浅谈中学数学中的反证法

本科生毕业论文浅谈中学数学中的反证法院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学班级： 2008级数学与应用数学(2)班学号： ************ *名：***指导教师：***完成时间： 2012年5月26日浅谈中学数学中的反证法摘要: 数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中，最常见的是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给出确切的回答.本课题通过查阅资料和自己在学习数学过程中的发现就中学数学中反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾、以及哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳．并总结出在学习反证法的过程中应注意的三个方面，通过对以上提出的所有问题进行系统归纳，这有利于帮助学生系统的学习反证法，提高学生利用反证法进行解题的技巧从而达到预期效果.关键词:反证法假设矛盾结论Abstract:The mathematical proof points directly proofs proposition and indirect proof two. In indirect proof, the most common is required. Although peacetime we contact with the related knowledge, but is scattered, of the concept, application procedures, the scope of use of not understanding of the system, and the mathematical proposition the diversity and complexity, which is suitable for proposition is very difficult to give the exact with reduction to answer. This subject will be required in the middle school mathematics concept, apagoge is logical basis, types and steps, problem solving process of how a hypothesis of contradictions, and looking for what types of questions appropriate counter-evidence method from the proof of the set out on the induction. And summed up in the process of learning be should be paid attention in the three aspects, through all the questions put to the above system induce, this will help the students to learn the required system, improve the students use to problem solving skills required to achieve the expected effect.Key words:Counter-evidence method hypothesis contradiction conclusion目录1 引言 (1)2 反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类步骤及相关实例 (1)2.1反证法的概念 (1)2.2反证法逻辑依据 (2)2.3反证法步骤 (3)2.4相关实例 (3)3 中学数学中宜用反证法的适用范围 (6)3.1否定性命题 (7)3.2限定式命题 (7)3.3 无穷性命题 (8)3.4逆命题 (9)3.5某些存在性命题 (10)3.6全称肯定性命题 (11)3.7一些不等量命题的证明 (11)3.8基本命题 (13)3.9整除性问题 (14)3.10小结 (14)4 运用反证法应注意的问题 (14)4.1必须正确否定结论 (14)4.2必须明确推理特点 (14)4.3了解矛盾种类 (15)5 结论 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)1 引言数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中，最常见的是反证法．反证法是数学的一种极其重要的方法，特别是遇到的一些直接证明难于入手，甚至无法入手的问题，反证法可使证明变得轻而易举.它和分析法、综合法一样，有着悠久的历史，应用也相当广泛.虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给出确切的回答，所以在中学数学中，反证法是一个难点.在学习反证法之前，学生在学习平行线、相交线、三角形等各章中，证题用的都是直接证法，突然学习反证法，与已有的证题习惯不同，所以学生初学反证法，会有排斥的心理.加之，现在课本要求不高，例题很少，学生与老师不重视，知识不巩固，使学生无法深刻理解反证法的作用.