条形极点配置
控制系统的极点配置设计法
控制系统的极点配置设计法一、极点配置原理1.性能指标要求2.极点选择区域主导极点：nstζω4=；当Δ=0.02时，。
nstζω3=当Δ=0.05时,3.其它极点配置原则系统传递函数极点在s 平面上的分布如图（a ）所示。
极点s 3距虚轴距离不小于共轭复数极点s 1、s 2距虚轴距离的5倍，即n s s ξω5Re 5Re 13=≥（此处ξ，n ω对应于极点s 1、s 2）；同时，极点s 1、s 2的附近不存在系统的零点。
由以上条件可算出与极点s 3所对应的过渡过程分量的调整时间为1351451s n s t t =⨯≤ξω式中1s t 是极点s 1、s 2所对应过渡过程的调整时间。
图（b ）表示图（a ）所示的单位阶跃响应函数的分量。
由图可知，由共轭复数极点s 1、s 2确定的分量在该系统的单位阶跃响应函数中起主导作用，即主导极点。
因为它衰减得最慢。
其它远离虚轴的极点s 3、s 4、s 5 所对应的单位阶跃响应衰减较快，它们仅在极短时间内产生一定的影响。
因此，对系统过渡过程进行近似分析时。
可以忽略这些分量对系统过渡过程的影响。
n x o (t)（a ）（b ）系统极点的位置与阶跃响应的关系二、极点配置实例磁悬浮轴承控制系统设计1.1磁悬浮轴承系统工作原理图1是一个主动控制的磁悬浮轴承系统原理图。
主要由被悬浮转子、传感器、控制器和执行器(包括电磁铁和功率放大器)四大部分组成。
设电磁铁绕组上的电流为I0，它对转子产生的吸力F和转子的重力mg相平衡，转子处于悬浮的平衡位置，这个位置称为参考位置。
（a）（b）图1 磁悬浮轴承系统的工作原理Fig.1 The magnetic suspension bearing system principledrawing假设在参考位置上，转子受到一个向下的扰动，转子就会偏离其参考位置向下运动，此时传感器检测出转子偏离其参考位置的位移，控制器将这一位移信号变换成控制信号，功率放大器又将该控制信号变换成控制电流I0+i，控制电流由I0增加到I0+i，因此，电磁铁的吸力变大了，从而驱动转子返回到原来的平衡位置。
控制系统的极点配置设计法
控制系统的极点配置设计法一、极点配置原理1.性能指标要求n s t ζω4=；当Δ=0.02时，。
ns t ζω3= 当Δ=0.05时,2.极点选择区域主导极点：2111cos tan ξβξξ---==3.其它极点配置原则系统传递函数极点在s 平面上的分布如图（a ）所示。
极点s 3距虚轴距离不小于共轭复数极点s 1、s 2距虚轴距离的5倍，即（此处，对应于极点s 1、s 2）；同时，极点n s s ξω5Re 5Re 13=≥ξn ωs 1、s 2的附近不存在系统的零点。
由以上条件可算出与极点s 3所对应的过渡过程分量的调整时间为1351451s n s t t =⨯≤ξω式中是极点s 1、s 2所对应过渡过程的调整时间。
1s tn x o (t)（a ）（b系统极点的位置与阶跃响应的关系图（b ）表示图（a ）所示的单位阶跃响应函数的分量。
由图可知，由共轭复数极点s 1、s 2确定的分量在该系统的单位阶跃响应函数中起主导作用，即主导极点。
因为它衰减得最慢。
其它远离虚轴的极点s 3、s 4、s 5所对应的单位阶跃响应衰减较快，它们仅在极短时间内产生一定的影响。
因此，对系统过渡过程进行近似分析时。
可以忽略这些分量对系统过渡过程的影响。
二、极点配置实例磁悬浮轴承控制系统设计1.1磁悬浮轴承系统工作原理图1是一个主动控制的磁悬浮轴承系统原理图。
主要由被悬浮转子、传感器、控制器和执行器(包括电磁铁和功率放大器)四大部分组成。
设电磁铁绕组上的电流为I0，它对转子产生的吸力F和转子的重力mg相平衡，转子处于悬浮的平衡位置，这个位置称为参考位置。
（a）（b）图1 磁悬浮轴承系统的工作原理Fig.1 The magnetic suspension bearing system principledrawing假设在参考位置上，转子受到一个向下的扰动，转子就会偏离其参考位置向下运动，此时传感器检测出转子偏离其参考位置的位移，控制器将这一位移信号变换成控制信号，功率放大器又将该控制信号变换成控制电流I0+i，控制电流由I0增加到I0+i，因此，电磁铁的吸力变大了，从而驱动转子返回到原来的平衡位置。
5第五节极点配置
K = [− 9.4 − 79.1 − 170.8]
以上述状态阵K反馈后的状态方程为：
1 0 0 0 ɺ X = ( A + B K ) X + Bv = 0 0 1 X + 0 v − 172.8 − 82.1 − 14.4 1 y 输出方程为： = x1 = [1 0 0]X
Saturday, June 25,1]一个三阶系统的微分方程为：ɺ(t ) + 5 ɺɺ(t ) + 3 y (t ) + 2 y (t ) = u (t ) y 希望该系统有小的超调量，调整时间小于1秒。试确定状态反馈 阵K，以满足上述要求。
选择希望的特征方程为： * (λ ) = (λ2 + 2ζλ + ω n 2 )(λ + ζω n ) = 0 f 因为要求小的超调量，所以可以取ζ = 0.8，那么调整时间为：
