浙江省宁波市2018届高三上学期期末考试数学试题(解析版)

合集下载

【高三数学试题精选】2018宁波市高三数学(上)期末试卷(理带答案和解释)

2018宁波市高三数学(上)期末试卷(理带答案和解释）
5
2018学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合={0，1，2，3，4}，N={x|1＜lg2（x+2）＜2}，则∩N=（）
A．{1}B．{2，3}c．{0，1}D．{2，3，4}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出与N的交集即可．【解答】解由N中不等式变形得lg22=1＜lg2（x+2）＜2=lg24，即2＜x+2＜4，
解得0＜x＜2，即N=（0，2），
∵={0，1，2，3，4}，
∴∩N={1}，
故选A．
2．已知a∈R，则“|a﹣1|+|a|≤1”是“函数=ax在R上为减函数”的（）
A．充分不必要条B．必要不充分条
c．充要条D．既不充分也不必要条
【考点】必要条、充分条与充要条的判断．
【分析】先求出不等式|a﹣1|+|a|≤1的解集，结合指数函数的性质判断充分必要性即可．
【解答】解a＜0时|a﹣1|+|a|=1﹣a﹣a≤1，解得a≥0，无解，。

宁波市2018届高三第一学期期末考试数学试卷(含解析)

一、选择题1. 已知集合2{|}M x x x =≤，{|lg 0}N x x ==，则M N =（）A. [0,1]B. (0,1]C. [0,1)D. {0,1} 【答案】 A 【解析】由题意得{|01}M x x =≤≤，{1}N =，所以{|01}MN x x =≤≤.2. 已知a b >，则条件“0c ≥”是条件“ac bc >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】当a b >时，0ac bc c >⇔>，所以“0c ≥”是“ac bc >”的必要不充分条件. 3. 若函数22()(21)1f x ax a a x =+--+为偶函数，则实数a 的值为（） A. 1 B. 12-C. 1或12- D. 0 【答案】 C 【解析】函数()f x 的定义域为R ，由()()f x f x -=得2210a a --=，解得1a =或12a =-. 4. 已知焦点在y 轴上的椭圆2214x y m+=的离心率为12，则实数m 等于（） A. 3 B.165 C. 5 D.163【答案】 D 【解析】因为椭圆2214x y m +=的焦点在y 轴上，所以4m >12=，解得163m =. 5. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =（）A. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】 B 【解析】由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的组合体，且半圆柱的底面和半球体的一半底面重合，则其表面积为2222114222245162022r r r r r r r r πππππ⨯++⨯+⨯⨯=+=+，解得2r =. 6. 已知21()cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（） A.B.C.D.【答案】 A 【解析】由题意得()sin 2x f x x '=-，易得函数()f x '为奇函数，排除B ，D ；设()sin 2xg x x =-，则1()cos 2g x x '=-，易得当(0,)3x π∈时，1()cos 02g x x '=-<，即函数()f x '在(0,)3π上单调递减，排除C ，故选A.7. 一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和()n n N *∈个黑球，现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若()1D X =，则()E X =（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 B 【解析】设摸取一次摸得白球的概率为p ，则易得(4,)XB p ，则()4(1)1D X p p =-=，解得12p =，则1()422E X =⨯=. 8. 《莱因德纸草书》()Rhind Papyrus 是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小的一份为（）A. 53个B. 103个C. 56个D. 116个【答案】 A 【解析】由题意设5个人分得的面包数分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，则不妨设公差0d >，则有12345123451001()7a a a a a a a a a a ++++=⎧⎪⎨+=++⎪⎩，即11151010012(39)7a d a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得153a =，即最小的一份为53个.9. 若函数1()f x x=在{|14,}x x x R ≤≤∈上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（）A.74B. 2C. 94D. 114【答案】 C 【解析】因为1()0f x x=≥，当1x =时，等号成立，所以0m =.又因为111()f x xxx=≤+=，当0x <时等号成立.设t x =，1()(14)g t tt =≤≤，则322212()2t g t tt -'=-=，令3222()02t g t t -'==得t =，所以函数()g t 在上单调递减，在上单调递增，且(1)2g =，9(4)4g =，所以()g t 在[1,4]上的最大值为94，所以当x =1()f x x=取得最大值94M =，所以94M m -=. 10. 已知向量OA ，OB ，满足1OA =，2OB =，3AOB π∠=，M 为OAB ∆内的一点（包括边界），OM xOA yOB =+，若1OM BA ⋅≤-，则以下结论一定成立的是（）A.2223x y ≤+≤ B. 12x y ≤C. 13x y -≤-D.213x y ≤+≤【答案】 B 【解析】因为1OA =，2OB =，3AOB π∠=，则不妨设(1,0)OA =，(1OB =，则()OM xOA yOB x y =+=+，(0,BA =，所以31OM BA y ⋅=-≤-，解得13y ≥.又因为点M 为OAB ∆内一点（包含边界），所以x ，y 满足的关系式为0131x y x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，取0x =，13y =，此时12233x y +=<，故A 选项不一定成立；由13y ≥，1x y +≤得23x ≤，所以123x y ≤≤，故B 选项一定成立；取0x =，1y =，此时331x y -=-<-，故C 选项不一定成立；取0x =，13y =，此时1233x y +=<，故D 选项不一定成立.二、填空题11. 已知4510ab==，则12a b+= . 【答案】2【解析】由4510ab==得lg 4lg51a b ==，则1lg 4a =，1lg5b =，则212lg 42lg5lg(45)2a b+=+=⨯=. 12. 设i 为虚数单位，则复数23ii+的虚部为，模为 .【答案】2-【解析】复数23(23)()32()i i i i i i i ++-==--，则其虚部为2-=13. 对给定的正整数(6)n n ≥，定义2012()n n f x a a x a x a x =++++，其中01a =，12(,)i i a a i N i n *-=∈≤，则6a = ；当2017n =时，(2)f = .【答案】642018413- 【解析】由01a =，12(,)i i a a i N i n *-=∈≤得数列{}i a 为首项为1、公比为2的等比数列，则2(,)i i a i N i n *=∈≤，所以66264a ==.当2017n =时，2220172017()1222f x x x x =++++，2220172017(2)1222222f =+⨯+⨯++⨯20182018220171(14)411444143--=++++==-.14. 在锐角三角形ABC 中，已知2A B =，则角B 的取值范围是，又若a ，b 分别为角A ，B 的对边长，则ab的取值范围是 . 【答案】(,)64ππ【解析】由2A B =得3C A B B ππ=--=-，因为ABC ∆为锐角三角形，所以2(0,)2(0,)23(0,)2A B B C B ππππ⎧=∈⎪⎪⎪∈⎨⎪⎪=-∈⎪⎩，解得角(,)64B ππ∈，则在ABC ∆中，由正弦定理得sin 2sin cos 2cos sin sin a A B B B b B B===∈. 15. 已知双曲线C的渐近线方程是y =±，右焦点(3,0)F ，则双曲线C 的方程为，又若点(0,6)N ，M 是双曲线C 的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为 . 【答案】2218y x -=2【解析】因为点(3,0)F 为双曲线的右焦点，则不妨设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，所以双曲线的渐近线方程为b y x a =±=±，即ba=①，又因为2223 a b +=②，联立①②，解得1a =，b =2218y x -=.设双曲线的左焦点为F '，则FMN ∆的周长为22222NF MN MF NF MN a MF NF a NF NF a ''++=+++≥++=+=，当且仅当点M 为直线NF '与双曲线的左支的交点时，等号成立，所以FMN ∆的周长的最小值为2.16. