高中数学反证法综合测试题(含答案)
高中数学学业分层测评反证法含解析新人教A版选修
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )A ．有两个内角是钝角B ．有三个内角是钝角C ．至少有两个内角是钝角D ．没有一个内角是钝角【解析】 “最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】 C2．下列命题错误的是( )A ．三角形中至少有一个内角不小于60°B ．四面体的三组对棱都是异面直线C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点D ．设a ，b ∈Z ，若a ，b 中至少有一个为奇数，则a ＋b 是奇数【解析】 a ＋b 为奇数⇔a ，b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故D 错误．【答案】 D3．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( )【导学号：19220029】A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数【解析】 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．【答案】 D4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2【解析】 若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6，①而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6，② 显然①，②矛盾，所以C 正确．【答案】 C5．(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A ＋B ＋C ＝90°＋90°＋C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A ＝B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A ，B ，C 中有两个直角，不妨设A ＝B ＝90°，正确顺序的序号为( )A ．①②③B ．①③②C ．②③①D ．③①②【解析】 根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．【答案】 D二、填空题6．(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．【解析】 “至少有一个”的否定是“没有一个”．【答案】 任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7．(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是________．【解析】 3a 与3b 的关系有三种情况：3a >3b ，3a ＝3b 和3a <3b ，所以“3a >3b ”的反设应为“3a ＝3b 或3a <3b ”．【答案】 3a ＝3b 或3a <3b 8．(2016·石家庄高二检测)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．【解析】 若a ＝13，b ＝23，则a ＋b ＝1，但a <1，b <1，故①不能推出．若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能推出．若a ＝－2，b ＝1，则a 2＋b 2>2，故④不能推出．对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.【答案】 ③三、解答题9．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明：a ，b ，c 至少有一个不小于1.【导学号：19220030】【证明】 假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3.而与a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a ，b ，c 至少有一个不小于1.10．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列，求证： a ， b ， c 不成等差数列．【证明】 假设a ， b ， c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，两边同时平方得a ＋c ＋2ac ＝4b .把b 2＝ac 代入a ＋c ＋2ac ＝4b ，可得a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列，这与a ，b ，c 不成等差数列矛盾． 所以a ， b ， c 不成等差数列．[能力提升]1．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确【解析】 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p ＋q >2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．【答案】 D2．已知命题“在△ABC 中，A ≠B .求证sin A ≠sin B ”．若用反证法证明，得出的矛盾是( )A ．与已知条件矛盾B ．与三角形内角和定理矛盾C ．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D ．与大边对大角定理矛盾【解析】 证明过程如下：假设sin A ＝sin B ，因为0<A <π，0<B <π，所以A ＝B 或A ＋B ＝π.其中A ＝B 与A ≠B 矛盾；A ＋B ＝π与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立．所以sin A ≠sin B .【答案】 C3．(2016·九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．【解析】 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手．【答案】 丙4．(2016·温州高二检测)设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明：数列{c n }不是等比数列．【证明】 假设数列{c n }是等比数列，则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1 ＝a n b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫p q ＋q p ， 即2＝p q ＋q p .②当p ，q 异号时，p q ＋q p <0，与②相矛盾；当p ，q 同号时，由于p ≠q ，所以p q ＋q p>2，与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．。
高中反证法练习题及讲解
高中反证法练习题及讲解### 高中数学反证法练习题及讲解#### 练习题一：不等式的证明题目：证明对于任意正整数 \( n \)，有 \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \geq n^2 \)。
解答：假设存在某个正整数 \( n \)，使得 \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 < n^2 \)。
考虑 \( n \) 的最小值，即 \( n = 1 \)，显然 \( 1^2 = 1 \)，不等式成立。
现在考虑 \( n > 1 \) 的情况，我们有：\[ 1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2 + n^2 < n^2 \]将 \( n^2 \) 移项，得到：\[ 1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2 < 0 \]但是，由于每一项都是非负的，它们的和不可能小于零。
这与我们的假设矛盾，因此原命题成立。
#### 练习题二：几何命题的证明题目：证明在直角三角形中，斜边的中点到三个顶点的距离相等。
解答：假设在直角三角形 \( ABC \) 中，斜边 \( AC \) 的中点为 \( M \)，且 \( M \) 到顶点 \( A \)、\( B \) 和 \( C \) 的距离不相等。