Saturday, June 25, 2011
11
Saturday, June 25, 2011
9
u K 状态反馈阵K是： = [k1 k 2 k3 ] 。取控制量为： = K X ɺ 则：X = A X + B K X = ( A + B K ) X 1 0 0 0 1 其中：A + B K = 0 − 2 + k1 − 3 + k 2 − 5 + k3 特征方程为： f (λ ) = det[λI − ( A + B K )] = λ3 + (5 − k3 )λ2 + (3 − k 2 )λ + (2 − k1 )
u
B
图a
ɺ x
+
7.4 状态反馈和极点配置
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统
x Ax Bu
假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地 配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。
该定理对多变量系统也成立。
证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
kn 1 ]
由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bcr
相应的特征方程为 sI Ac BcK 0
因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输 入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。
s
1
0
0
s
0
sI Ac BcK
◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 可控标准形，则P = I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线 性变换矩阵P=QW。
◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
（s 1（) s 2 ) （s n ) sn an1sn1 a1s a0
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。
◆最后得到状态反馈增益矩阵K为
K [ a0 a0 a1 a1
a n1
an1
]
P 1
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
0
1
0
0
x Ax Bu A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状
极点配置问题
5.2 极点配置问题5.2.1 问题提出控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。
因此，作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给定一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。
极点配置问题，就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。
在经典控制理论中所介绍的根轨迹法就是一种极点配置法，不过它只是通过改变一个参数使闭环系统的极点沿着某一组特定的根轨迹曲线配置而已。
因此，广义地说，不论综合系统的性能指标怎样不同，究其实质都是运用各种技术手段来实现系统极点零点的重新配置，以期获得所期望的性能。
本节讨论在指定极点分布的情况下，如何设计反馈增益阵的问题。
为简单起见，只讨论单输入—单输出系统。
5.2.2 状态反馈与极点配置定理三 采用状态反馈对系统()0,,A B C =∑任意配置极点的充要条件是0∑完全能控。
证明 只证充分性。
若∑完全能控，通过状态反馈必成立[]*det ()()I A bK f λλ-+= （5.26） 式中*()f λ—期望特征多项式。
***1*1101()()nn n in i f a a a λλλλλλ--==-=++++∏ （5.27）式中*(1,2,,)i i n λ= —期望的闭环极点（实数极点或共轭复数极点）。
① 若∑完全能控，必存在非奇异变换CI x T x = 式中CI T —能控标准I 型变换矩阵。