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有种（请用数字作答）. 【答案】52【解析】因为四个骰子朝上的数字之积为24，所以这四个骰子朝上的数字组合可以为(6,4,1,1)，(6,2,2,1)，(4,3,2,1)，(3,2,2,2).对于(6,4,1,1)，有114312C C =种情形；对于(6,2,2,1)，有114312C C =种情形；对于(4,3,2,1)，有4424A =种情形；对于(3,2,2,2)，有144C =种情形.综上所述，四个骰子朝上的数字之积为24的情形共有12122452++=种.17. 如图，在平面四边形ABCD 中，1AB BC ==，AD CD ==，90DAB DCB ∠=∠=︒，点P 为AD 的中点，M ，N 分别在线段BD ，BC 上，则2PM MN +的最小值为 .【答案】1【解析】由题意得BD ==cos 3ADB ∠=.设(0DM t t =≤≤，则在PDM ∆中，由余弦定理得PM ==MN BC ⊥时，MN取得最小值为BM CD BD ⋅=，则1P M N =，设13y t =，则2221(1)032t yt y +--=，将其看作是关于t 的一元二次方程，则22481[(1)]0332y y ∆=--≥，解得1y ≥或13y ≤.过点P 作PM BD '⊥；故易得163PD AB PM PM BD ⋅'≥==>，所以13y >，则13y ≤舍去，所以1y ≥，当2t =时等号成立，所以2PM MN +的最小值为1. 三、解答题18. 已知函数2()2sin cos 12sin f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值与最小值【答案】（Ⅰ）π12- 【解析】（Ⅰ）因为()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为34x ππ-≤≤，所以5321244x πππ-≤+≤.当242x ππ+=，即8x π=时，()f x52412x ππ+=-，即3x π=-时，22()sin()cos()333f πππ-=-+-=()f x 的最小值为. 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PA 的中点，2AB a =，BC a =，PC PD ==.（Ⅰ）求证：//PC 平面BDE ；（Ⅱ）求直线AC 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）略【解析】（Ⅰ）证明：设AC 与BD 的交点为O ，连接EO .因为底面ABCD 为矩形，所以O 为AC 的中点.在PAC ∆中，E 为PA 的中点，所以//EO PC .又EO ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，所以//PC 平面BDE .（Ⅱ）在PCD ∆中，2DC a =，PC PD ==，所以222DC PD PC =+，即PC PD ⊥.因为平面PCD ⊥平面ABCD ，且平面PCD平面ABCD CD =，AD CD ⊥，所以AD ⊥平面PCD ，故AD PC ⊥.又AD PD D =，,AD PD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，故PAC ∠就是直线AC 与平面PAD 所成的角.在Rt PAC ∆中，AC =，PC =，所以sinPC PAC AC ∠===，即直线AC 与平面PAD 所成角的正20. 已知函数()(1)x f x x e =-.（Ⅰ）若方程()f x a =只有一个解，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()(ln )g x m x x =-，若对任意正实数1x ，2x ，12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{1}[0,)-+∞（Ⅱ）[1,)+∞【解析】（Ⅰ）由已知可得()(1)x x x f x e x e xe '=+-=.当0x <时，()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减；当0x >时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.故min ()(0)1f x f ==-.又当0x <时，()(1)0x f x x e =-<，当x →-∞时，()0f x →，又(1)0f =，且当1x >时，()10f x x =->，若()f x a =只有一个解，即()y f x =与y a =只有一个交点，则所求a 的取值范围是{1}[0,)-+∞.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()1f x ≥-，所以对任意正实数1x ，2x ，12()()f x g x ≥恒成立，等价于22()1(0)g x x ≤->. ()*当0m ≤时，(1)0g m =-≥，与()*式矛盾，故不符合题意；当0m >时，因为1()x g x m x-'=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.max ()(1)1g x g m ==-≤-，所以1m ≥.综上所述，实数m 的取值范围为[1,)+∞.21. 已知抛物线C 的方程为24x y =，F 为其焦点，过不在抛物线上的一点P 作此抛物线的切线PA ，PB ，A ，B 为切点，且PA PB ⊥.（Ⅰ）求证：直线AB 过定点；（Ⅱ）直线PF 与曲线C 的一个交点为R ，求AR AB ⋅的最小值.【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）274【解析】（Ⅰ）证明：设直线AB 的方程为y kx b =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，对24x y =求导得2x y '=，所以易知以A ，B 为切点的切线方程分别为1122x x y y =+，2222x x y y =+. 联立24y kx bx y =+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx b --=，则124x x k +=，224x x b =-.这两条切线垂直得12124144x x b k k -===-，得1b =，所以直线AB 恒过定点(0,1). （Ⅱ）设00(,)P x y ，则由（Ⅰ）得0121()22x x x k =+=，1201011124x x y x x y =-==-. 当0k =时，则00x =，可得AB PF ⊥；当0k ≠时，则00x ≠，02x k =，02PF k x -=，同样可得AB PF ⊥，又焦点(0,1)F 在直线AB 上，所以()AR AB AF FR AB AB AF ⋅=+⋅=⋅ 112(1)(2)AB AF y y y =⋅=+++. 由221212116x x y y ==. 所以112(1)(2)AR AB y y y ⋅=+++ 2111133y y y =+++. 令21()33(0)f x x x x x =+++>，则2221(1)(21)()23x x f x x x x +-'=+-=.所以()f x 在1(0,]2上为减函数，在1[,)2+∞上为增函数.所以min 127()()24AR AB f ⋅==. 22. 已知数列{}n a 满足，1a a =.（Ⅰ）若1a >，求证：对任意正整数(1)n n >均有2n a ≥；（Ⅱ）若3a =，求证：12324143n n a a a a n +<++++<+对任意n N *∈恒成立.【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）略【解析】（Ⅰ）根据()22g x x =-和2()22x f x x =-在[2,)+∞上均为增函数，从而当2n a ≥时，必有1()(2)2n n a f a f +=≥=，或1()(2)2n n a g a g +=≥=.当1a >，且2a ≠时，2()(2)2a f a f =>=，所以对任意正整数(1)n n >均有2n a >；当2a =时，232a a ==，从而2n a =恒成立.综上所述，当1a >时，2n a ≥对所有满足1n >的正整数n 均成立.（Ⅱ）当3a =时，一方面，由（Ⅰ）知2124(2,)k k a a k k N -+>≥∈.又129354a a +=+>，所以12241n a a a n +++>+. 另一方面，2221212121221212132222(1)k k k k k k k k a a a a a a a a --------+=+=--，且221212122122221k k k k k a a a a a --+--+=-=-，令212k k a b --=，则21(1)121k k k b b b ++++=+，即211k k k b b b +=+，且11b =，212b =. 所以222121212213231082(1)2(1)k k k k k k k k a a b b a a a b -----+++==-+ 11[3(1)4]21k k b b =++++. 由11111()()(1)(1)k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b ---+--++-=++，且210b b -<知{}k b 为递减数列，且0k b >，所以111k b <+，从而212113[3(1)4]4212k k k k k a a b b b -+=+++<++. 又由11111111112k k k k k b b b b b b +==-≤-=+++.所以1122112n b b b b +++<=-，所以122123()4342n n a a a b b b n n +++<++++<+.综上，所证成立.。

浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试高二数学试卷(解析版)

浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试高二数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知圆C的方程为(x+2)2+(y−3)2=2，则它的圆心和半径分别为()A. (−2,3)，2B. (2,−3)，2C. (−2,3)，√2D. (2,−3)，√2【答案】C【解析】解：由圆C的方程为(x+2)2+(y−3)2=2，可得它的圆心和半径分别为(−2,3)，√2．故选：C．直接由圆的标准方程求出圆心和半径即可．本题考查了圆的标准方程，是基础题．2.直线√3x+y+1=0的倾斜角为()A. 2π3B. π3C. 5π6D. π6【答案】A【解析】解：直线√3x+y+1=0的斜率等于−√3，设它的倾斜角等于θ，则0≤θ<π，且tanθ=−√3，∴θ=2π3，故选：A．直线的斜率等于−√3，设它的倾斜角等于θ，则0≤θ<π，且tanθ=−√3，求得θ值，即为所求．本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，得到tanθ=−√3，是解题的关键．3.已知空间向量a⃗=(3,1，0)，b⃗ =(x,−3,1)，且a⃗⊥b⃗ ，则x=()A. −3B. −1C. 1D. 2【答案】C【解析】解：∵a⃗⊥b⃗∴a⃗⋅b⃗ =0∴3x−3=0解得x=1故选：C．利用向量垂直的充要条件：数量积为0列出向量等式；利用向量的数量积公式列出关于x的方程，求出x的值．本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查向量数量积公式：对应坐标乘积的和．4.已知直线ax+y−2+a=0在两坐标轴上的截距相等，则实数a=()A. 1B. −1C. −2或1D. 2或1【答案】D【解析】解：−2+a=0，即a=2时，直线ax+y−2+a=0化为2x+y=0，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；−2+a≠0，即a≠2时，直线ax+y−2+a=0化为ax2−a +y2−a=1，它在两坐标轴上的截距为2−aa=2−a，解得a=1；综上所述，实数a=2或a=1．故选：D．根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a的值．本题考查了直线在两坐标轴上的截距应用问题，是基础题．5.对于实数m，“1<m<2”是“方程x2m−1+y2m−2=1表示双曲线”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：若方程x2m−1+y2m−2=1表示双曲线，则(m−1)(m−2)<0，得1<m<2，则“1<m<2”是“方程x2m−1+y2m−2=1表示双曲线”的充要条件，故选：C．根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线方程的特点求出m的取值范围是解决本题的关键．6.若x，y满足约束条件{2x+y−4≥0x−y+1≥0x−2y−2≤0，则z=x+y()A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】解：x ，y 满足的平面区域如图：当直线y =−x +z 经过A 时z 最小，经过B 时z 最大，由{x −2y =22x+y=4得到A(2,0) 所以z 的最小值为2+0=2，由于区域是开放型的，所以z 无最大值；故选：B ．画出x ，y 满足的平面区域，利用y =−x +z 的截距的最值求得z 的最值．本题考查了简单线性规划问题，首先正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值．7. 设a ，b 为空间两条直线，α，β为空间两个平面，则下列命题中真命题的是( )A. 若a 不平行α，则在α内不存在b ，使得b 平行aB. 若a 不垂直α，则在α内不存在b ，使得b 垂直aC. 若α不平行β，则在β内不存在a ，使得a 平行αD. 若α不垂直β，则在β内不存在a ，使得a 垂直α【答案】D【解析】解：若a 不平行α，则当a ⊂α时，在α内存在b ，使得b//a ，故A 错误；若a 不垂直α，则在α内至存在一条直线b ，使得b 垂直a ，故B 错误；若α不平行β，则在β内在无数条直线a ，使得a 平行α，故C 错误；若α不垂直β，则在β内不存在a ，使得a 垂直α，由平面与平面垂直的性质定理得D 正确．故选：D ．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8. 已知两点M(−2,0)，N(2,0)，若直线y =k(x −3)上存在四个点P(i =1,2，3，4)，使得△MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是( )A. (−2,2)B. (−45,45)C. (−45,0)∪(0,45)D. (−2√55,0)∪(0,2√55)【答案】D【解析】解：当P 1M ⊥x ，P 4M ⊥x 时，此时存在两个直角三角形，当MN 为直角三角形的斜边时，△MNP 是直角三角形，要使直线y =k(x −3)上存在四个点P(i =1,2，3，4)，使得△MNP 是直角三角形，等价为以MN 为直径的圆和直线 y =k(x −3)相交，且k ≠0，圆心O到直线kx−y−3k=0的距离d=√1+k2<2，平方得9k2<4(1+k2)=4+4k2，即5k2<4，即k2<45，得−√45<k<√45，即−2√55<k<2√55，又k≠0，∴实数k的取值范围是(−2√55,0)∪(0,2√55)，故选：D．根据△MNP是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线y=k(x−3)相交，且k≠0，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，根据条件结合△MNP是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键．9.已知双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，C2：y2m2−x2n2=1(m>0,n>0)，若双曲线C1，C2的渐近线方程均为y=±kx(k>0)，且离心率分别为e1，e2，则e1+e2的最小值为()A. √5B. 2√2C. √6D. 2√3【答案】B【解析】解：∴双曲线C1，C2的渐近线方程均为y=±kx，∴ba =k，mn=k，∴e1=√1+b2a2=√1+k2，e2=√1+n2m2=√1+1k2=√1+k2k，∴e12−1=k2，e22−1=1k2，∴(e12−1)(e22−1)=1，∴e12e22−(e12+e22)=0，∴e12e22−(e1+e2)2+e1e2=0∴(e1+e22)4−(e1+e2)2+(e1+e22)2≥0，当且仅当e1=e2=√2时取等号，即k=1时取等号，∴(e1+e2)2≥8∴e1+e2≥2√2故选：B．根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得e12−1=k2，e22−1=1k2，即(e12−1)(e22−1)=1，再根据基本不等式即可求出．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程基本不等式，考查运算能力，属于中档题10.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，已知四棱锥S−ABCD为阳马，且AB=AD，SD⊥底面ABCD.若E是线段AB 上的点(不含端点)，设SE与AD所成的角为α，SE与底面ABCD所成的角为β，二面角S−AE−D的平面角为γ，则A. β≤γ≤αB. β≤α≤γC. α≤γ≤βD. α≤β≤γ【答案】A【解析】解：四棱锥S−ABCD为阳马，且AB=AD，SD⊥底面ABCD.E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与AD所成的角为α，SE与底面ABCD所成的角为β，二面角S−AE−D的平面角为γ，∴β<γ=∠SAD<α，∴β≤γ≤α．故选：A．由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到β<γ=∠SAD<α，从而β≤γ≤α．本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.椭圆x2+y2=1的长轴长为______，左顶点的坐标为______．52【答案】10 (−1,0)=1可知，椭圆焦点在y轴上，【解析】解：由椭圆x2+y252a2=52，∴{b2=1∴长轴长2a=10，左顶点的坐标为(−1,0)．故答案为：10；(−1,0)．直接由椭圆的性质得答案．本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的性质，是基础题．12.命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题可表示为______，这个否命题是一个______命题.(可填：“真”，“假”之一)【答案】若两个整数a，b不都是偶数，则a+b不是偶数假【解析】解：命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题可表示为“若整数a，b不都是偶数，则a+b不是偶数”，由a，b均为奇数，可得a+b为偶数，则原命题的否命题为假命题，故答案为：若整数a，b不都是偶数，则a+b不是偶数，假．