【数学】2015-2016年广东省广州市实验中学高一(上)数学期中试卷带答案
广东省广州市实验中学2015-2016年度高二上学期期中考试理科数学试卷-Word版
广东实验中学2015—2016学年（上）高二级模块二考试理 科 数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
第一部分选择题（共60分）一、(每题5分，共60分)1．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A .球B .三棱锥C .正方体D .圆柱2．直线013=++y x 的倾斜角是( )A .030 B . 060 C . 0120 D . 0135 3．若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ）A .过P 只能作一条直线与平面α相交B .过P 可作无数条直线与平面α垂直C .过P 只能作一条直线与平面α平行D .过P 可作无数条直线与平面α平行 4．点)1-,1(到直线01=+-y x 的距离是( )A ．21 B ．32C ．2D ．25．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题 ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n ②若βαβα//,,则⊥⊥m m ③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ④若n m n m //,,,//则=βαα其中正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．设直线012:1=--my x l ，01)1(:2=+--y x m l .若 21//l l ，则m 的值为（ ） A .2 B . -1 C . 2或 -1 D . 1或-27．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD所成角的余弦值为（ ）A . 10B . 15C . 10D . 358．若变量y x ,满足0135=++y x ），且（123≠≤≤-x x ，则 11--x y 的取值范围是( ) A. 4 -43≤≥k k 或 B. 434-≤≤k C. 443≤≤k D. 443-≤≤k 9．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点,,P PB αα∉⊥且 .PC AC ⊥那么，动点C 在平面α内的轨迹是( )A .一条线段，但要去掉两个点B .C .一个椭圆，但要去掉两个点D .10．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( )A .(0，4)B .(0，2)C .(－2，4)D .(4，－2)11.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为060的菱形， 则该棱柱的体积等于（ ）A B . C . D .12.如图，在体积为2的三棱锥A —BCD 侧棱AB 、AC 、AD AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 棱锥O —BCD 的体积等于（ ） A ．91 B ．81 C ． 71D ．72AB CDEFPCEDB第二部分非选择题（90分）二、 填空题(每题5分，共20分)13．某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是14．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为15．如图四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，且=AD BC 3，过1,,A C D 三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ，则以下四个结论：①1;QC A D ∥②12;B Q QB =③直线1A B 与直线CD 相交； ④四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积相等. 其中正确的有16．已知ABC ∆中，顶点)12-(，A ，点B 在直线l ：03-=+y x 上，点C 在x 轴上，则A B C ∆周长的最小值 . 三、解答题（共6大题，共计 70分）17.（本题10分）如图，在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：（1）直线EF ∥面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ．18．（本题12分）根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； （2）直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.19.（本题12分）如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,3,.,2ABC PC ACB D E π=∠=分别为线段,AB BC上的点，且2 2.CD DE CE EB ====（1）证明：DE ⊥平面PCD ； （2）求二面角A PD C --的余弦值.20.（本题12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥ ，12AB AA =，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点． （1）若DE ∥平面11A MC ，求CEEB； （2）求直线BC 和平面11A MC 所成角的余弦值．21.（本题12分）已知函数xax x f +=)(的定义域为),0(∞+，且222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、.（1）问：||||PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（2）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.22.（本题12分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别在边CD ，CB 上，点E 与点C ，D 不重合，EF ⊥AC ，EF ∩AC ＝O .沿EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED .当PB 取得最小值时，请解答以下问题： （1）求四棱锥P-BDEF 的体积；（2）若点Q 满足λ=(0>λ)，试探究：直线OQ 与平面PBD 所成角的大小是否一定大于π4？并说明理由．第20题图ABCDE F广东实验中学2015—2016学年（上）高二级模块二考试数 学（理科）答案及评分标准一、选择题1～12 DCDDD ACABB BD 二、填空题 13.π31014. x －2y ＋4＝0 15. ①② 16. 132 三、解答题17.（本题10分）证明：（1）∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点． ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ． ——2分 ∵ EF ∥AD ，EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，——3分 ∴直线EF ∥面ACD ．——4分（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ． ——5分 ∵CB=CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD ． ——6分 又EF∩CF=F ，EF 、CF ⊂面EFC ——7分 ∴BD ⊥面EFC ． ——8分 ∵BD ⊂面BCD ， ——9分 ∴面EFC ⊥面BCD ． ——10分18.（本题12分）解：(1)若截距不为0，设直线的方程为x a ＋ya ＝1， ——1分∵直线过点(－3，4)，∴－3a ＋4a ＝1，解得a ＝1. ——2分此时直线方程为x ＋y －1＝0. ——3分 若截距为0，设直线方程为y ＝kx ，代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43， ——4分此时直线方程为4x ＋3y ＝0. ——5分 综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋3y ＝0. ——6分(2)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x －5＝0.——8分 当直线斜率存在时，设其方程为y －10＝k(x －5)，即kx －y ＋(10－5k)＝0.——9分 由点到直线的距离公式，得||10－5k 1＋k2＝5，解得k ＝34. ——10分 此时直线方程为3x －4y ＋25＝0. ——11分综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. ——12分19．（本题12分）（1）证明：∵⊥PC 平面 ABC,ABC DE 平面⊂, ∴DE PC ⊥,① ——2分 又∵2,2===CE DE CD ,∴222CE DE CD =+ ∴DE CD ⊥② ——4分由①、②，C PC CD = ,PCD PC CD ,平面⊂, ∴DE ⊥平面PCD ——6分 （2）过 A 作 AH ∥DE 交 CD 于 H ，则⊥AH 平面PCD ，过H 作 HM PD ⊥, 连接AM ，则 AMH ∠为二面角A PD C --所成的平面角. ——8分 在 AHC Rt ∆中，42322==AC AH , ——9分 ∵DMH ∆∽DCP ∆,∴11423=⇒=MH PD PC HD MH ——10分 ∴63cos 1111423423tan =∠⇒===∠AMH MH AH AMH ——11分 故二面角A PD C --的余弦值为63. ——12分20.（本题12分）（1）取BC 中点为N ，连结1,MN C N ， ——1分∵,M N 分别为,AB CB 中点 ∴MN ∥AC ∥11A C ， ∴11,,,A M N C 四点共面， ——3分 且平面11BCC B ⋂平面11A MNC 1C N =又⊂DE 平面11BCC B ，且DE ∥平面11A MC ∴DE ∥1C N ∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点， ——5分 ∴13CE EB =． ——6分 （2）连结1B M ，因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴⊥1AA 平面ABC ∴AB AA ⊥1，即四边形11ABB A 为矩形，且12AB AA = ∵M 是AB 的中点，∴M A M B 11⊥，又⊥11C A 平面11ABB A ，∴M B C A 111⊥，从而⊥M B 1平面11A MC ，∴1MC 是11B C 在平面11A MC 内的射影， ∴11B C 与平面11A MC 所成的角为∠11B C M ——9分 又11B C ∥BC ，∴直线BC 和平面11A MC 所成的角即11B C 与平面11A MC 所成的角 ——10分 设122AB AA ==，且三角形11A MC 是等腰三角形，∴111A M AC ==12MC =，11B C =∴36cos 11111==∠C B MC M C B∴直线BC 和平面11A MC 所成的角的余弦值为3． ——12分21.（本题12分） 解：（1）∵ 22222)2(+=+=a f ，∴ 2=a . ——1分 设点P 的坐标为),(00y x ，则有0002x x y +=，00>x ，——2分 由点到直线的距离公式可知：0000||,12||||x PN x y x PM ==-=， ——4分 故有1||||=⋅PN PM ，即||||PN PM ⋅为定值，这个值为1. ——5分（2）由题意可设),(t t M ，可知),0(0y N .∵ PM 与直线x y =垂直，∴ 11-=⋅PM k ，即100-=--tx ty ，解得 )(2100y x t +=，又0002x x y +=，∴ 0022x x t +=. ——8分 ∴22212+=∆x S OPM ， 222120+=∆x S O P N ——10分 ∴ 212)1(212020+≥++=+=∆∆x x S S S OPN OPM OMPN , 当且仅当10=x 时，等号成立. ——11分 ∴ 此时四边形OMPN 面积有最小值21+. ——12分22. （本题12分）解：（1）∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED=EF ,PEF PO 平面⊂EF PO ⊥,∴ABFED PO 平面⊥, ——1分不妨设x CE =，在POB Rt ∆中，166232222+-=+=x x OB PO PB ，——3分 当且仅当2=x ，即 E 为 CD 中点时，PB 取得最小值. ——4分1(24)332P BFED V -+=⋅= ——5分（2）令 AC 与 BD 的交点为 M ，∵λ=，所以 Q 在线段AP 上， ——6分 设OQ 与平面 PBD 的交点为N ，则 N 在线段PM 上， 过 O 作PM OH ⊥于 H ，则 可证 PBD OH 平面⊥, ——8分ONH ∠为 直线 OQ 与平面 PBD 所成的角， ——9分∵POM Rt ∆是等腰三角形，∴4π=∠=∠MPO PMO ， ——10分∴ONH ∠>PMO ∠或ONH ∠>MPO ∠（三角形外角大于内角） ——11分即 4π>∠ONH ，所以直线 OQ 与平面 PBD 所成角一定大于π4. ——12分。
