浅谈中学数学中的反证法
浅谈数学中的反证法
浅谈数学中的反证法一、反证法的定义关于反证法，牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一。
”这就充分肯定了反证法在数学应用中的积极作用和不可动摇的重要地位.古希腊数学家欧道克斯正是依据了反证法发现了无理数（√2的非有理性证性明就是一例）.罗巴切夫斯基（Ｌｏｂａｔｃｈｅｖｓｋｙ）也是依据了反证法发现非欧几何学，从某种意义上说，也是总结了用反证法证明平行公理失败的教训，从而得到启示的结果.就是说把有理数域扩充到实数以及非欧几何的诞生都是逆向思维——特别是反证法的伟大功绩．鉴于此，近年来的教育工作中，对学生的逆向思维原则的培养得以增强，各大中小学教育中更加注重培养学生思维的多向性、创造性与灵活性．二、反证法的步骤在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想.由此，我们总结出用反证法证明命题的四个步骤: ①审题一定要将命题的前提，命题的结论弄清楚.②提出假设根据假设的条件以及原命题，对原命题提出否定.③逻辑证明从假设出发，根据数学中现有的公理、定义、公式、定理以及，命题等条件，在逻辑推理的正确引导下得出逻辑矛盾.④肯定结论对原命题的正确性进行肯定.三、反证法的逻辑应用反证法指的是从反面的角度，对问题进行思考的一种证明方法，也是间接证明中的一种类型.换言之，就是对题设肯定，却对结论否定，在这个过程中将矛盾到过来进行推理.四、中学数学中反证法的应用1)否定性命题的证明例题1：三个正整数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证√a,√b,√c不成等差数列解：假设√a,√b,√c成等差数列，则√a+√c=2√b,两边同时平方得a+c+2√ac=4b.又a,b,c成等比数列，所以b2=ac,即b=√ac，所以a+c+2√ac=4√ac,所以a+c-2√ac=0,即（(√a−√c)2=0,所以√a=√c,从而a=b=c,所以a,b,c可以成等差数列，这与已知中“a,b,c不成等差数列”矛盾.原假设错误，故√a,√b,√c不成等差数列.2)限定式命题的证明3)无穷性命题的证明例题3：求证：质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的证：假设质数序列是有限的，序列的最后一个也就是最大质数为P，全部序列为2，3，5，7，11，13，17，19......P再构造一个整数N=2×3×5×7×11×…×P+1显然N不能被2整除，N不能被3整除，……N不能被P整除，即N不能被2，3，5，7，11，13，17，19......P中的任何一个整除，所以N是个质数，而且是个大于P的质数，与最大质数为P矛盾，即质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的.4)逆命题的证明5)某些存在性命题的证明6)全称肯定性命题的证明7)一些不等量命题的证明8)基本命题的证明五、总结。
浅谈反证法在初中数学解题中的应用
浅谈反证法在初中数学解题中的应用
反证法是一种常用的数学解题方法，在初中数学中也有广泛的应用。
它的基本思想是，在证明某一命题时，先假设该命题不成立，然后通过推导得出矛盾结论，最后证明假设不成立，从而得出原命题的正确性。
在初中数学中，反证法常用于证明“存在性”或“唯一性”等命题。
例如，要证明函数f(x)在区间[a,b]内至少存在一个零点，可以先假设函数f(x)在区间[a,b]内不存在任何零点，然后通过对函数进行推导，得出矛盾结论，最后证明假设不成立，得出函数f(x)在区间[a,b]内至少存在一个零点的结论。
反证法在初中数学中的应用还有：
1.证明几何图形的性质，如证明直线平分圆弧的结论，可以先假设直线不平分
圆弧，然后通过推导得出矛盾结论，最后得出直线平分圆弧的结论。
2.证明数学定理，如证明勾股定理，可以先假设勾股定理不成立，然后通过推
导得出矛盾结论，最后得出勾股定理的正确性。
反证法是一种非常有效的数学解题方法，在初中数学中有广泛的应用。
学会使用反证法，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨初中数学作为学生学习的一门重要学科，是培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的能力的重要途径。
在初中数学中，反证法是一种常见的证明方法，也是解决数学问题的有效手段之一。
本文将探讨反证法在初中数学解题中的应用及其重要性，帮助学生更好地理解和掌握这一证明方法。
一、反证法的基本概念我们先来了解一下反证法的基本概念。
反证法是一种证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明原命题的方法。