由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举a，b均为奇数，则a+b为偶数，即可判断真假．本题考查命题的否命题和真假判断，考查判断能力和推理能力，是一道基础题．13.已知圆C：x2+y2−4x+a=0，则实数a的取值范围为______；若圆x2+y2=1与圆C外切，则a的值为______．【答案】(−∞,4)3【解析】解：由x2+y2−4x+a=0得(x−2)2+y2=4−a，若方程表示圆，则4−a>0，得a<4，即实数a的取值范围是(−∞,4)，圆心C(2,0)，半径R=√4−a，若圆x2+y2=1与圆C外切，则|OC|=R+1，即2=√4−a+1，即√4−a=1，即4−a=1，得a=3，故答案为：(−∞,4)，3．利用配方法，求出圆心和半径，结合两圆外切的等价条件进行求解即可．本题主要考查圆的一般方程以及两圆外切的应用，根据配方法求出圆心和半径是解决本题的关键．14.已知AE是长方体ABCD−EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有______条.【答案】4【解析】解：作出长方体ABCD−EFGH，在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，CD，BC，GF，共4条．故答案为：4．作出长方体ABCD−EFGH，利用列举法能求出在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱的条数．本题考查长方体中与已知棱异面且垂直的棱的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．15.已知双曲线x2m2−y232=1(m>0)的一个焦点为F1(5,0)(设另一个为F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|=9，则|PF2|=______.(用数值表示)【答案】17或1【解析】解：∵双曲线x2m2−y232=1(m>0)的一个焦点为F1(5,0)，∴c=5，∴a2=c2−b2=25−9=16，∴a=4，∵P为双曲线上一点，且|PF1|=9，∴||PF2|−|PF1||=2a=8，∴|PF2|=17，或|PF2|=1，故答案为：17或1根据已知条件，直接利用双曲线的定义进行求解即可．本题主要考查了双曲线的性质，运用双曲线的定义||PF 1|−|PF 2||=2a ，是解题的关键，属基础题．16. 如图，在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是BC 的中点，P 是平面CDD 1C 1内一点，且满足S △APD =S △CPE ，则线段C 1P 的长度的取值范围为______．【答案】[3,7]【解析】解：由S △APD =S △CPE ，得2PD =PC ，在平面CDD 1C 1内，以D 为原点建立坐标系如图，设P(x,y)，则4(x 2+y 2)=(x −3)2+y 2，整理得(x +1)2+y 2=4，设圆心为M ，求得|C 1M|=5， ∴C 1P 的取值范围是：[5−2,5+2]，故答案为：[3,7]．首先利用面积相等得到点P 与C ，D 的关系，进而建立平面直角坐标系，求得点P 的轨迹方程，确定轨迹为圆，使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题，得解．此题考查了点的轨迹的求法，圆外一点到圆上点的距离最值问题，难度适中．17. 已知A(−3,0)，B(3,0)及两直线l 1：x −y +1=0，l 2：x −y −1=0，作直线l 3垂直于l 1，l 2，且垂足分别为C 、D ，则|CD|=______，|AC|+|CD|+|DB|的最小值为______【答案】√2 √2+√26【解析】解：∵两直线l 1：x −y +1=0，l 2：x −y −1=0互相平行，作直线l 3垂直于l 1，l 2，且垂足分别为C 、D ， ∴|CD|=√1+1=√2，∵A(−3,0)，B(3,0)及两直线l 1：x −y +1=0，l 2：x −y −1=0，作直线l 3垂直于l 1，l 2，且垂足分别为C 、D ，∴当直线CD 的方程为：x +y =0时，|AC|+|CD|+|DB|取最小值，联立{x +y =0x−y+1=0，得C(−12,12)，联立{x +y =0x−y−1=0，得D(12,−12)， ∴|AC|+|CD|+|DB|的最小值为：√(−3+12)2+(0−12)2+√2+√(3−13)2+(0+12)2=√2+√26．故答案为：√2，√2+√26．利用两平行线间的距离公式能求出|CD ；当直线CD 的方程为：x +y =0时，|AC|+|CD|+|DB|取最小值．本题考查线估长的求法，考查三条线段和的最小值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 在平面直角坐标系中，已知直线l 经过直线4x +3y +2=0和2x +y +2=0的交点P ．(Ⅰ)若l 与直线2x +3y −1=0垂直，求直线l 的方程； (Ⅱ)若l 与圆x 2+2x +y 2=0相切，求直线l 的方程．【答案】解：(Ⅰ)由{2x +y +2=04x+2y+2=0，解得x =−2，y =2，则点P(−2,2) 由于点P(−2,2)，且所求直线l 与直线2x +3y −1=0垂直，设所求直线l 的方程为3x −2y +m =0，将点P 坐标代入得3×(−2)−2×2+m =0，解得m =10．故所求直线l 的方程为3x −2y +10=0． (II)圆的标准方程为(x +1)2+y 2=1，所以圆心为(−1,0)，半径为2，若直线l 的斜率不存在，此时x =−2，满足条件，若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y −2=k(x +2)，则圆心到直线l 的距离d =√1+k 2=1，解得k =−34 【解析】(1)联立方程组求出点P(−2,2)，由点P(−2,2)，且所求若l 与直线2x +3y −1=0垂直，设所求直线l 的方程为3x −2y +m =0，将点P 坐标代入能求出直线l 的方程． (II)求出圆心和半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出．本题考查直线方程的求法，直线与直线垂直的性质，直线和圆的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19. 如图，α//β//γ，直线a 与b 分别交α，β，γ于点A ，B ，C 和点D ，E ，F(Ⅰ)求证：ABBC =DE EF；(Ⅱ)若AB =BC ，AD =2，BE =√7，CF =4，求直线AD 与CF 所成的角．【答案】(Ⅰ)证明：连接AF 交平面β于G ，连接AD ，BE ，CF ，BG ，EG ． ∵β//γ，平面ACF ∩β=BG ，平面ACF ∩γ=CF ， ∴BG//CF ，则ABBC =AG GF ，同理，由α//β，可得GE//AD ，则DEEF =AGGF ．∴AB BC=DE EF；(Ⅱ)解：∵BG//CF ，GE//AD ，∴∠BGE(或其补角)就是直线AD 与CF 所成的角． ∵AB AC=BG CF=12，GF AF =GE AD =12， ∴BG =2，GE =1，又BE =√7，CF =4， ∴由余弦定理可得cos∠BGE =1+4−74=−12，得∠BGE =120∘．∴直线AD 与CF 所成的角为60∘．【解析】(Ⅰ)连接AF 交平面β于G ，连接AD ，BE ，CF ，BG ，EG ，由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案；(Ⅱ)找出直线AD 与CF 所成的角，然后利用余弦定理求解．本题考查异面直线所成角，考查平行线截线段成比例定理、余弦定理的应用，是中档题．20. 如图，在四棱锥M −ABCD 中，平面ABCD ⊥平面MCD ，底面ABCD 是正方形，点F 在线段DM 上，且AF ⊥MC ． (Ⅰ)证明：MC ⊥平面ADM ；(Ⅱ)若AB =2，DM =MC ，且直线AF 与平面MBC 所成的角的余弦值为2√23，试确定点F 的位置．【答案】证明：(Ⅰ)平面ABCD ⊥平面MCD ，平面ABCD ∩平面MCD =CD ， AD ⊥CD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥平面MCD ，∵MC ⊂平面MCD ，∴AD ⊥MC ，又AF ⊥MC ，AD ∩AF =A ， ∴MC ⊥平面ADM ．解：(Ⅱ)由MC ⊥平面ADM ，知MC ⊥MD ， ∴MC =MD =√2，过M 作MO ⊥CD ，交CD 于O ，∵平面ABCD ⊥平面MCD ，∴MO ⊥平面ABCD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，D(0,0，0)，M(0,1，1)，设DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，(λ>0)，则F(0,λ,λ)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,λ,λ)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,1)，设平面MBC 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)，则由{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，得{−2x −y +z =0−2x=0，取y =1，得n⃗ =(0,1，1)，设直线AF 与平面MBC 所成的角为θ，则cosθ=2√23，∴sinθ=|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2⋅√4+λ2+λ2=13，解得λ=12，∴F 是DM 的中点．