能将∑化成能控标准I 型x+xA bu =y Cx =式中 1012101000010CI CI n A T AT a a a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦1001CI b T b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]011=C CI n C T b b b -=受控系统∑的传递函数为121121001110()=()n n n n n n n b s b s b s b W s C sI A b s a s a s a -------++⋅⋅⋅++-=++⋅⋅⋅++ （5.28） ② 加状态反馈增益阵 011n K k k k -⎡⎤=⎣⎦ （5.29）可求得对x 的闭环状态空间表达式()+x A bK x bu y Cx ⎫=+⎪⎬=⎪⎭（5.30）式中 0110110100001001()()()n n A b K a k ak a k --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦闭环特征多项式为()()f I A bK λλ=-+1110110()()()n n n n a k a k a k λλλ---=+-++-+- （5.31） 闭环传递函数为1212101110110()=()()()n n n n k n n n n b s b s b s b W s s a k s a k s a k -------++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+-+- （5.32） ③ 使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足 *()()f f λλ=由等式两边同次幂系数对应相等，可解出反馈阵各系数*(0,1,,1)i i i k a a i n =-=- （5.33）于是得 ***001111n n K a a a a a a --⎡⎤=---⎣⎦ ④ 最后，把对应于X 的K ，通过如下变换，得到对应于状态X 的K 。
线性系统的状态反馈及极点配置
现代控制理论实验（一）线性系统的状态反馈及极点配置——09级自动化本科一．实验目的1．了解和掌握状态反馈及极点配置的原理。
2．了解和掌握利用矩阵法及传递函数法计算状态反馈及极点配置的原理与方法。
3．掌握在被控系统中如何进行状态反馈及极点配置，构建一个性能满足指标要求的新系统的方法。
二．实验原理及说明一个控制系统的性能是否满足要求，要通过解的特征来评价，也就是说，当传递函数是有理函数时，它的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点及传递函数。
因此若被控系统完全能控，则可以通过状态反馈任意配置极点，使被控系统达到期望的时域性能指标。
若有被控系统如图3-3-61所示，它是一个Ⅰ型二阶闭环系统。
图3-3-61 被控系统如图3-3-61所示的被控系统的传递函数为：12021S 11)1(1)(a S a S b T TS T TS S T S i i i ++=++=++=φ （3-3-51） 采用零极点表达式为：))(()(210λλφ--=S S b S （3-3-52）进行状态反馈后，如图3-3-62所示，图中“输入增益阵”L 是用来满足静态要求。
图3-3-62 状态反馈后被控系统设状态反馈后零极点表达式为：))(()(21**--=λλφS S b S （3-3-53）1．矩阵法计算状态反馈及极点配置1）被控系统被控系统状态系统变量图见图3-3-63。
图3-3-63 被控系统状态系统变量状态反馈后的被控系统状态系统变量图见图3-3-64。
图3-3-64 状态反馈后的被控系统状态系统变量图图3-3-61的被控系统的状态方程和输出方程为：状态方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=••1i 1i 2211X Y u T 1X T 1X X T 1X T 1X （3-3-54）⎪⎩⎪⎨⎧=+==•∑CxY u Ax X B C B A 0），，（式中[]01,T 10B 0T 1T 1T 1A ,i i 21=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C x x x ， 被控系统的特征多项式和传递函数分别为：12010a a b S b )(+++=S S S φB A)C(SI 1--=）（A -SI det a a )(f 0120=++=S S S 可通过如下变换（设P 为能控标准型变换矩阵）： —x P X =将∑0C B A ），，（化为能控标准型 ），，（————C B A ∑，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=•——————x C Y u x A B X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-101a -a 10AP P A — ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-10B P B 1— ， []10b b CP C ==— 2）被控系统针对能控标准型），，（————C B A ∑引入状态反馈：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=—————式中10k k k xk u