高中数学-反证法练习
高中数学-反证法练习
A 级 基础巩固
一、选择题
1．设a 、b 、c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a
( C )
A ．都不大于－2
B ．都不小于－2
C ．至少有一个不大于－2
D ．至少有一个不小于－2
[解析] 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1
a
>－6，
但(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )
＝(a ＋1a
)＋(b ＋1b
)＋(c ＋1
c
)≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．
2．(·湖北期中)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16
a
( D )
A ．都大于6
B ．至少有一个不大于6
C ．都小于6
D ．至少有一个不小于6
[解析] 设a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16
a
都小于6，
则a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16
a
＜18，
利用基本不等式可得a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16
a
≥2
a ·16
a
＋2
b ·4
b
＋2c ·9
c
＝8＋4＋
6＝18，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
故下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16
a
至少有一个不小于6，
故选D ．
3．(·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是( C )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
4．(·济南高二检测)设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于( B )
A ．0
B ．13
C ．12
D ．1
[解析] 三个数a 、b 、c 的和为1，其平均数为13，故三个数中至少有一个大于或等于1
3．假
设a 、b 、c 都小于1
3
，则a ＋b ＋c <1，与已知矛盾．
5．设a 、b 、c ∈R ＋
，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是P 、Q 、R 同时大于零的( C )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0．因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设
P <0，Q <0，R >0，即a ＋b
6．若m 、n ∈N *
，则“a >b ”是“a m ＋n
＋b
m ＋n
>a n b m ＋a m b n
”的( D )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] a
m ＋n
＋b
m ＋n
－a n b m
－a m b n
＝a n
(a m
－b m
)＋b n
(b m
－a m
)＝(a m
－b m
)(a n
－b n
)>0?
????
?
a m
>b m
a n >b
n 或????
?
a m <
b m
a n n ，不难看出a >b ?/ a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m ，a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋b m a n ?/ a >b ． 二、填空题 7．(·思明区校级期中)用反证法证明某命题时，对于“已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25”．正确的反设为a 1，a 2，a 3，a 4都不大于25． [解析] 根据反证法的步骤，则应先假设a 1，a 2，a 3，a 4都不大于25． 故答案为a 1，a 2，a 3，a 4都不大于25． 8．完成反证法证题的全过程． 题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7 －7)为偶数． 证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数． 因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋ (7) ＝0． 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数． [解析]假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0． 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数． 三、解答题 9．(·吉林高二检测)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数． [解析]假设a，b，c，d都是非负数， 因为a＋b＝c＋d＝1， 所以(a＋b)(c＋d)＝1， 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1， 这与已知ac＋bd>1矛盾， 所以a，b，c，d中至少有一个是负数． 10．(·深圳高二检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数． 求证：f(x)＝0无整数根． [解析]假设f(x)＝0有整数根n， 则an2＋bn＋c＝0， 由f(0)为奇数，即c为奇数， f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数， 又an2＋bn＝－c为奇数， 所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数， 所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数， 所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾． 所以f(x)＝0无整数根． B级素养提升 一、选择题 1．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( C ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线 [解析] 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．故应选C ． 2．(·龙岩期中)“已知函数f (x )＝x 2 ＋ax ＋a (a ∈R )，求证：|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不小于1 2 ．”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是( B ) A ．假设|f (1)|≥12且|f (2)|≥1 2 B ．假设|f (x )|<12且|f (2)|<1 2 C ．假设|f (1)|与|f (2)|中至多有一个不小于1 2 D ．假设|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不大于1 2 [解析] 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证． 假设|f (1)|＜12且|f (2)|＜12， 故选B ． 二、填空题 3．(·嘉峪关校级期中)已知x ，y ∈R 且x ＋y ＞2，则x ，y 中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为x ≤1且y ≤1． [解析] ∵x ，y 中至少有一个大于1， ∴其否定为x ，y 均不大于1，即x ≤1且y ≤1， 故答案为x ≤1且y ≤1． 4．