基于极点配置方法的直流电机转速控制系统设计

摘要建模、控制与优化是控制理论要解决的主要问题。

在这些问题中，广泛采用了现代数学方法，使得控制理论的研究不断深入，取得了丰硕的成果。

建模是控制理论中所要解决的第一个问题。

控制理论中的建模方法主要有两种，一是经验建模，二是根据物理规律建模。

所研究的对象主要是动态模型，一般用微分方程或差分方程来描述。

设计控制系统是控制理论的核心内容。

在线性系统中，我们所用到的数学工具是拓扑、线性群。

在非线性系统中，我们用到了微分几何。

可以说微分几何是非线性控制理论的数学基础。

优化是控制的一个基本目的，而最优控制则是现代控制理论的一个重要组成部分。

例如庞特里亚金的极大值原理、贝尔曼的动态规划，都是关于优化和最优控制问题的。

本报告首先介绍了直流电动机的物理模型, 并测量计算了它的具体参数。

然后根据牛顿第二定律和回路电压法分别列写运动平衡方程式和电机电枢回路方程式，从而通过一些数学变换抽象出了以电压为输入、转速为输出、电流和转速为状态变量的数学模型。

通过对抽象出来的模型进行性能分析，确定需要使用状态观测器来修正系统。

继而借助MATLAB软件对转速环进行了状态反馈控制器的设计，使系统的阶跃响应达到了设计指标。

关键词：建模控制理论设计控制系统直流电动机转速状态反馈控制器1 系统的物理模型、参数及设计要求 -------------------- 41.1 系统模型 ------------------------------------- 41.2 系统参数 ------------------------------------- 51.3 设计要求 ------------------------------------- 52 系统模型的建立------------------------------------ 62.1 模型抽象 ------------------------------------- 62.2 所建模型的性能分析 --------------------------- 73 系统状态观测器的设计----------------------------- 113.1 期望配置的极点的确定以及状态观测器的设计----- 113.1.1 第一组极点配置-------------------------- 113.1.2 第二组极点配置-------------------------- 113.2 状态观测器的设计 ---------------------------- 123.2.1 第一组极点------------------------------ 123.2.2 第二组极点------------------------------ 143.3 状态观测器的仿真图 -------------------------- 163.4 原系统加了状态观测器后的仿真结果图及分析----- 173.4.1 第一组极点------------------------------ 173.4.2 第二组极点------------------------------ 184 状态观测器极点配置与PID方法的比较 --------------- 204.1 直流电机转速、电流PID控制的设计------------- 204.2 两种方法的比较 ------------------------------ 21参考文献------------------------------------------- 241 系统的物理模型、参数及设计要求1.1 系统模型本组设计的被控对象为前一课程设计——《直流拖动自动控制系统》所采用的直流电机，其物理模型如下图1—1。

图1—1双闭环控制电流调速系统的特点是电机的转速和电流分别由两个独立的调节器分别控制，且转速调节器的输出就是电流调节器的给定，因此电流环能够随转速的偏差调节电机电枢的电流。

当转速低于给定转速时，转速调节器的积分作用使输出增加，即电流给定上升，并通过电流环调节使电机电流增大，从而使电机获得加速转矩，电机转速上升。

当实际转速高于给定转速时，转速调节器的输出减小，即给定电流减小，并通过电流环调节使电机电流下降，电机将因为电磁转矩减小而减速。

在当转速调节器饱和输出达到限幅值时，电流环即以最大电流限制Idm实现电机的加速，使电机的启动时间最短。

双闭环调速系统的原理框图如图1—2所示：图1—21.2 系统参数电机型号：DJ15额定参数： ， ， ， ， 。

电枢电阻：R=25.7143s ，电枢电感：L=0.7347s 。

电机飞轮惯量： 电枢回路电磁时间常数： ，系统的机电时间常数： ，电动机电势时间常数： ，转矩常数： ，电流反馈系数： ，转速反馈系数： 。

1.3 设计要求设计状态反馈控制器，使得系统的单位阶跃响应性能指标为： （1）调节时间小于2秒 （2）系统的超调量小于5% （3）稳态误差小于1%W P N 185=V U N 220=A I N 2.1=min /1500n rad =1=λ22m /10.0N GD =s T L 0328.0=s C 1147.0e =r V C m /m in 0953.1⋅=s T 08.0m =A V /615.4=β)r /(004.0pm V =α2 系统模型的建立2.1 模型抽象直流电机转矩和电枢电流的关系为：电枢旋转产生反电动势e 与旋转运动角速度ω的关系为：根据牛顿第二定律列写运动平衡方程式为：其中b 为电机摩擦系数，此处忽略不计。

