浅谈中学数学中的反证法

浅谈中学数学中的反证法数学与计算机科学学院数学与应用数学105012011138 黄义瑜【摘要】反证法一种间接的数学证明方法，也是一种重要的数学思想.他首先假设某命题不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证.证明的一般步骤为反设、归谬、结论.虽然在中学数学的课本中所占篇目较少，但应用广泛，能锻炼学生的逆向思维.论文中将阐述反证法的概念、证明步骤、思维方式以及适用题型.深刻理解反证法的实质，切实掌握它的解题要领，能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力.【关键词】反证法命题中学数学高考高等数学有个著名的“道旁苦李”的故事：传说，王戎从小就非常聪明.有一天，他和小伙伴们出去游玩，发现路边有几株李树，树上结满了李子，而且看上去一个个都熟透了.小伙伴们一哄而上，摘了尝了之后才发现李子是苦的.只有王戎没动，王戎说：“如果李子不苦的话，早就被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这个故事中王戎从反面论述了李子为什么不甜，不好吃.这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法.1 反证法的由来反证法是数学中的一种证明方法，它是与直接证法相对的间接证法的一种.法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.反证法作为一种最重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用.欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法.2 反证法的概念反证法是一种反面的角度思考问题的证明方法，是数学中常用的间接证明方法之一，属于“间接证明”的一类.即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得. 法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体来说就是，假设命题的结论不成立，在已知条件和“否定命题结论”的新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论矛盾或自相矛盾，从而断定命题结论的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法.3 反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时为真，其中至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”.两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，所以我们得到原结论必为真.因此反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.4 反证法的一般步骤4.1反设假设命题所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立.反设是反证法的第一步，也是重要的一步.反设是否准确、全面，将会影响后续的推导.在反设时，主要要学会这两步：1、分清题设和结论.2、对结论实施准确、全面的否定.3、否定结论后，找出其对应的所有情况.在中学数学中，常用的有以下几4.2归谬：由命题的反设和命题的条件出发，引用论据进行推理，推导出与已知条件﹑公理﹑定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾.4.3结论：由所得的矛盾，判断产生矛盾的原因在于反设是假，从而说明反设的结论不成立，则原命题的结论成立.4.3.1由反设或已知所推出的结果与已知条件相矛盾 例1：已知：0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >. 求证：0a >,0b >,0c >.证明:(1)反设: 假设a ，b ，c 不都是正数.(2)归谬: 由0abc >可知，这三个数中必有两个为负数,一个为正数. 不妨设：0a >,0b >,0c >.则由0a b c ++>,可得()c a b >-+. 又0a b +>,()()()c a b a b a b ∴+<-++. ()()()ab c a b a b a b ab ++<-+++. 即22ab bc ca a ab b ++<---.20a >,0ab >,20b >.2222()0a ab b a ab b ∴---=-++<. 0ab bc ca ∴++<.这与已知0ab bc ca ++>矛盾.(3)结论：所以假设不成立，因此0a >,0b >,0c >.成立． 4.3.2由反设或已知推出的结果与已学公理相矛盾例2:在同一平面内，若1l ,2l 是垂直于直线l 的两条不同的直线，则直线若1l ,2l 不相交. 证明:（1）反设:假设1l ,2l 相交（2)归谬:因为1l ,2l 相交，所以从直线l 外一点（1l ,2l 交点）引两条直线1l ,2l 与 l 垂 直，又由平面几何知识可知，从直线l 外一点不可能引两条不同直线1l ,2l 与l 垂直， 这显然与公理相矛盾.(3)结论:假设不成立.因此若直线1l 与直线2l 同时垂直于直线l ，则1l ,2l 不相交. 4.3.3由反设或已知推出的结果与已学定理相矛盾例3：已知:如图1，设点A 、B 、C 在同一直线上，求证：过A 、B 、C 三点不能作圆. 证明：（1）反设：假设过A 、B 、C 三点能作圆.（2）归谬:设此圆圆心为O ，则A 、B 、C 三点中连任意两点的线段是圆O 的弦， 由垂径定理：O 既在AB 的中垂线OM 上，又在BC 的中垂线ON 上，从而 过点O 有两条直线OM 与ON 均与AC 垂直.与定理“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾. （3）结论:假设不成立.故过同一直线上A 、B 、C 三点不能作圆.图14.3.4由反设或已知所推出的结果与反设相矛盾 例4：求证2是无理数.证明：(1)反设：假设2是有理数，不妨设2qp=(p , q 为互质的正整数) (2)归谬:由反设有2222p q q p =⇒=,故2必是q 的因数. 