【解析】(Ⅰ)推导出AD ⊥平面MCD ，AD ⊥MC ，再由AF ⊥MC ，能证明MC ⊥平面ADM ． (Ⅱ)由MC ⊥平面ADM ，知MC ⊥MD ，从而MC =MD =√2，过M 作MO ⊥CD ，交CD 于O ，则MO ⊥平面ABCD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F 是DM 的中点．本题考查线面垂直的证明，考查满足线面角的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，记经过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，且点Q 到抛物线C 的准线的距离为32．(Ⅰ)求点Q 的纵坐标；(可用p 表示) (Ⅱ)求抛物线C 的方程；(Ⅲ)设直线l ：y =kx +12与抛物线C 有两个不同的交点A ，B.若点M 的横坐标为2，且△QAB 的面积为2√5，求直线l 的方程．【答案】解：(Ⅰ)设Q(x Q ,y Q )，∵焦点F(0,p2)以及△MFO 的外接圆的圆心为Q ， ∴Q 点的纵坐标为y Q =p4，(Ⅱ)∵抛物线C 的准线方程为y =−p2， ∴p4−(−p2)=32，解得p =2，∴抛物线C 的方程x 2=4y ． (Ⅲ)可知M(2,1)，F(0,1)，O(0,0)，∴△MFO 为直角三角形，其外接圆圆心在MO 的中点上，即Q 的坐标为(1,12)， ∴点Q 到直线AB 的距离d =√1+k 2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程组{x 2=4yy =kx +12，消y 可得x 2−4kx −2=0，∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−2，∴|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2+8， ∴S △QAB =12|AB|⋅d =√k 2(4k 2+2)=2√5，解得k 2=2，即k =±√2， ∴直线l 的方程为y =±√2x +12【解析】(Ⅰ)根据焦点F(0,p2)以及△MFO 的外接圆的圆心为Q ，即可求出； (Ⅱ)由题意可得p4−(−p2)=32，解得p =2，即可求出抛物线方程；(Ⅲ)先判断△MFO 为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式即可求出．本题考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，训练了弦长公式的应用，是中档题．22. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线l ：y =−√22x 与椭圆E 相交于M ，N 两点，点P 是椭圆E 上异于M ，N 的任意一点，若点M 的横坐标为−√2，且直线l 外的一点Q 满足：MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)求点Q 的轨迹； (Ⅲ)求△MNQ 面积的最大值．【答案】解：(Ⅰ)可知M(−√2,1)，又M 在E 上，所以2a 2+1b 2=1，另外e =c a=√a2−b 2b=√22，所以可解得a =2，b =√2，得E 的方程为x 24+y 22=1；(Ⅱ)由直线l 与椭圆E 相交于M 、N 两点，得知M 、N 关于原点对称，所以N(√2,−1)，设点Q(x,y)，P(x 0,y 0)，则MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +√2,y −1)，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+√2,y 0−1)，NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −√2,y +1)，NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−√2,y 0+1)，由MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{(x +√2)(x 0+√2)+(y −1)(y 0−1)=0(x −√2)(x 0−√2)+(y +1)(y 0+1)=0，即{(x +√2)(x 0+√2)=−(y −1)(y 0−1)(x −√2)(x 0−√2)=−(y +1)(y 0+1)，两时相乘得(x 2−2)(x 02−2)=(y 2−1)(y 02−1)．又因为点P(x 0,y 0)在E 上，所以，x 024+y 022=1，即x 02=4−2y 02，代入(x 2−2)(x 02−2)=(y 2−1)(y 02−1)，即−2(y 02−1)(x 2−2)=(y 02−1)(y 2−1)．当y 02−1≠0时，得2x 2+y 2=5；当y 02−1=0时，则得P(−√2,−1)或(√2,1)．此时，Q(√2,1)或Q(−√2,−1)，也满足方程2x 2+y 2=5．若点P 与点M 重合，即P(−√2,1)．由{y =√2x −32x 2+y 2=5，解得Q(√2,−1)或Q(√22,2)．若点P 与点N 重合时，同理可得Q(−√2,1)或Q(−√22,2)．故所求点Q 的轨迹是：椭圆2x 2+y 2=5除去四个点(√2,−1)、(√22,−2)、(−√2,1)、(−√22,2)的曲线；(Ⅲ)因为点Q(x,y)到直线l ：y =−√22x 的距离d =√2y|√3，且易知|MN|=2√3，所以，△MNQ 的面积为S △MNQ =12×2√3×√2y|√3=|x +√2y|=√(x +√2y)2=√x 2+2y 2+2√2xy=√x 2+2y 2+2x ⋅√2y =√x 2+2y 2+2⋅2x ⋅y √2≤√x 2+2y 2+4x 2+y 22═√5x 2+5y 22=√52(2x 2+y 2)=√52×5=5√22．当且仅当2x =√2时，即当{x =√22y =2或{x =−√22y =−2时，等号成立，所以，△MNQ 面积的最大值为5√22； (一)几何相切法：设l 的平行直线l′：y =−√22x+m ，由{y =−√22x +m2x 2+y 2=5，得52x 2−√2mx +m 2−5=0，由△=0得m =±52．可得此时椭圆2x 2+y 2=5与l′相切的切点为(√22,2)、(−√22,−2)，易得△MNQ 面积的最大值为5√22(因为|MN|=2√3).(二)三角换元法：由Q 的轨迹方程2x 2+y 2=5，设x =√5√2，y =√5cosα，代入d =√2y|√3=√5sinα+√20cosα|√6，∴d max =√6．易得△MNQ 面积的最大值为5√22(因为|MN|=2√3).【解析】(Ⅰ)先求出点M 的坐标，根据离心率可得出a 与b 的等量关系，并将点M 的坐标代入椭圆E 的方程，可求出a 和b 的值，从而得出椭圆E 的方程；(Ⅱ)设点Q(x,y)，设点P(x 0,y 0)，由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零，得到两个等式，通过变形后将两个等式相乘，再利用点P 在椭圆E 上，得到一个等式，代入可得出点Q 的轨迹方程，同时通过分别讨论点P 与点M 或点N 重合时，求出点Q 的坐标，只需在轨迹上去除这些点即可；(Ⅲ)求出点Q 到直线l 的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出△MNQ 面积的最大值；或者利用结合相切法，考虑直线l 的平行线l′：y =−√22x +m 与椭圆E 相切，联立，利用△=0，得出m 的值，从而可得出点Q 到直线l 距离的最大值，利用三角新的面积公式可求出△MNQ 面积的最大值；或者利用椭圆的参数方程，将点Q 的方程设为参数方程形式，利用三角函数的相关知识求出点Q 到直线l 距离的最大值，结合三角形的面积公式可得出△MNQ 面积的最大值．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程、动点的轨迹方程以及三角形的面积的计算，考查计算能力，属于难题．。

2017-2018学年浙江省宁波市高三(上)期末数学试卷(解析版)

的离心率为，则实数 m 等于（）
A．3
B．
C．5
D．D
5．（4 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16+20π，则 r＝（）
A．1 6．（4 分）
B．2
C．4
D．8
，f'（x）为 f（x）的导函数，则 f'（x）的图象是（）
第 4 页（共 15 页）
2017-2018 学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】解：∵集合 M＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，
N＝{x|lgx＝0}＝{1}， ∴M∪N＝（{x|0≤x≤1}＝[0，1]．故选：A． 2．【解答】解：若 c≥0，则 ac≥bc，则 ac＞bc 不一定成立，若 ac＞bc，则 ac﹣bc＞0，即 c（a﹣b）＞0， ∵a＞b，∴a﹣b＞0，则 c＞0，此时 c≥0 成立，即条件“c≥0”是条件“ac＞bc”的必要不充分条件，故选：B． 3．【解答】解：∵函数 f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1 为偶函数， ∴f（﹣x）＝f（x），即 f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1， ∴2a2﹣a﹣1＝0，解得 a＝1 或 a＝﹣ ，