根据回路电压法列写电机电枢回路方程式为：由于： ，可得： ， 其中，m 为一个旋转体上的一个质点的质量，质量m 为该质量的重量G 和重力加速度g 之比，R 和D 分别为旋转体的半径和直径，综合上两式可得：从而可以得到电机电枢回路电压平衡和电机运动平衡的一组微分方程式其中，摩擦系数 =b/9.55,此处忽略不计。

设系统的状态变量为： ，以输入电压u 为输入，转速n 为输出。

建立系统状态空间表达式为：iC T m r ⋅=i C b d dJ m t=+ωωu K Ri d d L e ti =++ωωπω55.9260==n nC K e e e =⋅=ω222⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==D g G mR J tn t d d J d d J ⋅=55.9ωtt d GD d d J n 2d 375=ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++iC n K d GD u n C Ri d d L mb te t in 2d 375b K n x i x ==21,[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212122211001375375-x x y u L x x GD K L C GD C L Rx x b e m带入数据进行计算化简可得：可得：A=[-34.9997 -0.1561;4107.375 0];B=[1.3611;0];C=[0 1];D=0。

2.2 所建模型的性能分析通过利用MATLAB 软件对所建模型进行分析的过程如下：A=[-34.9997 -0.1561;4107.375 0];B=[1.3611;0];C=[0 1];D=0; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) num = 1.0e+003 *0 0 5.5905 den =1.0000 34.9997 641.1612 sys=ss(A,B,C,D) a =x1 x2 x1 -35 -0.1561 x2 4107 0 b = u1 x1 1.361 x2 0 c =x1 x2 y1 0 1 d =[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121211003611.101561.0-375.41079997.34-x x y u x x x xTime (sec)A m p l i t u d eu1 y1 0Continuous-time model. tf(sys)传递函数如下所示： Transfer function: 5591 ------------------ s^2 + 35 s + 641.2（1）当给定电压是220V 时，系统的阶跃响应曲线如图2—1。

由上图可得：系统在未配置前是存在超调的，且当给定输入电压220V 时，输出的理想空载转速为1920rad/min ，此时根据实验数据求出的理想空载转速应为 ，可以看出两个数据相差不大，其中误差是由忽略摩擦以及实验测量偏差引入的。

由图中可以得出：最大值是2010rad/min,稳态值是1920rad/min,原系统的超图2—1m in /19181147.0/220/rad C U e N ==Root LocusI m a g i n a r y A x i sReal AxisI m a g i n a r y A x i s调量为σ%=4.96，调节时间Ts=0.237s(误差带是2%)。

原系统的能控性判断：rank[B,AB]= =2,所以原系统完全能控的。

原系统的能观性判断： =2,所以系统是完全能观测的。

（2）绘出系统的零极点图如图2—2所示：由所绘图形可得：原系统存在两个稳定的共轭复根。

（3）绘出系统的根轨迹曲线如图3—3所示：图2—2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5481.559006381.473611.1rank ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0375.410710rank rank CA C（4）求出系统的Wn和ξ（zeta）如下：[Wn zeta]=damp(sys)Wn =25.3212zeta =0.6911从而求出原系统在空载的情况下超调量和调节时间（2%的误差带）为：调节时间：Ts=0.2286s超调量：σ%=4.96%系统的稳态误差：Ess=（1920-1918）/1918*100%=0.1%从以上数据计算结果可得，系统的调节时间和稳态误差均满足设计指标，超调量虽然也满足要求，但较为接近，性能不是太好。

所以，有必要设计一个状态观测器来修正原系统，使新系统指标达到所要求的设计指标。

3 系统状态观测器的设计3.1 期望配置的极点的确定以及状态观测器的设计根据设计要求，要设计的状态反馈控制器，需使得系统的单位阶跃响应性能指标满足：（1）调节时间小于2秒；（2）系统的超调量小于5%；（3）稳态误差小于1%。

3.1.1 第一组极点配置由以上指标要求，选择调节时间（2%的误差带）Ts=1s,超调量σ%=4%，则由公式，可解得：ξ=0.7157，ωn=5.5889 运用公式：，算出期望配置的极点坐标为：-P1=-4+j3.9033, -P2=-4-j3.9033 3.1.2 第二组极点配置由以上指标要求，选择调节时间（2%的误差带）Ts=0.2s,超调量σ%=2%，则由公式：，可解得：ξ=0.7796，ωn=25.6542 运用公式：2-1-e %ξξπσ=n T ξω4s =()n P ωξξ21-1j ---=()n P ωξξ22-1j --+=n T ξω4s =2-1-e %ξξπσ=， 算出期望配置的极点坐标为：-P1=-20+j16.0667, -P2=-20-j16.06673.2 状态观测器的设计3.2.1 第一组极点（1）用MATLAB 软件计算状态观测器的方程：已经验证过系统是状态完全能观的。