但是，中学生好奇心强，对新鲜事物兴趣浓，抓住这一特点，从浅显的、学生熟知的事实入手说明“反证法”，再引导其抽象概括，就能收到很好的教学效果，所以本课题就反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样否定结论寻找矛盾、哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳，并通过实例表现反证法的思维方式，说明反证法在解题中的重要作用，使学生深刻理解反证法的实质，切实掌握它的解题要领，从而提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力.2 反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类步骤及相关实例有这样一件事：有一天，小赵和朋友去吃饭，当经过一家餐厅时朋友们都说去这家餐厅吃饭，可小赵却不同意，他说：“这家饭菜肯定不好吃，如果好吃的话在这家餐厅吃饭的人肯定很多，而事实是这家餐厅没人吃饭，所以这家饭菜肯定不好吃.”这个故事中小赵用了一种特殊的方法，从反面论述了这家餐厅饭菜不好吃.这种间接的证法就是下面讨论的反证法.2.1 反证法的概念反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得.反证法是数学中常用的间接证明方法之一.反证法的逻辑基础是形式逻辑基本规律中的排中律.通常反证法是在待证命题正面难以入手而从待证命题的结论的反面入手进行正确推理,推出矛盾,从而得出原结论的反面不真,由此肯定原结论为真【1】.假设命题的否定成立，即在“已知条件”和“命题的否定”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法【2】.例2.1.1 函数)(x f 在]1,0[上有意义，且),1()0(f f =如果对于不同的]1,0[,21∈x x 都有|,||)()(|2121x x x f x f -<-求证：21|)()(|12<-x f x f . 证明： 假定至少存在一组不同的]1,0[,21∈x x 使得21|)()(|12≥-x f x f .（不妨设21x x <） 由已知条件得|)()0(||)1()(||)1()0()()(||)()(|121212x f f f x f f f x f x f x f x f -+-<-+-=-|)()(|1||11|0||1|12121212x f x f x x x x x x --<--=+-=-+-<即1|)()(|212<-x f x f ，21|)()(|12<-x f x f ， 这与假设矛盾，假设不成立，因此原命题成立.2.2 反证法逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的.排中律常用公式A A ∨来表示，意即A 真或A 真.其中A 和A 表示两个互相矛盾的概念或判断.排中律要求人们思维有明确性，避免模柃两可.它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定，不互相矛盾而且应该明确地表示肯定还是否定，不能模柃两可，不能含糊不清.排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也违反了矛盾律，所以两者是互相联系的.它们的区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个矛盾判断，不能同假，必有一真.排中律是反证法的逻辑基础.当直接证明某一判断的正确性有困难时，根据排中律，只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了.例如，要证明2不是有理数有困难时，只要证明2是有理数为假就可以了.2.3 反证法步骤（1） 反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；（2） 归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件﹑已知的公理﹑定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3） 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立【3】.2.4 相关实例2.4.1由假设或已知所推出的结果与已知条件相矛盾例：已知3p +3q 2=，求证：p +q 2≤.分析：这是一个不等式问题（1）反设：结论是“p +q 2≤”，则应假设为2>+q p ，那么2>+q p 将作为下一步“归谬”的已知条件.（2）归谬：2>+q p 是一个已知条件，结合题设分析p 、q 均为三次方，故由2>+q p ,得2p q -，所以,6128)2(3233q q q q p -+-=->,22)1(661282233≥+-=+->+q q q q p233>+q p .这个结论与已知3p +3q =2矛盾，而推理正确，故而假设错误.（3）肯定结论：肯定结论p +q 2≤正确，命题得证.2.4.2由假设或已知推出的结果与已学定理相矛盾例：已知:如图1，设点A 、B 、C 在同一直线上，求证：过A 、B 、C 三点不能作圆. 分析：命题的结论是一个否定性结论.（1）反设：不能→能，假设过A 、B 、C 三点能作圆，那么这个结论将作为下一步“归谬”的一个已知条件.（2）归谬：由上述假设过A 、B 、C 三点能作圆出发，设此圆圆心为O ，则A 、B 、C 三点中连任意两点的线段是圆O 的弦，由垂径定理：O 既在AB 的中垂线 OM 上，又在BC 的中垂线ON 上，从而过点O 有两条直线OM 与ON 均与AC 垂直，这个结论就与定理“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.