不失一般性，设 \( MA < MB \)。
由于 \( M \) 是斜边的中点，我们有 \( MC = MA \)。
考虑直角三角形 \( ABM \)，由于 \( MA < MB \)，根据勾股定理，我们有 \( AM^2 + BM^2 = AB^2 \)，这与 \( MA < MB \) 矛盾。
因此，我们的假设不成立，原命题成立。
#### 练习题三：数列的性质题目：证明对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，如果 \( a < b \)，则 \( a^2 < b^2 \)。
2020年高中数学人教A版选修1-2练习(六) 反证法 Word版含解析
课时跟踪检测(六)反证法一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是() A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至少有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B“至少有一个”即“全部中最少有一个”．2．用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．3．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容应是()A.3a＝3b成立B.3a＜3b成立C.3a＝3b或3a＜3b成立D.3a＝3b且3a＜3b成立解析：选C“大于”的否定为“小于或等于”．4.“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；(2)所以∠B<90°；(3)假设∠B≥90°；(4)那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是()A．(1)(2)(3)(4) B．(4)(3)(2)(1)C ．(3)(4)(1)(2)D ．(3)(4)(2)(1)解析：选C 根据反证法证题的步骤可知选C.5．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a ＞b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a ＞b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n .二、填空题6．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP ，用反证法证明时的假设为________________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP ＜∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.答案：③①②8．和两条异面直线AB ，CD 都相交的两条直线AC ，BD 的位置关系是________． 解析：假设AC ，BD 共面，均在平面α内，即AC ⊂α，BD ⊂α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，D ∈α，∴AB ⊂α，CD ⊂α，这与AB ，CD 异面矛盾，∴AC ，BD 异面．答案：异面三、解答题9．已知x ，y >0，且x ＋y >2.求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2.证明：假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2.∵x >0，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ，∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2，与已知x ＋y >2矛盾，∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2.10．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0＜0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0＜ax 0＜1⇒0＜－x 0－2x 0＋1＜1， 解得12＜x 0＜2，这与x 0＜0矛盾， 所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高三复习测试题数学选修2-22.2.2反证法Word版含答案
§2.2.2 反证法学习目标：1. 掌握用反证法证明命题的格式；2. 会用反证法证明命题.一．选择题：1.用反证法证明：“如果b a >，则33b a >”.假设的内容是( )A.33b a =B.33b a <C.33b a =且33b a <D.33b a =或33b a <2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，假设正确的是（ ）A.假设三内角都不大于 60B.假设三内角都大于 60C.假设三内角至多有一个大于 60D.假设三内角至多有两个大于 603.设)0,(,,-∞∈c b a ，则ac c b b a 1,1,1+++( ) A.都不大于2-B.都不小于2-C.至少有一个不大于2-D.至少有一个不小于2- 4.下列说法中正确的个数为（ ）①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法A.2个B.3个C.4个D.5个5.否定“c b a ,,中至少有一个偶数”时，正确的是A.c b a ,,不都是偶数B.c b a ,,都不是偶数C.c b a ,,中至多有一个偶数D.c b a ,,中至多有两个是偶数题号 1 2 3 4 5二．填空题： 6.已知R c b a ∈,,，且c b a >>，0=++c b a ，则ac b 42- 0（填),,=<>7.如果两个实数之和为正数，则这两个数的正负情况是8.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖. 有人采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“我获奖了”；丁说：“乙获奖”.若四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是9.设b a ,是两个实数，给出下列条件：①1>+b a ②2=+b a③2>+b a ④222>+b a⑤1>ab其中能推出“b a ,中至少有一个大于1”的条件是三．解答题：10.已知)1,0(,,∈c b a ，求证：b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-不能同时大于41.11.如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一个平面内，N M ,分别为DF AB ,的中点.(1)若平面⊥ABCD 平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线.12.已知q px x x f ++=2)(.（1）求证：2)2(2)3()1(=-+f f f（2）求证：)1(f ,)2(f ,)3(f 中至少有一个不小于21.。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法练习(含解析)新人教A版选修1-2-新人教A版高二选
