高中数学方法解之反证法

反证法从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。

它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。

再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。

所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。

即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。

应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。

实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。

一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。

具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

例1.[05.北京]设()f x 是定义在[0,1]上的函数，若存在'(0,1),x ∈使得()f x 在[0,']x 上单调递增，在[',1]x 上单调递减，则称()f x 为[0,1]上的单峰函数，'x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。

对任意的[0,1]上单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。

求证：对任意的1212,(0,1),,x x x x ∈<若12()()f x f x ≥，则2(0,)x 为含峰区间；若12()(),f x f x ≤则1(,1)x 为含峰区间；【巧证】：设'x 为()f x 的峰点，则由单峰函数定义可知,()f x 在[0,']x 上单调递增，在[',1]x 上单调递减。

当12()()f x f x ≥时，假设2'(0,)x x ∉，则12',x x x <≤从而21(')()(),f x f x f x ≥>这与12()()f x f x ≥矛盾，所以2'(0,)x x ∈，即2(0,)x 是含峰区间。

当12()()f x f x ≤时，假设1'(,1)x x ∉，则12'x x x ≤<，从而12(')()(),f x f x f x ≥>这与12()()f x f x ≤矛盾，所以1'(,1)x x ∈，即1(,1)x 是含峰区间。

例2. 求证：函数f(x)=sinx 的最小正周期是2π．【巧证】：由诱导公式知，对任意x ∈R ，有sin(x ＋2π)=sinx ，即2π是函数sinx 的一个周期．下面再用反证法证明2π是sinx 的最小正周期，假设还有一个正数T 也是sinx 的周期，且0＜T ＜2π，则对任意x ∈R 都有sin(x ＋T)=sinx ．特别地，对x=0，有sinT=sin0=0，而在(0，2π)中，只有T=π才使sinT=0，但π不是sinx 的周期，故sinx 的最小正周期是2π．注：若直接证明比较困难，因适合0＜T ＜2π的正数有无穷多个，我们无法直接验证．当“反设”中断言某些性质对于变量的一切值都成立时，显然对变量的一些特殊值也成立，故常赋予特殊值，便可得到一些等式或不等式，从而推得矛盾，反证原命题．例3 x y x y 221y 2若、都是正数，且＋＞，求证：＜和＋＜中至少有一个成立．1 x y x 证明：如果＋＜和＋＜都不成立，则有＋≥和＋≥同时成立，因为、均为正数，故必有1x 21y 21x 21y 2x y y x y x1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ．两式相加，得2＋(x ＋y)≥2(x ＋y)，即2≥x ＋y ，这与已知矛盾，故1x 21y 2＋＜和＋＜中至少有一个成立．y x注：“集合M 中至少有一个元素m 不具有性质a ”的否定是“集合M 中所有元素都具有性质a ”．反之亦对．因为“集合M 中至少有一个元素不具有性质a ”，它包含了“M 中有一个元素不具有性质a 、两个元素不具有性质a ……所有元素都不具有性质a ”等各种情形．因此它的否定是“M 中所有元素都具有性质a ”．如“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”的否定是“三角形中所有内角都小于60°”．注意“都不是”的否定不是“都是”，而是“不都是”，也即“至少有一个是”．如“a 、b 都不是零”的否定是“a ，b 中至少有一个是零”．例4 ABC A B C sinA sinB sinC 在已知锐角△中，＞＞，求证：＞，＞，且＜．322232 证明：结论的否定是≤，或≤，或≥．sinA sinB sinC 322232若≤，因△是锐角三角形，sinA ABC 32∴C ＜B ＜A ≤60°．∴A ＋B ＋C ＜180°，这不可能．∴＞．sinA 32同理可证＞，＜．sinB sinC 2232注：这里最容易出现的错误是把对结论的否定说成“若≤，sinA 32sinB sinC x A ≤，≥”．注意“且”的否定是“或”．例如“∈2232 或∈，即∈∪”的否定是“∪，即且”．x B x A B x A B x A x B ∉∉∉例5. [88.全国理]给定实数a ，a ≠0且a ≠1，设函数y ＝x ax --11 (其中x ∈R 且x ≠1a )，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x 轴； ②.这个函数的图像关于直线y ＝x 成轴对称图像。

【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。

【巧证】：①设M1(x1,y1)、M2(x2,y2)是函数图像上任意两个不同的点，则x1≠x2,假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1＝y2，即xax1111--＝xax2211--，整理得a(x1－x2)＝x1－x2∵x1≠x2∴ a＝1，这与已知“a≠1”矛盾，因此假设不对，即直线M1M2不平行于x轴。

②由y＝xax --11得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝y ay --11，即原函数y＝xax--11的反函数为y＝xax--11，图像一致。

由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝x ax --11的图像关于直线y＝x成轴对称图像。

【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。

第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。

例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0【巧证】：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0又由a + b + c > 0, 则b + c = -a > 0∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾又：若a = 0，则与abc > 0矛盾，∴必有a > 0同理可证：b > 0, c > 0例7. 求证：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交．【巧证】：如图1-8-6，设平面α∥β．直线AB∩α=A，下面用反证法证明AB与β相交．假设AB与β不相交，则必须考虑两种情形：(1)若AB∥β，过AB作平面γ，使β∩γ=CD，则AB∥CD．∵AB∩α=A，∴A∈α，且A∈γ，设α∩γ=AB'．又α∥β，∴AB'∥CD，于是在平面γ内过A点有两条直线AB与AB'分别平行于直线CD，这和平行公理矛盾．∴AB不能平行于平面β．若β，∵∩α，则∈α，且∈β，于是α与β(2)AB AB=A A A相交于过点A的一条直线，但与已知α∥β矛盾，∴AB不在β内．由(1)、(2)可知，直线AB与平面β相交．注：用反证法证题时，如果欲证命题的反面只有一种情况，那么只要将这种情况驳倒即可，这种反证法又叫归谬法；如果结论的反面不仅有一种情况，就必须把所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫穷举法．巧练一：1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。

A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根2. 已知a<0,－1<b<0，那么a 、ab 、ab 2之间的大小关系是_____。

A. a>ab> ab 2B. ab 2>ab>aC. ab>a> ab 2D. ab> ab 2>a3. 已知α∩β＝l ，a α，b β，若a 、b 为异面直线，则_____。

A. a 、b 都与l 相交B. a 、b 中至少一条与l 相交C. a 、b 中至多有一条与l 相交D. a 、b 都与l 相交4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。

(97年全国理)A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种十三、反证法巧练一：【巧解】：1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A ；2小题：采用“特殊值法”，取a ＝－1、b ＝－0.5，选D ；3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B ；4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C 104－C 64×4－3－6,选D 。