ν （3-3-55）可求得对—x 的闭环系统），，—————C B k B A (-∑的状态空间表达式： 仍为能控标准型，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=•————————）（x C Y u x B k B A X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-）（）（—————1100k a k a 10k B A则闭环系统），，（——————C B k B A -∑的特征多项式和传递函数分别为： ）（）（—————00112k k a k a k)B (A SI det )(f ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=S S S )k a (k a b S b B )k B A (SI C )(00112011k ———————）（+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-S S S φ3）被控系统如图3-3-61所示：其中：05.01==T T i则其被控系统的状态方程和输出方程为：[]XY uX X 0110012020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=期望性能指标为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。
线性系统的极点配置设计研究
线性系统的极点配置设计研究【引言】线性系统是现代控制工程学中的基础，系统的稳定性是控制系统设计的一个核心问题。
对于一个线性系统而言，其极点配置设计是控制系统设计中非常重要的一环。
本文将对线性系统的极点配置设计进行研究，并分别从理论和实践两个方面进行分析。
【理论分析】（一）极点概念的介绍在控制系统设计中，极点是非常重要的概念。
在数学上，一个线性系统的极点是其传递函数分母的根，通常将其表示为 s1, s2, ..., sn。
一个线性系统的稳定性与其极点有着密切的关系，当且仅当极点全部位于左半s平面才能保证系统的稳定性。
（二）极点配置设计的方法对于一个控制系统而言，其极点配置设计是控制系统设计的重点之一。
一般分为基于传递函数的极点配置设计和基于状态空间的极点配置设计两种。
1. 基于传递函数的极点配置设计传递函数的极点决定了一个系统的动态响应，因此，极点配置设计是控制系统设计中最重要的一步。
其中，将极点移动到左半s平面可以提高系统的稳定性，将极点分配到希望响应的位置可以改善系统的动态特性。
2. 基于状态空间的极点配置设计状态空间模型是控制系统设计中最常用的一种模型。
通过控制系统的状态变量的配置，可以决定其动态性能。
状态空间模型的主要优点是可以更好地对系统动态性能进行描述，因此，它是现代控制系统设计中非常重要的分析工具。
【实践分析】（一）极点配置设计的应用在实际的控制系统设计中，极点配置设计是不可或缺的环节。
针对不同的控制对象，合理地配置其极点可以有效地改善系统的动态性能。
下面列举几种常用的应用场景。
1. 直流电机系统对于直流电机系统而言，合理地配置极点可以显著提高系统的过渡过程与稳定性能。
通过使用极点配置工具，可以将系统的极点分布在希望的位置上，使得电机系统具有更好的响应速度和精度。
2. 液压伺服系统在液压伺服系统中，通过配置极点使得系统具有更好的质量指标和响应性能。
通过使用控制系统设计软件，可以更加精细地进行控制器的设计，从而提高系统的控制性能和稳定性。
极点配置问题课件
PART 03
极点配置问题的算法设计
基于梯度下降的算法设计
总结词
简单、易于实现、适合小规模问题，但可能陷入局部最优解。
详细描述
梯度下降法是一种最优化算法，通过迭代地调整参数以最小化目标函数。在极点配置问题中，可以利 用梯度下降法来优化极点位置。该算法简单易实现，适合小规模问题。但是，梯度下降法容易陷入局 部最优解，可能无法找到全局最优解。
03
3. 分析粒子群优化算法的优缺点 及其在极点配置问题中的应用前景。
04
THANKS
感谢观看
部最优解，无法找到全局最优解。
PART 04
极点配置问题的应用案例
在电力系统中的应用
总结词
提高电力系统的稳定性和可靠性
详细描述
极点配置问题在电力系统中有着广泛的应用。 通过调整电力系统的极点，可以改变系统的 动态性能，提高系统的稳定性和可靠性。例 如，在电力系统的控制器设计中，极点配置 问题被用来确定最优的控制策略，以确保系 统在各种运行条件下都能保持稳定。
新算法的探索与研究
混合算法
结合多种算法的优点，开发出一种混合算法，以实现更高效、更 稳定的极点配置。
优化搜索策略
通过改进搜索策略，减少搜索空间，提高搜索效率，快速找到最优 解。
基于深度学习的方法
利用深度学习技术的优势，构建一个高效的深度学习模型，用于学 习和预测极点配置的结果。
在其他领域的应用拓展
在控制系统中的应用
要点一
总结词
实现控制系统的最优设计
要点二
详细描述