2.2.2 反证法[A 基础达标]1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是（ ）A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角解析：选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.2.有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设该方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是（ ）A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确解析：选D.用反证法证题时一定要将对立面找准.在①中应假设p ＋q >2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的.3.已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为（ ）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析：选C.假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线.故应选C.4.设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数（ ） A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2解析：选C.若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6①，而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6②，显然①，②矛盾，所以C 正确.5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.6.在△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP ，用反证法证明时的假设为.解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP ＜∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP7.完成反证法证题的全过程.设a 1，a 2，…，a 7是由数字1，2，…，7任意排成的一个数列，p ＝（a 1－1）（a 2－2）…（a 7－7），求证：p 为偶数.证明：假设p 为奇数，则均为奇数.因为7个奇数之和为奇数，故有（a 1－1）＋（a 2－2）＋…＋（a 7－7）为.①而（a 1－1）＋（a 2－2）＋…＋（a 7－7）＝（a 1＋a 2＋…＋a 7）－（1＋2＋…＋7）＝Ｗ.② ①与②矛盾，故假设不成立，故p 为偶数.解析：由假设p 为奇数，可知a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，故（a 1－1）＋（a 2－2）＋…＋（a 7－7）为奇数，而（a 1－1）＋（a 2－2）＋…＋（a 7－7）＝（a 1＋a 2＋…＋a 7）－（1＋2＋…＋7）＝0，矛盾，故假设不成立，故p 为偶数.答案：a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 奇数 08.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是（填序号）.解析：若a ＝13，b ＝23，则a ＋b ＝1，但a ＜1，b ＜1，故①不能推出.若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能推出.若a ＝－2，b ＝1，则a 2＋b 2＞2，故④不能推出.对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1.反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.答案：③ 9.如图所示，设SA 、SB 是圆锥的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点.求证：AC 与平面SOB 不垂直.证明：如图所示，连接AB ，假设AC ⊥平面SOB .因为直线SO 在平面SOB 内，所以AC ⊥SO .因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB ，所以SO ⊥平面SAB ，所以平面SAB ∥底面圆O .这显然矛盾，所以假设不成立，故AC 与平面SOB 不垂直.10.已知x ，y >0，且x ＋y >2.求证：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2. 证明：假设1＋x y ，1＋y x都不小于2， 即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 因为x >0，y >0，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x ，所以2＋x ＋y ≥2（x ＋y ），即x ＋y ≤2，与已知x ＋y >2矛盾，所以1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2. [B 能力提升]11.若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋（a －1）x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，则实数a 的取值X 围为.解析：假设三个方程均无实数根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2－4（－4a ＋3）＜0，Δ2＝（a －1）2－4a 2＜0，Δ3＝4a 2－4（－2a ）＜0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0，即－32＜a ＜－1， 所以当a ≥－1或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞） 12.若a 、b 、c 、d 都是有理数，c 、d 都是无理数，且a ＋c ＝b ＋d ，则a 与b ，c 与d 之间的数量关系为，.解析：假设a ≠b ，令a ＝b ＋m （m 是不等于零的有理数），于是b ＋m ＋c ＝b ＋d ， 所以m ＋c ＝d ， 两边平方整理得c ＝d －c －m 22m. 左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此a ＝b ，从而c ＝d .答案：a ＝bc ＝d13.设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和.（1）求证：数列{S n }不是等比数列；（2）数列{S n }是等差数列吗？为什么？解：（1）证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21（1＋q ）2＝a 1·a 1·（1＋q ＋q 2）.因为a 1≠0，所以（1＋q ）2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以假设不成立，所以数列{S n }不是等比数列.（2）当q ＝1时，S n ＝na 1，故数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，假设数列{S n }是等差数列，则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1（1＋q ）＝a 1＋a 1（1＋q ＋q 2），得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾.综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列.14.（选做题）已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象与x 轴有两个不同的交点.若f （c ）＝0，且0＜x ＜c 时f （x ）＞0.（1）证明：1a是函数f （x ）的一个零点； （2）试用反证法证明：1a＞c . 证明：（1）因为f （x ）的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f （x ）＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f （c ）＝0，所以x 1＝c 是f （x ）＝0的一个根，又因为x 1x 2＝c a .所以x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ， 所以1a是f （x ）＝0的另一个根， 即1a是函数f （x ）的一个零点. （2）由第一问知1a ≠c ，故假设1a＜c ， 易知1a＞0， 由题知当0＜x ＜c 时，f （x ）＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0，与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， 所以1a＞c .。
2019年人教A版选修1-2高中数学达标测试2.2.2 反证法及答案及答案
达标测试
1.“a<b”的反面是( )
A.a≠b
B.a>b
C.a=b
D.a≥b
【解析】选D.“a<b”的反面包括“a>b”和“a=b”两种情况.
