湖南省湘潭市高考数学三模试卷(文科)解析版

高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x=x2}，B={1，m，2}，若A⊆B，则实数m的值为（）A. 2B. 0C. 0或2D. 12.已知复数z=（为虚数单位），则|z|=（）A. B. C. D.3.“x2＞1”是“-x2＜-4”的（）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 既不充分也不必要条件D. 必要不充分条件4.已知向量=（2，m），=（3，1），若∥，则实数m的值为（）A. B. C. D.5.已知函数y=2x在区间[0，1]上的最大值为a，则抛物线=ax的准线方程是（）A. x=-3B. x=-6C. x=-9D. x=-126.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）B. C. D.A.7.已知各项都为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3a7＝256，S4﹣S2＝12，则S6＝（）A. 31B. 32C. 63D. 648.统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩（满分150分），根据戒绩分数依次分成六组：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110，则以下说法正确的是（）①m=0.031；②n=800③100以下的人数为60；④分数在区间[120，140）的人数占大半B. C. D.A.9.已知实数x，y满足不等式组，则z=x-y+3的取值范围是（）B. C. D.A.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 12πB. 14πC. 18πD. 24π11.某莲藕种植塘毎年的固定成本是1万元，毎年最大规模的种植是8万斤，毎种植一斤藕，成本增加0.5元，如果销售额函数是是莲藕种植量，单位：万斤；销售額的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，毎年种植莲藕（）A. 8万斤B. 6万斤C. 3万斤D. 5万斤12.在四棱维P-ABCD中，底面ABCD是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，若该四校锥的灯棱长为，体积为4，且四棱的高为整数，则此球的半径等于（参考公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2））（）A. 2B.C. 4D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=8，a1=2，则S5-S3=______14.已知函f（x）=sin（ωx+φ）+（ω＞0，|φ|＜）的图象的相邻对称轴间的距离为，函数f（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减，则函数f（x）的解析式为______．15.已知直线x=m与双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于A，B两点，若△AOB（O为坐标原点）的面积为，且双曲线C的离心率为，则m=______．16.已知函数，若在区间[-1，1]上方程f（x）=1只有一个解，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2（+），BC=2，BF＜BC，梯形ABCD的高为+1，E是CD的中点，分别以C，D为圆心，CE，DE为半径作两条圆弧交AB于F，G两点．（1）求∠BFC的度数；（2）设图中阴影部分为区域Ω，求区域Ω的面积．18.如图，PA垂直于⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB=2，C是弧上的一个动点（不与端点A，B重合），E为PC上一点，且AE⊥PC，F是线段BP上的一个动点（不与端点B重合）．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）若C是弧的中点，∠BOF是锐角，且三棱锥F-BOC的体积为，求tan∠BOF的值．19.阿基米德是古希腊伟大的哲学家数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项（1）完成如下2×2列联表并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？（2）抽取的100名高中生中按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本，（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii）从10人的样本中随机抽取两人，求两人都是文科生的概率参考数据：K2=，n=a+b+c+d20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，且过点A（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△AF1F2的外接圆的方程．21.设函数f（x）=（1-a）x2-（2+a2）x3（a∈R）．（1）求函数f（x）的零点；（2）若a＜1，关于x的不等式解集为（α，β），证明：[2ln（1-a）-2ln3+2]（β-α）≤1．22.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆C1的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）求直线l的普通方程与圆C1的直角坐标方程；（2）设动点A在圆C1上，动段OA的中点P的轨迹为C2，C2与直线l交点为M、N，且直角坐标系中，M点的横坐标大于N点的横坐标，求点M、N的直角坐标23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|（a∈R）．