火药燃烧的数学模型

火药燃烧的数学模型
随机弹道学已成为航空航天工业的核心技术，关于火药燃烧规律的研究构成随机弹道学的一个重要基础。

最早在高压条件下对火药的燃烧规律进行深入研究的是法国弹道学家维也里，他提出了火药的几何燃烧模型：火药在燃烧是按照平行层或同心层的规律逐层进行的．我们称这种燃烧规律为几何燃烧规律． 几何燃烧规律基本上反映了火药的燃烧规律，但它又不完全符合火药的实际燃烧情况．这是因为火药各点的化学性质和物理性质不可能完全相同，火药的形状尺寸不可能严格一致，也不可能保证所有的火药同时全面着火或在完全相同的条件下进行燃烧．所以说，几何燃烧规律是一个把燃烧过程过于理想化了的定律． 所以，要想真正的反映火药的实际燃烧规律，必须考虑到火药形状尺寸、火药表面粗糙度、以及点火传火过程等随机因素对火药燃烧过程的影响．所以我们 综合考虑火药燃烧过程中的随机因素，建立随机燃烧模型。

1． 火药的随机燃烧模型
1.1模型假设
膛内火药的燃烧过程是一个复杂瞬变的过程，影响燃烧过程的随机因素很多，为了研究问题的方便，假设:
（1）在装药中，所有药粒的形状和几何尺寸严格一致；
（2）火药在局部着火时，火焰以相同的概率向各个方向传播；
（3）火药在不同点上的理化性能存在差别，在同一个方向上，在任意确定的时间段内，燃烧的厚度是随机的．
1.2模型的建立
以)(t δ表示火药在t 时刻的已燃厚度，显然有0)0(=δ.则在不同时刻1t , 2t , ,L n t ，有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−++−+−=−+−=−=−)]
()([)]()([)]0()([)()]()([)]0()([)()0()()(1121121211n n n t t t t t t t t t t t t δδδδδδδδδδδδδδδL L L L L （1） 由于火药在不同点上的理化性能不完全一样，故)()(1−−i i t t δδ是许多独立的小位移之和，由中心极限定理，)()(1−−i i t t δδ服从正态分布．则)()]()([11−−−=−i i i i t t m t t E δδ，121)]()([−−−=−i i i i t t r t t D δδ，这里0>m 是依赖于火药燃烧环境（如压力，温度等）的一个常量，0>r 是依赖火药自身理化性能（如火药密度，表面粗糙度等）的一个常量．增量−)(1t δ)0(δ, −)(2t δ)(1t δ, ,L −)(n t δ)(1−n t δ是相互独立的,则（)(1t δ，)(2t δ，,L )(n t δ）服从n 维正态分布．其概率密度函数为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧−−−=−)()(21exp )2(1
)(1212a x B a x B x f T n π （2） 式中：,a B 分别为n 维随机矢量的数学期望和协方差矩阵．因此)(t δ是一个正态（高斯）随机过程．
2．随机燃烧规律下的形状函数
不同火药在燃烧过程中，它的相对已燃体积、相对已燃表面积和相对已燃厚度之间存在着一定的确定性函数关系．
在火炮的点火过程中，膛内单体药粒被点燃的初期，大致要经历两种情形：
1.药粒局部着火；
2.所有表面同时着火．实际上，火药被点燃初期，在膛内压力不太大时，火焰总是先出现在火药端面的尖角处，之后向火药的其它表面传播．随着膛内压力的增大，火药才出现全面燃烧．
下面我们以带状火药为例来考虑在膛内压力较小时火药局部燃烧时燃烧面的变化规律．
设带状药的长度为2c ，宽度为2b ， 厚度为2e 1，起始燃烧表面积为S 1 ，以)(t δ表示火药在t
时刻沿火焰传播法线方向的燃烧位移．
图
1 直角坐标系下的带状火药
图2 顶点着火时的带状火药
设火药的燃烧是从某一个顶点开始的，记该顶点为A．以A 为原点建立空间直角坐标系,如图1所示．以)(t X ，)(t Y ，)(t Z 表示在时刻t 时分别沿x, y, z 方向火药的已燃厚度．则)(t X ，)(t Y ，)(t Z 也是正态随机过程，且有
)(t δ≈))()()((t Z t Y t X ++
此时燃烧面为一曲面，可近似看作为一个部分球面，其半径为))()()((t Z t Y t X ++，所以有)()()(222t Z t Y t X ++≈)(32t δ，如图2所示．此时，火药的相对燃烧面积σ为
)
444(2)3)()()((24)()()()444(211222211be cb ce t Z t Y t X t Z t Y t X be cb ce +++++++−++=ππσ )444(2)(41112be cb ce t ++−