2.用反证法证明:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A.a,b,c都是偶数
B.a, b,c都是奇数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
【解析】选D.自然数a,b,c的奇偶性有四种情形:三个都是奇数;一个奇数两个偶数;两个奇数一个偶数;三个都是偶数.故否定“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”时的正确反设为“a,b,c中都是奇数或至少两个偶数”.故选D.
3.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设( )
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角
【解析】选B.“至多有一个”指的是“没有或有一个”,其反面应是“至少有两个”.
4.用反证法证明“若a2+b2=0,则a,b全为0(a,b∈R)”,其反设为________.
【解析】“a,b全为0”,即“a=0且b=0”,反设应为“a≠0或b≠0”. 答案:“a,b不全为0”
5.若x,y为正实数且x+y>2.
求证:<2与<2中至少有一个成立.
【证明】假设<2与<2都不成立.
则≥2且≥2.
因x,y均为正数,所以两式相加得2+x+y≥2(x+y),
即x+y≤2,与已知x+y>2矛盾.
所以假设不正确.
故原命题结论正确.。
高考数学解题方法-反证法-含答案
高考数学解题方法-反证法-含答案反证法一、填空题1. 用反证法证明命题"三角形的内角中至少有一个钝角"时反设是．2. 用反证法证明“如果，那么”，假设的内容是．3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于”时，与命题结论相矛盾的假设为．4. 用反证法证明命题“如果，，那么”，证明的第一个步骤是．5. 用反证法证明命题时，其结论为“直线在平面内”，那么假设的内容是．6. 用反证法证明命题“若正整数，，满足，则，，中至少有一个是偶数”时，反设应为．7. 用反证法证明命题："若整数系数一元二次方程：有有理根，那么中至少有一个是偶数"时，第一步应假设．8. 用反证法证明"一个三角形至少有两个锐角"，则反设是．9. 否定＂自然数，，中恰有一个偶数＂时，正确的反设是．10. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，则不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设，，中的两个角是直角，不妨设．正确顺序的序号排列为．11. 用反证法证明"若，则 "时，第一步反设应为．12. 命题“关于的方程的解是唯一的”的结论的否定是．13. 用反证法证明命题：“如果，，可被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设的内容应为．14. 用反证法证明命题"若实数满足，则中至少有一个是非负数"时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是．15. 用反证法证明“若，则或”时’应假设．16. “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是．17. 用反证法证明命题："如果，是奇数，那么方程没有整数根"时，应该提出的假设是．18. 用反证法证明命题“若，是实数，且，则”时，应作的假设是．19. 和两条异面直线，都相交的两条直线，的位置关系是．20. 已知函数，，．对任意都有，且是增函数，则．二、解答题21. 已知，，．求证：，中至少有一个不小于．22. 设函数中，均为整数，且均为奇数．求证：无整数根．。
高中数学选修1-2单元配套练习试题2.2.2 反证法及参考答案解析
2.2.2 反证法姓名:___________班级:______________________1.用反证法证明命题“若a,b∈N ,ab 能被3整除,那么a,b 中至少有一个能被3整除”时,假设应为( )A.a,b 都能被3整除B.a,b 都不能被3整除C.b 不能被3整除D.a 不能被3整除2.用反证法证明命题“若()220,a b a b +=∈R ,则a 、b 全为0”,其反设正确的是( )A.a 、b 至少有一个为0B.a 、b 至少有一个不为0C.a 、b 全不为0D.a 、b 中只有一个为03.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有偶数根,那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( )A.假设,,a b c 不都是偶数B.假设,,a b c 至多有两个是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D.假设,,a b c 都不是偶数4.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( )A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角5.设a,b,c 大于0,a ＋b ＋c ＝3,则3个数:a ＋b 1,b ＋c 1,c ＋a1的值( ) A.都大于2 B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于26.下列命题不适合用反证法证明的是( )A.同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B.两个不相等的角不是对顶角C.平行四边形的对角线互相平分D.已知x,y∈R ,且x ＋y ＞2,求证:x,y 中至少有一个大于17.设x,y,z ＞0,则三个数y x ＋y z ,z x ＋z y ,x z ＋x y ( ) A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于28.