【百强校】2015-2016学年广东实验中学高一下期中数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年广东实验中学高一下期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：157分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若a,b,c 成等比数列，且，则角A 的大小及的值分别为（ ）A ．B ．C ．D ．2、数列的前项和为，则（ ）A ．B ．30C ．28D ．143、利用基本不等式求最值，下列运用正确的是（ ）A ．B ．C ．已知，D ．4、已知数列的通项公式为，则当n 等于（ ）时，取得最小值？A ．16B ．17C ．18D ．16或175、下列命题中正确的个数是（ ）①；②；③；④A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6、在数列中，，，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．7、在中，若，则一定是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形8、设等差数列的前项和为，若，，则（ ）A ．63B ．45C ．36D ．279、在中，，，，则的值为（）A ．B ．C ．或D ．不存在11、设，则的大小关系为（）A． B． C． D．不能确定12、已知等差数列中，，则该数列前9项和等于（）A．4 B．8 C．36 D．72第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、若数列满足，且，则通项________________.14、等差数列与等比数列之间是存在某种结构的类比关系的，例如从定义看，或者从通项公式看，都可以发现这种类比的原则. 按照此思想，请把下面等差数列的性质，类比到等比数列，写出相应的性质：若为等差数列，，则公差；若是各项均为正数的等比数列，，则公比_________________.15、关于的不等式的解集为________________.16、在锐角中，，，则的值等于____________.三、解答题（题型注释）17、设是函数的图象上的任意两点. （1）当时，求的值；（2）设，其中，求；（3）对于（2）中的，已知，其中，设为数列的前项的和，求证.18、设二次函数.（1）若 求的取值范围；（2）当时，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．19、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c. 已知.（1）求角的大小；（2）当时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积最大时△ABC 的形状.20、设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且，.（1）求数列、的通项公式；（2）若，为数列的前项和. 求.21、已知关于的函数.（1）当时，求函数的最小值，并求出相应的的值；（2）求不等式的解集.22、如图，角为钝角，且，点、分别是在角的两边上不同于点的动点.（1）若=5，=，求的长；（2）设，且，求和的值.参考答案1、B2、D3、D4、A5、C6、A7、D8、B9、C10、B11、A12、C13、14、15、16、17、（1）；（2）；（3）证明见解析．18、（1）；（2）．19、（1）；（2），等腰三角形．20、（1），；（2）．21、（1）；（2）．22、（1）；（2）．【解析】1、试题分析：成等比数列，，，，，，又，，．故选B．考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、等比中项．【思路点睛】先利用等比中项的概念表示出，得到，再利用余弦定理的推论得出，根据角的范围求出的值，再通过等量代换及正弦定理将转化为后再求.本题主要考查正弦、余弦定理，等比中项，同角三角函数的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．2、试题分析：，，，．故选D．考点：数列求和．【方法点睛】由，利用分组求和法和等差数列求和公式求.方法二：对于数列，往往考虑并项求和，注意考虑项数是奇数还是偶数．本题主要考查数列求和，属于基础题．3、试题分析：在A中不是常数，故A选项错误；在B中时无解，取不到最小值，故B选项错误；在C中未必为正，故C选项错误；在D中均为正，且时，取最小值，故D选项正确．故选D．考点：基本不等式．【思路点睛】利用基本不等式求最值时，要注意①各项皆为正数，②和或积为定值，③注意等号成立的条件．可概括为：一“正”，二“定”，三“相等”．在A中中不是定值，不满足条件②，在B中不成立，不满足条件③，在C中可能为负数，不满足条件①，而D选项满足基本不等式求最值的三个条件．本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题．4、试题分析：由得，，也就是说数列的前项均为负项，从第开始为正项，所以前项的和最小．故选A．考点：1、数列的性质；2、数列的通项公式．5、试题分析：①正确，不等式的同向可加性；②错误，反例：若，则不成立；③正确；④错误，反例：若，则不成立．故选C．考点：不等式的基本性质．6、试题分析：，，，，······，，以上各式左右两边分别相加得，，又适合上式，．故选A．考点：1、数列求和；2、由数列递推公式求通项公式．7、试题分析：由正弦定理及得，即，又均为三角形的内角，或，或．故选D．考点：1、正弦定理；2、二倍角公式．8、试题分析：由题设条件得，即，，．故选B．考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式．9、试题分析：据题意,由正弦定理,将，，代入可得,那么为或.故本题选.考点：余弦定理；特殊角的三角函数值10、试题分析：设等比数列的公比为，则，即，两式相除得．故选B．考点：等比数列的通项公式．11、试题分析：．故选A．考点：不等式的性质．12、试题分析：．故选C．考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和公式．13、试题分析：，，设，则，，即，又，是等比数列，其中首项为，公比为，，即，即，．所以答案应填：．考点：1、数列通项公式的求法；2、等比数列．【方法点睛】求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，本题中的递推式为（为常数）时，可同除，得，令从而化归为（为常数）型．求递推式形如（为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求．本题体现了数学中化未知为已知的化归思想，主要考查数列通项公式的求法和等比数列的概念，有一定的难度，属于压轴题．14、试题分析：由等比数列的通项公式得，，∵，∴，∴．所以答案应填：．考点：等差数列与等比数列的综合．【方法点睛】利用等比数列的通项公式，可得，结合条件，即可得到结论．本题考查类比推理，等比数列的公比与等差数列的公差进行类比．类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．简称类推、类比．它是以关于两个事物某些属性相同的判断为前提，推出两个事物的其他属性相同的结论的推理，是从特殊推向特殊的推理．本题还考查等比数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15、试题分析：，，所以不等式的解集为．所以答案应填：．考点：1、绝对值不等式；2、一元二次不等式组．16、试题分析：由正弦定理及已知得，．所以答案应填：．考点：1、正弦定理；2、二倍角公式．17、试题分析：（1）由已知条件和对数的运算性质求；（2）采用倒序相加法求，再求；（3）先求出数列的通项，对进行先放缩，再裂项，即可证得，因为，所以要证，只证即可．试题解析：（1），（2）①②两式子相加得（3），，，又，，故.另外的放缩方法：，，（）当时（从第4项开始放缩）检验当、、时不等式成立．考点：1、对数的运算性质；2、数列求和．【方法点睛】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，常用放缩法来解决，这类问题的求解策略是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：⑴添加或舍去一些项，如：；；⑵将分子或分母放大（或缩小）；⑶利用基本不等式放缩，如：等．本题第三小题中先放缩再求和，考查学生的思维能力和计算能力，属于压轴题．18、试题分析：（1）把和用含有的代数式表示，联立关于的方程组解出，然后把也用含有的代数式表示，最后转化为用和表示，由和的范围求得的范围；（2）法一：对分和两种情况进行讨论，即可求出实数的取值范围；法二：分离变量，构造函数，求出函数的最值，即可求出实数的取值范围．试题解析：（1）方法一：，，且.方法二：设，即，比较两边系数：，，下同方法一.（2）解法1：由于，图象的对称轴为，（1）当时，函数在时为增函数，要在成立，而，只需，即，则，此与矛盾，此不可能．（2）当时，若，即，则在时为增函数，要在成立，由于，只需，即，则，因此；若，即，要在成立，由于，只须，解得；综上，所求的的取值范围为．解法2：时，，即，即时，且恒成立，当时，显然，且均成立当时，恒成立，则，而在最大值为，∴当时，恒成立，则而在最小值为，∴，∴，而，因此所求的的取值范围为．考点：1、不等式的基本性质；2、函数的值域；3、函数的值．【易错点睛】本题考查了函数值的求法，训练了利用不等式求函数的值的范围，解答第一小题的关键是把转化为含有和的表达式，此题是易错题，学生往往会直接由和的范围联立求出和的范围，然后把用的代数式表示，由和的范围求解的范围，忽略了其中和是相关联的；在第二小题中，分类讨论时容易考虑不全，本题考查不等式的基本性质，分类讨论、函数与方程的数学思想以及分析解决问题的能力，有一定的难度，属于压轴题．19、试题分析：（1）由正弦定理将化为，再通过变形求，进而求出角；（2）法一：利用重要不等式和余弦定理得出，再由三角形的面积公式，可得△ABC面积的最大值，法二：先求出的外接圆的半径，再利用正弦定理将表示为函数，根据的范围求出面积的最大值即可．试题解析：（1）由，得又，，又，，（2）解法一：由余弦定理得，，即当且仅当时，“=”成立△ABC面积的最大值为，此时△ABC为等腰三角形.解法二：，由正弦定理，当，即时，△ABC面积的最大值为，此时△ABC为等腰三角形.考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角形的面积．20、试题分析：（1）首先利用条件求出公差，再利用的关系求出，根据，利用作差法求得；（2）先根据（1）写出数列的通项，因为为等差数列，是等比数列，所以是差比数列，再利用乘公比错位相减法求其前项的和．试题解析：（1）数列为等差数列，公差，可得由，令，则，又，所以.当时，由，可得. 即.所以是以为首项，为公比的等比数列，于是.（2）∴∴.，从而.（写成也可）考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的概念；3、数列求和．21、试题分析：（1）由已知可得，直接基本不等式求最值即可；（2）等价于，即且，即可得结果. 试题解析：（1）因为且当且仅当，即时，函数取得最小值.（2）由标根法得：原不等式的解集为.考点：1、基本不等式求最值；2、分式不等式的解法.22、试题分析：（1）先求，再利用余弦定理求出；（2）先求出的值，进而求出，，再利用，即可求得结论．试题解析：（1）是钝角，，在中，由余弦定理得：所以，解得或（舍去负值），所以（2）由. 在三角形APQ中，.∵,考点：1、和差角公式；2、余弦定理．。
广东省广州市实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试理科数学试卷答案
广东实验中学2015—2016学年（上）高二级模块二考试 数学（理科）答案及评分标准 一、选择题 1～12 DCDDD ACABB BD 二、填空题 13. 14. x－2y＋4＝0 三、解答题 17.（本题10分）证：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF ∥AD∵ EF∥AD ，EF面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD （2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD 又EF∩CF=F，EFCF面∴BD⊥面EFC∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD解：()若截距不为0设直线的方程为＋＝1直线过点(－3)，∴＋＝1解得a＝1.此时直线方程为x＋y－1＝0.若截距为0设直线方程为y＝kx代入点(－3)，有4＝－3k解得k＝－此时直线方程为4x＋3y＝0.综上所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋3y＝0.(2)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0.当直线斜率存在时设其方程为y－10＝k(x－5)即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式得＝5解得k＝此时直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.．平面 ABC,, ∴,① ——2分 又∵,∴∴② ——4分 由①、②，,, ∴平面 ——6分 （2）过 A作∥交 CD于 H，则平面，过H作 HM, 连接AM，则为二面角所成的平面角. ——8分 在中，, ——9分 ∵∽,∴ ——10分 ∴ ——11分 故二面角的余弦值为. ——12分 20.（本题12分）（1）取中点为，连结， ∵分别为中点∴∥∥，∴四点共面，且平面平面 又平面，且∥平面∴∥∵为的中点，∴是的中点，∴．连结，因为三棱柱为直三棱柱，∴平面∴，即四边形为矩形，且∵是的中点，∴，又平面，∴，从而平面∴是在平面内的∴与平面所成的角为∠ 又∥，∴直线和平面所成的角即与平面所成的角 设，且三角形是等腰三角形∴，则，∴ ∴直线和平面所成的角的余弦值为． 21.（本题12分） 解：（1）∵，∴ . ——1分 设点的坐标为，则有，， ——2分 由点到直线的距离公式可知：， ——4分 故有，即为定值，这个值为1. ——5分 （2）由题意可设，可知. ∵与直线垂直，∴，即， 解得，又，∴ . ——8分 ∴， ——10分 ∴ , 当且仅当时，等号成立. ——11分 ∴此时四边形面积有最小值. ——12分 22. （本题12分） 解：（1）∵平面PEF平面ABFED平面PEF平面ABFED, ,∴, ——1分 不妨设，在中，，——3分 当且仅当，即 E为 CD中点时，PB取得最小值. ——4分 ——5分 （2）令 AC与 BD的交点为 M，∵，所以 Q在线段AP上， ——6分 设OQ与平面 PBD的交点为N，则 N在线段PM上， 过 O作于 H，则可证 , ——8分 为直线 OQ与平面 PBD所成的角， ——9分 ∵是等腰三角形，∴， ——10分 ∴>或>（三角形外角大于内角） ——11分 即，所以直线 OQ与平面 PBD所成角一定大于. ——12分 F E D C B A。