推理正确，故而假设错误.（3）肯定结论：即过同一直线上三点A、B、C不能作圆.2.4.3由假设或已知推出的结果与已学性质相矛盾例：已知0,0a b>>，求证：21（a+b）≥ab分析：（1）反设：结论是“≥，则应假设12（a+b）<ab．（2）归谬：∵12（a+b）<ab∴a+b<2ab∴a-2ab+b<0．（与已知结合）又∵0,0a b>>，∴（a-b）2<0．此结论与实数平方的非负性质矛盾，说明假设错误.（3）肯定结论：∴12（a+b）≥ab.2.4.4由假设或已知所推出的结果与已学公理相矛盾.图2-4例：在同一平面内，若1l ，2l 是垂直于直线l 的两条不同的直线，则直线1l ，2l 不相交.分析：这是一个几何问题，涉及到直线的垂直问题.（1）反设：假设1l ，2l 相交（2）归谬：因为1l ，2l 相交，所以从直线l 外一点（1l ，2l 交点）引两条直线1l ，2l 同它垂直，又由平面几何知识可知，从直线l 外一点不可能引两条不同直线1l ，2l 同它垂直，这显然与公理相矛盾，所以假设不成立.（3）肯定结论：命题成立，即若直线1l 与直线2l 同时垂直于直线l ，则1l ，2l 不相交.2.4.5由已知所推出的结果与假设相矛盾 例：已知a <a +2，求证：a >-1分析：（1）反设：假设a ≤-1．（2）归谬：因为a ≤-1，所以a ＝-a ， 又2+<a a 所以-2a2．故a >-1．这与假设相矛盾，所以假设不成立．（3）肯定结论：所以a >-1.总结：从假设出发，结合已知条件，利用已学知识进行恰当地推理，常常可得出与已学性质、定理、已知条件或假设矛盾. 3 中学数学中宜用反证法的适用范围反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用.那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便【4】.3.1 否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功.例3.1.1 设A 、B 、C 为不相等的实数，求证：3个二次方程20Ax Bx C ++=, 20Bx Cx A ++=,20Cx Ax B ++=不可能有等根.证明：设3个二次方程都有等根，则显然应有20B AC -=, 20C AB -=, 20A BC -=,将该3式相加，得2220A B C BC AC AB ++---=,即222()()()0A B B C C A -+-+-=,由此可推得A B C ==，这和已知矛盾，所以3个二次方程不可能都有等根.例3.1.2 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.已知：A ∠，B ∠，C ∠是三角形ABC 的三个内角.求证：A ∠，B ∠，C ∠中不能有两个钝角.证明：假如A ∠，B ∠，C ∠中有两个钝角，不妨设90A ∠,且90B ∠，则180A B C ∠+∠+∠.这与“三角形内角和为180”这一定理相矛盾. 故 A ∠，B ∠均大于90不成立.所以，一个三角形不可能有两个钝角.3.2 限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题【5】.例3.2.1 1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于9π. 证明：每个小圆的公共部分的面积都小于9π， 而九个小圆共有2936C =个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于3649ππ⨯=，又大圆面积为5π，则九个小圆应占面积要大于945πππ-=，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于9π. 例3.2.2例7 已知m ，n ，p 都是正整数，求证：在三个数,,,m n p a b c n p p m m n===+++ 中，至多有一个数不小于1． 证明：假设a ，b ，c 中至少有两个数不小于1，不妨设1a ≥，1b ≥，则m n p ≥+，n p m ≥+．两式相加，得20p ≤，从而0p ≤，与p 是正整数矛盾．所以命题成立．说明 “不妨设”是为了简化叙述，表示若有1b ≥，1c ≥和1a ≥等其他各种情况时，证明过程是同样的．3.3 无穷性命题即涉及各种“无限”结论的命题.例3.3.1 求证：2是无理数.分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难.而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来.当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数.证明：假设2是有理数，则存在b a N b a ,.,且∈互质，使2222b a b a =⇒=，从而，a 为偶数，记为c a 2=，∴224c a =，∴222b c =，则b 也是偶数.由a ,b 均为偶数与a 、b 互质矛盾，故2是无理数.例3.3.2 求证：素数有无穷多个.证明：假设素数只有n 个： P 1、P 2…P n ，取整数N=P 1·P 2…P n+1，显然N 不能被这几个数中的任何一个整除.因此，或者N 本身就是素数（显然N 不等于“P1、P2、…P n 中任何一个），或者N 含有除这n 个素数以外的素数r ，这些都与素数只有n 个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的.3.4 逆命题某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便.