(·天心区校级模拟)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1 n －1＝ 2( 1n ＋2＋1n ＋4＋…＋1 2n )时，若已证假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( B ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 [解析] 若已证假设n ＝k (k ≥2，k 为偶数)时命题为真，因为n 只能取偶数，所以还需要证明n ＝k ＋2成立． 故选B ． 三、解答题 5．如图所示，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为BC 边上的高，AM 是BC 边上的中线，求证：点M 不在线段CD 上． [证明] 假设点M 在线段CD 上，则BD ＝BD 2 ＋AD 2 ， AC 2＝AD 2＋CD 2，所以AB 2＝BD 2＋AD 2 所以AB 6．设f (x )＝x 2 ＋bx ＋c ，x ∈[－1,1]，证明：b <－2时，在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥1 2 成立． [证明] 假设不存在x ∈[－1,1]使|f (x )|≥1 2 ． 则对于x ∈[－1,1]上任意x ，都有－12 2 >1， f (x )在x ∈[－1,1]上是单调递减函数， ∴????? f －1＝1－b ＋c <1 2， f 1＝1＋b ＋c >－1 2 . ?b >－1 2 与b <－2矛盾． ∴假设不成立，因此当b <－2时在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥1 2 成立． C 级 能力拔高 已知数列{a n }满足：a 1＝12，31＋a n ＋11－a n ＝21＋a n 1－a n ＋1 ，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满 足：b n ＝a 2 n ＋1－a 2 n (n ≥1)． (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． [解析] (1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2 n )． 令c n ＝1－a 2 n ，则c n ＋1＝23 c n ． 又c 1＝1－a 2 1＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23 )n －1， 故1－a 2 n ＝34·(23)n －1?a 2n ＝1－34·(23)n －1． 又a 1＝1 2>0，a n a n ＋1<0， 故a n ＝(－1) n －1 1－34·23n －1 ． b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34 ·(23 )n ]－[1－34 ·(23 ) n －1]＝14 ·(23 )n －1 ． (2)用反证法证明． 假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r 3 的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1 ， 两边同乘以3 t －121－r ，化简得3 t －r ＋2 t －r ＝2·2 s －r 3t －s ． 由于r 高中数学-反证法练习 基础达标(水平一) 1.若a,b,c不全为0,则只需(). A.abc≠0 B.a,b,c中至少有一个为0 C.a,b,c中只有一个是0 D.a,b,c中至少有一个不为0 【解析】a,b,c不全为0,即a,b,c中至少有一个不为0. 【答案】D 2.若两个数之和为正数,则这两个数(). A.一个是正数,一个是负数 B.都是正数 C.至少有一个是正数 D.都是负数 【解析】这两个数中至少有一个是正数.否则,若这两个数都不是正数,则它们的和一定是非正数,这与“两个数之和为正数”相矛盾,故选C. 【答案】C 3.有以下结论: ①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2; ②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1. 下列说法中正确的是(). A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确;②的假设错误 D.①的假设错误;②的假设正确 【解析】用反证法证明问题时,其假设是原命题的否定,故①的假设应为“p+q>2”;②的假设为“两根的绝对值不都小于1”.故①的假设错误,②的假设正确. 【答案】D 4.若a2+b2=c2,则a,b,c(). A.都是偶数 B.不可能都是偶数 C.都是奇数 D.不可能都是奇数 【解析】假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,因此a2+b2为偶数,而c2为奇数,即 a2+b2≠c2,这与a2+b2=c2矛盾,所以假设不成立,所以a,b,c不可能都是奇数. 【答案】D 5.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设. 【解析】“x≠a且x≠b”形式的否定为“x=a或x=b”. 【答案】x=a或x=b 6.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误; ②所以一个三角形不能有两个直角; ③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°. 上述步骤的正确顺序为. 【解析】由反证法证明的步骤,知先反证,即③;再推出矛盾,即①;最后做出判断,肯定结论,即②.所以正确的顺序应为③①②. 反证法 从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证 明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 例1.[05.北京]设()f x 是定义在[0,1]上的函数，若存在'(0,1),x ∈使得()f x 在[0,']x 上单调递增，在[',1]x 上单调递减，则称()f x 为[0,1]上的单峰函数，'x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。 对任意的[0,1]上单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。求证：对任意的1212,(0,1),,x x x x ∈<若12()()f x f x ≥，则2(0,)x 为含 高中数学-反证法练习 A 级 基础巩固 一、选择题 1．设a 、b 、c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1 a ( C ) A ．都不大于－2 B ．都不小于－2 C ．至少有一个不大于－2 D ．至少有一个不小于－2 [解析] 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1 a >－6， 但(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a ) ＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1 c )≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾． 2．(·湖北期中)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16 a ( D ) A ．都大于6 B ．至少有一个不大于6 C ．都小于6 D ．至少有一个不小于6 [解析] 设a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16 a 都小于6， 则a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16 a ＜18， 利用基本不等式可得a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16 a ≥2 a ·16 a ＋2 b ·4 b ＋2c ·9 c ＝8＋4＋ 6＝18， 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 故下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16 a 至少有一个不小于6， 故选D ． 