=δπ 令 b e 1=
α， c e 1=β， 1
)()(e t t z δ= 代入上式，则 αβ
βαπ
σ1)(3212++−=t z 再令
β
ααβμ++=
1 则 32)(12t z πμσ−
= （3） 将（3）式代入dt
dZ dt d χσψ=并且积分得 )144)
(1)((2t Z t Z πμχψ−= （4）
此即为火药局部引燃时的形状函数．在火药全面着火后，形状函数近似为 ))()(1)((2t Z t Z t Z μλχψ++= (5）
3．经典内弹道随机模型
3.1 模型的建立
由于火药的随机燃烧和膛内不断变化的压力的作用，经典内弹道的火药燃速公式由下述来确定．
以)(t δ表示火药在t 时刻的已燃厚度，以)(t p 表示火药在t 时刻的膛内平均压力．在很小的时间区间[,t dt t +]内，火药燃烧的厚度的变化由两个方面作用引起：一方面是由于压力的作用，其变化为dt t p u n )(1_
；另一方面是由于火药自身理化性能的差异而引起的随机燃烧，其变化为dt t b )(，此处，)(t b 是一正态过程．于是
dt t b dt t p u t dt t n )()()()(1_++=+δδ
由此可得火药随机燃烧的速率公式 )()()(1t b t p u dt
t d n +=δ （6） 同时给出内经典内弹道其它方程：
弹丸运动方程为
mdv SPdt ϕ= （7） 内弹道学基本方程为 22
)(mv f l l SP ϕθϖφψ−=+ （8） 式中 ])1(1[0ψδ
αδψ−Δ−Δ−=l l 联立式（4）到式（7），就得到经典内弹道的随机模型．
3.1.1 随机模型与内弹道零维模型
若用))((t Z E 分别去替换式（4）
（5）中的)(t Z ，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧≥++=<−=时
时0202)))(())((1))(((144))((1))(((t t t Z E t Z E t Z E t t t Z E t Z E μλχψμχψ （9） 式（8）中的0t 是一个时间点，在o t t <时，表示单体火药处于局部燃烧阶段，在o t t >时，表示单体火药已开始全面燃烧．0t 的大小根据火药的类型的不同而不同．在具体的模拟计算中，0t 的值由试验来确定．在一般情况下，由于火药局部燃烧阶段较短，可将该过程略去．
对式（5）两边求数学期望，有
1_
n dE((t ))u p (t )dt E(b(t ))dt δ=+ （10）
特别，若令式（3.15）中0E(b(t ))=，此时式（3.14）、（3.15）以及内弹道其它方程即构成经典内弹道的零维确定模型．
一般来说E(b(t ))是不等于零的，不妨令E(b(t ))b =，则（9）式可写为 b t p u dt
t dE n +=)())((1_δ （11） 此式从形式上同经典内弹道的综合燃烧公式是一致的．式中的b 是与火药各点理化性能的一致性相关联的一个待定常数
3.2.3 火药的随机燃烧与初速或然误差
为了判断弹丸的初速是否一致，通常用初速或然误差来进行衡量．在实际的射击试验中，初速或然误差按下式计算． )1/()(6745
.021_0−−=∑=n v v r i n i v （12） 式中：_v —一组炮弹的平均速度；i v —单发炮弹的速度；n —一组的发数． 注意到式（11）右端根号下即为初速的一组样本值的样本方差，样本方差为总体方差的无偏估计．
联立经典内弹道的弹丸运动方程和正比燃速公式，并消去Pdt 就能得到 dZ m
SI u de m S dv k φφ==
1 （13） 两边积分后有 )(0Z Z m SI v k −=φ （14） 设经过时间g t ，弹丸运动到炮口．可以看出，若在弹丸出炮口前火药已经全部燃完，则火炮的初速将达到最大．
若S ，k I ，φ和m 为常量，则对式（13）两端分别求方差后代入式（11）得 ))((6745.0))((6745.00t Z D m SI t v D r k
g v φ== （15）
上式表明：在起始条件和装填参量一致的条件下，火药的随机燃烧和点火传火过程众多随机因素的影响, 是造成初速不稳定的重要因素，0v r 的大小取决于
)(t Z 在0t 时刻的波动程度．因此，为了提高火炮射击的稳定性，减小散布，除了控制起始条件装填参量的一致性外，还要减小点传火过程中随机因素对火药燃烧过程的影响. 同时, 对单体火药而言,还要提高自身理化性能的一致性.。