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广东省实验中学高一上学期期中考试（数学）本试卷分两部分，共4页，满分150分，考试用时1。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则右图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82．设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果A ＝{1,2}，则A ∩B 为 ( )A ．∅B ．∅或{2}C ．{1}D ．∅或{1} 3．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．-1,1C ．-1,3D ．-1,1,34．设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833在=-+x x内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则据此可得该方程的有解区间是（ ）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定 5．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）A ．60.70.70.7log 66<< B ．60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<< D ．60.70.7log 60.76<<6．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-且0)2(=f ，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是（ ）A ．]5,2(B ．)0,2(-C ．]5,2(]5,2(⋃--xD ．(](2,0)2,5-7．函数112+=x y 的值域是（ ） A ．),1[+∞ B ．]1,0( C ．]1,(-∞ D ．),0(+∞8．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足)(x f ＜)1(f 的x 取值范围是( ) A ．（-1，1） B ．(-1，0） C ．（0，1） D ．[-1，1)9．a y x y =-=与函数|1|2的图象有4个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞） B ．(-1，1） C ．（0，1） D ．（1，+∞）10．设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则关于x 的不等式1)(≤x g 的解是（ ）A ．]1,(-∞B ．],(e -∞C ．],0[eD ．]1,0[二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 11．设函数)3(2log )(x x f -=，则函数)3(x f 的定义域是___________.12．设集合M ＝{x |x 2<a}，集合N ＝{x |21<<x }，若集合N 是集合M 的子集，则实数a 的取值范围是_________________. 13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()2xf x =，则(2)f -=___________. 14．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．指对数的运算 15．（本小题10分）已知5100=m ，210=n， (1)求n m +2的值.(2) x 1、x 2、…x 均为正实数，若函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)且f (x 1x 2…x )＝n m +2， 求f (21x )＋f (22x )＋…＋f (22010x )的值16．（本小题10分）设集合{}42<=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+=134x x B ．（1）求集合B A ；（2）若不等式022<++b ax x 的解集为B ，求a ，b 的值．17．（本小题10分）已知函数12121)(++-=xx f (1) 证明：函数f (x )是奇函数. (2) 证明：对于任意的非零实数x 恒有x f (x )<0成立.第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18．若32log 2)3(x f x=，则=+++)16()8()4()2(f f f f ____________.19．若关于x 的方程x x-=2，x x =21log ，212log x x=的解分别为123x x x ，，，则123x x x ，，的大小关系是_____>______>_____.五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 本小题13分）已知二次函数,)(2c ax x x f +-=（其中．．0c >） （1）试讨论函数)(x f 的奇偶性. （2）当)(x f 为偶函数时，若函数()()f x g x x=，试证明：函数)(x g 在),0(c 上单调递减，在),(+∞c 上单调递增； 21．（本小题满分13分）上的是定义在已知R )(x f 单调．．函数， :,总有对任意的实数n m ；)()()(n f m f n m f ⋅=+ 1)x (f 00x <<>时，且.（1）证明：f(0)=1且x<0时f(x)>1; （2）.a 412x)-f(a 1)x (f 161)4(f 2的取值范围恒成立的参数对任意实数时，求使当x ≤⋅-=22．（本小题满分14分）已知函数kx x x x f ++-=221)(，且定义域为（0，2）. (1）求关于x 的方程kx x f =)(+3在（0，2）上的解；（2）若)(x f 是定义域(0，2)上的单调函数，求实数k 的取值范围；（3）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个不同的解21,x x ，求k 的取值范围。
广东省广东实验中学高一数学下学期期中试卷(含解析)
广东省广东实验中学2015-2016学年高一数学下学期期中试卷（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知等差数列{}n a 中，873=+a a ，则该数列前9项和9S 等于（ ）A ．4B ．8C ．36D ．72 【答案】C 【解析】 试题分析：193799()9()9836222a a a a S ++⨯====．故选C ． 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式．2．设)3)(1(,4)2(2--=+-=a a N a a M ，则N M ,的大小关系为（ ）A ．N M >B ．N M <C ．N M =D ．不能确定 【答案】A 【解析】试题分析：22(2)4(1)(3)10M N a a a a a -=-+---=+>．故选A ． 考点：不等式的性质．3．已知{}n a 为等比数列，若841=+a a ，263=+a a ，则公比q 的值为（ ） A ．2± B ．21± C ．2 D ．21 【答案】B考点：等比数列的通项公式．4．在ABC ∆中，4=a ，24=b ，︒=30A ，则B 的值为（ ）A ．︒45B ．︒135C ．︒45或︒135D ．不存在 【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理得sin 30sin 42︒===b A B a ，又0180︒<<︒B 45∴=︒B 或135=︒B ．故选C ．考点：正弦定理．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．27 【答案】B考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和公式． 6．在ABC ∆中，若0cos cos =-B b A a ，则ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理及0cos cos =-B b A a 得sin cos sin cos 0A A B B -=，即sin 2sin 2A B =，又,A B 均为三角形的内角，22∴=A B 或22180+=︒A B ，∴=A B 或90+=︒A B ．故选D ．考点：1、正弦定理；2、二倍角公式．7．在数列{}n a 中，11=a ，)1(11-=--n n a a n n ，则n a ＝（ ）A ．n 12-B ．n 11-C ．n 1D ．112--n【答案】A 【解析】试题分析：11(1)n n a a n n --=-，21112a a ∴-=⨯，32123a a -=⨯，43134a a -=⨯，······， 11(1)(1)n n a a n n n --=>-，以上各式左右两边分别相加得11111122334(1)-=++++⨯⨯⨯-n a a n n111111112231=-+-++-=--n n n ，11112n a a n n∴=+-=-，又11=a 适合上式，12n a n∴=-．故选A ．考点：1、数列求和；2、由数列递推公式求通项公式． 8．下列命题中正确的个数是（ ）①,a b c d a c b d >>⇔+>+；②,a ba b c d d c>>⇒>；③22||||a b a b >⇔>； ④ba b a 11<⇔> A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 【答案】C考点：不等式的基本性质．9．已知数列{}n a 的通项公式为503-=n a n ，则当n 等于（ ）时，n S 取得最小值？A ．16B ．17C ．18D ．16或17 【答案】A 【解析】试题分析：由3500n a n =->得，5021633>=n ，也就是说数列{}n a 的前16项均为负项，从第17开始为正项，所以前16项的和最小．故选A ． 考点：1、数列的性质；2、数列的通项公式．10．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是（ ） A．0442422≥=⋅≥+=x xx x x y B ．)(4sin 4sin 2sin 4sin 为锐角x xx x x y =⋅≥+= C ．已知0≠ab ，22=⋅≥+a b b a a b b a D ．43432343=⋅≥+=x x x x y 【答案】D考点：基本不等式．【思路点睛】利用基本不等式求最值时，要注意①各项皆为正数，②和或积为定值，③注意等号成立的条件．可概括为：一“正”，二“定”，三“相等”．在A 中满足条件②，在B 中4sin sin x x=不成立，不满足条件③，在C 中,a bb a 可能为负数，不满足条件①，而D 选项满足基本不等式求最值的三个条件．本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题．11．数列)23()1(,,10,7,4,1----n n的前n 项和为n S ，则=+2011S S （ ）A ．16-B ．30C ．28D ．14 【答案】D 【解析】 试题分析：(1)(32)n n a n =--，111357911246810()()∴=++++++++++S a a a a a a a a a a a(1713192531)(410162228)16=-++++++++++-，2013192420()()=+++++++S a a a a a a1)(155)10(458)(1755)(41058)3022++=-+++++++=-+=，1120163014S S ∴+=-+=．故选D ．考点：数列求和．【方法点睛】由(1)(32)nn a n =--，利用分组求和法和等差数列求和公式求1120S S +.方法二：11(14)(710)(3112)533116,S =-++-++-⨯-=⨯-=-[]20(14)(710)(3192)(3202)10330,S =-++-+++-⨯-+⨯-=⨯=对于数列{}(1)nna -，往往考虑并项求和，注意考虑项数是奇数还是偶数．本题主要考查数列求和，属于基础题．12．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，若a ,b ,c 成等比数列，且bc ac c a -=-22，则角A 的大小及cBb sin 的值分别为（ ） A ．21,6π B ．23,3π C ．21,3π D ．23,6π 【答案】B考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、等比中项．【思路点睛】先利用等比中项的概念表示出2b ac =，得到222b c a bc +-=，再利用余弦定理的推论得出cos A ，根据角A 的范围求出A 的值，再通过等量代换及正弦定理将cBb sin 转化为sin A 后再求.本题主要考查正弦、余弦定理，等比中项，同角三角函数的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13．在锐角ABC ∆中，1=BC ，A B 2=，则AACcos 的值等于____________. 【答案】2 【解析】试题分析：由正弦定理及已知得1sin sin 2=AC A A ，2cos ACA∴=．所以答案应填：2．考点：1、正弦定理；2、二倍角公式．14．关于x 的不等式46522-<+-x x x 的解集为________________. 【答案】{}2|>x x 【解析】试题分析：2222222564564125642x x x x x x x x x x x x >⎧⎧-+<-⎪⎪-+<-⇔⇔⎨⎨<->-+>-+⎪⎩⎪⎩或，2x ∴>，所以不等式的解集为{}2|>x x ．所以答案应填：{}2|>x x ． 考点：1、绝对值不等式；2、一元二次不等式组．15．等差数列与等比数列之间是存在某种结构的类比关系的，例如从定义看，或者从通项公式看，都可以发现这种类比的原则. 按照此思想，请把下面等差数列的性质，类比到等比数列，写出相应的性质：若{}n a 为等差数列，)(,n m b a a a n m <==，则公差mn ab d --=；若}{n b 是各项均为正数．．的等比数列， )(,n m b b a b n m <==，则公比=q _________________.【答案】mn ab -考点：等差数列与等比数列的综合．【方法点睛】利用等比数列的通项公式，可得n mn m b b q -=，结合条件，即可得到结论．本题考查类比推理，等比数列的公比与等差数列的公差进行类比．类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．简称类推、类比．它是以关于两个事物某些属性相同的判断为前提，推出两个事物的其他属性相同的结论的推理，是从特殊推向特殊的推理．本题还考查等比数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．16．若数列{}n a 满足11=a ，且nn n a a 241+=+，则通项=n a ________________. 【答案】11222---=n n n a 【解析】考点：1、数列通项公式的求法；2、等比数列．【方法点睛】求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，本题中的递推式为11+++=n n n q pa a （,p q 为常数）时，可同除1+n q，得111+⋅=++nnn n q a q p q a ，令n nn qa b =从而化归为q pa a n n +=+1（,p q 为常数）型．