3．(·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是( C ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 [解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙． 4．(·济南高二检测)设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于( B ) A ．0 B ．13 C ．12 D ．1 [解析] 三个数a 、b 、c 的和为1，其平均数为13，故三个数中至少有一个大于或等于1 3．假 设a 、b 、c 都小于1 3 ，则a ＋b ＋c <1，与已知矛盾． 5．设a 、b 、c ∈R ＋ ，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是P 、Q 、R 同时大于零的( C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 [解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0．因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设 P <0，Q <0，R >0，即a ＋b 高中数学反证法综合测试题(含答案) 选修2-2 2.2.2 反证法 一、选择题 1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是() A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解 [答案] C [解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C. 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为() A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数 [答案] B [解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数； ④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数页 1 第 或至少有两个偶数”．故应选B. 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是() A．假设三内角都不大于60 B．假设三内角都大于60 C．假设三内角至多有一个大于60 D．假设三内角至多有两个大于60 [答案] B [解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60”．故应选B. 4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 [答案] B [解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数． 2.2.2 反证法 一、教学目标 1、知识目标： 通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力. 2、能力目标： 了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 3、情感、态度与价值观目标： 在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机. 二、教学重点.难点 重点：1、理解反证法的概念， 2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤， 3、用反证法证明简单的命题. 难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据. 三、学情分析 反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会. 四、教学方法 探析归纳，讲练结合 五、教学过程 教学过程： 复习：综合法与分析法 综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效. 就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述. 因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程. 分析归纳，抽象概括 通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤. （1）定义： 反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. （2）步骤 反证法证题的基本步骤： 1．假设原命题的结论不成立；（假设） 2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪） 3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论） 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论. 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个. 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾. 知识应用，深化理解 例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”. 【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障 (1)互补的两个角不能都大于90°. (2)△ABC中,最多有一个钝角 2. 2.2反证法 课前预习学案 一、预习目标： 使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题. 二、预习内容： 提出问题： 问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？ 学生尝试用直接证明的方法解释。 采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使3 枚硬币全部反面朝上． 问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎. 推进新课 在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 （1）使学生了解反证法的基本原理； （2）掌握运用反证法的一般步骤； （3）学会用反证法证明一些典型问题. 二、学习过程： 例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα??，且||a b ，求证||a α。 解析：让学生理解反证法的严密性和合理性； 证明：因为||a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。 因为a α?，而a β?， 所以 α与β是两个不同的平面． 因为b α?，且b β?， 所以b αβ=I . 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则 P b αβ∈=I ，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α. 点评：用反证法的基本步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利 变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分. 例2、求证：2不是有理数 解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n （,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾． 