2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案
人教版九年级数学中考复习：二次函数综合题专项训练(特殊三角形问题)
人教版九年级数学中考复习：二次函数综合题专项训练（特殊三角形问题）
1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2yax2xc与x轴交于1,0A，3,0B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线AC的解析式；
(3)试探究：在抛物线上是否存在一点P，使APC△是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点Q是x轴上一动点，将△ACQ沿CQ翻折，得△DCQ，连接BD，请直接写出BD的最小值．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（m＞0），顶点为D．
(1)如图1，当m＝1时，
△求该二次函数的解析式；
△点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点Q，求PQOQ的最大值； (2)如图2，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三形与△BOC相似．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为抛物线对称轴上一点，求△PBC周长取得最小值时点P的坐标；
(3)设抛物线的顶点为D，DE△x轴于点E，在y轴上是否存在点M使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线对称轴上一动点，当△BCD是直角三角形时，请直接写出点D的坐标；
(3)若点E（m，n）为抛物线上的一个动点，将点E绕原点O旋转180°得到点F．
△当点F落在该抛物线上时，求m的值； △当点F落在第二象限内且AF取得最小值时，求m的值．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．
2021年九年级中考数学第三轮压轴题：二次函数的综合 专题复习(含答案)
1 2021年中考数学第三轮压轴题：二次函数的综合 专题复习
1、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
2、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
3、如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解
2 析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4、如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
5、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
3 （2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
九年级数学中考复习压轴题专题训练含答案解析二次函数小综合抛物线中的定点问题
微专题16 抛物线中的定点问题
典例精讲
考点动直线过定点
【例】如图，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(0，－1)，且经过点A(－1，1)，动直线l的解析式为y＝－4x＋k．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移一个单位得到新的抛物线C2，过点A的直线交抛物线于M，N两点(点M位
点N的左边)，动直线l过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P求证：直线PN恒过一个定点．
典题精练
如图，已知抛物线y＝－2x2交直线y＝kx－2k－4于P，Q两点，在抛物线上是否存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，若存在，求定点D的坐标；若不存在，请说明理由．
xyNPMAOxyDQPO微专题16 抛物线中的定点问题
典例精讲
考点动直线过定点
【例】如图，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(0，－1)，且经过点A(－1，1)，动直线l的解析式为y＝－4x＋k．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移一个单位得到新的抛物线C2，过点A的直线交抛物线于M，N两点(点M位
点N的左边)，动直线l过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P求证：直线PN恒过一个定点．
【解答】(1)y＝2x2－1；
(2)C2：y＝2x2，设M(m，2m2)，N(n，2n2)，P(t，2t2)(m＜n)，
则MN的解析式y＝2(m＋m)x－2mn，∵MN过点A(－1，1)，
∴－2(m＋n)－2mn＝1，即2mn＝－1－2m＝2n
又l：y＝－4x＋k过点M(m，2m2)，∴2m2＝－4m＋k，∴k＝2m2＋4m，
y＝－4x＋2m2＋4m
∴l：y＝－4x＋2m2＋4m，联立y＝－4x＋2m2＋4m，y＝2x2
得2x2＋4x－2m2－4m＝0，
∴t＋m＝－2，即t＝－2－m，∴P(－2－m，2m2＋8m＋8)，
∴PN的解析式：y＝(2n－2m－4)x＋(2mn＋4n)＝(2n－2m)(x＋1)－1－4x，
九年级数学中考复习压轴题专题训练含答案解析二次函数小综合角度和差问题
微专题21 角度和差问题
典例精讲
考点 角度和差→构等角→构相似
【例】 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A（－3，0），点B（1，0），与y轴交于点C，点P在y轴上，连接BP，若∠OCB＋∠OPB＝45°，求点P的坐标．
xyABCOxyODCBAP典题精练
训练点 角度和差→构等角→构全等
1．如图，抛物线y＝12x2－52x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P，Q是第二象限抛物线上的两点，PQ∥x轴，点F为线段AP上一点，且∠PQF＋∠PFQ＝90°，AE⊥x轴交直线QF于点E，AP＝QE，求PQ的长，
训练点 角度和差→构等角→构相似
2．如图，抛物线y＝34x2－154x＋3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上的一点，若∠DBC＝∠ACB＋∠ABC，求点D的坐标．
xyABCEFOPQxyQPOHGFECBAxyODCBA微专题21 角度和差问题
典例精讲
考点 角度和差→构等角→构相似