设2q m =(m 为正整数),则2224p m =,所以222p m =. 故2又是p 的因数.因此p , q 有公因数2. 这与p , q 为互质的正整数相矛盾.（3）结论:假设2是有理数不成立,故2是无理数. 4.3.5由反设或已知所推出的结果与明显的事实相矛盾例5：2().f x x px q =++求证：(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12. 证明：（1）反设：假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于12.（2）归谬：由题意(1)1f p q =++,(2)42f p q =++,(3)93f p q =++. 所以(1)2(2)(3)2f f f -+=.则 1112(1)2(2)(3)(1)2(2)(3)22222f f f f f f =-+≤++<+⨯+=. 显然矛盾.（3）结论：假设不成立，故(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12.4.3.6由反设或已知所推出的结果自相矛盾例6：已知a ,b ,()0,1c ∈．求证：()1a b -,()1b c -,()1c a -不能同时大于14. 证明：（1）反设：假设三个式子同时大于14，即 ()114a b ->,()114b c ->,()114c a ->.（2）归谬：三式相乘得()3--->a b b c c a1(1)(1)14(1)因为01<<，所以0(1)114aa a<-<<.同理，0(1)114<-<<.c cb b<-<<,0(1)114所以()3---<a b b c c a1(1)(1)14(2)显然（1）与（2）矛盾.（3）结论：所以假设不成立，故原命题成立．5 中学数学中用反证法的常见类型反证法曾经是在平面几何中出现过，并且对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用到.那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？另外我们在解题时，题目未指明用什么方法，我们会思考是选择直接证法还是间接证法好呢？甚至有些命题必须用反证法才能证明，到底怎样的题目适合用反证法呢？当然没有特定的标准，但我们在实践当中，可以总结出有以下几种命题适合用反证法来证明.5.1基本命题即学科中的起始性命题，此类命题能够应用的已知条件及定理、公式、法则较少，或由已知条件所能推出的结论很少，因此用直接证明较难入手，此时用反证法更容易奏效.如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理.因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜用反证法来证明.例7：求证：两条直线如果有公共点，最多只有一个公共点.证明：假设直线a与b有两个公共点A，B.那么A，B都属于a，A，B也都属于b，因为两点决定一条直线，所以直线a，b重合.所以假设不成立，则原命题正确.5.2否定性命题结论以“没有......”，“不......”，“不能......”，“不存在......”等形式出现的问题，直接证明有困难，一般用反证法来证明.例8：求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.即已知：A∠,B∠是三角∠,C形ABC的三个内角.求证：A∠,B∠中不能有两个钝角.∠,C证明：假设A∠,B∠中中有两个钝角.∠,C不妨设90A ∠>,且90B ∠>，则180A B C ∠+∠+∠>.这与定理“三角形内角和为180”定理矛盾. 所以假设不成立.因此一个三角形不可能有两个钝角.5.3限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、或“最多”等词语的命题例9：已知函数()f x 是单调函数，则方程()0f x =最多只有一个实根. 证明：假设方程至少有两个根1x ，2x 且12x x ≠， 则有()()12f x f x =12()x x ≠.这与函数单调的定义矛盾，所以假设不成立.故原命题成立.5.4无穷性命题即命题的结论是无限的又无法一一列出，而命题结论的反面却是有限的、肯定的，这时适合用反证法.例10：求证：素数有无穷多个.证明：假设素数只有n 个，为12,......n P P P ，取整数12......1n N P P P =⨯⨯⨯+, 显然N 不能被这几个数中的任何一个整除.因此，或者N 本身就是素数（显然N 不等于“12,......n P P P 中任何一个”），或 者N 含有除这n 个素数以外的素数r ，这些都与素数只有n 个的假定相矛盾. 故素数个数不可能是有限的，即为无限的.5.5逆命题某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便.例11：原命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等.已知原命题成立，试证 明其逆命题也成立.证明：逆命题为：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆. 如图2，若(1)AB CD AD BC+=+，设四边形ABCD 不能有一个内切圆， 则可作⊙O 与其三边AD 、DC 、AB 相切，而BC 与⊙O 相离或相交，过C 作⊙O 的切线交AB 或延 长线于点E ,由原命题：(2)AE CD AD CE+=+当BC 与⊙O 相离时，()()12-得AB AE BC CE -=-. 则BC CE BE =+，这与“三角形两边之和大于第三边”相矛盾； 图2当BC 与⊙O 相交时，()()21-得AE AB CE BC -=-, 则BC CE BE =+，同样推出矛盾.则BC 与⊙O 不能相交或离，则BC 与⊙O 必相切，故逆命题成立.5.6唯一性命题即结论含有“只有......”，“有且只有......”等形式的词语的命题.以否定唯一性为条件，得出反面结论、再用枚举法逐一否定各个反面结论，从而肯定结论.例12：已知0a ≠，求证：关于x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：假设方程0(0)ax b a +=≠至少存在两个根. 