用反证法证明命题“若2sin cos 1sin 1θθ-=,则sin 0cos 0θθ≥≥且”时,下列假设的结论正确的是( )A.sin 0cos 0θθ≥≥或B.sin 0cos 0θθ<<且C.sin 0cos 0θθ<<或D.sin 0cos 0θθ>>且9.△ABC 中,若AB ＝AC,P 是△ABC 内的一点,∠APB＞∠APC ,求证:∠BAP＜∠CAP ,用反证法证明时的假设为________.10.和两条异面直线AB 、CD 都相交的两条直线AC 、BD 的位置关系是________.11.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两名是对的,则获奖的歌手是________.12.用反证法证明7,5,3不可能成等差数列.13.试用反证法证明,,a b c 中至少有一个不小于1.14.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续,f(a)＜0,f(b)＞0,且f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.参考答案1.B【解析】反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a,b 中至少有一个能被3整除”的反面是:“a,b 都不能被3整除”,故应假设a,b 都不能被3整除.考点:反证法.2.B【解析】原命题的结论为:“a 、b 全为0”,反证法需假设结论的反面,其反面为“a 、b 至少有一个不为0”.考点:反证法的假设环节.3.D【解析】 “,,a b c 中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况,其否定应为不存在偶数,即“假设,,a b c 都不是偶数”,故选D.考点:命题的否定.4.B【解析】由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”,故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应假设至少有两个钝角,故选B.考点:反证法.5.D【解析】因为6121212111111=⨯+⨯+⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++cc b b a a c c b b a a a c c b b a ,等号成立的条件是1a b c ===,如果三个数都小于2,那么三个数相加不可能大于或等于6,所以至少有一个不小于2,故选D.考点:不等式.6.C【解析】A 中命题条件较少,不易正面证明;B 中命题是否定性命题,其反设是显而易见的定理;D 中命题是至少性命题,其结论包含两种情况,而反设只有一种情况,适合用反证法证明. 考点:反证法证明命题.7.C【解析】假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6,又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝(y x ＋x y )＋(y z ＋z y )＋(z x ＋x z )≥2＋2＋2＝6,当且仅当x ＝y ＝z 时取等号,与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2.故选C.考点:反证法证明命题.8.C【解析】若用反证法证明,只需要否定命题的结论,sin 0cos 0θθ≥≥且的否定为sin 0cos 0θθ<<或,故选C.考点:反证法.9.∠BAP＝∠CAP 或∠BAP＞∠CAP【解析】反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP＜∠CAP 的对立面是∠BAP＝∠CAP 或∠BAP＞∠CAP.考点:反证法的假设环节.10.异面【解析】假设AC 与BD 共面于平面α,则A 、C 、B 、D 都在平面α内,∴AB ⊂α,CD ⊂α,这与AB 、CD 异面相矛盾,故AC 与BD 异面.考点:反证法证明直线位置关系.11.丙【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,可知获奖的歌手是丙.考点:反证法在推理中的应用.12.详见解析【解析】证明:假设成等差数列,则=即10=10221≠矛盾,.考点:反证法.13.详见解析【解析】证明:假设,,a b c 均小于1,即1,1,1a b c <<<,则有3a b c ++<,矛盾,所以原命题成立. 考点:反证法.14.见解析【解析】证明:由于f(x)在[a,b]上的图象连续,且f(a)＜0,f(b)＞0,即f(a)·f (b)＜0, 所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为m,则f(m)＝0,假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,即f(n)＝0,则n≠m.若n ＞m,则f(n)＞f(m),即0＞0,矛盾;若n ＜m,则f(n)＜f(m),即0＜0,矛盾.因此假设不成立,即f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.考点:反证法.。
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高中数学反证法综合测试题(含答案) 选修2-2 2.2.2 反证法
一、选择题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是() A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
[答案] C
[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
[答案] B
[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；
④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数页 1 第
或至少有两个偶数”．故应选B.
