初中数学竞赛精品标准教程及练习34反证法
初中数学竞赛：反证法
初中数学竞赛：反证法判断一个命题是否正确，既可以直接证明，又可以间接证明．反证法就是一种间接证明的推理方法，它的推理思路是首先提出反设——在已知条件下，暂时否定待证结论，提出与结论相反的假设；其次，推出矛盾——从反设出发，结合已知条件，通过严密推证，导出与已知公理、定理、定义或题设相矛盾的结果；然后，肯定结论——出现矛盾，因为是“否定结论”的结果，所以“反设”不成立，从而肯定命题是正确的．一般地，待证命题的结论中出现“至多”、“至少”、“相等”、“不等”、“存在”、“不存在”、“唯一”、“不唯一”、“有理”、“无理”等断语时，常可考虑用反证法．实际上，反证法适用于证明任何问题，只不过有时简捷，有时复杂就是了．例1 在同一平面内，平行于同一直线的两条不同直线必定平行．已知：(如图3－120)直线a，b，c中，a∥c，b∥c．求证：a∥b．证(1)提出反设：假定a b．(2)推出矛盾：由于a b，那么a，b必相交于一点，设为P．因为a∥c，b ∥c，那么过P点有a，b两条直线同时平行于c，与平行公理矛盾．(3)肯定结论：由(2)可知假设a b错误，所以a∥b．说明 (1)本题证明中，利用“平行与相交”互为否定．(2)本题证明中，写出了“(1)提出反设；(2)推出矛盾；(3)肯定结论”，目的是使读者体会反证法的论证步骤，在实际证明时，不必写出这三个小标题，直接写出反证法的证明过程即可．例2 如图3－121．在△ABC中，∠A的外角平分线与BC的延长线交于E，求证：AB＞AC．分析 AB＞AC的否定是AB≤AC，而AB≤AC只有两种情况：AB=AC和AB＜AC．以下就根据这两种情况推出矛盾．证 (1)若AB=AC，则∠B=∠3．又∠1=∠2，所以所以AE∥BE，此与AE与BC交于E矛盾，所以AB≠AC．(2)若AB＜AC，则∠B＞∠3，所以2∠B＞∠B+∠3．又∠B+∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，所以∠B+∠3=2∠1，所以2∠B＞2∠1，所以∠B＞∠1．此与外角定理∠B＜∠1相矛盾，所以AB AC．由(1)，(2)得AB＞AC．说明本题结论的否定出现两种情况，即AB=AC和AB＜AC．利用反证法证明时，必须对原结论否定得彻底，即把原结论的所有可能方面一一否定后，分别推出矛盾，最后才能肯定待证结论的正确性．例3 求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时，必有bc≠0．分析这个命题的条件是：如果x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根，结论是：那么bc≠0．而bC≠0的否定是bc=0，而bc=0有三种情况：(1)b=0，C=0；(2)b=0，c≠0；(3)b≠0，c=0．证假设bc=0．(1)若b=0，c=0，方程变为x2=0，那么x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根，这与已知条件中方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若b=0，c≠0，方程变为x2+c2=0，则x2+c2≠0，与x2+bx+c2=0矛盾．(3)若b≠0，c=0，方程变为x2+bx=0，方程根为x1=0，x2=-b这与条件中方程有二个非零实数根矛盾．综合(1)，(2)，(3)可知bc≠0．例4 证明：x2-xy+y2+x+y不可能分解为两个一次因式的乘积．分析否定命题结论，然后利用恒等式比较系数，设法推出矛盾．证假设多项式x2-xy+y2+x+y能分解为两个一次因式的乘积，因为x2-xy+y2+x+y中不含常数项，所以上式可分解为(ax+by)(cx+dy+e)(其中a，b，c，d，e均不为0)，所以x2-xy+y2+x+y=(ax+by)(cx+dy+e)=acx2+(ad+bc)xy+aex+bdy2+bey．比较系数得由①，④得c=e，由③，⑤得d=e，从而c=d=e．又由④，⑤得a=b，所以②为ad+be=bd+bd=2bd=-1，所以多项式x2-xy+y2+x-y不可能分解为两个一次式的乘积．为基础，推出矛盾即可．则为偶数．设b=2m(m是整数)，则b2=4m2，那么2a2=4m2，所以a2=2m2，所以a2是偶数，则a必是偶数，所以a=2n(n是整数)．这样，a，b有公例6 已知点E，F，G，H分别在单位正方形ABCD的四边上(图又四边形EFGH的四个内角中，至少有一个内角不大于90°(否则，四边形内角和将大于360°)，因此，不妨设∠EFG≤90°，则EG2≤EF2+EG2(可根据勾股定理及广勾股定理证明．