不妨设其中的两根分别为1x ，2x 且12x x ≠. 则1ax b =，2ax b =.则12ax ax =. 则12()0a x x -=因为12x x ≠，则120x x -≠. 则0a =与已知矛盾.所以假设不成立，故原结论成立.5.7肯定性命题即结论含有“必然......”，“必是......”等形式的词语的命题，将原来的肯定命题转化为否定命题，再利用该否定命题找出矛盾，从而证明原命题成立.例13:已知a,b,c 均为正整数，且满足222a b c +=,a 为质数，求证：b 与c 两数必为一 奇一偶.证明：假设b 和c 同为奇数或同为偶数，由222a b c +=,得()2()c b c b a +-=, 由假设c b +和c b -同为偶数，则2a 必为偶数，故a 也为偶数. 因为a 是质数，所以2a =，即有()()4c b c b +-=,所以 22c b c b +=⎧⎨-=⎩ 或41c b c b +=⎧⎨-=⎩与b ,c 均为正整数矛盾，所以假设不成立.故b 与c 必为一奇一偶.5.8某些存在性命题即结论含有“存在......”等形式的词语的命题，当满足结论的结果难以找出时，可用反证法去证明对于“任意.......”都会使结论的反面成立，从而得到矛盾，所以原命题得证.成立.所以假设不成立，故原结论正确.5.9全称肯定性命题即结论含有”任意......”，“对一切.......”,“全.......”等形式的词语.这类命题难以证明时，可用反证法证明“存在......”使结论不成立，从而得到矛盾，所以原命题得证.例15：求证：大于1的任何整数一定有质因数. 证明：假设存在一个大于1的整数n 没有质因数，即n 大于1且不是质数（因为质数本身是质因数），则n 必为合数. 则n 必有一个不等于n 的真因数1n ，故n 大于1n ， 这里1n 也必不是质数，否则n 有质因数；同理可得，1n 也有一个真因数2n ，使1n 大于2n ，2n 也必不是质数. 依次类推，可得n 大于1n ，2n ，3n ...... 这表明，在n 与1之间有无限多个不同的整数这与一个确定的整数n 与1之间只能有有限个不同的整数矛盾. 故原命题成立.5.10不等性命题即要证明的结论中含有不等号，有时候直接证明难有思路，可用反证法，找到矛盾，从而原命题得证.6 用反证法解高考题反证法是中学数学的一种重要的证明方法，也是高考数学要求掌握的一种证明方法.它适用于直接证明比较繁琐甚至非常困难的题目，在各省的高考题中，有些题从正面做比较复杂或难以想到，有时候换种思路，从反面来思考寻找矛盾会简单很多.纵观历年高考题，你会发现反证法在平面解析几何、数列、空间几何等都有广泛的应用，只要平时多留心，多思考，就会发现发证法不失为解题的一种好方法.例17：（2009年辽宁）如图3，已知两个正方行ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M 、 N 分别为AB ，DF 的中点.用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线. 证明：假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN . 由已知，两正方形不共面，故AB ⊄平面DCEF . 又AB CD ，所以AB 平面DCEF .又因为MBEN ⋂平面平面DCEF=NE .所以AB EN . 又AB CD EF ,所以EN EF ，这与EN EF E ⋂=矛 盾，故假设不成立.所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线. 图3 例18：（2009年安徽）点()00,P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，0cos x a β=，0sin y b β=，02πβ<<，直线2l 与直线1l ：00221x y x y a b +=垂直，O 为坐标原点， 直线OP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ.证明: 点P 是椭圆22221x y a b+=与直线1l 的唯一交点.证明：将0cos x a β=，0sin y b β=代入椭圆方程中，()()2222cos sin 1a b a b ββ+=，则点P 在椭圆上.同理点P 也在直线1l 上.假设直线1l 与椭圆的交点不止一个，还有另一个人交点()111,P x y . 由点1P 在椭圆上，有2211111122221(1)x y x y x y a b a b +=+=.又有1P 在直线1l 上，有0011221x y x y a b +=，即110221(2)x y x y a b +=.由（1）与（2）式可得点()111,P x y 、()00,P x y 均在直线l ：11221x y x y a b +=上， 又因为这两点都在直线1l 上，那么直线1l ：00221x y x y a b +=与直线 1122:1x y l x y a b +=是同一条直线. 所以10x x =，10y y =，所以点P 与点1P 是同一点，与假设矛盾. 故假设不成立，所以原命题成立.例19：（2008年江苏）设12a ,,n a a 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差 0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列.求证：对于一个给定的正整数()4n n ≥，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 12,,n b b b ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．证明：假设对于某个正整数n ，存在一个公差为1d 的n 项等差数列 11111,,,(1)b b d b n d ++-11(,0)b d ≠，其中三项111b m d +，121b m d +，131b m d +成等比数列，这里12301m m m n ≤<<≤-， 则有2121111131()()()b m d b m d b m d +=++ 化简得22132112131(2)()m m m b d m m m d +-=-()1由110b d ≠知，31322m m m +-与2213m m m -或同为零，或均不为零.