简而言之，就是假设反面，然后推导出矛盾，从而推翻原假设，从而达到证明的目的。
要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法。
假设根号2是有理数，即可以表示为一个分数a/b，其中a、b为整数，并且a、b没有公因数。
那么，根号2=a/b可得2=(a/b)²,进一步可得2b²=a²。
这时候可以得出，a²是2的倍数，那么a也是2的倍数，设a=2m,那么可以得出2b²=(2m)²,得b²=2m².可见b²也是2的倍数，那么b也是2的倍数。
而这与a、b没有公因数的前提相矛盾，所以得出根号2是无理数。
可以看出，通过反证法，我们成功地证明了根号2是无理数的结论。
二、反证法在初中数学中的应用在初中数学中，反证法常常在几何问题、不等式问题以及集合问题中得到应用。
下面我们将通过具体的数学问题来探讨反证法在初中数学中的应用。
1. 几何问题在初中数学的几何学习中，有些问题需要证明一些形状或者性质的关系，可以运用反证法。
证明平行线性质、三角形全等性质以及圆的性质等。
一般来说，通过假设反面，推导出矛盾来证明原命题的正确性。
举个例子，要证明“平行线上的等角是相等的”，可以采用反证法。
可以假设在平行线上存在两个等角，但是这两个角却不相等。
通过推导出这种假设的矛盾，可以证明原命题的正确性。
2. 不等式问题在初中数学的不等式学习中，有些问题需要证明不等式的大小关系，可以运用反证法。
漫谈初中数学解题中的“反证法”
61学子 ２０１７．０５数学教学漫谈初中数学解题中的“反证法”王玉琴一、“反证法”解题方法在解题中，反证法一般分为三步：1.提出假设：做出与所要求证的结论相反的假定。
2.推理求证：由“假设”出发进行推理，得出与定义、定理、公理或与题设相矛盾的结论。
3.得出结论：根据“矛盾”得出假设不成立，原求证结论正确。
反证法的步骤好理解和掌握，关键是要反设正确，在结论的方面呈多种情况或比较隐晦时，在反设时就比较困难，现将其中常用的互为否定形式词语总结如下：其中，在至少有一个、至多有n 个、至多有一个等证明结论的反设上，需要更为细心的琢磨，让学生明白一个也没有、至多有二个、至多有n 个的深刻含义，从而顺利进行证明。
反证法的使用，使得一些数学试题的解决简单便捷。
二、“反证法”例题展示１．定理性命题的证明在数学的基本定理中，利用“反证法”来证明，更便捷、具有说服力。
案例１：勾股定理的证明如图所示，在直角三角形△ABC 中，∠C=90°，三个边长分别为a、b、c，求证：c2=a2+b2.证明：过C 点作斜边AB 上的垂线于D，假设a 2+b 2 ≠ c 2，即AC 2+BC 2≠AB 2，根据三角形的中垂线定理可得：AB 2=AB•AB=AB（AD+BD）=AB•AD+AB•BD 根据假设又知：AC2≠AB•AD，BC2≠AB•BD 即AD：AC ≠AC：AB，或者BD：BC ≠BC：AB，在△ADC 和△ACB 中，因为∠A=∠A，则当AD：AC ≠AC：AB 时，∠ADC ≠∠ACB；在△CDB 和△ACB 中，因为∠B=∠B，则当BD：BC ≠BC：AB 时，∠CDB ≠∠ACB，又因为∠ACB=90°，所以∠ADC ≠90°，∠CDB ≠90°，这与CD ⊥AB 是矛盾的，所以AC 2+BC 2≠AB 2不成立，则有：AC 2+BC 2=AB 2，即c 2=a 2+b 2２．无限性命题的证明“无限”、“无穷”等概念，往往出现在求证命题中，正面证明缺乏一定的头绪，而“反证法”使得解题变得非常简单。
浅谈中学数学中的反证法
本科生毕业论文浅谈中学数学中的反证法院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学班级: 2008级数学与应用数学(2)班学号： 200807110211 姓名：黎康乐指导教师：陈志恩完成时间: 2012年5月26日浅谈中学数学中的反证法摘要: 数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中,最常见的是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给出确切的回答.本课题通过查阅资料和自己在学习数学过程中的发现就中学数学中反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾、以及哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳．并总结出在学习反证法的过程中应注意的三个方面，通过对以上提出的所有问题进行系统归纳，这有利于帮助学生系统的学习反证法，提高学生利用反证法进行解题的技巧从而达到预期效果.关键词:反证法假设矛盾结论Abstract：The mathematical proof points directly proofs proposition and indirect proof two。