（1）若函数f（x）的最小值为2，求实数a的值（2）若当x∈[0，1]时，不等式f（x）≤|5+x|恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．集合A={x|x=x2}={0，1}，B={1，m，2}，A⊆B，由此能求出实数m的值．【解答】解：∵集合A={x|x=x2}={0，1}，B={1，m，2}，A⊆B，∴m=0．∴实数m的值0．故选：B．2.【答案】A【解析】解：∵z=，∴|z|=||=．故选：A．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由x2＞1，得-x2＜-1，不可推出-x2＜-4，当-x2＜-4时，能够推出x2＞4，因此可得x2＞1．∴“x2＞1”是“-x2＜-4”的必要不充分条件．故选：D．由基本不等式的性质结合充分必要条件的判定方法得答案．本题考查基本不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵向量=（2，m），=（3，1），若∥，则=，求出m=，故选：C．由题意利用两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得m的值．本题主要考查两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数y=2x在区间[0，1]上是增函数，∴最大值为a=2，∴抛物线=2x化为标准方程是y2=24x，则2p=24，p=12，．∴抛物线=2x的准线方程是x=-6．故选：B．由已知求得a，得到抛物线标准方程，求得p，则抛物线直线方程可求．本题考查函数最值的求法，考查抛物线的简单性质，是基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得第1次运行时，T=-1，S=-1，n=3第2次运行时，T=-3，S=-4，n=5第3次运行时，T=-5，S=-9，n=7第4次运行时，T=-7，S=-16，n=9第5次运行时，T=-9，S=-25，n=11第6次运行时，T=-11，S=-36，此时满足n＞9，所以输出的S的值为-36．故选：D．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由等比数列的性质可得：=a3a7=256，a5＞0，解得a5，又S4-S2=12，可得a3+a4=+=12，q＞0，解得q．再利用通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：=a3a7=256，a5＞0，解得a5=16，又S4-S2=12，∴a3+a4=+=+=12，q＞0，解得q=2．∴由a5=16，得=16，解得a1=1．∴S6==63．故选：C．8.【答案】B【解析】解：对于①，由频率分布直方图的性质得，10（m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006）=1，解得m=0.031，所以①正确；对于②，由不低于140分的频率为0.011×10=0.11，所以n==1000，所以②错误；对于③，100分以下的频率为0.006×10=0.06，所以100分以下的人数为1000×0.06=60，所以③正确；对于④，分数在[120，140）的人数占0.031×10+0.01610=0.47，占小半，所以④错误；综上，正确的说法是①③．故选：B．根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．9.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：联立解得A（3，-2）．联立解得B（，），z=x-y+3，平移经过A时取得最大值：8；经过B时取得最小值：，则z=x-y+3的取值范围是：[，8]故选：B．作出不等式组对应的平面区域，平移目标函数，推出最优解，得到最值即可．本题主要考查线性规划的应用，作出平面区域，利用z的几何意义，是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个度面直径为4高为3的圆锥的一半组合体，∴该几何体的体积为：V=π×（）2×4+×π（）2×3=18π．故选：C．由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个度面直径为4高为3的圆锥的组合体，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．11.【答案】B【解析】解：设销售利润为g（x），得g（x）=x3+ax2+x-1-x=x3+ax2-1，当x=2时，g（2）=-+-1=2.5，解得a=2．∴g（x）=x3+x2-1，g′（x）=-x2+x=-x（x-6），∴函数g（x）在（0，6）上单调递增，在（6，8）上单调递减．∴x=6时，函数g（x）取得极大值即最大值，故选：B．设销售利润为g（x），得g（x）=x3+ax2+x-1-x=x3+ax2-1，当x=2时，g（2）=2.5，解得a=2．可得g（x）=x3+x2-1，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O′，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O，半径为R，设底面正方形ABCD的边长为a，正四棱锥的高为h（h∈N*），则O′D=，∵该正四棱锥的侧棱长为，∴，即，①又∵正四棱锥的体积为4，∴，②由①得a2=2（11-h2），代入②得h3-11h+6=0，即（h-3）（h2+3h-2）=0，解得h=3（h∈N*），把h=3代入①，得a=2，∴，则OO′=PO′-PO=3-R．在Rt△OO′D中，由勾股定理，得O′O2+O′D2=OD2，即，解得R=，即该球的半径为．故选：B．由题意画出图形，设底面正方形ABCD的中心为O′，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O，半径为R，设底面正方形ABCD的边长为a，正四棱锥的高为h（h∈N*），由题意列式求得a与h，进一步由勾股定理列式求解R．