若13220m m m +-=且22130m m m -=，则有2131302m m m m +⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即()2130m m -=，得13m m =，从而123m m m ==，矛盾.因此，若13220m m m +-≠且22130m m m -≠，故由（1）得2213111322m m m b d m m m -=+-因为1m ，2m ，3m 均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而11b d 是一个有理数. 于是，对于任意的正整数4n ≥,只要取11b d 为无理数，则相应的数列12,,n b b b就是满足要求的数列.例如,取11b =，12d =，那么n 项数列1,1+21+221+n-12，，，（）满足要求.7 高等数学中的反证法应用举例反证法不仅在中学数学中应用广泛，它也是高等数学中必不可少的一种数学证明方法.一些大学生认为，高等数学比初等数学抽象、不易接受，对许多较复杂的题目更是无从下手，刚开始学习就产生畏惧感，久而久之会越来越不喜欢数学.其实高等数学并没有那么可怕，它是将初等数学思想升华，把一些问题想得更加透彻，一些定理的适用范围更广.同样的一道证明题，同样是反证法，可用初等数学知识来想和用高等数学的思想来想，思想层次上是不一样的.下面将用例子来说明反证法在高等数学中的应用.例20：证明2不是有理数.分析：我们知道，有理数恒可表示为既约分数ab（a ，b 为互质的自然数）的形式，直例21：任一收敛数列的极限都是唯一的.证明：假设一收敛数列{}n x ，其极限不唯一，则至少存在两个数a ，b ，适合n lim x n a →∞=，则根据极限定义，存在自然数1N 与2N ，使得因此，当{}12max ,n N N ≥时，有0n 0b-x a εε<<+.显然矛盾，所以假设不成立，故原命题成立.这两个例子都是反证法在高等数学中的应用.例20和例4所要证明的命题是一样的，可以看出即使需要证明的命题一样，证明过程一样，但用初等数学的思想和用高等数学的思想是不一样的，从高等数学的角度看问题程度更高，但也是要建立在初等数学的基础之上.例21是反证法中唯一性类型命题，不管是初等数学还是高等数学对于唯一性命题直接证明一般难于表述，用反证法会容易许多.8 小结反证法是数学中一种重要的证明方法，是“数学家最精良的武器之一”，在许多方面都有着不可替代的作用.它是从否定命题的结论出发，通过正确的逻辑推理导出矛盾，从而证明了原命题的正确性的一种重要方法.在数学解题中，也常用间接的方法，即有些命题不易用直接的方法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真的证明方法）来证题.著名的英国数学家..G H 哈代对于这种证明方法做过一个令人满意的评论.在棋类比赛中，经常采用的一种策略是“弃子取势”，即牺牲一些棋子来换取优势.反证法在初等数学和高等数学中都应用广泛，它以独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义，能提高学生的数学解题能力.参考文献[1]赵雄辉.证明的方法[M].湖南：湖南人民出版社.2001：85-92[2]邓传斌.反证法漫谈.中学数学杂志[M].1996年第2期.[3]陈国祥.适合用反证法证明的几类问题[J].中学数学教学参考.1994（7）：22-23.[4]龙朝阳.反证法的理论基础与适用范围[J].安顺师专学报.1999[5]高珑珑.反证法例说[J].中学数学月刊.1997（4）：33-35.[6]徐加生.例谈正难则反的解题策略[J].数学教学研究.1999（4）：12-13.[7]李云涛.浅谈反证法[DB/OL][8]华东师范大学数学系.数学分析（上册）.北京：人民教育出版社.1993.9Reduction to absurdity on Mathematics Teaching in high schoolInstitute of mathematics and computer scienceMajor of Mathematics and Applied Mathematics105012011138 Huang Yiyu【Abstract】Reduction to absurdity, a kind of indirect proof of mathematics method, also is a kind of important mathematics thought. It starts with the assumption that a proposition is false, and then deduce the apparently contradictory results, and thus conclude that the original assumption does not hold, the original proposition be proved. The general steps of proof is that give negative hypothesis, find the absurdity,make conclusion. Although the table of contents is less in the middle school mathematics textbooks, but it is widely used,can also cultivate students' reverse thinking .This paper will expounds the concept ，proof steps, ways of thinking and application types.To profoundly understand the essence of absurdity, to grasp the essentials of solving it, can improve the logical thinking ability and the ability to solve practical problems.【Keywords】Reductio Proposition Middle school mathematics College entrance examinationHigher mathematics。