In indirect proof，the most common is required. Although peacetime we contact with the related knowledge，but is scattered，of the concept, application procedures，the scope of use of not understanding of the system，and the mathematical proposition the diversity and complexity, which is suitable for proposition is very difficult to give the exact with reduction to answer. This subject will be required in the middle school mathematics concept, apagoge is logical basis, types and steps, problem solving process of how a hypothesis of contradictions, and looking for what types of questions appropriate counter-evidence method from the proof of the set out on the induction. And summed up in the process of learning be should be paid attention in the three aspects，through all the questions put to the above system induce，this will help the students to learn the required system，improve the students use to problem solving skills required to achieve the expected effect。
中学数学中的反证法
归纳法：通过 归纳推理，从 特殊到一般， 得出一般结论
的方法
关系：反证法 和归纳法是两 种不同的证明 方法，但在某 些情况下可以 相互补充，共 同证明一个命
题
区别：反证法 主要适用于证 明一个命题为 真，而归纳法 则主要适用于 证明一个命题
为假
反证法是一种间接证明方法，通过否定结论来证明结论不成立 演绎法是一种直接证明方法，通过已知条件推导出结论 反证法适用于难以直接证明的问题，而演绎法适用于容易直接证明的问题
05
简洁明了：反证法可以简洁明了地证明一个命题 易于理解：反证法易于理解，易于掌握 广泛应用：反证法在数学中广泛应用，可以解决许多问题 逻辑严密：反证法逻辑严密，可以保证证明的准确性
反证法需要找到与结论相反 的命题，可能难以找到
反证法需要假设结论不成立， 可能导致结论错误
反证法需要证明假设不成立， 可能难以证明
04
解方程：通过反 证法证明方程无 解
解不等式：通过 反证法证明不等 式成立
解函数问题：通 过反证法证明函 数性质
解数列问题：通 过反证法证明数 列性质
证明两直线平行 证明三角形全等 证明四边形内角和为360度 证明圆周角等于360度
反证法在解三角函数问题时的应用 反证法在证明三角函数恒等式时的应用 反证法在解决三角函数不等式问题时的应用 反证法在解决三角函数最大值和最小值问题时的应用
反证法和演绎法都是数学证明的重要方法，各有优缺点，需要根据具体情况选择使用
汇报人：
证明一个命题的否定为真，但 无法直接证明原命题为假
03
假设结论不成立 假设结论成立的条件 假设结论成立的结果 假设结论成立的结论
推导出与已知条件相矛盾的 结论
假设结论成立
浅谈“反证法”在高中数学的应用
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
毕业论文：浅谈中学数学中的反证法-审核通过
毕业论文学生姓名XXX 学号1610010XXX 学院数学科学学院专业数学与应用数学题目浅谈中学数学中的反证法XXX 副教授/博士指导教师2014 年 5 月摘要：反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用。
关键词：反证法,适用范围，假设Abstract：Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view。