请读者自证)，所以EG2＜1，EG＜1．但在正方形ABCD中，AB∥CD，且AB与CD间距离为1，所以EG≥1，与EG＜1矛盾．说明在利用反证法证题时，推出的矛盾，可以是推出的事实与已知条件、已知定义、公理、定理相矛盾，也可以是推出的事实(如本题中的EG＜1)与推出的事实(如本题中的EG≥1)相矛盾．这一点要根据推证过程，灵活判断．例7 已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数中，至多有一个数不小于1．证假设a，b，c中至少有两个数不小于1，不妨设a≥1，b≥1，则m≥n+p，n≥p+m．两式相加，得2p≤0，从而p≤0，与p是正整数矛盾．所以命题成立．说明“不妨设”是为了简化叙述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各种情况时，证明过程是同样的．没有完全平方数．分析与证明 (1)我们先来观察这一串数有什么特征．11=2×5+1，111=2×55+1，1111=2×555+1，………………(2)我们再用反证法来证明这一命题．因为上式右端为偶数，所以a2-1也是偶数，所以a2为奇数．但a2-1=(a+1)(a-1)，由于(a+1)与(a-1)均为偶数，故可设a+1=2m，a-1=2n．这样练习二十一1．△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE=CF，求证：AB=AC．2．如图3－123．D点在△ABC的内部，AB=AC，DB＞DC，求证：∠ADB＜∠ADC．3．实数a，b，c满足a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，且abc＞0．试证：a，b，c 都是正数．4．已知a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根．数．。
初中数学竞赛培优辅导反证法和构造法(含答案)
培优辅导 反证法和构造法一、选择题:1．若假设“整数a,b,c 中恰有一个偶数”不成立，则有（ ） A 、a,b,c 都是奇数 B 、a,b,c 都是偶数C 、a,b,c 中至少有两个偶数D 、a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 2．已知△ABC 的周长为18，c b a 、、三边的关系为c b a ≤≤,则( ) A 、a <6 B 、a >6 C 、a >7 D 、6≤a3．A 、B 、C 、D 、E 、F 、六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是（ ）A 、C 队B 、D 队C 、E 队D 、F 队 4．设等式在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则的值是( )A 、3B 、31 C 、2 D 、35 5．关于x 的一元二次方程2a x 2-2x-3a-2=0的一根大于1，另一根小于1，则a 的取值范围是 （ ）A 、a ＞0或a ＜-4．B 、a ＜-4．C 、a ＞0．D 、－4＜a ＜0．二、填空题6．用反证法证明：“三角形中最多有一个角是直角或钝角。
”时，第一步应反设:________________________________________________. 7．不查表可求得=︒5.22cot _________.8．321-+-++x x x 的最小值是______________.9．若28,1422=++=++x xy y y xy x ，则=+y x _________.10．已知))((4)2a c b a c b --=-（且0≠a ,则acb +=______________.三、解答题11．设 c b a ,, 为互不相等的非零实数，求证三个方程：022=++c bx ax ，022=++a cx bx ，022=++b ax cx 不可能都有两个相等的实数根。
初中数学《反证法》课后练习
假设
．
9．用反证法证明 “若| a| ≠| b| ，则 a≠b”时，应假设
．
10．用反证法证明 “如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等
腰三角形 ”的第一步
．
三、解答题
11．用反证法证明： 两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
《反证法》课后练习