求递推式形如q pa a n n +=+1（,p q 为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列)1(11pqa p p q a n n -+=-++来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求．本题体现了数学中化未知为已知的化归思想，主要考查数列通项公式的求法和等比数列的概念，有一定的难度，属于压轴题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题满分10分） 如图，角A 为钝角，且53sin =A ，点P 、Q 分别是在角A 的两边上不同于点A 的动点. （1）若AP =5，PQ =35，求AQ 的长； （2）设βα=∠=∠AQP APQ ,，且1312cos =α，求)cos(βα+和)2cos(βα+的值.【答案】（1）2；（2）3365． 【解析】试题分析：（1）先求cos A ，再利用余弦定理求出AQ ；（2）先求出sin α的值，进而求出)cos(βα+，sin()αβ+，再利用[]cos(2)cos ()αβααβ+=++，即可求得结论．考点：1、和差角公式；2、余弦定理． 18．（本题满分10分） 已知关于x 的函数12)(-+=x x x f . （1）当),1(+∞∈x 时，求函数)(x f 的最小值，并求出相应的x 的值； （2）求不等式2)(-≥x f 的解集. 【答案】（1）3π；（2）5． 【解析】试题分析：（1）把()f x 的表达式21x x +-填凑成2(1)11x x -++-的形式，再利用基本不等式求最值；（2）先将2)(-≥x f 转化为分式不等式201x xx +≥-，再将其转化为不等式组(1)(1)01x x x x +-≥⎧⎨≠⎩，再利用数轴标根法得到原不等式的解集． 试题解析：（1）112)1()(+-+-=x x x f 且01>-x ……2分 122112)1(2+=+--≥x x ……4分 当且仅当121-=-x x ，即12+=x 时，函数)(x f 取得最小值122+. ……5分（2）212)(-≥-+=x x x f 0122≥-++⇔x x ……6分 012≥-+⇔x xx ……7分 ⎩⎨⎧≠≥-+⇔10)1)(1(x x x x ……8分由标根法得：原不等式的解集为{}101|>≤≤-x x x 或 ……10分 考点：1、基本不等式；2、分式不等式；3、高次不等式． 19．（本题满分12分）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且105=a ，147=a . （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n b a c 41=，n T 为数列{}n c 的前n 项和. 求n T . 【答案】（1）2n a n =，n n b 312⋅=；（2）n n n T 3143243⋅+-=．（2）n n n n n nn b a c 33224141=⋅⋅==……7分 ∴n n n T 313133123132⋅++⋅+⋅+=1323131)1(31231131+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n T ……8分∴1323131********+⋅-++++=n n n n T . ……10分 n n n n n 31632213311211+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+， 从而n n n T 3143243⋅+-=.（写成n n n n T 32314343⋅-⋅-=也可） ……12分 考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的概念；3、数列求和．20．（本题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c . 已知c c b B A B A +=+-)sin()sin(. （1）求角A 的大小；（2）当6=a 时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积最大时△ABC 的形状.【答案】（1）23π；（2）0sin cos 2sin =+∴B A B ，又0sin ≠B ，21cos -=∴A ……4分 ),0(π∈A ，32π=∴A ……5分考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角形的面积．21．（本题满分13分）设二次函数bx ax x f +=2)(.（1）若,2)1(1≤-≤f ,4)1(2≤≤f 求)2(-f 的取值范围；（2）当1=b 时，若对任意[0,1]x ∈，1()1f x -≤≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]5,10；（2）[2,0)-．（2）解法1： 由于2211()()24f x ax x a x a a=+=+-，()f x 图象的对称轴为12x a =-， （1）当0a >时，函数2()f x ax x =+在[0,1]x ∈时为增函数，要1()1f x -≤≤在[0,1]x ∈成立，而(0)0f =，只需(1)1f ≤，即11a +≤，则0a ≤，此与0a >矛盾，此不可能． ……8分（2）当0a <时， 若112a-≥，即102a -≤<，则2()f x ax x =+在[0,1]x ∈时为增函数， 要1()1f x -≤≤在[0,1]x ∈成立，由于(0)0f =，只需(1)1f ≤，即11a +≤，则0a ≤， 因此102a -≤<； ……10分 若112a -<，即12a <-，要1()1f x -≤≤在[0,1]x ∈成立，由于(0)0f =，考点：1、不等式的基本性质；2、函数的值域；3、函数的值．【易错点睛】本题考查了函数值的求法，训练了利用不等式求函数的值的范围，解答第一小题的关键是把(2)f -转化为含有(1)f -和(1)f 的表达式，此题是易错题，学生往往会直接由(1)f -和(1)f 的范围联立求出a 和b 的范围，然后把(2)f -用,a b 的代数式表示，由a 和b 的范围求解(2)f -的范围，忽略了其中a 和b 是相关联的；在第二小题中，分类讨论时容易考虑不全，本题考查不等式的基本性质，分类讨论、函数与方程的数学思想以及分析解决问题的能力，有一定的难度，属于压轴题．22．（本题满分13分）设()())(,,)(,2211x f x B x f x A 是函数xx x f -+=1log 21)(2的图象上的任意两点. （1）当121=+x x 时，求)()(21x f x f +的值；（2）设⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1111211n n f n n f n f n f S n ，其中*N n ∈，求n S ；（3）对于（2）中的n S ，已知211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n S a ，其中*N n ∈，设n T 为数列{}n a 的前n 项的和，求证 3594<≤n T . 【答案】（1）1；（2）2n ；（3）证明见解析．（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11211n n f n f n f S n ……① ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11111n f n n f n n f S n ……② ……3分 两式子相加得n n f n n f n n f n f S n n =+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 个1111111112……5分 2n S n =∴ ……6分当4≥n 时⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++-+++<+++=∴211161514254419421n n a a a T n n （从第4项开始放缩） 35542544194215142544194<+++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=n 检验当1=n 、2=n 、3=n 时不等式成立．考点：1、对数的运算性质；2、数列求和．【方法点睛】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，常用放缩法来解决，这类问题的求解策略是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：⑴添加或舍去一些项，如：a >；n >；⑵将分子或分母放大（或缩小）；⑶利用基本不等式放缩，如：(1)2n n ++<等．本题第三小题中先放缩再求和，考查学生的思维能力和计算能力，属于压轴题．。
2015-2016学年广东省实验中学高一上学期期末考试数学
2015-2016学年广东省实验中学高一上学期期末考试数学一、选择题（共10小题；共50分）1. 若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 A. 4 cm2B. 2 cm2C. 4π cm2D. 1 cm22. 设P是△ABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP，则 A. P，A，C三点共线B. P，A，B三点共线C. P，B，C三点共线D. 以上均不正确3. 角α的终边上有一点P m,5，且cosα=m13，m≠0，则sinα= A. 513B. −513C. 1213或−1213D. 513或−5134. 函数f x=−tan2x−tan x1+tan x的奇偶性为 A. 既奇又偶函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 奇函数5. 已知θ为第一象限角，设a=3,−sinθ ，b=cosθ,3，且a⊥b，则θ一定为 A. π3+kπk∈Z B. π6+2kπk∈ZC. π3+2kπk∈Z D. π6+kπk∈Z6. 下列结论中，一定正确的有 个①AB−AC=BC；② a⋅b⋅c=a⋅ b⋅c；③a⋅c=b⋅c，则a=b；④若e1，e2是平面内的一组基底，对于平面内任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1，λ2有无数对．A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个7. 若cosθ<0，且cosθ−sinθ=θ是 A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角8. 已知sinα=−45，π<α<3π2，则cosα2的值为 A. 55B. −55C. 255D. −2559. 已知点O是△ABC所在平面内一点，且OC 2+AB2=OB2+AC2=OA2+BC2，则点O是△ABC的 A. 垂心B. 外心C. 内心D. 重心10. 函数y=log12sin2x+π4的单调递减区间为 A. −π4+kπ,kπ ，k∈Z B. π8+kπ,3π8+kπ ，k∈ZC. −3π8+kπ,π8+kπ ，k∈Z D. −π8+kπ,π8+kπ ，k∈Z二、填空题（共5小题；共25分） 11. 1+tanπ121−tanπ12的值为______．12. 如图，若 AB =a ，AC =b ，BD =3DC ，则向量 AD 可用 a ，b表示为______．13. 已知 sin α+β =12，sin α−β =13，则 tan αtan β= ______．14. 课本介绍过平面向量数量积运算的几何意义：a ⋅b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影b cos ⟨a,b ⟩ 的乘积．运用几何意义，有时能得到更巧妙的解题思路．例如：边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，点 P 是正六边形内的一点（含边界），则 AP⋅AB 的取值范围是______．15. 已知函数 f x =cos2x + x ，在下列四个命题中：①函数的表达式可以改写为 f x =2cos 2x −π3 ；②当 x =kπ+π6 k ∈Z 时，函数取得最大值为 2；③若 x 1≠x 2，且 f x 1 =f x 2 =0，则 x 1−x 2=kπ2（ k ∈Z 且 k ≠0 ）；④函数 f x 的图象关于直线 x =2π3对称．其中正确命题的序号是______．三、解答题（共6小题；共78分） 16. 已知函数 f x =cos x−3π2 ⋅sin 5π2+x cos −x−π，g x = 2x −π4．（1）化简 f x ；（2）利用“五点法”，按照列表-描点-连线三步，画出函数 g x 一个周期的图象； （3）函数 g x 的图象可以由函数 f x 的图象经过怎样的变换得到?17. 已知 a =1， b = 3．（1）若 a ，b 的夹角为 π6，求 a −b ； （2）求 a +b 及 a ⋅b 的取值范围； （3）若 a −3b ⋅ 2a +b =12，求 a 与 b 的夹角 θ .18. 已知 tan α=−13，α∈ π2,π ．（1）化简sin 2α−cos 2α1+cos 2α，并求值．（2）若 β∈ π2,π ，且 cos α+β =−1213，求 sin α+β 及 cos β 的值．19. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻2:005:008:0011:0014:0017:0020:0023:00水深米7.5 5.0 2.5 5.07.5 5.0 2.5 5.0经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数f t=A sinωt+φ+b A,ω>0,φ<π2来描述．（1）根据以上数据，求出函数f t=A sinωt+φ+b的表达式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内\（\left（0：00\thicksim24：00\right）\）何时能进入港口然后离开港口?每次在港口能停留多久?20. 已知向量a=sin x,1，b=4,−2，函数f x=a⋅b，x∈R．（1）求函数f x的解析式；（2）设gθ=f2θ−π4，当θ∈π8,3π4时，gθ−k=0有解，求实数k的取值范围；（3）设 x=f xa2，求函数 x的值域．21. 已知函数f x对任意实数x均有f x=kf x+2，其中k为常数.（1）若k=−1，函数f x是否具有周期性?若是，求出其周期；（2）在（1）的条件下，又知f x为定义在R上的奇函数，且当0≤x≤1时，f x=12x，则方程f x=−12在区间0,2016上有多少个解?（写出结论，不需过程）（3）若k为负常数，且当0≤x≤2时，f x=x x−2，求f x在−3,3上的解析式，并求f x的最小值与最大值．答案第一部分1. D2. A3. A4. C5. B6. D7. C8. B9. A 10. D第二部分11. 