In this article，we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it。
Furthermore，we applied it in Mathematics in middle school.Key word: Proof by contradiction，scope of application ，hypothesis目录1引言 (4)2反证法的概述 (4)3 反证法的适用范围 (5)4运用反证法应该注意的问题 (10)总结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)1 引言1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证:假设假设亚里士多德的断言是正确的。
设物体a 比物体b 的重量重很多，则a 应比b 先落地。
现在把物体a 和b 绑在一起成为物体c ，则c =a +b 。
一方面，由于c 比a 要重,它应该比a 先落地.另一方面，由于a 比b 落得快,a 、b 一起的时候，b 应该是“拉了a 的后腿”迫使a 的下落速度减慢，所以,物体c 应该比a 后落地.这样一来，c 应比a 先落地又应比a 后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的。
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浅谈中学数学中的反证法摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。
反证法不仅是一种论证方法，还是一种思维方式，对培养和提高学生的逻辑思维能力和创造性思维能力也有极其重要的作用，还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。
反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。
所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍反证法在中学数学中的应用并举例分析以及说明应用反证法要注意的问题。
关键词：反证法；中学数学；应用；On the Proof by Contradiction in Middle SchoolMathematicsAbstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction.Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;目录目录浅谈中学数学中的反证法 (1)1 引言 (1)2 反证法的产生 (1)2.1古希腊的反证法 (1)2.2 中国古代数学中的反证法 (2)3 反证法的定义与步骤 (2)3.1 反证法的定义 (2)3.2反证法的解题步骤 (2)4 反证法的分类与科学性 (4)4.1反证法的分类 (4)4.1.1归谬法例题 (4)4.1.2穷举法例题 (4)4.2反证法的科学性 (5)4.2.1反证法的理论依据 (5)4.2.2反证法的可信性 (5)4.3为什么要使用反证法 (6)5 反证法在中学数学中的应用 (6)5.1基本命题，即学科中的起始性命题 (6)5.2命题采取否定形式 (7)5.3有关个数的命题 (9)5.4结论涉及无限集或数目不确定的命题 (10)5.5不等式类型 (11)5.6几何类型题 (12)6 使用反证法解题过程中要注意的问题 (13)6.1反设要正确 (13)6.2 要明确推理特点 (13)6.3能灵活运用 (13)6.4 反证法与举反例不等同 (14)6.5熟悉矛盾的种类 (14)7 总结 (14)参考文献 (14)致谢 (15)浅谈中学数学中的反证法1 引言反证法是间接论证的方法之一，早在古希腊,一些数学家就用反证法解决了许多数学问题。
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”，它在中学数学中有着不可替代的重要作用，一般来说，当学生遇到不容易或者不能从正面进行证明的题目时，则可以尝试运用反证法进行证明。
反证法弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，运用反证法可以培养和提高学生的逆向思维能力和创造思维能力，把不可能转化为可能。
教师应要结合熟悉的生活实例和典型的数学例题，帮助并引导学生了解反证法继而使用反证法，然后运用反证法拓宽学生解决问题的思路。
不仅在中学数学中能运用反证法，生活中也能运用反证法解决问题。