一．选择题
1．用反证法证明命题：如果 AB⊥CD， AB⊥ EF，那么 CD∥EF，证明的第一个步
骤是（ ）
A．假设 CD∥EFB．
B.假设 AB∥EF
C．假设 CD和 EF不平行 D．假设 AB 和 EF不平行
2．用反证法证明 “＞ａb”时，应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b 3．用反证法证明 “若 a＞b＞0，则 a2＞b2”，应假设（ ） A．a2＜ b2 B．a2=b2 C．a2≤b2 D．a2≥b2
4．用反证法证明命题 “三角形中必有一个内角小于或等于 60°时”，首先应假设这
个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于 60° B．每一个内角都小于 60°
C．有一个内角大于 60° D．有一个内角小于 60°
5．用反证法证明命题： “四边形中至少有一个角是钝角或直角 ”，我们应假设（ ）
A．没有一个角是钝角或直角 B．最多有一个角是钝角或直角
C．有 2 个角是钝角或直角 D．4 个角都是钝角或直角 二．填空题
6．已知△ ABC中，AB=AC，求证：∠ B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假
设
．Байду номын сангаас
7．用反证法证明： “三角形中最多有一个钝角 ”时，首先应假设这个三角形
漫谈初中数学解题中的“反证法”
61学子 ２０１７．０５数学教学漫谈初中数学解题中的“反证法”王玉琴一、“反证法”解题方法在解题中，反证法一般分为三步：1.提出假设：做出与所要求证的结论相反的假定。
2.推理求证：由“假设”出发进行推理，得出与定义、定理、公理或与题设相矛盾的结论。
3.得出结论：根据“矛盾”得出假设不成立，原求证结论正确。
反证法的步骤好理解和掌握，关键是要反设正确，在结论的方面呈多种情况或比较隐晦时，在反设时就比较困难，现将其中常用的互为否定形式词语总结如下：其中，在至少有一个、至多有n 个、至多有一个等证明结论的反设上，需要更为细心的琢磨，让学生明白一个也没有、至多有二个、至多有n 个的深刻含义，从而顺利进行证明。
反证法的使用，使得一些数学试题的解决简单便捷。
二、“反证法”例题展示１．定理性命题的证明在数学的基本定理中，利用“反证法”来证明，更便捷、具有说服力。
案例１：勾股定理的证明如图所示，在直角三角形△ABC 中，∠C=90°，三个边长分别为a、b、c，求证：c2=a2+b2.证明：过C 点作斜边AB 上的垂线于D，假设a 2+b 2 ≠ c 2，即AC 2+BC 2≠AB 2，根据三角形的中垂线定理可得：AB 2=AB•AB=AB（AD+BD）=AB•AD+AB•BD 根据假设又知：AC2≠AB•AD，BC2≠AB•BD 即AD：AC ≠AC：AB，或者BD：BC ≠BC：AB，在△ADC 和△ACB 中，因为∠A=∠A，则当AD：AC ≠AC：AB 时，∠ADC ≠∠ACB；在△CDB 和△ACB 中，因为∠B=∠B，则当BD：BC ≠BC：AB 时，∠CDB ≠∠ACB，又因为∠ACB=90°，所以∠ADC ≠90°，∠CDB ≠90°，这与CD ⊥AB 是矛盾的，所以AC 2+BC 2≠AB 2不成立，则有：AC 2+BC 2=AB 2，即c 2=a 2+b 2２．无限性命题的证明“无限”、“无穷”等概念，往往出现在求证命题中，正面证明缺乏一定的头绪，而“反证法”使得解题变得非常简单。
中学数学竞赛中的反证法
≤
一
ｌ
１
矛 盾．
恰当地选择一 类量 ． 并作 出关 于这类量
矛盾 ． 故 最 小值 是 ９ ．
பைடு நூலகம்
３ ． 命题不易证 明时． 例４ 在 空间 中给 出８ 个 已知点 ． 其
的某个最大量 或最小量 的假设 ． 叫做反
证法 的优化假设 ． 反 证法 中个 优化假设
⑧ 结束语
２ （ Ｊ ｝ 一 ＋ ｆ ２ 一 ｎ ） ＝ 一 １矛盾 ．
于是 ， 偶数 ， 令
２ ｘ ］ 一 ４ ３ ＝
明存在 性 ． 但从 局部 看 。 证 明 的最后 ～
部分是反证法 ．用来证 明所构造 的Ｊ Ｐ 符 合本 题的要 求．因此 这是 构造性证 明
中 的局 部 反 证 ．
先看下 面一个例子． 例 ６ 设Ｅ 是 平 面上 ２ ｎ 个 点构 成 的
论构 成 的 ． 一个命 题 是真 ． 就是从 题设
出发 能够依 逻辑推理推 出结论 ． 我们要
问在推理 时 。仅从几个 题设条件 出发 ，
不加入其他 因素 ． 凭逻辑推理 能完成推
＼ｎ ｌ ／ ＼ｎ ｌ ／ ｎｌ
（ 此式右端为整数 ） ．