例3.4.1 正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等.逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆.逆命题的证明：如图2-4，若AB+CD ＝AD+BC （1），设四边形ABCD 不能有一个内切圆，则可作⊙O 与其三边AD 、DC 、AB 相切，而BC 与⊙O 相离或相交，过C 作⊙O 的切线交AB 或延长线于点E,由正命题知：AE+CD ＝AD+CE （2）.当BC 与⊙O 相离时，（1）-（2）图3-4得AB-AE ＝BC －CE ⇒BC ＝CE+BE ，这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当BC 与⊙O 相交时，（2）-（1）得AE-AB ＝CE －BC ⇒BC ＝CE+BE ，同样推出矛盾，则BC 与⊙O 不能相交或离，BC 与⊙O 必相切，故四边形必有一个内切圆.3.5 某些存在性命题例3.5.1 设(),0,1x y ∈,求证:对于,a b R ∈,必存在满足条件的,x y ,使13xy ax by --≥成立. 证明：假设对于一切(),0,1x y ∈,使13xy ax by--恒成立，令0x =,1y =,则13b ;令1x =, 0y =,得13a ,令1x y ==,得113a b --,但111111333a b a b --≥----=产生矛盾,故欲证结论正确. 例3.5.2 已知△ABC 的三边满足2a b b +=,求证: ABC 中至少有两个角不超过60 证明: 设至少有两个角超过60°,∵180A B C ∠+∠+∠= ∴ABC 中至多有两个角超过60,即所设等价于“ABC 中有两个角超过60” 我们不妨设60A ∠、60C ∠ 则:1cos 2A、 1cos 2C 由余弦定理: 222222cos c b a ab C b a ba =+-+- (1) 222222cos a b c bc A b c bc =+-+- (2)（1）+ （2）得:22b ba bc + 即:2a c b+ 与已知矛盾 故假设错误,即: ABC 中至少有两个角不超过60°.3.6 全称肯定性命题即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法试试【6】.例3.6.1 求证:无论n 是什么自然数，214143n n ++总是既约份数. 证明：假设314421++n n 不是既约分数，令214n ka +=（1），143n kb +=（2） （,,,1k a b N k ∈），且a b 为既约，由（2）×3-（1）×2得132132kb ka b a k -=⇒-=， 因32b a -为整数，1k 为分数，则132b a k -=不成立，故假设不成立，分数214143n n ++是既约的. 3.7 一些不等量命题的证明如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法.例3.7.1 已知,,,a b c d R ∈且1ad bc -=，求证：22221a b c d ab cd +++++≠.证明：假设22221a b c d ab cd +++++=,把1ad bc -=代入前式得：22220a b c d ab bc ad cd +++++--=即()()()()22220a b b c c d a d ++++++-= ∵,,,a b c d R ∈∴0a b b c c d a d +=+=+=-=∵a b c d ===，从而0ad bc -=与1ad bc -=矛盾.故假设不成立，原命题成立.例3.7.2如图2-7，在ABC 中，CB ∠∠,求证：AB AC .分析：此题看似简单，不用反证法，用平面几何的知识也能解决，也可以用反证法加以证明.证明：假设AB 不大于AC ，即AB AC ≤，下面就AB AC 或AB AC =两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立.（1） 若AB AC =，则ABC 为等腰三角形，∴B C ∠=∠，与已知CB ∠∠矛盾. （2） 若AB AC ，在AB 延长线上取一点D ，使得AD AC =，连接DC . ∵AD AC = ∴ADC 为等腰三角形 ∴ADC ACD ∠=∠， 又∵ABC ∠为ABD 的一个外角 ∴ABCBDC ACD ∠∠=∠而ACD ACB C ∠∠=∠∴ABC C ∠∠即B C ∠∠，与已知矛盾. ∴假设不成立，原命题成立.例3.7.3 求证：当220x bx c ++=有两个不相等的非零实数根时，必有0bc ≠． 分析 这个命题的条件是：如果220x bx c ++=有两个不相等的非零实数根，结论是：那么0bc ≠．而0bc ≠的否定是0bc =，而0bc =有三种情况：(1)0,0b c ==；(2)0b =，0c ≠；(3)0b ≠，0c =．证明：假设0bc =．(1)若0b =，0c =，方程变为20x =，那么120x x ==是方程220x bx c ++=的根，这与已知条件中方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若0b =，0c ≠，方程变为220x c +=，则220x c +≠，与220x bx c ++=矛盾． 图3-7(3)若0b ≠，0c =，方程变为20x bx +=，方程根为10x =，2x b =-这与条件中方程有二个非零实数根矛盾．综合(1)，(2)，(3)可知0bc ≠．3.8 基本命题除了以上几种常见题型宜用反证法，还有以下几种情形的命题可用反证法：①基本定理、公理以及一些定理的逆定理；②条件较少，且又无公理、定理可用；③直接证法较难，命题结论的反面更易于反驳.