如李某与朋友们外出游玩，看到路边的树上结满了果子，朋友们都去摘取果子，唯独李某站在原地一动不动，一朋友问他为什么不去摘取，李某说：“在路边的树上结满果子必然是苦的”，朋友摘取果子尝试，果然是苦的。
为什么李某在还未尝试果子前就知道是苦的？因为李某巧妙地使用了反证法，如果果子是甜的，路边树上的果子已被采摘。
像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是说明它的反面是错误的，从而得出它本身是正确的。
我们知道，推理与证明是数学问题解题的基本思维过程，从上面的故事中，我们生活中可以使用推理与证明的思维方式进行思考问题。
2 反证法的产生2.1古希腊的反证法西方的数学在毕达哥拉斯学派的影响下，他们认为“万物皆数”（指整数），数学知识是可靠和准确的。
但随着第一次数学危机的发生，自根号二的发现，使希腊人重新审视了他们自己的数学，从此他们放弃了以数为基础的几何。
第一次数学危机使他们无法依靠图形和直观，因此，西方数学必须以证明为主来证明数学。
而他们要的是准确性的数学。
它的表现形式是：逻辑、演绎的体系。
可见它是指证明的数学与算的数学正好相反。
希腊人认为数值计算是几何证明之后的一个应用，他们更注重演绎与证明，指出“不要近似”，也就是要达到“明确的形式证明和公理的使用”［1］。
最开始运用到反证法的是古希腊最盛名的数学家欧几里德，在他的著作《几何原本》里就开始运用反证法了，如证明素数有无穷多个的结论，假设命题不真，则素数只有有限多个。
柏拉图认为数学应从绝对假设开始，并通过一系列的逻辑推理达到所需要的结论。
亚里士多德则努力把形式逻辑应用到数学中，开始研究数学概念，而且他并不同意毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的观点，再者是承认公设，亚里士多德认为数学证明就是把原有的道理给画出来，问题就可以得到解决。
2.2 中国古代数学中的反证法在中国的古代数学里对推理演绎的证明不是那么重视，尽管人们发现一些逻辑规律，例如在魏晋时期的雄辩之风，大多数的反驳用到了归谬法，这里的归谬法就是举反例，刘徽受当时的影响，在他的《九章算术注》中，归谬论证法被多次使用，刘徽在证明某些公式是错误的时候，用的方法都是反驳，并且是成功的，符合逻辑规律的。
墨子也用过归谬法，例如：“学之益也，说在诽者。
”通过证明“学习是没有益处”为假，从而得到命题“学习是有益的”为真。
归谬法也是反证法中的一种方法，但因为中国逻辑学的不完善，在指出明确运用反证法的用法上是少之又少，与西方差别甚大。
3 反证法的定义与步骤3.1 反证法的定义反证法是“间接证明法”的一类，简而言之就是从反方向证明的证明方法。
最早法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。
”这段话可以理解为先提出与结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、题设、相矛盾的结果，这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论必定成立，这种间接证明的方法叫反证法［2］。
3.2反证法的解题步骤用反证法证明一个命题的步骤大体上可以归纳为三个步骤:（1）反设——反设是用反证法解题的基础，反设是否准确对解题过程与结果起着决定性的影响。
第一步要找到题目中的已知条件和结论，接着是细心并准确找出与结论相反的假设，最后是对结论进行肯定或否定。
（2）归谬——归谬是重点，亦是难点。
利用题设和反设出发,经过严格地逻辑推理和论证,最终导出矛盾。
但许多学生不知道怎样去寻找矛盾.所以,教师在教学时,要让学生清楚:反设后条件都有什么;逻辑推理的方向;矛盾将如何产生.（3）结论——即根据反设以及归谬所得到的最终结果。
归谬是根据反设得到一个与命题原结论矛盾的理论，从而肯定命题的原结论。
完成这三步，用反证法解题就已经完成［3］。
例如：已知:如下图，设点A、B、C在同一直线上，求证：过A、B、C三点不能作圆.【反设】假设过A、B、C三点能作圆，这个假设作为下一步“归谬”的一个已知条件。
【归谬】由上述假设过A、B、C三点能作圆出发，设此圆圆心为O，则A、B、C三点中连任意两点的线段是圆O的弦，由垂径定理：O既在AB的中垂线OM 上，又在BC的中垂线ON上，从而过点O有两条直线OM与ON均与AC垂直，这个结论就与定理“同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。
推理正确，所以假设错误。
【结论】故过同一直线上三点A、B、C不能作圆。
4 反证法的分类与科学性4.1反证法的分类反证法分为归谬法和穷举法。
用归谬法证题时，如果将要证明的命题的方面情况只有一种，那么只要把这种情况反驳倒了，便可以达到反证的目的。