极点配置问题在控制系统的设计中扮演着重要的角色。通 过合理地配置控制系统的极点，可以实现控制系统的最优 设计，提高系统的响应速度、稳定性和鲁棒性。例如，在 航空航天控制系统的设计中，极点配置问题被用来优化控 制回路的设计，以确保飞机和航天器在各种飞行条件下都 能保持稳定的姿态和轨迹。
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理
这两个多项式的系数相等，可得出：
0 0
1
1
n n1
i中含F阵系数fij
当F阵为1 n时
n个方程可解n个系数 fi
(i 1,2,...,n)
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
设系统期望的闭环极点为s1、s2、sn ,则其
闭环特征式为s s1 s s2 s s3 s sn
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
ห้องสมุดไป่ตู้
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
s
1
0
0
0
0
s
1
0
0
0
0
0
s
1
a0 f1 a1 f2 a2 f3 an2 fn1 an1 fn s
sn (an1 fn )sn1 a1 f2 s a0 f1
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
解：
系统能控。
举例----求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
设： F f1 f2
F 7 1
w
u+
x2 ∫
--
++ -5
x2 x1
∫ x1
-
F 7 1
1
+
2
+
y
-6 1
7
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
试求：（1）求状态反馈矩阵F使闭环系统有期望 极点s1,2=-3±2j; (2)绘制带有状态反馈控制器的状态变量图
极点配置
只要原系统(A，B，C)是能控(见 能控性)的,则这样的反馈增益矩阵K就一定可以找到。反馈 增益矩阵K的 求解，对于单输入单输出情况，已有较为简单的计算公式；对于一般的多输入多输出情况，计算步骤要复杂得多， 往往需要采用计算机来处理。
极点配置
数学术语0103 定Fra bibliotek 05 配置方法
目录
02 意义 04 状态反馈
通过比例环节的反馈把定常线性系统的极点移置到预定位置的一种综合原理。 极点配置的实质是用比例反馈去改变原系统的自由运动模式，以满足设计规定的性能要求。
pole assignment
极点配置定常线性系统的动态特性在很大程度上取决于它的传递函数矩阵（见传递函数）的极点在复数平面 （表示复数 s=x+jy的直角坐标平面）上的位置。
谢谢观看
首先必须指出，状态空间中，任意极点配置的充分且必要的条件是，系统必须是完全状态可控的。
配置方法
如果已知系统的模型或传递函数，通过引入某种控制器，使得闭环系统的极点可以移动到指定的位置，从而 使系统的动态性能得到改善，这种方法称为极点配置法。
有一控制系统其中a>b>0，要求设计一个控制器，使系统稳定， 解：（1）校正前，闭环系统的极点： s-a+s+b=0 s= > 0 因而控制系统不稳定。 （2）在控制对象前串联一个一阶惯性环节， c>0，则闭环系统极点： 显然，当 c-a+1>0,b-ac>0时，系统可以稳定。但此对参数 c的选择依赖于 a、 b。因而，可 选择控制器， c、 d，则有特征方程： 当b+d+c>a，时，系统稳定。 本例由于原开环系统不稳定，因而不能通过简单的零极点相消方式进行控制器的设计，其原因在于控制器的 参数在具体实现中无法那么准确，从而可能导致校正后的系统仍不稳定。
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close all;
未加状态反馈矩阵K
A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]
• 程序
B=[0;1;0;-1]; C=[1,2,3,4] h1=-3; h2=-1; setlmis([]);
X=lmivar(1,[4,1]);
P=lmivar(2,[1,4]); lmiterm([1 1 1 X],.5*2*h1,1,'s'); SYMMETRIC?) lmiterm([1 1 1 X],A,-1,'s'); lmiterm([1 1 1 P],B,-1,'s'); % LMI #1: 2*h1*X (NON % LMI #1: -A*X-X'*A' % LMI #1: -B*P-P'*B'
T ，j Im( X )
T
j Im( X )
（3） T j Im( X )
T
即 Re( X )是对称的，j Im( X )是反对称的
对任意非零向量v R n，由 Im( X )的反对称性可得 vT Im( X )v=0.故由（3）可得vT Xv=vT Re( X )v 由矩阵X的正定性推出vT Re( X )v>0.证毕.