本题考查多面体外接球的半径，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．13.【答案】18【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=8，a1=2，∴8=2+3d，解得d=2．则S5-S3=a4+a5=2a1+7d=2×2+7×2=18．故答案为：18．设等差数列{a n}的公差为d，利用通项公式及其已知可得d．再利用S5-S3=a4+a5及其通项公式即可得出．本题考查等差数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】f（x）=sin（4x-）+【解析】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）+（ω＞0，|φ|＜）的图象的相邻对称轴间的距离为•=，∴ω=4．∵函数f（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减，∴4•（-）+φ≥-，且 4•+φ≤，∴φ=-，则函数f（x）的解析式为f（x）=sin（4x-）+，故答案为：f（x）=sin（4x-）+．由题意利用正弦函数的图象和性质，求出函数f（x）的解析式．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．15.【答案】±1【解析】解：双曲线的渐近线方程是y=±x，联立，解得，联立，解得，故|AB|=|m|，因为双曲线的离心率为，所以==e2-1=2，得=，所以|AB|=|2m|，故S△AOB=×|2m|×|m|=，解得m=±1，故答案为：±1．由双曲线的渐近线方程，可得A，B的坐标，得到AB的距离，由离心率公式和a，b，c 的关系得=，由三角形的面积公式，计算即可得到m的值．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查双曲线的性质，以及三角形的面积公式的计算，属于中档题16.【答案】{m|-1≤m＜或m=1}【解析】解：当0≤x≤1时，由f（x）=1，得到2x•（x3+m）=1，即：，当-1≤x＜0时，由f（x）=1，得到：2x+1-x2-m=1，令函数g（x）=，转换为：g（x）=与函数h（x）=x2+m的图象在区间[-1，1]上有且只有一个交点．在同一坐标系内画出，g（x）=与函数h（x）=x2+m的图象，结合函数的图象h（0）=1，即m=1，由于函数的图象只有一个交点，如图所示：故：，解得：．故函数有一个交点，则：m的取值范围是：{m|m=1或}．故答案为：{m|m=1或}．利用分类讨论思想对函数的关系式进行应用，进一步利用函数的图象的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：函数的图象的应用，函数的图象的交点的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17.【答案】解：（1）设梯形ABCD的高为h，因为sin∠BCD===，∠BCD+∠CBF=180°，所以sin∠CBF=sin（180°-∠BCD）=sin∠BCD=，在△CBF中，由正弦定理，可得=，即=，解得sin∠BFC=，又∠BFC∈（0°，180°），且CF＞BC，所以∠BFC=45°，（2）由（1）可得∠ECF=∠BFC=45°，在△BCF中，由余弦定理推理，可得cos∠BFC=，即BF2=2（）BF+4=0，解得BF=2，BF=2（舍去），因为S△CBF=S△DAG=BF×FC×sin∠BFC==+1，所以SΩ=S△CBF+S△DAG=2（+1）．（1）设梯形ABCD的高为h，可求sin∠BCD==，利用诱导公式可求sin∠CBF 【解析】的值，在△CBF中，由正弦定理可得sin∠BFC=，结合范围∠BFC∈（0°，180°），可求∠BFC的值．（2）由（1）可得∠ECF=∠BFC=45°，在△BCF中，由余弦定理可解得BF的值，利用三角形的面积公式可得S△CBF，S△DAG的值，进而大角SΩ．本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．18.【答案】（1）证明：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB是直角，则BC⊥AC，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE，又因为AE⊥PC，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PC∩BC=C，所以AE⊥平面PBC；（2）解：当点F位于线段PB上时，如下图所示，作FG⊥AB，垂足为G，因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB；又因为FG⊥AB，所以PA∥FG；又因为PA⊥平面ABC，所以FG⊥平面ABC；所以FG是三棱锥F-BOC的底面BOC上的高；因为C是弧AB的中点，且PA=AB=2，所以OA=OB=OC=AB=1，且CO⊥AB，∠APB=∠PBA=45°；若三棱锥F-BOC的体积为，则V三棱锥F-BOC=××OB×OC×FG=××1×1×FG=，解得FG=；所以BG=FG=；所以OG=OB-BG=1-=；所以tan∠BOF===，即三棱锥F-BOC的体积为时，tan∠BOF=．【解析】（1）由题意知BC⊥AC，PA⊥BC，可证明BC⊥平面PAC，BC⊥AE，再由AE⊥PC，证得AE⊥平面PBC；（2）作FG⊥AB于G，证明FG⊥平面ABC，得FG是三棱锥F-BOC的底面上的高；利用三棱锥F-BOC的体积求出FG，再求OG的值，从而求得tan∠BOF的值．本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了三棱锥体积计算问题，是中档题．19.