证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n ，使得2m n = ，从而有2m n =, 因此，22 2m n =， 所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有 2242k n =，即 222n k = 所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数． 点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确 反证法解题 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 Ⅰ、再现性题组： 1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。 A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根 2. 已知a<0,－1 1 第三课时 2.2.2 反证法 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次） 2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？ 3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点， 则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上， 即O 是l 与m 的交点。 但 ∵A 、B 、C 共线，∴l ∥m (矛盾) ∴ 过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆. 二、讲授新课： 1. 教学反证法概念及步骤： ① 练习：仿照以上方法，证明：如果a >b >0，那么b a > ② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立. 证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题： ① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？ 与教材不同的证法：反设AB 、CD 被P 平分，∵P 不是圆心，连结O P ， 则由垂径定理：O P ⊥AB ，O P ⊥CD ，则过P 有两条直线与OP 垂直（矛盾），∴不被P 平分. ② 出示例2：求证3是无理数. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为/m n ） 证：假设3是有理数，则不妨设3/m n =（m ,n 为互质正整数）， 从而：2(/)3m n =，223m n =，可见m 是3的倍数. 设m =3p （p 是正整数），则 22239n m p ==，可见n 也是3的倍数. 这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）. ∴3/m n =不可能，∴3是无理数. ③ 练习：如果1a +为无理数，求证a 是无理数. 提示：假设a 为有理数，则a 可表示为/p q （,p q 为整数），即/a p q =. 由1()/a p q q +=+，则1a +也是有理数，这与已知矛盾. ∴ a 是无理数. 3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题） 三、巩固练习： 1. 练习：教材P 54 1、2题 2. 作业：教材P 54 A 组3题. O B C P 高中数学反证法测试题(含答案) 一、选择题 1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是() A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解 [答案] C [解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C. 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为() A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数 [答案] B [解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数； ④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至 少有两个偶数”．故应选B. 页 1 第 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是() A．假设三内角都不大于60 B．假设三内角都大于60 C．假设三内角至多有一个大于60 D．假设三内角至多有两个大于60 [答案] B [解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60”．故应选B. 4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 [答案] B [解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数． 5．命题“△ABC中，若B，则ab”的结论的否定应该是() 高一数学教案反证法 教材：反证法 目的：要求学生初步学会反证法的步骤，并能用以证明一些命题。 过程： 一、提出咨询题：初中平几中有一个命题： 〝过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆〞。 二、如何证明： 1，〔教师给出如下方法〕 证：先假设能够作一个⊙O 过A 、B 、C 三点， 那么O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上， 即O 是l 与m 的交点。 但∵A 、B 、C 共线，∴l ∥m (矛盾) ∴过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作图。 2．指出这种证明方法是〝反证法〞。 定义：从命题结论的反面动身，引出矛盾，从而证明命题成立，如此的证明 方法叫反证法。 即：欲证p 那么q ，证：p 且非q 〔反证法〕 3，反证法的步骤：1〕假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。 2〕从那个假设动身，通过推理论证，得出矛盾。 3〕由矛盾判定假设不正确，从而确信命题的结论正确。 4，反证法：1〕反设〔即假设〕 p 那么q 〔原命题〕 反设p 且非q 。 2〕可能显现三种情形： ①导出非p 为真——与题设矛盾。 ②导出q 为真——与反设中〝非q 〝矛盾。 ③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。 三、例一〔P 32例3〕 用反证法证明：假如a >b >0，那么b a >。 证一〔直截了当证法〕()()b a b a b a -+=-， ∵a >b >0,∴a - b >0即 ( )( ) 0>-+b a b a ,∴0>- b a ∴b a > 证二〔反证法〕假设a 不大于b ，那么b a b a =<或 ∵a >0,b >0,∴b a a a b a ?． 例二、〔P 32--33例4〕用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 证明：反设AB 、CD 被P 平分 ∵P 不是圆心，连结O P 那么由垂径定理： O P ⊥AB ，O P ⊥CD 那么过P 有两条直线与O P 垂直〔矛盾〕 ∴弦AB ，CD 不被P 平分 例三、用反证法证明：2不是有理数。 证：假设2是有理数，那么不妨设n m =2〔m ,n 为互质正整数〕 从而：2)(2=n m ，2 22n m =，可见m 是偶数。 设m =2p 〔p 是正整数〕，那么 22242p m n ==，可见n 是偶数。 如此，m .,n 就不是互质的正整数〔矛盾〕。∴n m =2不可能 ∴2不是有理数。 四、小结：反证法定义、步骤、注意点 五、作业：P 33练习 P 34习题1．7 5 及?课课练?P 33例二。 A高中数学-反证法练习
高中数学方法解之反证法
高中数学-反证法练习
高中数学反证法综合测试题(含答案)
人教B版高中数学选修2-2+2.2.2+反证法+教案
高中数学选修2-2精品教案 2.2.2反证法
高中数学反证法
高中数学 第二章《反证法》教案 新人教A版
高中数学反证法测试题含答案
高一数学教案反证法