（2）直线 PF 与曲线 C 的一个交点为 R，求
的最小值．
第 3 页（共 15 页）
22．已知数列{an}满足 an+1＝

2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门仙桃潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

浙江宁波2019高三上年末考试-数学理

浙江宁波2019高三上年末考试-数学理浙江宁波市2018届高三第一学期期末考试数学〔理〕试题本试题分选择题和非选择题两部分，总分值150分，考试时间120分钟。

参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么棱柱的体积公式)()()(B P A P B A P +=+ Sh V =假如事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 棱锥的体积公式假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么ShV 31= n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高k n k kn n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k =球的表面积公式棱台的体积公式24R S π=)(312211S S S S h V ++= 球的体积公式其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积，343V Rπ= h 表示棱台的高其中R 表示球的半径第I 卷〔选择题部分共50分〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 1、集合2{|ln(1),},R A y y x x R C A ==+∈则=A 、∅B 、〔—∞，0]C 、〔—∞,0〕D 、[0,+∞〕2、a ，b 是实数，那么“||a b a b -≥+”是“ab<0”的 A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件3、函数15,0(),51,0xx x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩那么该函数为A 、单调递增函数，奇函数B 、单调递增函数，偶函数C 、单调递减函数，奇函数D 、单调递减函数，偶函数 4、函数()2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，那么m 的取值范围是A 、〔1,2〕B 、[1,2〕C 、〔1,2]D 、[l,2] 5、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中BC 1与截面BB 1D 1D 所成的角是A 、6πB 、4πC 、3πD 、2π6、某四棱锥的三视图〔单位：cm 〕如下图，那么该四棱锥的体积是A3 B3C3D37、设实数列{}{}n n a b 和分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，那么以下结论正确的选项是A 、22a b > B 、33a b <C 、55a b >D 、66a b >8、设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，假设曲线C 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2，那么曲线C 的离心率等于A 、2332或 B 、23或2 C 、12或2 D 、1322或 9、△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2,||3||,AB AC AO AB OA CA CB +==⋅则的值是A 、3BCD 、110、1,0(),()0[0,5)(1)1,0x e x f x f x x f x x ⎧-≤=-=⎨-+>⎩则方程在区间上所有实根和为A 、15B 、10C 、6D 、4第二卷〔非选择题部分共100分〕【二】填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分，11、a ，b 是实数，且2(4)40b i b ai ++++=〔其中i 是虚数单位〕，那么||a bi +的值是。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

宁波市2017学年第一学期期末考试高三数学试卷第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|}M x x x =≤，{|lg 0}N x x ==，则M N ⋃=（） A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) D. {0,1}【答案】A 【解析】{}2 |M x x x =≤={}|01x x =≤≤，{}{}|lg 01N x x ===，{}[]|010,1M N x x ∴⋃=≤≤=，故选A.2. 已知a b >，则条件“0c ≥”是条件“ac bc >”的（）条件. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】当210a b c =>=⎧⎨=⎩时，ac bc >不成立，所以充分性不成立，当ac bc a b >⎧⎨>⎩时，0c >成立，0c ≥也成立，所以必要性成立，所以“0c ≥”是条件“ac bc >”的必要不充分条件，故选B.【方法点睛】本题通过不等式的基本性质主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 3. 若函数22()(21)1f x ax a a x =+--+为偶函数，则实数a 的值为（） A. 1 B. 12-C. 1或12-D. 0【答案】C 【解析】0a =时，()1f x x =-+不是偶函数，0a ≠时，二次函数()()22211f x ax a a x =+--+的对称轴为2212a a x a --=，若()f x 为偶函数，则22102a a a ---=，得1a =或12a =-，故选C.4. 已知焦点在y 轴上的椭圆2214x ym+=的离心率为12，则实数m 等于（）A. 3B. 165C. 5D. 163【答案】D 【解析】2214x y m+=是焦点在y 轴上的椭圆，,2,4a m b c m ∴===-，离心率412c m e a m-===，得163m =，故选D.5. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B 【解析】【详解】【分析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：22222111142222542222r r r r r r r r r πππππ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+ ，又∵该几何体的表面积为16+20π， ∴22541620r r ππ+=+ ，解得r=2，本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 6. 已知f （x ）214x =+cosx ，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】求出导函数，利用导函数的解析式，判断函数的奇偶性，再应用特殊点的函数值来判断函数的图象．【详解】解：21()cos 4f x x x =+，()'1sin 2f x x x ∴=-，()'f x 是奇函数，排除B ，D ．当x 4π=时，2()82f x π'=-<0，排除C ．故选：A【点睛】本题考查了函数求导，考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用，属于中档题.7. 一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和()n n N *∈个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若()1D X =，则()E X =（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】由题意，()~4,X B P ，()()1411,2D X P P P =-=∴=，()14422E X P ==⨯=，故选B.8. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 116【答案】A 【解析】【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题. 9.若函数1()f x x=-在{|14,}x x x R ≤≤∈上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（）A. 74B. 2C.94D.114【答案】C 【解析】()()0,10,0f x f m ≥=∴=，又()()114f x x x≤≤≤，且0x <时，等号成立，故只需求()()114g x x x =≤≤的最大值，由于()3222'2x g x x -=，故()(){}9max 1,44M g g ==，故选C. 10. 