K PX 1
数学模型：履带车辆悬挂系统
实例仿真
对于已知线性定常系统 履带车辆悬挂系统
X [ X1, X 1, X 2 , X 2 ]T X1 车身速度 X 1 =车身加速度 X 2 =负重轮速度 X 2 =负重轮加速度
. . . .
x(t ) Ax(t ) Bu (t ) y(t ) Cx(t )
C 输出矩阵
0 给定 0 A 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0 0 1 11 0
0 1 B 0 1
C 1 2 3 4
希望的闭环极点配置在h1=-3，h2=-1的条形区 域内，设计状态反馈矩阵K，画出极点分布图。
定义 对复平面中的区域D，如果存在一个实对称矩阵 m L mm 和实矩阵 M m ，使得
D s : L sM sM T 0
则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)。 矩阵值函数 fD s L sM sM T
称为LMI区域D的特征函数, s 是复数变量。 特征函数 fD s 的取值是m m维的Hermite矩阵，
fD s 0 表示矩阵 fD s 是负定的。
说明： LMI区域是凸的 LMI区域是关于复平面上的实轴对称的
常见的LMI区域
左半开复平面
Im
相应的特征值函数
fD s s s
Re
fD s 0
Re s 0
Im
相应的特征值函数
f D s 2 s s
Q=getlmis; [tmin,xfeas]=feasp(Q);
X=dec2mat(Q,xfeas,X);
P=dec2mat(Q,xfeas,P); sys=ss(A,B,C,0); P=eig(sys); xx=real(P); yy=imag(P); figure(1) plot(xx,yy,'*'),hold on hold on; plot([-3,-3],[-10,10]); plot([-1,-1],[-10,10]); axis equal
则
M D A, X 1 AX 1 XAT AX XAT
由D稳定性定理，可得，矩阵A的所有特征值均在 左半开复平面的充分必要条件是存在对称正定矩阵 X，使得 AX XAT 0 Lyapunov不等式
推论 给定两个LMI区域D1和D2，矩阵A同时是D1稳定和D2-稳定的充分必要条件是存在一个对称正 定阵X，使得
T
L
M
D－稳定性分析
定义 对复平面中给定的LMI区域D和实矩阵 A
A D ，则称实矩阵A是D-稳定的。
nn
,
如果实矩阵A的所有特征值都位于区域D中，即
nn X C 设 是一个正定矩阵，则它的实部
Re（x）是一个对称正定矩阵。 证明：从
X Re( X ) j Im( X )和X X H 可得 Re( X ) j Im( X )= Re( X ) 因此， Re( X )= Re( X )
lmiterm([1 2 2 X],A,1,'s');
lmiterm([1 2 2 P],B,1,'s'); lmiterm([1 2 2 X],.5*2*h2,-1,'s'); SYMMETRIC?)