312. 14a+34b13. 514. −12,3 215. ①②③④第三部分16. （1）f x=−sin x⋅cos x−cos x=sin x．（2）列表、画图如下：2x−πππ3π2πx π83π85π87π89π8f x020− 20（3）把f x的图象向右平移π4个单位，再把横坐标变为原来的12倍，最后把纵坐标变为原来的2倍；或先把横坐标变为原来的12倍，再向右平移π8个单位，最后把纵坐标变为原来的2倍．17. （1）因为a，b的夹角为π6，所以a⋅b=a⋅b⋅cosπ6=32，所以a−b 2= a−b2=a2+b2−2a⋅b=1+3−3=1，所以a−b=1．（2）由a−b≤a+b≤a+b得a+b∈3−1,3+1，由a⋅b≤a⋅b得a⋅b∈0,3．（3） a−3b⋅2a+b=12，所以2a2−5a⋅b−3b2=12．又a=1，b=3，所以a⋅b=−32．所以cosθ=a ⋅ba b =−32．因为θ∈0,π，所以θ=5π6．18. （1）sin2α−cos2α1+cos2α=2sinαcosα−cos2α2cos2α=tanα−12=−56．（2）因为α∈π2,π ，β∈π2,π ，所以α+β∈π,2π．又cosα+β=−1213，所以α+β∈ π,3π2．所以sinα+β=− 1−cos2α+β=−513，由tanα=−13，α∈π2,π ，得sinα=1010,cosα=−31010．cosβ=cosα+β−α=cosα+βcosα+sinα+βsinα= −12⋅ −310−5⋅10=3110130.19. （1）由表格知f max=7.5，f min=2.5，A=f max−f min2=52，b=f max+f min2=5．T=12，所以ω=2πT =π6，即f t=52sinπ6t+φ +5．当t=2时，π6⋅2+φ=π2+2kπ,k∈Z，解得φ=π6+2kπ,k∈Z，又φ<π2，所以φ=π6．所以f t=52sinπ6t+π6+5．（2）货船需要的安全水深为4.25+2=6.25米，所以当时f t≥6.25就可以进港.令52sinπ6t+π6+5≥6.25，得sinπ6t+π6≥12．所以π6+2kπ≤π6t+π6≤5π6+2kπ，解得12k≤t≤4+12k，又t∈0,24，故k=0时，t∈0,4；k=1时，t∈12,16，即货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右．20. （1）f x=a⋅b=4sin x−2．（2）gθ=f2θ−π4=4sin2θ−π4−2．π8≤θ≤3π4，所以π4≤2θ≤3π2，所以0≤2θ−π4≤5π4，所以−22≤sin2θ−π4≤1，所以−22−2≤4sin2θ−π4−2≤2．gθ−k=0有解，即k=gθ有解，故k∈ −22−2,2．（3） x=a ⋅ba2=4sin x−21+sin2x，x∈R．解法一：设 t =4sin x −2，则 sin x =t +24，t ∈ −6,2 ．x =k t =16t t 2+4t +20．当 t =0 时，k t =0；当 t ≠0 时，k t =16t +20t+4，其中 t +20t +4 在 −6,−2 5 递增，在 −2 5,0 递减，在 0,2 递减． 所以 t +20t+4∈ −∞,4−4 5 ∪ 16,+∞ ，从而 x ∈ −1− 5,1 ． 解法二：设 y =4sin x−21+sin 2x，得 y sin 2x −4sin x +y +2=0，令 f t =yt 2−4t +y +2，其中 t =sin x ∈ −1,1 ． 当 y =0 时，t =12∈ −1,1 ，即有解．当 y ≠0 时，由 t ∈ −1,1 时 f t =0 有解，得①f −1 f 1 ≤0，或② y >0,f −1 ≥0,f 1 ≥0, 2y ≤1,16−4y y +2 ≥0，或③y <0,f −1 ≤0,f 1 ≤0, 2y ≤1,16−4y y +2 ≥0.解①得 −3≤y ≤1，解②，无解，解③得 −1− 5≤y ≤−3，从而 x ∈ −1− 5,1 ． 21. （1） 因为 f x +2 =−f x ，所以 f x +4 =−f x +2 =− −f x =f x ， 所以 f x 是以 4 为周期的周期函数．（2） f x =−12 在 0,2016 上共有 504 个解．（3） 若 x ∈ 0,2 ，则 x +2∈ 2,4 ，f x +2 =1kf x =1kx x −2 =1kx +2 −2 x +2 −4 ，所以当 x ∈ 2,4 时，f x =1k x −2 x −4 ．若 x ∈ −2,0 ，则 x +2∈ 0,2 ，所以 f x +2 = x +2 x +2 −2 =x x +2 ． 所以 f x =kf x +2 =kx x +2 ． 若 x ∈ −4,−2 ，则 x +2∈ −2,0 ，所以 f x +2 =k x +2 x +2 +2 =k x +2 x +4 ．所以 f x =kf x +2 =k 2 x +2 x +4 ，因为 2,3 ⊂ 2,4 ， −3,−2 ⊂ −4,−2 ，所以当 x ∈ −3,3 时，f x = k 2 x +2 x +4 ,x ∈ −3,−2,kx x +2 ,x ∈ −2,0 ,x x −2 ,x ∈ 0,2 ,1kx −2 x −4 ,x ∈ 2,3 . 可知，当 x ∈ −3,3 时，最大值和最小值必在 x =−3 或 x =−1 或 x =1 或 x =3 处取得（可画图分析）．因为 f −3 =−k 2，f −1 =−k ，f 1 =−1，f 3 =−1k ， 所以当 −1<k <0 时，y max =f 3 =−1k ，y min =f 1 =−1； 当 k =−1 时，y max =f −1 =f 3 =1，y min =f −3 =f 1 =−1；当k<−1时，y max=f−1=−k，y min=f−3=−k2．。
广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试(月考)数学(理) Word版含答案
广东实验中学2015届高三阶段考试（一）理 科 数 学一．选择题(5*8=40分)1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 2． 22log sinlog cos1212ππ+的值为（ ）A .-2B .–l C. 12D .13．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知函数cos21()sin 2x f x x-=，则有（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线2x π=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2π对称C ．函数()f x 的最小正周期为2πD ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减5．已知0<a<b<l ．则（ ） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D. 11lg lg a b>6．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（ ）A B C D7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） 111.(,].(,][1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-AB C DP ME O 1O 2 8．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ）A ．2sin 22cos ααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos22sin βββ=-二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
广东省广州市真光中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案[ 高考]
2015-2016学年度上学期广州市真光中学期中考试高一年级数学试题考试时间120分钟 试题分数150分第I 卷（选择题 共60分）一. 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合{}=101M ,,-，集合{}=012N ,,，则MN 等于（ ）A.{}01,B.{}101,,-C.{}012,,D.{}1012,,,- 2. 设全集{}=12345678U ,,,,,,,，集合{}=1235A ,,,，{}=246B ,,，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A.{}2B.{}46,C.{}135,,D.{}4678,,, 3. 若21()=1f x x -，则(2)f 等于（ ） A.12 B.34 C.14 D.34-4. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A.y x =与3y = B.2y =与y x =C.x y x =与0y x = D.211x y x +=-与11y x =-5.函数y =的定义域是( ).A. ()3,22,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. ()3,22,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()(),22,-∞+∞6.已知函数()23f x ax bx a b =+++是定义域为[]1,2a a -的偶函数,则a b +的值是( ). A. 0 B.13C. 1D.-17.若函数()()()22212f x a a x a x =--+++的定义域和值域都为R ,则( ).A. 2a =或1a =-B. 2a =C. 1a =-D.a 不存在8.设0x 是方程ln 4x x +=的解,则0x 属于区间( ). A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,49．若函数y ＝a x ＋b-1(a >0，且a ≠1)的图象不经过第一象限，则有( )A ．a ＞1且b ≤0B ．a ＞1且b ≤1 D ．0＜a ＜1且b ≤0 D ．0＜a ＜1且b ≤110．已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>≤+--2,2,2)22(1x a x x a x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．1＜a ＜4B ．2≤a ＜4 D ．3＜a ＜4 D ．3≤a ＜411．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是()A B C D12．已知lg2＝03010，由此可以推断22014是( )位整数.A ．605B ．606C ．607D ．608第II 卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
【全国百强校】广东省广州市执信中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．将正确答案填写在答题卡）1、已知全集U R =，(){}30x x x N =+<，{}1x x M =<-，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}31x x -<<-B ．{}30x x -<< C ．{}10x x -≤< D ．{}3x x <-【答案】C考点：集合的运算． 2、函数y =）A ．(]1,2B ．()1,2C ．()2,+∞D ．(),2-∞【答案】B 【解析】试题分析：由1020x x ->⎧⎨->⎩，得12x <<，故选B ．考点：函数的定义域．3、甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑的路程多C ．甲、乙两人的速度相同D ．甲比乙先到达终点 【答案】D 【解析】试题分析：由图象知，甲、乙两人同时出发，甲比乙速度快，终点相同，但甲比乙先到终点，故选D ． 考点：函数的图象．4、设()338xf x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内近似解的过程中得()10f <，()1.50f >，()1.250f <，则方程的根落在区间（ ）A ．()1,1.25B ．()1.25,1.5C ．()1.5,2D ．不能确定【答案】B考点：二分法．5、函数()y f x =的定义域是()1,4-，则函数()21y f x =-的定义域是（ ）A ．(B ．()()0,5C ．(D ．()5,5-【答案】B 【解析】试题分析：由题意2114x -<-<，解得0x x <<≠，故选B ．考点：函数的定义域．6、已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >），若()f x 的图象如下图（左）所示，则()xg x a b =+的图象是（ ）【答案】A考点：指数函数的图象．7、已知函数()y f x =的对应关系如下表，函数()y g x =的图象是如下图的曲线C AB ，其中()1,3A ，()2,1B ，()C 3,2，则()2f g ⎡⎤⎣⎦的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B 【解析】试题分析：由题意(2)1g =，((2))(1)2f g f ==，选B ． 考点：函数的概念．8、若奇函数()f x 在[]1,5上为增函数，且有最小值8，则它在[]5,1--上（ ） A ．是减函数，有最小值8- B ．是增函数，有最小值8- C ．是减函数，有最大值8- D ．是增函数，有最大值8- 【答案】D考点：函数的奇偶性． 9、已知幂函数26m m y x--=（m ∈Z ）的图象与x 轴无公共点，则m 的值的取值范围是（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,1,0,1,2,3--C ．{}2,1,0,1--D ．{}3,2,1,1,2---【答案】A 【解析】试题分析：260m m --<，23m -<<，又m Z ∈，所以{1,0,1,2}m ∈-，故选A ． 考点：幂函数的图象．【名师点晴】幂函数y x α=的图象与性质由于α的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查:(1) α的正负: α>0时,图象过原点,在第一象限的图象上升; α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性: α>1时,曲线下凸;0<α<1时,曲线上凸; α<0时,曲线下凸. 10、把函数1y x=的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为（ ） A ．