已知向量OA ，OB ，满足1OA =，2OB =，3AOB π∠=，M 为OAB ∆内一点（包括边界），OM xOA yOB =+，若1OM BA ⋅≤-，则以下结论一定成立的是（）A. 2223x y ≤+≤B. 12x y ≤C. 13x y -≤-D. 213x y ≤+≤【答案】B 【解析】以O 为原点，以OA 所在直线x 轴建立坐标系，设()(1,0,A B ，则有(),OM x y =+(0,BA =，31OM BA y ∴⋅=-≤-，得13y ≥，又点M 在OAB ∆内，,x y ∴满足的关系式为0131x y x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩()*，取10,3x y ==不满足，222,133x y x y ≤+≤+≤，排除,A D 选项，取0,1x y ==，不满足13x y -≤-，排除C 选项，又121,1,,3332xy x y x y ≥+≤∴≤∴≥≥，B ∴正确，故选B.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积以及平面向量基本定理、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.第Ⅱ卷（非选择部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 已知4510a b ==，则12a b+=__________．【答案】2 【解析】4510a b ==，4511log 10,lg 4,log 10,lg5a b a b∴====，12lg 42lg5lg 4lg 25lg1002a b∴+=+=+==，故答案为2. 12. 设i 为虚数单位，则复数23ii+的虚部为_______,模为______．【答案】【解析】()()2i 323i 32i i i i z ⨯-++===-⨯-，z ∴的虚部为2,z -1）2-；（213. 对给定的正整数(6)≥n n ，定义2012()n n f x a a x a x a x =++++，其中01a =，12(,)i i a a i N i n *-=∈≤，则6a =__________；当2017n =时，(2)f =__________．【答案】 (1). 64 (2). 2018413-【解析】011,2,2ni i n a a a a -==∴=，66264,2017a n ===时，()220172144 (4)f =++++201820181441143--==-，故答案为（1）64；（2）2018413-. 14. 在锐角ABC ∆中，已知2A B =，则角B 的取值范围是__________，又若,a b 分别为角,A B 的对边，则ab的取值范围是__________．【答案】 (1). (,)64ππ(2).【解析】锐角ABC∆中，2A B=，()3C A B Bππ∴=-+=-，由0222032BBBππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，可得,cos6422B Bππ<<<<，2sin sin sin22cos2sin sin sina R A A BBb R B B B====∈，故答案（1）,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）.15. 已知双曲线C的渐近线方程是y=±，右焦点(3,0)F，则双曲线C的方程为_________，又若点(0,6)N，M是双曲线C的左支上一点，则FMN∆周长的最小值为__________．【答案】 (1).2218y x-=(2). 2【解析】双曲线C的渐近线方程是y=±，右焦点()3,0F，22213ba acbc a b⎧=⎪=⎧⎪⎪∴=⇒∴⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎩双曲线C方程为2218yx-=，设右焦点()'3,0F-，由双曲线定义可得2'2'MF a MF MF=+=+，FMN∴∆的周长为'2'2FN MN MF FN MN MF a FN F N a++=+++≥++22=+=+，故答案为（1）2218yx-=；（2）2.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用双曲线的定义结合三角形的性质求三角形周长最小值的.16. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有__________种（请用数字作答）．【答案】52 【解析】因为246411622143213222=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，对于上述四种情形掷这四个骰子，分别有212414434412,12,24,4A C C A C =⨯===种情形，综上共有121224452+++=种情形，故答案为52.17. 如图，在平面四边形ABCD 中，1AB BC ==，2AD CD ==，90DAB DCB ∠=∠=︒，点P 为AD 中点，,M N 分别在线段,BD BC 上，则22PM MN +的最小值为__________．【答案】1 【解析】设(03DM t t =≤≤，则2212231222363PM t t t ⎛⎫=+-⨯⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，另外MN BC ⊥时，23231323633t t MN y PM t ⎛⎫--=∴=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭()213621163tt =-++，去根号得()22223110323t yt y +--=，()2248110332y y ⎡⎤∆=---≥⎢⎥⎣⎦，得23410,1y y y -+≥∴≥或13y ≤，又61,163PM y ≥>∴≥，当32t =时取等号，所以所求最小值为1. 故答案为1.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知函数2()2sin cos 12sin f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值与最小值. 【答案】(Ⅰ)π；(Ⅱ)最大值2，最小值为31+-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式化简()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期公式可得结果；（Ⅱ由34x ππ-≤≤，可得5321244x πππ-≤+≤，结合正弦函数的图象可得8x π=时，()f x 取得最大值2，3x π=-时，()f x 的最小值为31+-.试题解析：（Ⅰ）()sin2cos22sin 24f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π. （Ⅱ）因为34x ππ-≤≤，所以5321244x πππ-≤+≤.当242x ππ+=，即8x π=时，()f x 2；当52412x ππ+=-，即3x π=-时， ()2231sin cos 3332f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 即()f x 的最小值为312-.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PA 中点，2AB a =，BC a =，2PC PD a ==.（Ⅰ）求证：//PC 平面BDE ；（Ⅱ）求直线AC 与平面PAD 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)105. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为O ，连结EO ，则O 为AC 的中点，由E 为PA 中点，利用三角形中位线定理可得//EO PC ，从而根据线面平行的判定定理可得//PC 平面BDE ；（Ⅱ）由勾股定理可得PC PD ⊥，根据线面垂直的性质定理得AD ⊥平面PCD ，故AD PC ⊥，再根据线面垂直的判定定理可得PC ⊥平面PAD ，故PAC ∠就是直线AC 与平面PAD 所成的角，在直角PAC ∆中可得210sin 5PC a PAC AC a∠===. 试题解析：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为O ，连结EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 的中点. 在PAC ∆中，由已知E 为PA 中点，所以//EO PC . 又EO ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ，所以//PC 平面BED .（Ⅱ）在PCD ∆中，2DC a =，2PC PD a ==，所以222DC PD PC =+，即PC PD ⊥.因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，AD CD ⊥，所以AD ⊥平面PCD ，故AD PC ⊥.又因为AD PD D ⋂=，,AD PD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，故PAC ∠就是直线AC 与平面PAD 所成的角.在直角PAC ∆中AC =，PC =，所以sin PC PAC AC ∠===.即直线AC 与平面PAD . 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20. 已知函数()()1xf x x e =-.