次半径为 3cm 的圆弧所对圆心角为60°，它的弧长是多少？2.弧长为π/2 的圆弧，对应的圆心角是多少度？3.求证：tanθ = sinθ/cosθ。
结语任意角是三角函数的基础，掌握任意角的相关概念和性质，对于数学学科的进一步学习和应用都具有重要的意义。
五、课堂实践以下是可以引导学生进行课堂探究的问题：1.如何用平面直角坐标系表示任意角？2.如何求一个任意角的正弦、余弦和正切函数值？3.什么情况下某个任意角的正弦函数等于1/2？4.如果一条直线的斜率为k，那么这条直线和横轴正的夹角是多少度？六、作业布置1.任意角的弧度制和角度制互相转换；2.计算下列问题：•sin(π/6)，cos(π/3)，tan π/2•sin210°，cos240°，tan(-135°)3.根据课堂所学，自己准备5道习题，进行练习。
《任意角的三角函数》 教学设计
《任意角的三角函数》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
（2）掌握三角函数在各象限的符号。
（3）能够根据角的终边上的点的坐标求出三角函数值。
2、过程与方法目标（1）通过单位圆的引入，经历从锐角三角函数推广到任意角三角函数的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
（2）通过三角函数的定义的探究，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）通过数学知识的探究和应用，感受数学的严谨性和实用性，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生的数学素养。
二、教学重难点1、教学重点任意角三角函数的定义。
2、教学难点用坐标法定义任意角的三角函数。
三、教学方法讲授法、讨论法、探究法四、教学过程1、导入新课（1）复习锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别是对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。
（2）提出问题：对于任意角，如何定义三角函数呢？2、新课讲授（1）单位圆的概念在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。
（2）任意角三角函数的定义设角α的终边与单位圆交于点 P(x,y)，则定义：正弦函数：sinα ＝ y余弦函数：cosα ＝ x正切函数：tanα ＝ y/x （x≠0）（3）三角函数在各象限的符号根据角α终边上点的坐标的正负，确定三角函数值在各象限的符号。
3、例题讲解例 1：已知角α的终边经过点 P(3,－4)，求角α的正弦、余弦和正切值。
解：因为 x ＝ 3，y ＝－4，所以 r ＝√（3²＋（－4)²) ＝ 5sinα ＝ y/r ＝－4/5cosα ＝ x/r ＝ 3/5tanα ＝ y/x ＝－4/3例 2：确定角α所在的象限，使得sinα ＞ 0 且cosα ＜ 0。
解：因为sinα ＞ 0，所以角α的终边在第一、二象限或 y 轴的正半轴上；因为cosα ＜ 0，所以角α的终边在第二、三象限或 x 轴的负半轴上。
任意角的三角函数教学设计
“任意角的三角函数”教学设计一、教学目标1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；2．会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值；3．会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量、函数值；4．体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法．二、教学重难点重点：理解任意角三角函数的定义。
难点：引导学生将任意角的三角函数的定义强化，帮助学生真正理解定义。
三、教学过程设计（一）教学情境复习锐角三角函数的定义问题1 对于三角函数我们并不陌生，初中学过锐角三角函数，你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗？任意画一个锐角α，你能借助三角板，根据锐角三角函数的定义找出sinα的值吗？（设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义。
）(二) 认识任意角三角函数的定义问题2 你能借助象限角的概念，用直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗？即将三角函数值用终边上点的坐标表示出来。
，对于这些比值 ，我们以前称之为锐角α的正弦、余弦和正切，统称为锐角α的三角函数。
当角α确定后，比值xy r x r y ,,也是唯一确定的，而与P 点在角终边上的位置无关。
当α是锐角时，x y r x r y ,,（设计意图：比值“坐标化”，与点在终边上的位置无关。
）问题3 既然当角确定后，三角函数值与点P 在终边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，使三角函数的形式更简单？（设计意图：在求简意识的指引下，自然地引出单位圆，同时在对圆周运动寻求函数关系的求解的过程中体会它与锐角三角函数之间的内在联系。
）当α是锐角时，设P (x ,y )是α的终边与单位圆的交点，那么当r=1,则y 就称为锐角α的正弦，x 就称为锐角α的余弦， 就称为锐角α的正切. 记为：类似地，我们可以将锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数： 设α是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为P (x ,y ),则y 叫做α的正弦,记作sin α= y . x 叫做α的余弦,记作c o s α=x ; 叫做α的正切,记作t a n α= 任意角α的正弦、余弦和正切,统称为任意角α的三角函数.x y xy x y ===αααtan ,cos ,sin xy问题4 你能说明上述定义符合函数定义的要求吗？ （设计意图：让学生用函数的三要素说明定义的合理性，以此进一步明确三角函数的对应法则、定义域和值域。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案一、教学目标1、了解任意角的概念及其特点。