如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理.因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜用反证法来证明.例3.8.1 求证：两条相交直线只有一个交点.已知：如图2-8，直线a 、b 相交于点P ,求证：a 、b 只有一个交点.证明：假定a ，b 相交不只有一个交点P ，那么a , b 至少有两个交点P 、Q .于是直线a 是由P 、Q 两点确定的直线，直线b 也是由P 、Q 两点确定的直线，即由P 、Q 两点确定了两条直线a , b .与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a , b 不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点.图3-83.9 整除性问题例3.9.1 设a、b都是整数，22+能被3整除，求证：a和b都能被3整除.a b证明：假设a、b不都能被3整除，分三种情况讨论：（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故2a不能被3整除，同理，2b不能被3整除，所以22+也不能a b被3整除，矛盾.（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得2a能被3整除，2b不能被3整除，故22+也不能被3整除，矛盾.同理可证第三种情况.由（1）（2）（3）得，a b原命题成立.3.10 小结总之，当从已知条件出发要证出结论较困难时，而此时结论的反面又比结论本身更明确、更具体、更简单、更易判断时就可考虑用反证法.在学习和解决实际问题的过程中须注意命题的结论中如有“能”、“有”、“一定”等肯定性词语时，或有“不能”、“不是”、“不存在”、“不可得”等否定语句时，或命题结论中有“至多”、“至少”、“无穷”等词语时常可考虑用反证法，另外不等关系的证明，当结论的反面容易否定时，也可用反证法.只要不断地进行探索和总结，就能切实掌握如何应用反证法.4 运用反证法应注意的问题4.1 必须正确否定结论正确否定结论是运用反证法的首要问题.如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”.“至多有一个”指：“只有一个”或“没有一个”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”，即“至少有两个是直角”.4.2 必须明确推理特点否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的. 一般总是在命题的相关领域里考虑（例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点.因此，在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾.只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束.4.3 了解矛盾种类反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等.5 结论大家都知道反证法是数学中一种重要的证明方法, 是“数学家的最精良的武器之一”，在许多方面都有着不可替代的作用. 它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义.反证法不仅可以单独使用,也可以与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中多次使用，但中学数学课本现在对反证法要求不高，例题很少，学生与老师不重视，知识不巩固，使学生无法深刻理解掌握反证法，不知道如何正确适当的使用反证法，如何根据问题的特点，对症下药作为中学生很难把握，本文总结了反证法反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样否定结论寻找矛盾、哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳，并通过实例表现反证法的思维方式，使学生掌握什么类型的问题适用于反证法的问题．探索出反证法在中学数学中的应用，有利于帮助学生学习反证法从而提高学生利用反证法进行解题的技巧，我相信适合用反证法的相关类型题还很多，但由于能力有限，无法将适宜用反证法的所有问题类型一一列出，对此，我想在以后的学习过程中不断积累，发现问题，会对此课题继续探究.参考文献[1] 叶永艺.正难则反，从反面考虑问题[DB/OL][2] 赵雄辉.证明的方法[M].湖南：湖南人民出版社.2001：85-92[3] 王兰卿．反证法的一般步骤与形式．大同：大同高专学报.1998,第12卷第1期.[4] 龙朝阳.反证法的理论基础与适用范围[J].安顺师专学报.1999（2）：40-46.[5] 徐加生，纪健．浅谈用反证法证题的常见题型[J].江苏:数学通报.2007,第46卷.[6] 廉蒙．巧用反证法证明代数题[J]．北京:思路·方法·技巧.2004.谢辞本研究及学位论文是在陈志恩老师的亲切关怀和悉心指导下完成的.他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成，陈老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.在此谨向陈老师致诚挚的谢意和崇高的敬意.在此，我还要感谢在我论文完成中给予我帮助的同学们正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!。