（Ⅰ）若方程()f x a =只有一解，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()()ln g x m x x =-，若对任意正实数12,x x ， ()()12f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) {}[)10,-⋃+∞；(Ⅱ) [)1,+∞. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用导数研究函数()f x 的单调性，可得函数()f x 在(),0-∞上单调递减，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，根据单调性可得1x >时， ()0f x >， 1x <时， ()0f x <,且()10f =，结合函数图象可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知()11f x >-，对任意正实数12,x x ， ()()12f x g x ≥恒成立，等价于()()221(0)*g x x ≤->，先排除0m ≤，当0m >时，利用导数可得()()11max g x g m ==-≤-，所以1m ≥.【详解】（Ⅰ）由已知()()'1x x x f x e x e xe =+-=.当0x <时， ()'0f x <，函数()f x 在(),0-∞上单调递减；当0x >时， ()'0f x >，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增. 故()()min 01f x f ==-.又当0x <时， ()()10xf x x e =-<. 且()()12x xf x x e xe =-> 2222x x x e x x-=>=（对足够小的x ）. 又当1x >时， ()10f x x >->. 即所求a 的取值范围是{}[)10,-⋃+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()11f x >-.所以对任意正实数12,x x ， ()()12f x g x ≥恒成立，等价于()()221(0)*g x x ≤->. ∵()1'xg x mx-=. （1）当0m ≤时， ()10g m =-≥，与()*式矛盾，故不合题意. （2）当0m >时，当01x <<时， ()'0g x >，当1x >时， ()'0g x <，所以()g x 在()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减.()()11max g x g m ==-≤-，所以1m ≥. 综合（1）（2）知实数m 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】本题考查方程有解的条件，注意运用函数的图象，考查不等式恒成立问题解法，注意运用函数的最值，考查运算能力，属于中档题．21. 已知抛物线C 的方程为24x y =，F 为其焦点，过不在抛物线上的一点P 作此抛物线的切线,PA PB ，,A B 为切点.且PA PB ⊥.（Ⅰ）求证：直线AB 过定点；（Ⅱ）直线PF 与曲线C 的一个交点为R ，求AR AB ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)274. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx b =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx b --=，根据韦达定理，结合导数的结合意义可得这两条切线的斜率分别为112x k =，222x k =.由这两切线垂直得12124144x x bk k -===-，从而可得结论；（Ⅱ）设()00,P x y ，则()012122x x x k =+=，1201011124x x y x x y =-==-，()()11212=+⋅++=y A y y R AB 2111133y y y +++，()2133f x x x x=+++，(0)x >，利用导数求出()f x 的最小值即可.试题解析：（Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx b =+，设()11,A x y ，()22,B x y 以,A B 为切点的切线方程分别为1122x x y y =+，2222x x y y =+.由24y kx b x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx b --=. 则124x x k +=，124x x b =-. 这两条切线的斜率分别为112x k =，222x k =. 由这两切线垂直得12124144x x bk k -===-，得1b =. 所以直线AB 恒过定点()0,1. （Ⅱ）设()00,P x y ，则()012122x x x k =+=，1201011124x x y x x y =-==-，当0k =时，则00x =，可得AB PF ⊥，当0k ≠时，则00x ≠，02AB x k =，02PF k x -=，同样可得AB PF ⊥.所以()()11212AR AB AB AF y y y ⋅=⋅=+++.由221212116x x y y ==.所以()()11212=+⋅++=y A y y R AB 2111133y y y +++. 令()2133f x x x x=+++，(0)x >.()()()2221211'23x x f x x x x +-=+-=.所以()f x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上为减函数，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数.所以()min12724⎛⎫== ⎪⎭⋅⎝AR ABf .（或()2133f x x x x =+++= ()33311127224x x x x x ⎛⎛⎫ ++ ⎪+⎝⎭⎝⎭=≥=当12x =时取等号.）【方法点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题. 属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.22. 已知数列{}n a 满足2+1,2222,nn n na n a a a n ⎧⎪=-⎨⎪-⎩为奇数为偶数，1a a =.（Ⅰ）若1a >，求证：对任意正整数(1)n n >均有2n a ≥；（Ⅱ）若3a =，求证：12324143n n a a a a n +<++++<+对任意n *∈N 恒成立.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）当2a >时，根据()22g x x =-和()222x f x x =-在[)2,+∞均为增函数，可得()()122n n a g a g +=≥=，当12a <<时，由()222x f x x =-在(]1,2上为减函数，得22a >.当2a =时，可得2n a =恒成立，从而可得结论；（Ⅱ）由第（Ⅰ）题知2124(2,k k a a k k N -+≥≥∈，令212k k a b --=，则()211121kk k b b b ++++=+，可证明{}k b 为递减数列，111k b <+.从而()2121133144212k k k k k a a b b b -⎡⎤+=+++<+⎢⎥+⎣⎦.又由11111111112k k k k k b b b b b b +==-≤-=+++可得1122112n b b b b +++<=-.所以122n a a a +++<()1234342n b b b n n ++++<+.试题解析：（Ⅰ）当2a >时，根据()22g x x =-和()222x f x x =-在[)2,+∞均为增函数.从而当2n a ≥时，必有()()122n n a f a f +=≥=或()()122n n a g a g +=≥=.当12a <<时，由()222x f x x =-在(]1,2上为减函数，得22a >.当2a =时，232a a ==，从而2n a =恒成立.综上所述，2n a ≥对所有满足1n >的正整数n 均成立. （Ⅱ）一方面，由第（Ⅰ）题知()21242,k k a a k k N -+≥≥∈. 又129354a a +=+>. 所以12241n a a a n +++>+.另一方面，221212212122k k k k k a a a a a ----+=+- ()22121213221k k k a a a ----=-，且221212122122221k k k kk a a a a a --+--+=-=-，令212k k a b --=，则()211121k k k b b b ++++=+，即211k k k b b b +=+，且11b =，212b =.∴()22121212213221k k k k k a a a a a -----+=- ()()23108113142121k k k k k b b b b b ⎡⎤++==+++⎢⎥++⎣⎦. 由()()()()1111111k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b ---+--++-=++，且210b b -<知{}k b 为递减数列，且0k b >.所以111k b <+.从而()2121133144212k k k k k a a b b b -⎡⎤+=+++<+⎢⎥+⎣⎦. 又由11111111112k k k k k b b b b b b +==-≤-=+++. 所以1122112n b b b b +++<=-.所以122n a a a +++<()1234342n b b b n n ++++<+.。