2007年高考数学试题分类详解--不等式

中学学科网学科精品系列资料 上中学学科网，下精品学科资料2007年高考数学试题分类详解不等式一、选择题1、（山东文7）命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，【答案】C 【分析】注意两点：（1）全称命题变为特称命题；（2）只对结论进行否定。

2、（全国2理6）不等式:412--x x >0的解集为(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞) (C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞)(D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)解．不等式:412--x x >0，∴ 10(2)(2)x x x ->+-，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选C 。

3、（全国2文4）下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．D ．ln 2解．∵ 0ln 21<<，∴ ln(ln2)<0，(ln2)2< ln2，而ln 2=21ln2<ln2，∴ 最大的数是ln2，选D 。

4、（全国2文5）不等式203x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-，B ．(2)+∞，C ．(3)(2)-∞-+∞ ，，D ．(2)(3)-∞-+∞ ，， 解．不等式203x x ->+的解集是(3)(2)-∞-+∞ ，，，选C 。

5、(安徽文8)设a ＞1,且2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则p n m ,,的大小关系为(A) n ＞m ＞p(B) m ＞p ＞n (C) m ＞n ＞p (D) p ＞m ＞n解析：设a ＞1,∴ 212a a +>，21a a >-，2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,∴ p n m ,,的大小关系为m ＞p ＞n ，选B 。

6、(安徽理3)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x<0时，－x ≥ax ，∴a ≥－1，综上得11a -≤≤，即实数a 的取值范围是a ≤1，选B 。

Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2，选A 。

8、（上海理13）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是A 、22a b < B 、22ab a b < C 、2211ab a b< D 、b a a b < 【答案】C【解析】若a <b <0 a 2>b 2，A 不成立；若220,ab a b ab a b>⎧⇒<⎨<⎩B 不成立；若a =1，b=2，则12,2b a b aa b a b==⇒>,所以D 不成立 ,故选C 。

9、（上海文理15）已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若()2f k k≥成立，则()()211f k k +≥+成立，下列命题成立的是 A 、若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2f k k ≥成立； B 、若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k <成立； C 、若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2f k k <成立； D 、若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。

【答案】D【解析】 对A ，当k=1或2时，不一定有()2f k k ≥成立；对B ，应有()2f k k ≥成立；对C ，只能得出：对于任意的7k ≥，均有()2f k k ≥成立，不能得出：任意的7k <，均有()2f k k <成立；对D ，()42516,f =≥∴ 对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。

故选D 。

10、（湖南理2）不等式201x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞-- ，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞ ，， D ．(12]-，【答案】D 【解析】由201x x -+≤得(2)(1)010x x x -+⎧⎨+≠⎩≤，所以解集为(12]-，. 11、（湖南文1）不等式2x x >的解集是A ．(),0-∞B . ()0,1 C. ()1,+∞ D . ()(),01,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】由2x x >得x （x-1）>0，所以解集为()(),01,-∞⋃+∞12、（重庆理7）若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab+的最大值为（ ）A.1552 B.42 C.55 D.22【答案】：B【分析】：a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则222214414||.a b a b ab =-⇒+=≥1||.4ab ∴≤2224(||2||)4|| 1.a b a b ab +=+-=2||2||ab a b ∴=≤=+==11||4,4||ab ab ≤∴≥4=二、填空题1、（山东文14）函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ． 【答案】:4【分析】：函数1(01)xy aa a -=>≠,的图象恒过定点(1,1)A ，1110m n ⋅+⋅-=，1m n +=，,0m n >，（方法一）：2m n +≥⇒≥， 11224m n +≥≥⋅=.（方法二）：1111()()22 4.n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+= 2、（山东文15）当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ．【答案】5m ≤-【分析】：构造函数：2()4,f x x mx =++[12]x ∈，。

由于当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立。

则(1)0,(2)0f f ≤≤，即140,4240m m ++≤ ++≤。

解得：5m ≤-。

3、（广东理14）（不等式选讲选做题）设函数()|21|3,f x x x =-++则(2)f -=_____；若()5f x ≤，则x 的取值范围是________； 答案：6；1[,1]2-4、（山东理16）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n+的最小值为_______. 【答案】: 8。

【分析】：函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点(2,1)A --，(2)(1)10m n -⋅+-⋅+=，21m n +=，,0m n >，12124()(2)448.n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+= 5、（上海理5）已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____【答案】161 【解析】 211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x =4y=12时取等号. 6、（浙江理13）不等式211x x --<的解集是 ． 【答案】：(0,2)【分析】：211211(1)211x x x x x x x --<⇒-<+⇒-+<-<+(1)210 2.211x x x x x -+<-⎧∴⇒<<⎨-<+⎩7、（重庆理13）若函数f(x) =的定义域为R ，则a 的取值范围为_______. 【答案】：[]10-， 【分析】：220212x ax a--≥=恒成立，220x ax a ⇒--≥恒成立，2(2)40(1)010.a a a a a ⇒∆=+≤⇒+≤∴-≤≤三、解答题1、（湖北理21）（本小题满分14分） 已知m ，n 为正整数. （Ⅰ）用数学归纳法证明：当x >-1时，(1+x )m ≥1+mx ；（Ⅱ）对于n ≥6，已知21311<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n ，求证mn n m ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2131，m =1,1,2…，n ；（Ⅲ）求出满足等式3n +4m +…+(n +2)m =(n +3)n 的所有正整数n .解：（Ⅰ）证：当x =0或m =1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x >-1，且x ≠0时，m ≥2,(1+x )m >1+mx . ○1 (i)当m =2时，左边＝1+2x +x 2,右边＝1+2x ，因为x ≠0,所以x 2>0，即左边>右边，不等式①成立；（ii ）假设当m =k (k ≥2)时，不等式①成立，即（1+x ）k >1+kx ,则当m =k +1时，因为x >-1,所以1+x >0.又因为x ≠0,k ≥2,所以kx 2>0.于是在不等式（1+x ）k >1+kx 两边同乘以1+x 得（1+x ）k ·(1+x )>(1+kx )(1+x )=1+(k +1)x +kx 2>1+(k +1)x ,所以（1+x ）k +1>1+(k +1)x ,即当m ＝k +1时，不等式①也成立. 综上所述，所证不等式成立.(Ⅱ)证：当,)21()311(,21311,6m nm m n n n m n <⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∴<+-≤≥）（时，而由（Ⅰ），31)311(+-≥+-n mn m .)21()311()31(m nm n n n m <⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤+-∴（Ⅲ）解：假设存在正整数00)3()2(43600000n n nn n n n +=++++≥ 使等式成立，即有（0330nn +）+00)32()34(000n n n n n +++++ ＝1. ②又由（Ⅱ）可得（0330nn +）+ ++--++-=+++++0000)311()31()32()34(0000000n n n n n n n n n n n+,121121)21()21()311(000010<-=+++<+--n n n n n 与②式矛盾， 故当n ≥6时，不存在满足该等式的正整数n . 故只需要讨论n =1,2,3,4,5的情形； 当n =1时，3≠4，等式不成立； 当n =2时，32+42＝52，等式成立； 当n =3时，33+43+53＝63，等式成立；当n =4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立； 当n =5时，同n =4的情形可分析出，等式不成立. 综上，所求的n 只有n =2,3.2、(江西理17)．（本小题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤++=-)1(2)0(1)(＜＜＜x c k c x cx x f c x在区间(0，1)内连续，且89)(2=c f ． （1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f 解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >得，当102x <<12x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．3、（北京文15）（本小题共12分）记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围． 解：（I ）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<． （II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，即a 的取值范围是(2)+∞，．。