321x y x -=- B ．211x y x -=- C ．211x y x +=-+ D ．231x y x +=+ 【答案】D【解析】试题分析：把函数1y x =的图象向左平移1个单位，得11y x =+的图象，再向上平移2个单位后，得121y x =++231x x +=+，故选D ． 考点：图象平移．11、函数()()2ln 43f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D考点：函数的单调性．【名师点晴】研究复合函数log ()a y f x =的单调性(最值）时，应先研究其定义域，分析复合的特点，结合函数()u f x =及log a y u =的单调性(最值）情况确定函数log ()a y f x =的单调性(最值）(其中0a >，且1a ≠)．12、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数()R1,Q0,Q x f x x C ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数()f x 有如下四个结论： ①()0f f x =⎡⎤⎣⎦；②函数()f x 是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，()()f x f x +T =对任意的R x ∈恒成立；④存在三个点()()11,x f x A ，()()22,x f x B ，()()33C ,x f x ，使得C ∆AB 为等边三角形．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C考点：新定义，函数的性质．【名师点晴】本题考查新定义问题，考查阅读理解能力，表面上是判断命题的真假，命题①②是考查函数的性质，只要根据新定义的函数进行验证，命题③考查狄利克雷函数的周期性，由此可知任意有理数都是它的周期，命题④是特称命题，只要举一例成立即可． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知全集{}U 1,2,3,4,5=，{}1,2,3A =，那么U C A 的子集个数有 个．【答案】4 【解析】试题分析：{4,5}U C A =，有2个元素，因此其子集数为224=． 考点：集合的关系．14、计算()4630.2582013+--= ．【答案】72【解析】试题分析：()4630.2582013+---1411111633322244(32)[(33)]2(2)1=⨯+⨯-⨯-1166323232172⨯⨯=⨯+--=．考点：根式与幂的运算．15、已知函数2y x =与函数ln y x x =在()0,+∞上增长较快的是 ．【答案】2y x =考点：函数的性质．【名师点晴】三种增长型函数之间增长速度的比较 ①指数函数(1)xy a a =>与幂函数(0)ny x n =>在区间(0,+∞)上,无论n 比a 大多少,尽管在x 的一定范围内x a 会小于n x ,但由于x a 的增长快于n x 的增长,因而总存在一个0x ,当0x x >时有x n a x >. ②对数函数log (1)a y x a =>与幂函数(0)ny x n =>对数函数log (1)a y x a =>的增长速度,不论a 与n 值的大小如何总会慢于ny x =的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数0x ,当0x x >时有log n a x x <.由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存在一个0x ,当0x x >时有log x n a a x x >>.16、某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如图所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过302m ； ③野生水葫芦从42m 蔓延到122m 只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到22m ，32m ，62m 所需的时间分别为1t ，2t ，3t ，则有123t t t +=； ⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度． 其中正确的说法有 ．（请把正确说法的序号都填在横线上） 【答案】①②④考点：命题的判断．【名师点晴】（1）指数型函数()x f x ab c =+(a,b,c 为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x 的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.（2）实际生产生活中的增长率问题往往是指数型函数模型,如若某月的产值是b ,每月的增长率为a ,则第x 个月后的产值是(1)x b a +,指数x 是以基数所在时间后推所跨过的时间间隔数. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17、（本题满分12分）设集合{}R 24aa A =∈=，(){}22R 210x x m x m B =∈-++<．（1）若4m =，求A B ；（2）若AB =B ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|28x x ≤<；（2）1(,2⎤-∞-⎥⎦．考点：集合的运算，集合的关系．18、（本题满分12分）已知()f x 是定义在()0,+∞上的减函数，且满足以下条件：()()()f xy f x f y =+，()21f =．（1）求证：()83f =；（2）求不等式()()32f x f x >+-的解集．【答案】（1）见解析；（2考点：抽象函数．19、（本题满分12分）如图，∆AOB 是边长为2的正三角形，记∆AOB 位于直线x t =（0t >）左侧的图形的面积为()f t ．试求()f t 的解析式，并画出()y f t =的图象．D BA【答案】)22, 01,()22,2,t y f t t t t <≤⎪⎪==-<≤⎨>⎪⎩考点：函数的应用．【名师点晴】①在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0).②在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数.提醒:分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.20、（本题满分10分）已知函数()1lg1x f x x +=-． （1）判断并证明()f x 的奇偶性；（2）求证：()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭； （3）已知a ，()1,1b ∈-，且11a b f ab +⎛⎫=⎪+⎝⎭，21a b f ab -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求()f a ，()f b 的值． 【答案】（1）奇函数；（2）见解析；（3）31(),()22f a f b ==-.(2)∵111()()lg lg lg 111a b a b ab f a f b a b a b ab++++++=+=----+ ………5分 ab b a ab b a abb a ab b a ab b a f +--+++=++-+++=++11lg 1111lg )1(，………6分∴)1()()(ab b a f b f a f ++=+………7分 (3) ∵)1()()(abb a f b f a f ++=+， ∴f(a)+f (b)=1，()()()1a b f a f b f ab -+-=-， ∴()()2f a f b +-=，………8分∵()()f b f b -=-，∴()()2f a f b -=，………9分 解得31(),()22f a f b ==-.………10分 考点：函数的奇偶性，对数的运算法则．21、（本题满分12分）（1）已知对任意[]1,1x ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零，求a 的取值范围．（2）已知对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零，求x 的取值范围． 【答案】（1）1a <；（2）1<x 或3>x ．考点：不等式恒成立问题，二次函数的最小值．22、（本题满分12分）已知函数()22f x x a x x =-+，R a ∈．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数[]2,2a ∈-，使得关于x 的方程()()20f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【答案】（1）11a -≤≤；（2 【解析】（2）方程()(2)0f x tf a -=的解即为方程()(2)f x tf a =的解．………… 5分 ①当11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数， ∴关于x 的方程()(2)f x tf a =不可能有三个不相等的实数根； ………… 6分 ②当1a >时，即211a a a >+>-， ∴()y f x =在(,1)a -∞+上单调增，在(1,2)a a +上单调减，在(2,)a +∞上单调增， ∴当(2)(2)(1)f a tf a f a <<+时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即 244(1)a t a a <⋅<+，考点：分段函数，函数的单调性，方程根的分布．【名师点晴】已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解. 本题利用数形结合思想，可把问题转化为研究函数的单调性与最值问题，高考一轮复习：。
广东省实验中学高一数学上学期期末考试试题
广东实验中学2015—2016学年（上）高一级模块考试数 学本试卷共4页．满分为150分，考试用时120分钟．考试不允许使用计算器． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ） A ．2πcm 2B ．2 cm2C ．4πcm2D ．4 cm22．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BP BA BC 2=+，则（ ）A ．P 、A 、C 三点共线B ．P 、A 、B 三点共线C ．P 、B 、C 三点共线D ．以上均不正确3．角α的终边上有一点)5,(m P ，且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α=（ ） A ．135 B ．135- C ．1312或1312- D ．135或135-4．函数xx x x f tan 1tan tan )(2+--=的奇偶性为（ ）A ．既奇又偶函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇函数5．已知θ为第一象限角，设)sin ,3(θ-=a ，)3,(cos θ=b ，且b a ⊥，则θ一定为（ ） A ．)(3Z k k ∈+ππB ．)(26Z k k ∈+ππC ．)(23Z k k ∈+ππD ．)(6Z k k ∈+ππ6．下列结论中，一定正确的有（ ）个.①BC AC AB =- ②()()⋅⋅=⋅⋅ ③=⋅=⋅则,④若21,e e 是平面内的一组基底，对于平面内任一向量a ，使2211e e λλ+=的实数21,λλ有无数对 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 7．若0cos <θ，且θθθ2sin 1sin cos -=-，那么θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．已知54sin -=α，23παπ<<，则2cos α的值为（ ）A ．55B ．55-C ．552D ．552-9．已知点O 是ABC ∆所在平面内一点，且222222BC OA AC OB AB OC +=+=+，则点O 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心 10．函数12πlog sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减．区间为（ ） A ．πππ4k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z ，， B ．π3πππ88k k k ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦Z ，，C ．3ππππ88k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z ，， D ．ππππ88k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z ，，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．12tan112tan1ππ-+的值为_____________.12．如图，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，3BD DC =u u u r u u u r ，则向量AD u u u r可用a r ，b r 表示为___________. 13．已知21)sin(=+βα，31)sin(=-βα，则βαtan tan =___________.14． 课本介绍过平面向量数量积运算的几何意义：b a ⋅等于a 的长度a 与b 在a 方向上的投影><b a b ,cos 的乘积. 运用几何意义，有时能得到更巧妙的解题思路. 例如：边长为1的正六边形ABCDEF 中，点P 是正六边形内的一点（含边界），则AB AP ⋅的取值范围是_____________. 15．已知函数x x x f 2sin 32cos )(+=，在下列四个命题中：①函数的表达式可以改写为)32cos(2)(π-=x x f ；②当6ππ+=k x （Z k ∈）时，函数取得最大值为2；③若21x x ≠，且0)()(21==x f x f ，则)0(221≠∈=-k Z k k x x 且π； ④函数)(x f 的图象关于直线32π=x 对称； ABCDEF其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）已知函数)cos()25sin()23cos()(πππ--+⋅-=x x x x f ，=)(x g )42sin(2π-x（1）化简)(x f ；（2）利用“五点法”，按照列表-描点-连线三步，画出函数)(x g 一个周期．．．．的图象； （3）函数)(x g 的图象可以由函数)(x f 的图象经过怎样的变换得到？