2、掌握任意角的三角函数的定义及其性质。
3、能够运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题。
二、教学重点与难点1、任意角的概念及其特点。
2、任意角的三角函数的定义及其性质。
三、教学准备1、教材：《数学教材》2、教具：黑板、粉笔等。
四、教学过程（一）任意角的概念及其特点（10分钟）1、引入：同学们，我们之前学过的三角函数是在直角三角形中定义的，那么在直角以外的三角形中，是否可以定义三角函数呢？请看下面的图形。
2、呈现：通过黑板上画出一般三角形，告诉同学们这样的三角形中可以定义任意角。
3、引导：我们称这样的角为任意角，那么任意角有什么特点呢？4、总结：任意角的特点是：角度大小可以是任意的，不限于某个固定角度。
（二）任意角的三角函数的定义及其性质（20分钟）1、引入：同学们，我们知道在直角三角形中，三角函数是通过三角比来定义的。
那么在任意角中，我们应该如何定义三角函数呢？2、定义：通过黑板上画出一个一般的任意角，引导同学们回忆起直角三角形中的正弦、余弦、正切三角比的定义，告诉同学们这些三角比的定义可以推广到任意角中。
3、总结：定义任意角的三角函数如下：正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ等。
4、性质：通过黑板上列举一些性质，告诉同学们这些性质与直角三角形中的三角函数性质相似，但是要根据勾股定理和正负分区来进行判断。
5、示例：通过黑板上画出一些示例题，引导同学们运用任意角的三角函数定义和性质进行计算。
（三）运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题（40分钟）1、引入：同学们，任意角的三角函数不仅可以用来计算角度大小，还可以用来解决与实际问题相关的应用题。
请看下面的例子。
2、示例：通过黑板上列举一些实际问题相关的计算和应用题，引导同学们运用任意角的三角函数来解决这些问题。
3、练习：同学们进行课堂练习，通过黑板上列举一些练习题，让同学们在课堂上进行解答。
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《任意角的三角函数》教学设计
高一级王拴礼
一、学情分析
在初中学生学习过锐角三角函数。
因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。
学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学
生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会
到新知识的发生是可能的，自然的。
二、教学目标分析
（一）知识与技能
1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；
2．已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3．记住三角函数的定义域、值域以及象限符号。
（二）过程与方法
锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．引导学生把这个定义推
广到任意角，通过单位圆和角的终边，探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角
三角函数的定义．根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域、象限符号。
（三）情感、态度与价值观
1．使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；
2．通过共同探究，发现新知的过程，培养学生团结协作的意识以及大胆猜想、勇于探索的科学精神．
三、教学重点、难点分析
（1）教学重点
三角函数是函数的一个特例，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之
间的关系，认识新概念的本质属性。
因此本课时的教学重点是：通过概念的同化与精致过程，帮助学生理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函
数值在各象限的符号），并在这个过程中突出单位圆的作用。
（二）教学难点
本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段研究过锐角三角函数，研究范围
是锐角；研究方法是几何的，没有坐标系的参与；研究目的是为解直角三角形服务。
以上
三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其学生的
主体作用。
具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的
新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函数
问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活
了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的
研究内容做好铺垫。
1
a
n d
e i r
b e
e g
o o
d f。
，它与原点的距离．过的长度为X ，线段的长度为y ．则：
MP ；
O
单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．
n d
l l a r
e g
o o
d f
o r
s o 说明：（1）当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标π
π()2k k α=
+∈Z αy 都等于，所以无意义，除此情况外，对于确定的值，上述三个值都是唯
0tan y
x
α=α一确定的实数．
（2）当是锐角时，此定义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角函
αα求的正弦、余弦和正切值。
OC=
，，所以点的坐标是。
根据定义可得：。