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是()
A．假设三内角都不大于60
B．假设三内角都大于60
C．假设三内角至多有一个大于60
D．假设三内角至多有两个大于60
[答案] B
[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60”．故应选B.
4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a、b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
[答案] B
[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．
5．命题“△ABC中，若B，则ab”的结论的否定应该是() A．a
页 2 第
B．ab
C．a＝b
D．ab
[答案] B
[解析] “ab”的否定应为“a＝b或ab”，即ab.故应选B. 6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与
b的位置关系为()
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
[答案] C
[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.
7．设a，b，c(－，0)，则三数a＋1b，c＋1a，b＋1c中() A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2
D．至少有一个不小于－2
[答案] C
[解析] a＋1b＋c＋1a＋b＋1c
页 3 第
＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c
∵a，b，c(－，0)，
a＋1a＝－－a＋－1a－2
b＋1b＝－－b＋－1b－2
c＋1c＝－－c＋－1c－2
a＋1b＋c＋1a＋b＋1c－6
三数a＋1b、c＋1a、b＋1c中至少有一个不大于－2，故应选C.
8．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
[答案] B
[解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m
则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥)；对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一．
9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获
奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是页 4 第
()
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
[答案] C
[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C. 10．已知x10，x11且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn＋1，或者对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为()
A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xnxn＋1且xnxn－1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)0
[答案] D
[解析] 命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.
页 5 第
二、填空题
11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．
[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形
[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”．
12．用反证法证明命题“a，bN，ab可被5整除，那么a，b 中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是
________________．
[答案] a，b都不能被5整除
[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”．
13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①A＋B＋C＝90＋90＋180，这与三角形内角和为180相矛盾，则A＝B＝90不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设A＝B＝90.
正确顺序的序号排列为____________．
[答案] ③①②
[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②. 14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：
假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p 页 6 第
＝p1p2…pn＋1.
显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．
[答案] 质数只有有限多个除p1、p2、…、pn之外
[解析] 由反证法的步骤可得．
三、解答题
15．已知：a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0.
求证：a0，b0，c0.
[证明] 用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a0，b0，c0，则由a＋b＋c0，
可得c－(a＋b)，
又a＋b0，c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)
ab＋c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)＋ab
即ab＋bc＋ca－a2－ab－b2
∵a20，ab0，b20，－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)0，即ab ＋bc＋ca0，
这与已知ab＋bc＋ca0矛盾，所以假设不成立．
因此a0，b0，c0成立．
页 7 第
16．已知a，b，c(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于14.
[证明] 证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，1－a、1－b、1－c都是正数.(1－a)＋b2(1－a)b＞14＝12，
同理(1－b)＋c2＞12，(1－c)＋a2＞12.
三式相加，得
(1－a)＋b2＋(1－b)＋c2＋(1－c)＋a2＞32，
即32＞32，矛盾．
所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于14.
证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a)b14，(1－b)c14，(1－c)a14，三式相乘得
(1－a)b(1－b)c(1－c)a143①
因为01，所以0a(1－a)1－a＋a22＝14.
同理，0b(1－b)14，0c(1－c)14.
所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c143.②
因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．17．已知函数f(x)是(－，＋)上的增函数，a，bR.
(1)若a＋b0，求证：f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．[解析] (1)证明：∵a＋b0，a－b.
由已知f(x)的单调性得f(a)f(－b)．
页 8 第
又a＋bb－af(b)f(－a)．
两式相加即得：f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命题：
f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)a＋b0.
下面用反证法证之．
假设a＋b0，那么：
a＋ba－bf(a)f(－b)a＋bb－af(b)f(－a)
f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．
这与已知矛盾，故只有a＋b0.逆命题得证．
18．(2019湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn ＝1423n－1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
[解析] 假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rt)按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}是首项为14，公比为23的等比
数列，于是有btbr，则只可能有2bs＝br＋bt成立．
21423s－1＝1423r－1＋1423t－1.
两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝22s－r3t－s，
由于rt，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．
故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．
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