【例】 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A（－3，0），点B（1，0），与y轴交于点C，点P在y轴上，连接BP，若∠OCB＋∠OPB＝45°，求点P的坐标．
【解答】当点P在y轴负半轴上时，C（0，－3），
∴∠OCB＋∠OPB＝45°，在y轴负半轴上取一点D．
使OD＝OB＝1，∴DC＝OC－OD＝2，∵∠BOD＝90°，∴∠ODB＝∠OBD＝45°，BD＝2，
∴∠OCB＋∠DBC＝∠ODB＝45°，又∵∠OCB＋∠OPB＝45°，
∴∠OPB＝∠DBC，又∵∠PDB＝∠BDC，∴△PDB∽△BDC，∴DB2＝DP·DC，
即（2）2＝DP·2，∴DP＝1，∴OP＝2，∴P（0，－2），由对称性知（0，2）也符合要求．
∴点P的坐标为（0，－2）或（0，2）．
典题精练
训练点 角度和差→构等角→构全等
1．如图，抛物线y＝12x2－52x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P，Q是第二象限抛物线上的两点，PQ∥x轴，点F为线段AP上一点，且∠PQF＋∠PFQ＝90°，AE⊥x轴交直线QF于点E，AP＝QE，求PQ的长，
2023安徽中考数学专题《二次函数综合》含答案解析
热点05 二次函数综合
安徽中考数学中二次函数部分主要考向分为三类：
一、二次函数的图象与性质；二、二次函数中求动点坐标（与图形面积相关）；三、二
次函数的实际运用（近几年主要考察利润相关为题）；
需要注意的是综合运用的题型，难度系数较大，考察的内容较多，特别是动点，还是
计算利润时由于数值比较大需细心。
考点一：利用对称轴解决问题【例1】． （2022·安徽·模拟预测）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过
点A（m﹣4，n），B（
m
+2，n），则n的值为（ ）
A．﹣18B．﹣16C．﹣12D．18
【答案】A
【分析】先求出抛物线对称轴为直线𝑥=𝑚−1，再根据抛物线与x轴只有一个交点，得到抛
物线的顶点坐标为（m-1，0），则抛物线解析式为𝑦=−2(𝑥−𝑚+1)2，把A（m-4，n），代
入抛物线解析式得，𝑛=−2(𝑚−4−𝑚+1)2=−18．
【详解】解：∵抛物线过点A（m-4，n），B（m+2，n），
∴抛物线对称轴为直线𝑥=𝑚−4+𝑚+22=𝑚−1
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴抛物线的顶点坐标为（m-1,0），
∴抛物线解析式为𝑦=−2(𝑥−𝑚+1)2，
把A（m-4，n），代入抛物线解析式得，𝑛=−2(𝑚−4−𝑚+1)2=−18，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的对称性以及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的顶点式，
关键在于熟悉性质，灵活运用．
【例2】．（2021秋·安徽合肥）已知二次函数y=-x2+2x+2，点A(x1，y1)．B(x2，y2)(x1< x2)是
其图象上两点，则下列结论正确的是（ ）A．若x1+x2>2，则y1< y2B．若x1+x2< 2，则y1< y2C．若x1+x2>-2则y1>y2D．若x1+x2<-2，则y1>y2【答案】B
【分析】首先确定抛物线的开口方向向下，对称轴x=1，当x1+x2<2时，点A离对称轴的距
离比点B离对称轴的距离远，利用图象法即可判断.
2023年九年级中考数学复习：二次函数综合训练角度问题附答案
试卷第1页，共10页2023年九年级中考数学复习：二次函数综合训练角度问题
附答案
1．如图，抛物线y=-0．52
x+bx+3，与x轴交于点B(﹣2，0)和C，与y轴交于点A，点
M在y轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连结BM并延长，交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．当以B、D、E为顶点的
三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；
(3)连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长．
2．如图，抛物线y=ax
2+bx-4a经过A(-1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐
标．试卷第2页，共10页3．如图，抛物线2yaxbxc
的图象经过点
2,0A
，点
4,0B
，点
2,4D
，与y
轴
交于点C
，作直线BC，连接AC
、CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）E是抛物线上的点，求满足ECDACO
的点E的坐标．
4．如图，抛物线y=ax
2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过
点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交
直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐
标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的
坐标．
试卷第3页，共10页
5．已知，如图，二次函数26yaxbx
的图象分别与x
轴与y
轴相交于点()60A，
、
点6(0)B，
，点6(6)C，也在函数图象上．
(1)求该二次函数的解析式．
(2)动点
P从点
B出发，沿着y
轴的正方向运动，是否存在某一位置使得
45OAPOAC
？若存在，请求出点
2023年中考数学二轮专题复习——专题 二次函数综合题 学案(含答案)
专题辅导——二次函数综合题
【题型解读】二次函数综合题是中考的必考题，一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质，几何图形的性质与判定，图形变换等；另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等.主要类型包括：线段问题，角度问题，面积问题，全等、相似三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，特殊三角形存在性问题等.
类型一 线段问题
方法总结
1. 确定线段长
两点之间的距离可以根据两点坐标表示线段长度，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），则AB=221212xxyy，也可以构造直角三角形，利用勾股定理求出.在求这类问题时首先应该明白与x轴平行的直线上的点的纵坐标都相同，且两点间的距离是横坐标相减的绝对值；与y轴平行的直线上的点的横坐标都相同，且两点间的距离是纵坐标相减的绝对值.