【答案】42 28 70 12 18 30 54 46 1001计算K2=≈3.382＜6.635，所以没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关；（2）（i）抽取的文科生人数是10×=3（人），理科生人数是10×=7（人）；（ii）记两人都是文科生为事件M，记样本中的3名文科生为A、B、C，7名理科生为a、b、c、d、e、f、g；从这10人中随机抽取两人，基本事件分别为：AB、AC、Aa、Ab、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、BC、Ba、Bb、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、Ca、Cb、Cc、Cd、Ce、Cf、Cg、ab、ac、ad、ae、af、ag、bc、bd、be、bf、bg、cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共45种；两人都是文科生的基本事件为AB、AC、BC共3种，故所求的概率为P==．（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照数表得出结论；（2）（i）利用分层抽样法求出抽取的文科生、理科生人数；（ii）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样与古典概率的计算问题，是基础题．20.【答案】解：（1）椭圆的C的离心率e=，即，①将A（）代入椭圆方程，可得，②又b2+c2=a2，③由①②③解得a=，b=2，c=1，所以椭圆的方程为.（2）由（1）得F1，F2的坐标分别为（-1，0），（1，0），因为△AF1F2的外接圆的圆心一定在边F1F2的垂直平分线上，即△AF1F2的外接圆的圆心一定在y轴上，可设△AF1F2的外接圆的圆心为O′，半径为r，圆心O′的半径为（0，m），则由|O′A|=|O′F2|及两点之间的距离公式，得，得，解得m=，所以圆心O′的坐标为（0，），半径r=|O′F2|==，所以△AF1F2的外接圆的x2+（y-）2=（）2，即x2+（y-）2=.【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，将A代入椭圆方程及b2+c2=a2即可求得a和b 的值，求得椭圆方程；（2）根据三角形外接圆的性质，即可求得三角形外接圆的圆心及半径，即可求得外接圆的方程．本题考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点三角形的外接圆的求法，考查两点之间距离公式的应用，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f（x）=（1-a）x2-（2+a2）x3=x2[（1-a）-（2+a2）x]．令f（x）=0，可得：x=0，或x=，∴a≠1时，函数f（x）有两个零点：0，或；a=1时，函数f（x）有一个零点：0．（2）证明：设g（x）==（1-a）x-（2+a2）x2，令（1-a）x-（2+a2）x2=0，解得x1=0，x2=．∵a＜1，∴1-a＞0，∴x2=＞x1，∴关于x的不等式解集为{x|x1＜x＜x2}．要使得：[2ln（1-a）-2ln3+2]（β-α）≤1成立，只要证明：2ln（1-a）-2ln3+2≤成立，即证明：2ln（1-a）-≤2ln3-2对于a＜1成立，令1-a=t＞0，则h（t）=2ln t-=2ln t-t-+2，h′（t）=-1+==，可得h（t）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，∴t=3时，h（t）取得最大值，h（3）=2ln3-2，∴h（t）≤2ln3-2．即2ln（1-a）-≤2ln3-2对于a＜1成立，∴[2ln（1-a）-2ln3+2]（β-α）≤1成立．【解析】（1）f（x）=（1-a）x2-（2+a2）x3=x2[（1-a）-（2+a2）x]，令f（x）=0，对a 分类讨论即可得出函数的零点．（2）设g（x）==（1-a）x-（2+a2）x2，令（1-a）x-（2+a2）x2=0，解得x1=0，x2=．可得关于x的不等式解集为{x|x1＜x＜x2}．要使得：[2ln（1-a）-2ln3+2]（β-α）≤1成立，只要证明：2ln（1-a）-2ln3+2≤成立，即证明：2ln（1-a）-≤2ln3-2对于a＜1成立，令1-a=t＞0，h（t）=2ln t-=2ln t-t-+2，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、分析法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ可得圆C1的直角坐标方程为x2+y2-2y=0．由得y=+，即直线l的普通方程为：-y+=0（2）设点P（x，y），由中点坐标公式得曲线C2的直角坐标方程为x2+（y-）2=，联立解得或，故点M，N的直角坐标为（，+），（-，-+）．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．（1）由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ可得圆C1的直角坐标方程为x2+y2-2y=0．由得y=+，即直线l的普通方程为：-y+=0（2）根据代入法可得点P的轨迹方程，再联立方程组可解得M，N的直角坐标．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x-a|+|x+3|≥|（x-a）-（x+3）|=|a+3|，所以f（x）的最小值为f（x）min=|a+3|，令|a+3|=2，解得a+3=2或a+3=-2，即a=-1或a=-5；（2）当x∈[0，1]时，f（x）=|x-a|+x+3，|5+x|=5+x，所以不等式f（x）≤|5+x|可化为|x-a|+x+3≤5+x，即|x-a|≤2，所以a-2≤x≤a+2，由[0，1]⊆[a-2，a+2]，则，解得-1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[-1，2]．【解析】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．（1）利用绝对值不等式求出函数f（x）的最小值，列出方程f（x）min=2解得a的值；（2）x∈[0，1]时不等式f（x）≤|5+x|可化为|x-a|+x+3≤5+x，利用绝对值的定义求出x的取值范围，再由题意列出关于a的不等式组，从而求得a的取值范围．。