但 不是整数 ． 所 以 ｍ２ 不是 整 数
．
盾． 故原命 题成 立” ．至 此 ． 命题 的证 明 般地 ．在反证法 的使用过程 中 ．
于是 １ ０ ０ ≤２ ≤２ 吼≤３ ・ ２
３・ ２ 吼＿ ３ ≤ ３・ ２ ３・ ２ ≤ ３・ ２ ￣ ＝ ９ ６，
投 稿邮 箱：
业 ： ………………… … 数学ｔ ｌ ｔ ￣ｔ ｌ ｉ Ｒ （ 中等教育 ） ……………………………试 题 研 究＞ 解 题 技 巧
初中数学反证法
初中数学反证法在初中数学的学习中，我们会接触到各种各样的解题方法，其中反证法是一种独特而富有魅力的方法。
它就像是数学世界中的“逆向思维魔法”，常常能帮助我们在看似无解的困境中找到出路。
反证法，顾名思义，就是先假设命题的结论不成立，然后通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理等相互矛盾的结果，从而证明原命题的结论是正确的。
这种方法听起来似乎有点绕，但其实只要我们深入理解，就能发现它的巧妙之处。
为了更好地理解反证法，让我们来看一个简单的例子。
假设要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。
我们先假设在一个三角形中可以有两个或三个直角。
如果有两个直角，那么三角形的内角和就会超过 180 度，这与三角形内角和是 180 度这个定理相矛盾。
同样，如果有三个直角，内角和更是远远超过 180 度，这显然是不可能的。
所以，我们的假设是错误的，从而得出在一个三角形中最多只能有一个直角的结论。
再比如，证明“根号 2 是无理数”。
如果假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个既约分数 p/q（p、q 为整数，且互质），即根号 2 ＝p/q，两边平方得到 2 ＝ p^2/q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。
由此可知 p^2 是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以 p 也是偶数。
不妨设 p ＝ 2m，代入上式得到 4m^2 ＝ 2q^2，即 2m^2 ＝ q^2，这又说明 q 也是偶数。
但是 p、q 都是偶数，这与 p、q 互质矛盾。
所以，假设不成立，根号 2 是无理数。
反证法的应用范围非常广泛。
在几何证明中，当直接证明某个结论比较困难时，反证法常常能发挥意想不到的作用。
比如在证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”时，就可以使用反证法。
假设过直线外一点有两条直线与已知直线平行，然后通过一系列的推理，会得出与平行公理相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在代数中，反证法也有很多用武之地。
例如，证明方程 x^5 ＋ x 1＝0 只有一个正实数根。
初中数学 导学案：反证法
反证法【学习目标】知识与能力：通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
【学习重难点】学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。
学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。
【学习过程】一、学前准备1、复习回顾两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只有条直线与已知直线垂直。
2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。
他运用了怎样的推理方法? 答：。
3、自学课本162页内容：（1）反证法的定义：在证明一个命题时,人们有时先假设不成立,然后从这个假设出发,经过，得出与、，21H FG E DCBA已证明的 、或 等相矛盾的结果,从而得出假设的结论不成立,从而说明命题的结论正确的.这种证明方法叫做反证法.反证法证题的基本步骤：1．假设 ；（反设）2．从这个假设和 出发，经过 ，得出与 、 ，已证明的 、 或 等相矛盾的结果；（归缪）3．由 ，判定假设不成立，从而说明 是正确的.（结论） 二、自学、合作探究1、用具体例子体会反证法的含义及思路 例1、已知：在△ABC 中，AB ≠AC 求证：∠B ≠ ∠ C证明：假设 ，则 这与 矛盾．假设不成立． ∴ ．例2、用反证法证明平行线的性质定理一： 。