2. 线段数量关系问题
根据前面所得的线段长，结合题干中线段间的数量关系，利用勾股定理或相似三角形对应边成比例，列出方程求解即可.（注意排除不符合题意的数值）
3. 求线段最大值问题
根据前面所得的线段长的关系式，构建二次函数模型，利用二次函数性质求最值，可得到线段长的最大值（注意自变量的取值范围）；求两条线段和的最小值时，常用“将军饮马”模型.
考点例析
例1 如图1，抛物线y=x2+2x-8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）连接AC，直线x=m（-4
图1 图2
解析：（1）令y=0，得x2+2x-8=0，解得x1=-4，x2=2.所以点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（2，0）.
令x=0，得y=x2+2x-8=-8.所以点C的坐标为（0，-8）.
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(含简单答案)
试卷第1页，共10页 2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题
1．在平面直角坐标系中，抛物线2yxbxc与x轴交于A、B两点且经过点C，已知A点坐标为1,0．C点坐标为4,5．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为第四象限内抛物线上一个动点，连接AC、AP，PC，过点B作BGAC∥交PC于点G，连接AG．请求出APG面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线2yxbxc沿射线AC方向平移2个单位长度得到新抛物线y，记y与y的交点为M，点D是直线AC与y轴的交点，点N为直线AC上一点，点K为平面内一点，若以D、M、K、N为顶点的四边形是菱形且DM为菱形的边，请直接写出点K的坐标并选择其中一个坐标写出求解过程．
2．如图1，抛物线223yxx与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，且在直线BC的上方． 试卷第2页，共10页 (1)直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)当点P的坐标为1,4时，求四边形BOCP的面积；
(3)如图2，AP交BC于点D．PEAC∥交BC于点E，记,,DEPCPDCDA的面积分别为123,,SSS，判断1223SSSS是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
(4)如图3，点C在线段MN上，满足90MAN，2CNCM，直线1l过点M，直线2l过点N，且12lACl∥∥，求直线1l与2l之间的最大距离．
3．如图，抛物线212yxbxc与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．抛物线的对称轴为直线1x=，点C坐标为04，．
(1)求抛物线表达式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使ABPBCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离．
2023年九年级中考数学专题训练——二次函数与角度问题(附答案)
2023中考专题训练——二次函数与角度问题
1．如图1，直线yx24与y轴交于点A，与x轴交于点B,二次函数23yaxxc的图像经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线32x，点E是抛物线的顶点．
(1)a=，c=，顶点E坐标是；
(2)过点C作直线CK∥AB交y轴于点K，点P是直线CK上一动点，点Q是第三象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；
(3)如图2，在（2）的结论下，对称轴与x轴交于点6，直线EQ交x轴于点E，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得45MFQCAO，求点M的坐标．
2．如图，直线y=﹣x+3交y轴于点A，交x轴与点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A和点B，点P为抛物线上直线AB上方部分上的一点，且点P的横坐标为t，过P作PE∥x轴交直线AB于，作PH⊥x轴于H，PH交直线AB于点F．
（1）求抛物线解析式；
（2）若PE的长为m，求m关于t的函数关系式； 试卷第2页，共9页 （3）是否存在这样的t值，使得∠FOH﹣∠BEH=45°？若存在，求出t值，并求tan∠BEH的值，若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．
(1)求点M、A、B坐标；
(2)连结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．
4．如图，抛物线22(0)yaxaxca与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为(1,0),3OCOA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC下方的抛物线上是否存在一点P，使得PBC的面积等于ABC面积的三分之二？若存在，求出此时OP的长；若不存在，请说明理由．
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与相似三角形附答案
试卷第1页，共8页2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与相似三角形
附答案
1．如图①，已知直线4
4
3yx
与x
轴交于点
A，与y
轴交于点C
，抛物线2
yaxbxc
经过
A，C
两点，且与x
轴的另一个交点为
B，对称轴为直线=1x
，
D是第二象限内
抛物线上的动点，设点
D的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形ABCD
面积
S的最大值及此时
D点的坐标；
(3)过点
D向y
轴作垂线（如图②），垂足为点
E，是否存在点
D，使CDE
与AOC相
似？若存在，请求出点
D横坐标m
的值；若不存在，请说明理由．
2．如图，在直角坐标系中，抛物线yax
2
11axca0与x轴交于点A3,0和
点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且ABC的面积为15.
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D是线段OC上一点，连接BD交AC于点E，若ABE与ABC
相似，
试求点D的坐标和
DBC的正切值；
（3）若抛物线对称轴上的点P，满足APBACB，请直接写出点P的坐标.试卷第2页，共8页3．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与
x轴相交于A，B两点．
（1）请直接写出A，B，C三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式；
（2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E，
求证：直线EA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三
角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．如图，已知二次函数的图像过点(0,0)O,(8,4)A,与x
轴交于另一点
B,且对称轴是直线
3x.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB
上的一点，作//MNAB
交OA
于N
,当ANM
面积最大时，求M的坐
标；
（3）
P是x
轴上的点，过
P作PQx
轴，与抛物线交于Q
,过
A作ACx轴于C
.当以O
、
P、Q
为顶点的三角形与O
、
A、C
为顶点的三角形相似时，求
P点的坐标.