17．（本题满分12分）1=a 3=b ，（1）若a r ，b r 的夹角为6πb a -；（2b a +b a 的取值范围； （3）若21)2()3(=+⋅-b a b a ，求a 与b 的夹角θ.18．（本题满分11分）已知31tan -=α,),2(ππα∈. （1）化简ααα2cos 1cos 2sin 2+-，并求值.（2）若),2(ππβ∈，且1312)cos(-=+βα，求)sin(βα+及βcos 的值.19．（本题满分12分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：)2,0,(πϕω<>A 来描述.（1） 根据以上数据，求出函数b t A t f ++=)sin()(ϕω的表达式；（2） 一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0:00~24:00）何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？20．（本题满分14分）已知向量)2,4(),1,(sin -==b x a ，函数b a x f ⋅=)(，R x ∈. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）设)42()(πθθ-=f g ，当∈θπ3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，0)(=-k g θ有解，求实数k 的取值范围； （3）设()2||a x h =，求函数)(x h 的值域.21．（本题满分14分）已知函数()f x 对任意实数x 均有()(2)f x kf x =+，其中k 为常数. （1）若1-=k ，函数)(x f 是否具有周期性？若是，求出其周期;（2）在（1）的条件下，又知)(x f 为定义在R 上的奇．函数，且当10≤≤x 时，x x f 21)(=，则方程21)(-=x f 在区间]2016,0[上有多少个解？（写出结论，不需过程）（3）若k 为负．常数，且当20≤≤x 时，()(2)f x x x =-，求()f x 在[]3,3-上的解析式，并求()f x 的最小值与最大值.广东实验中学2015—2016学年(上)高一级模块考试·数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．D 7．C 8．B 9．A 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．3 12．1344a b +r r 13．5 14．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 15．①②③④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） 解：（1）x xxx x f sin cos cos )sin ()(=-⋅-=……4分(每对一个1分)（2）列表、画图如下：……列表2分，画图2分……9分（其中列表3分，图象2分） （3）把)(x f 的图象向右平移4π个单位，再把横坐标变为原来的21倍，最后把纵坐标变为原来的2倍；……12分（每步变换1分） 或先把横坐标变为原来的21倍，再向右平移8π个单位，最后把纵坐标变为原来的2倍17．（本小题满分12分）解：（1）∵a r ，b r 的夹角为6π， ∴ b a ⋅＝|a r |•|b r |•cos 6π＝23， ……1分∴|a r -b r |2＝（a r -b r ）2……2分＝a r 2＋b r 2-2b a ⋅＝1＋3－3＝1， ……3分 ∴1=-b a ……4分（2）由b a b a b a +≤+≤-得]13,13[+-∈+b a ……6分由b a b a ⋅≤⋅得]3,0[∈⋅b a ……7分（3）21)2()3(=+⋅-b a b a ，2135222=-⋅-∴b b a a ．……8分 又|a r |＝1，|b r |＝3，23-=⋅∴b a ．……9分1cos 2a b a b θ∴==-·23． ……10分 ],0[πθ∈Θ ……没有此说明扣1分 65πθ=∴． ……12分-20209π87π85π83π8π82π3π2ππ20f (x )x2x -π4π8π43π8π25π83π47π8π9π85π4xy221O-1-2-218．（本题满分11分）解：（1） 6521tan cos 2cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-=-=-=+-αααααααα ……2分 6521tan cos 2cos cos sin 222-=-=-=ααααα ……4分 （2）),2(ππα∈Θ，),2(ππβ∈，)2,(ππβα∈+∴ 又1312)cos(-=+βα，)23,(ππβα∈+∴ ……5分 135)(cos 1)sin(2-=+--=+∴βαβα ……7分由31tan -=α，),2(ππα∈，得1010sin =α，10103cos -=α ……8分])cos[(cos αβαβ-+= ……9分αβααβαsin )sin(cos )cos(+++= ……10分 13010311010135)10103)(1312(=⋅---= ……11分19．（本题满分12分） 解：（1）由表格知5.7max =f ，5.2min =f ， ……1分252min max =-=f f A ，52minmax =+=f f b ……2分12=T ，62ππω==∴T ， ……4分 即5)6sin(25)(++=ϕπt t f 当2=t 时，ππϕπk 2226+=+⋅，解得ππϕk 26+=，又2πϕ<，6πϕ=∴ ……6分5)66sin(25)(++=∴ππt t f . （2）货船需要的安全水深为4.25+2=6.25米，所以当25.6)(≥t f 时就可以进港. ……7分令25.65)66sin(25≥++ππt ，得21)66sin(≥+ππt ……8分ππππππk t k 2656626+≤+≤+∴， ……9分 解得k t k 12412+≤≤，……10分又)24,0[∈t ，故0=k 时，]4,0[∈t ；1=k 时，]16,12[∈t ……11分即货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右. ……12分 20．（本题满分14分） 解：(1) 2sin 4)(-=⋅=x b a x f ……2分 (2) 2)42sin(4)42()(--=-=πθπθθf g ……3分438πθπ≤≤，2324πθπ≤≤∴，45420ππθ≤-≤∴，……4分142sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-∴πθ，2242sin 4222≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--∴πθ ……6分0)(=-k g θ有解，即)(θg k =有解，故]2,222[--∈k . ……7分(3) ()2||a b a x h ⋅==xx 2sin 12sin 4+-，R x ∈解法一：设2sin 4-=x t ，则42sin +=t x ，]2,6[-∈t ……8分 20416)()(2++==t t tt k x h ……9分当0=t 时，0)(=t k ；当0≠t 时，42016)(++=tt t k ， ……10分其中420++t t 在]52,6[--递增，在)0,52(-递减，在]2,0(递增 ),16[]544,(420+∞--∞∈++∴Y tt ……12分从而]1,51[)(--∈x h ……14分解法二：设y = =x x 2sin 12sin 4+-, 得 ysin 2x – 4sinx + y + 2 = 0 , 今 f ( t ) = yt 2– 4t + y + 2 , 其中t = sinx ∈[ – 1 , 1].当y = 0时，t = 21∈[ – 1 , 1]，即有解.当y ≠ 0时，由t ∈[ – 1 , 1]时f ( t ) = 0有解, 得:①f ( – 1) f ( 1 ) ≤ 0 . 或②⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+-≤≥≥->0)2(4161|2|0)1(0)1(0y y y f f y 或③⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+-≤≤≤-<0)2(4161|2|0)1(0)1(0y y y f f y解①得 – 3 ≤ y ≤ 1, 解②，无解，解③得 – 1 – 5≤ y ≤– 3, 从而]1,51[)(--∈x h21．（本题满分14分） 解：（1）∵),()2(x f x f -=+)()]([)2()4(x f x f x f x f =--=+-=+∴,∴)(x f 是以4为周期的周期函数, ……2分（2）21)(-=x f 在]2016,0[上共有504个解……6分解析：当10≤≤x 时，x x f 21)(=，∴当01≤≤-x 时，x x f x f 21)()(=--=，11,21)(≤≤-=∴x x x f当31<<x 时，121<-<-x ，)2(21)2()(--=--=∴x x f x f故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-=.31),2(21,11,21)(x x x x x f 由,21)(-=x f 得1-=x 故21)(-=x f 的所有解是41()x n n Z =-∈,令2016140≤-≤n , 则4201741≤≤n ，而,n Z ∈∴)(5041Z n n ∈≤≤,∴21)(-=x f 在]2016,0[上共有504个解.（3）若]2,0[∈x ，则]4,2[2∈+x ，]4)2][(2)2[(1)2(1)(1)2(-+-+=-==+x x kx x k x f k x f ，∴当]4,2[∈x 时，)4)(2(1)(--=x x kx f若)0,2[-∈x ，则)2,0[2∈+x ，∴)2(]2)2)[(2()2(+=-++=+x x x x x f ∴)2()2()(+=+=x kx x kf x f 若)2,4[--∈x ，则)0,2[2-∈+x ，∴)4)(2(]2)2)[(2()2(++=+++=+x x k x x k x f∴)4)(2()2()(2++=+=x x k x kf x f ，∵)2,4[)2,3[],4,2[]3,2(--⊂--⊂∴当]3,3[-∈x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈--∈+--∈++=]3,2(),4)(2(1]2,0[),2()0,2[),2()2,3[),4)(2()(2x x x kx x x x x kx x x x k x f ……10分 可知，当]3,3[-∈x 时，最大值和最小值必在3-=x 或1-=x 或1=x 或3=x 处取得.（可画图分析）∵2)3(k f -=-，k f -=-)1(，1)1(-=f ，kf 1)3(-= ……11分∴当01<<-k 时，1)1(,1)3(min max -==-==f y kf y ; ……12分当1-=k 时，;1)1()3(,1)3()1(min max -==-===-=f f y f f y ……13分当1-<k 时，2min max )3(,)1(k f y k f y -=-=-=-= .……14分。
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2015-2016学年广东省广州市实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设A={x|x﹣1＜0}，B={x|log2x＜0}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜1}C．{x|x＜0}D．∅2．（5分）三个数a=0.62，b=log20.6，c=20.6之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a3．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2 4．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．25．（5分）函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）6．（5分）若全集U={0，1，2，3，4}且∁U A={2，4}，则集合A的真子集共有（）个．A．8个 B．7个 C．4个 D．3个7．（5分）函数的图象的大致形状是（）A． B．C．D．8．（5分）下列函数中既是偶函数又是（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．y=B．C．y=x﹣2D．9．（5分）已知是R上的减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．C． D．10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，4）和点B （3，﹣2），则当不等式|f（x+t）﹣1|＜3的解集为（﹣1，2 ）时，t的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分．11．（5分）已知，则f（x）=．12．（5分）函数f（x）=a x﹣1+3的图象一定过定点P，则P点的坐标是．13．（5分）若函数y=f（x﹣1）的定义域为（1，2]，则函数y=f（log2x）的定义域为．14．（5分）函数y=的值域是．15．（5分）已知函数f（x）=，则f（x）的值域是．16．（5分）设偶函数f（x）=a|x+b|在（0，+∞）上单调递增，则f（b﹣2）与f （a+1）的大小关系为．三、解答题：本大题共6小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）化简或求值：（1）（）+（0.008）×（2）+log3﹣3．18．（10分）已知A={x|a≤x≤2a﹣4}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0}，若A∩B=A，求a 的取值范围．19．（12分）（1）判断函数f（x）=在x∈（0，+∞）上的单调性并证明你的结论？（2）猜想函数在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的单调性？（只需写出结论，不用证明）（3）利用题（2）的结论，求使不等式在x∈[1，5]上恒成立时的实数m的取值范围？20．（13分）已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f （﹣1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a+1）≤，求a的取值范围．21．（13分）已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3：（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．