初中数学竞赛竞赛辅导反证法和构造法(含答案)
竞赛辅导 反证法和构造法一、选择题:1．设c b a ,,为实数，,22,62,32222πππ+-=+-=+-=c c z c b y b a x 则z y x ,,中，至少有一个值（ ）（A ）大于0 （B ）等于0 （C ）不大于0 （D ）小于0 2．在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）5 3.已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b ,则baaa b b + 的值为（ ）（A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13- 4．当220041+=x 时，多项式20053)200420074(--x x 的值是（ ） (A)1 (B)－1 (C)22005 (D)－ 220055．已知c >1，12,1,1+-+=-+=--=c c z c c y c c x 则x ，y ，z ，的大小关系是 （ ）（A ）x ＞y ＞x （B ）z ＞x ＞y （C ）y ＞x ＞z （D ）z ＞y ＞x二、填空题6、若a 是整数，2a 是偶数，则a 为 .7．已知三角形的3边互不相等，则过某一顶点且分原三角形为两个全等三角形的线段共5有__________条.8．对于实数x ，y ，定义一种新的运算“*”：x*y=ax+by+c ，其中a 、b 、c 为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知3*5=15，4*7=28，那么1*1=_______． 9、20042005×20052004-20042004×20052005=______________.10．实数x 、y 、z 满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值是________.三、解答题11．设2121,,,b b a a 都是实数，21a a ≠，满足1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .12．求代数式1342222+-+++x x x x 的最小值。
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初中数学竞赛精品标准教程及练习34反证法反证法是数学中一种常用的证明方法，它通过假设待证命题为假，然
后推导出矛盾的结论，从而推断待证命题为真。
本文将介绍反证法的基本
思想和应用，并提供一些相关练习。
一、反证法的基本思想
反证法的基本思想是假设待证命题为假，然后推导出矛盾的结论，从
而推断待证命题为真。
具体步骤如下：
1.假设待证命题为假。
2.将待证命题的否定形式作为假设，并推导出矛盾的结论。
3.根据矛盾的结论，得出待证命题为真。
二、反证法的应用
反证法在数学竞赛中常用于证明诸如存在性、唯一性、等式、不等式
等问题。
下面通过一些例题来说明反证法的具体应用。
例1：证明3的平方根是无理数。
假设3的平方根是有理数，即可以表示为分数的形式，即√3=a/b，
其中a和b互质且b不等于0。
将该等式两边平方得到3=a^2/b^2，即
3b^2=a^2、说明a^2为3的倍数。
根据整数的唯一分解定理，如果一个整数的平方是3的倍数，那么该
整数也是3的倍数。
假设a不是3的倍数，则可以得出a^2不是3的倍数，与前面的结果矛盾。
所以，假设不成立，即3的平方根是无理数。
例2：已知一条直线与平面上两个不在同一条直线上的点A和B重合，证明该直线与平面上所有点重合。
假设该直线与平面上其他点C不重合，即不在同一条直线上。
由于直
线与平面上的任意两点确定一条直线，所以A、B、C三点确定三条不同的
直线。
由于A、B两点与直线重合，所以这三条直线相交于同一点，即A、B、C三点共线，与题设矛盾。
所以，假设不成立，即该直线与平面上所有点重合。
三、练习题
1.证明：不存在最大的自然数。
2.已知a、b、c是正整数，且满足a^2+b^2=4c^2，证明a和b不能
同时为奇数。
3.证明：根号2是无理数。
4.已知a、b、c是正整数，且满足a^2+b^2=c^2，证明a、b、c不能
同时为奇数。
以上是一些关于反证法的练习题，希望你能通过这些练习加深对反证
法的理解和应用。
反证法是一种常用的数学证明方法，通过假设待证命题为假，推导出
矛盾的结论，从而推断待证命题为真。
在数学竞赛中，掌握并灵活运用反
证法，将能够解决更多的问题，提高解题能力。