% LMI #1: A*X+X'*A'
% LMI #1: B*P+P'*B' % LMI #1: -2*h2*X (NON
。
构造状态反馈来调整系统的极点。
j
×
*
i * × 稳定区域 不稳定 (渐近稳定) (不稳定) 临界稳定 (李氏稳定)
单输入系统的极点配置
开环系统： x Ax Bu
状态反馈： u Lv Kx
闭环系统： x A BK x BLv 若希望(给定)闭环极点为： *1 , *2 ,
* ( s) s *1 s *2
* n 1 s n 1 s
* * n s 1 n
* * (3) K a a , a n n 1 an 1 , n
, a*1 a1
（4）
Q b Ab
（5）令 P Q 1
T D s : L s M s M 0 , 则实矩阵 定理 ：给定LMI区域
A
n n
是D-稳定的充分必要条件是存在一个对称正定
n n
实矩阵 X 其中：
，使得
MD A, X 0
M D A, X L X M AX M AX
AX
H T T
v H Xvf D
由MD(A,X)<0和X>0可推出
f D 0, 即 D.
由于 A 的任意性，根据D-稳定的定义，
可得矩阵A是D-稳定的 ，定理得证。
D稳定性定理的应用
LMI区域为左半开复平面
对于左半开复平面，其特征函数是 f D s s s
n 1 的特征多项式 ( s) s n a （ k ） s 1
an （ （ 1 k）s a n k）
式中，a （ i k）是反馈矩阵K的函数，i=1, n.
(2) 计算理想特征多项式
* ( x) s *1 s *2
* n 1 s n 1
T
T
证明：假定存在对称阵X满足MD(A,X)<0.
设λ是矩阵A的任意特征值，v
n
, 且有 v H A v H .
应用Kronecker乘积的性质，可得
1.1 A A 2. A B C D AC BD
1 A A; A BC D AC BD
加状态反馈矩阵K
• • • • • • • • • • • • • • • • close all; A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0] B=[0;1;0;-1]; C=[1,2,3,4] h1=-3; h2=-1; setlmis([]); X=lmivar(1,[4,1]); P=lmivar(2,[1,4]); K=lmivar(2,[1,4]); lmiterm([1 1 1 X],.5*2*h1,1,'s'); lmiterm([1 1 1 X],A,-1,'s'); lmiterm([1 1 1 P],B,-1,'s'); lmiterm([1 2 2 X],A,1,'s'); lmiterm([1 2 2 P],B,1,'s'); lmiterm([1 2 2 X],.5*2*h2,-1,'s'); % LMI #1: 2*h1*X (NON SYMMETRIC?) % LMI #1: -A*X-X'*A' % LMI #1: -B*P-P'*B' % LMI #1: A*X+X'*A' % LMI #1: B*P+P'*B' % LMI #1: -2*h2*X (NON SYMMETRIC?)
0 T AX XA 2h2 X 0
成立
• 结论：对于系统，存在增益矩阵K，使得系统的极 点配置到D（h1，h2）区域的充分必要条件是存 在正定对称矩阵X和矩阵P，使得
2h1 X AX+BP (AX+BP)T 0 0 T AX+BP (AX+BP) 2h2 X 0
an 1 an- 2 a n 2 an-3 An 1b] 1 a1 1 0
a1 1 1 0 0 0 0 0
(6) 求 K KP
2.适合维数较低，控制矩阵中 只有一个非零元素的情况
(1) 将u=-Kx代入系统状态方程，并求得相应闭环系统
s
* n
* * n s 1 n
其解k= k1 ,
(3)列方程组ai (k ) i* , i 1, 2 kn 即为所求。
n, 并求解。
问题的提出
精确的极点配置必须以精确的数学模型为 依据 由于不确定性及各种扰动的存在，使得精 确的极点配置不可实现 精确的极点配置并非是唯一的途径，将系 统的闭环极点配置在复平面上的一个适当 区域，即可保证系统的动态特性和稳态特 性