22．（14分）已知函数f（x）=lg，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）﹣f （）=lgx．（1）求f（x）的表达式及定义域；（2）若方程f（x）=lgt有解，求实数t的取值范围；（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围．2015-2016学年广东省广州市实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设A={x|x﹣1＜0}，B={x|log2x＜0}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜1}C．{x|x＜0}D．∅【解答】解：∵A={x|x﹣1＜0}={x|x＜1}，B={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，故选：A．2．（5分）三个数a=0.62，b=log20.6，c=20.6之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵0＜0.62＜1，log20.6＜0，20.6＞1，∴0＜a＜1，b＜0，c＞1，∴b＜a＜c，故选：C．3．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2【解答】解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2 时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故C中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选：D．4．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．5．（5分）函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：由题意可得f（1）=﹣4＜0，f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，f（4）=ln4+2＞0，显然满足f（2）f（3）＜0，故函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（2，3）故选：C．6．（5分）若全集U={0，1，2，3，4}且∁U A={2，4}，则集合A的真子集共有（）个．A．8个 B．7个 C．4个 D．3个【解答】解：∵U={0，1，2，3，4}且∁U A={2，4}，则集合A={0，1，3}．∴集合A的真子集为23﹣1=7，故选：B．7．（5分）函数的图象的大致形状是（）A． B．C．D．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）=，∴x＞0时，图象与y=a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y=a x的图象关于x轴对称，故选：C．8．（5分）下列函数中既是偶函数又是（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．y=B．C．y=x﹣2D．【解答】解：函数y=，既是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，故A 不正确；函数，是非奇非偶函数，故B不正确；函数y=x﹣2，是偶函数，但在区间（﹣∞，0）上单调递增，故C正确；函数，是非奇非偶函数，故D不正确；故选：C．9．（5分）已知是R上的减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．C． D．【解答】解：∵f（x）=是R上的减函数，∴0＜a＜1，①且3a﹣1＜0，②（3a﹣1）×1+4a≥a，③由①②③得：≤a＜．故选：B．10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，4）和点B （3，﹣2），则当不等式|f（x+t）﹣1|＜3的解集为（﹣1，2 ）时，t的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：由不等式|f（x+t）﹣1|＜3，得到：﹣3＜f（x+t）﹣1＜3，即﹣2＜f（x+t）＜4，又因为f（x）的图象经过点A（0，4）和点B（3，﹣2），所以f（0）=4，f（3）=﹣2，所以f（3）＜f（x+t）＜f（0），又f（x）在R上为减函数，则3＞x+t＞0，即﹣t＜x＜3﹣t，解集为（﹣t，3﹣t），∵不等式的解集为（﹣1，2），∴﹣t=﹣1，3﹣t=2，解得t=1．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分．11．（5分）已知，则f（x）=x2+4x+5（x≥﹣1）．【解答】解：设，则t≥﹣1，所以==可变形为f（t）=t2+4t+5所以f（x）=x2+4x+5（x≥﹣1）．12．（5分）函数f（x）=a x﹣1+3的图象一定过定点P，则P点的坐标是（1，4）．【解答】解：f（x）=a x﹣1+3的图象可以看作把f（x）=a x的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，且f（x）=a x一定过点（0，1），则f（x）=a x﹣1+3应过点（1，4）故答案为：（1，4）13．（5分）若函数y=f（x﹣1）的定义域为（1，2]，则函数y=f（log2x）的定义域为（1，2] ．【解答】解：由函数y=f（x﹣1）的定义域为（1，2]，得1＜x≤2，∴0＜x﹣1≤1．∴函数y=f（log2x）中，0＜log2x≤1，∴1＜x≤2．则函数y=f（log2x）的定义域为（1，2]．故答案为：（1，2]．14．（5分）函数y=的值域是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【解答】解：由已知得：，由2x＞0得所以有：y＞1或y＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）15．（5分）已知函数f（x）=，则f（x）的值域是[﹣2，+∞）．【解答】解：∵函数y=3+2x﹣x2的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故当x=1时，函数取最大值4，故当x=1时，函数f（x）=取最小值﹣2，无最大值，故f（x）的值域是[﹣2，+∞），故答案为：[﹣2，+∞）．16．（5分）设偶函数f（x）=a|x+b|在（0，+∞）上单调递增，则f（b﹣2）与f （a+1）的大小关系为f（a+1）＞f（b﹣2）．【解答】解：∵f（x）=a|x+b|为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即a|﹣x+b|=a|x+b|，则|x﹣b|=|x+b|，解得b=0，则f（x）=a|x|，设t=|x|，则当x≥0时，函数为增函数，若f（x）=a|x|在（0，+∞）上单调递增，则y=a t上单调递增，即a＞1，则f（b﹣2）=f（﹣2）=f（2），f（a+1）＞f（1+1）=f（2），即f（a+1）＞f（b﹣2），故答案为：f（a+1）＞f（b﹣2）．三、解答题：本大题共6小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）化简或求值：（1）（）+（0.008）×（2）+log3﹣3．【解答】解：（1）（）+（0.008）×=+25×=．（2）+log3﹣3=﹣5log32+﹣5=+﹣5=﹣5=﹣7．18．（10分）已知A={x|a≤x≤2a﹣4}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0}，若A∩B=A，求a 的取值范围．【解答】解：∵A={x|a≤x≤2a﹣4}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|（x﹣6）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜6}，且A∩B=A，∴A⊆B，当A=∅时，则有a＞2a﹣4，即a＜4，满足题意；当A≠∅时，则有，解得：﹣1＜a＜5，综上，a的范围是a＜5．19．（12分）（1）判断函数f（x）=在x∈（0，+∞）上的单调性并证明你的结论？（2）猜想函数在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的单调性？（只需写出结论，不用证明）（3）利用题（2）的结论，求使不等式在x∈[1，5]上恒成立时的实数m的取值范围？【解答】（1）解：函数f（x）=在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．…（1分）证明：设任意x1＜x2∈（0，+∞），则…（2分）=…（3分）又设x1＜x2∈（0，2]，则f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）∴函数f（x）=在（0，2]上是减函数…（4分）又设x1＜x2∈[2，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）=在[2，+∞）上是增函数…（5分）（2）解：由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在和上是增函数，f（x）在和上是减函数…（7分）（3）解：∵在x∈[1，5]上恒成立∴在x∈[1，5]上恒成立…（8分）由（2）中结论，可知函数在x∈[1，5]上的最大值为10，此时x=1 …（10分）要使原命题成立，当且仅当2m2﹣m＞10∴2m2﹣m﹣10＞0 解得m＜﹣2，或∴实数m的取值范围是{m|m＜﹣2，或}…（12分）20．（13分）已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f （﹣1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a+1）≤，求a的取值范围．【解答】解：（1）令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）•f（﹣1），∵f（﹣1）=1，∴f（﹣x）=f（x），且x∈R∴f（x）为偶函数．（2）若x≥0，则f（x）==•=[]2≥0．若存在x0＞0，使得f（x0）=0，则，与已知矛盾，∴当x＞0时，f（x）＞0设0≤x1＜x2，则0≤＜1，∴f（x1）==•f（x2），∵当x≥0时f（x）≥0，且当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．∴0≤＜1，又∵当x＞0时，f（x）＞0，∴f（x2）＞0∴f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．（3）∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）•f（9）=f（3）•f（3）•f（3）=[f（3）]3，∴9=[f（3）]3，∴f（3）=，∵f（a+1）≤，∴f（a+1）≤f（3），∵a≥0，∴（a+1）∈[0，+∞），3∈[0，+∞），∵函数在[0，+∞）上是增函数．∴a+1≤3，即a≤2，又a≥0，故0≤a≤2．21．（13分）已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3：（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．【解答】解：（1）∵二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3的对称轴是x=8∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减∴要使函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，须满足f（﹣1）•f（1）≤0．即（1+16+q+3）•（1﹣16+q+3）≤0解得﹣20≤q≤12．所以使函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点的实数q的取值范围是[﹣20，12]；（2）当时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，即[q﹣61，t2﹣16t+q+3]．∴t2﹣16t+q+3﹣（q﹣61）=t2﹣16t+64=12﹣t．∴t2﹣15t+52=0，∴．经检验不合题意，舍去．当时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[q﹣61，q﹣57]．∴q﹣57﹣（q﹣61）=4=12﹣t．∴t=8经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，即[t2﹣16t+q+3，q﹣57]∴q﹣57﹣（t2﹣16t+q+3）=﹣t2+16t﹣60=12﹣t∴t2﹣17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，所以存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．22．（14分）已知函数f（x）=lg，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）﹣f （）=lgx．（1）求f（x）的表达式及定义域；（2）若方程f（x）=lgt有解，求实数t的取值范围；（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵当x＞0时，f（x）﹣f（）=lgx．lg﹣lg=lgx，即lg﹣lg=lgx，即lg（•）=lgx，•=x．整理得（a﹣b）x2﹣（a﹣b）x=0恒成立，∴a=b，又f（1）=0，即a+b=2，从而a=b=1．∴f（x）=lg，∵＞0，∴x＜﹣1，或x＞0，∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）（2）方程f（x）=lgt有解，即lg=lgt，∴t=，∴x（2﹣t）=t，∴x=，∴＜﹣1，或＞0，解得t＞2，或0＜t＜2，∴实数t的取值范围（0，2）∪（2，+∞），（3）方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，∴lg=lg（8x+m），∴=8x+m，∴8x2+（6+m）x+m=0，方程的解集为∅，故有两种情况：①方程8x2+（6+m）x+m=0无解，即△＜0，得2＜m＜18，②方程8x2+（6+m）x+m=0有解，两根均在[﹣1，0]内，g（x）=8x2+（6+m）x+m 则解得0≤m≤2综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18．。