考研数学三(线性代数)模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷100 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，已知r(A)=2，并且A满足A2一2A=0．则下列各标准二次型(1)2y12+2y22．(2)2y12．(3)2y12+2y32．(4)2y22+2y32．中可用正交变换化为f的是( )．
A．(1)
B．(3)，(4)
C．(1)，(3)，(4)
D．(2)
正确答案：C
解析：两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样．从条件可知，A的特征值为0，2，2．(1)，(3)，(4)这3个标准二次型的矩阵的特征值都是0，2，2．(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2． 知识模块：线性代数
2． 设
A．A与B既合同又相似
B．A与B合同但不相似．
C．A与B不合同但相似．
D．A与B既不合同又不相似．
正确答案：A
解析：A与B都是实对称矩阵，判断是否合同和相似只要看它们的特征值：特征值完全一样时相似，特征值正负性一样时合同．此题中A的特征值和B的特征值都是4，0，0，0，从而A与B既合同又相似． 知识模块：线性代数
3． 则( )中矩阵在实数域上与A合同．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D 涉及知识点：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4． 设α是一个n维非零实列向量．构造n阶实对称矩阵A，使得它的秩=1，并且α是A的特征向量，特征值为非零实数λ．
正确答案：ααT是n阶实对称矩阵，秩为1，并且α是ααT的特征向量，特征值为αTα=(α，α)．和题目要求只差在α的特征值上．于是记c=λ／(α，α)，设A=cααT，则A是n阶实对称矩阵，秩=1，并且Aα=cααTα=c(α，α)α=λα． 涉及知识点：线性代数
5． 设B是3阶实对称矩阵，特征值为1，1，一2，并且α=(1，一1，1)T是B的特征向量，特征值为一2．求
B．
正确答案：记A=B一E，则A是3阶实对称矩阵，特征值为0，0，一3，因此秩为1．用上题的结论，可知A=cααT，其中c=一3／(α，α)=一1，即A=一ααT．于是 涉及知识点：线性代数
6． 已知实对称矩阵A满足A3+A2+A一3E=0，证明A=E．
正确答案：因为A是实对称矩阵，所以A可相似对角化．要证本题的结论只用证A的特征值只有1一个．设λ是A的特征值，则λ是实数，并且应满足λ3+λ2+λ一3=0，即(λ—1)(λ2+2λ+3)=0．此方程的实数解只有1，因此λ=1． 涉及知识点：线性代数
7． 设A为实矩阵，证明ATA的特征值都是非负实数．
正确答案：ATA是实对称矩阵，特征值都是实数．设λ是ATA的一个特征值，η是属于λ的一个实特征向量，则ATAη=λη．于是ηTATAη=ληTη，即(η，η)＞0，(Aη，Aη)≥0，因此λ≥0． 涉及知识点：线性代数
设A为反对称矩阵，则
8． 若k是A的特征值，一k一定也是A的特征值．
正确答案：若k是A的特征值，则k也是AT的特征值．而AT=一A，于是一k是A的特征值． 涉及知识点：线性代数
9． 如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη=0．
正确答案：设η的特征值为λ，则Aη=λη．ληTη=ηTAη=(ATη)Tη=(一Aη)Tη=一ληTη．λ不为0，则ηTη=0． 涉及知识点：线性代数
10． 如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．
正确答案：A为实反对称矩阵，则由上例知道，一A2=ATA的特征值都是
非负实数，从而A2的特征值都是非正实数．设λ是A的特征值，则λ2是A2的特征值，因此λ2≤0，于是λ为0，或为纯虚数． 涉及知识点：线性代数
用配方法化下列二次型为标准型
11． f(x1，x2，x3)=x122x22+2x1x2—2x1x3+2x2x3．
正确答案：f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2—2x1x3+2x2x3=[x2+2x1x2—2x1x3+(x2一x3)2]一(x2一x3)2+2x32+2x2x3=(x1+x2一x3)2+x22+4x2x3一x32=(x1+x2一x3)2+x22+4x2x3+4x32一5x22=(x1+x2一x3)2+(x2+2x3)2一5x32．令原二次型化为f(x1,x2,x3)=y12+y22一5y32．从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵 涉及知识点：线性代数
12． f(x1，x2，x3) =x1x2+x1x3+x2x3．
正确答案：这个二次型没有平方项，先作一次变换f(x1，x2，x3)=y12一y22+2y1y3．虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：y12一y22+2y1y3=(y1+y3)2一y22一y32．则f(x1，x2，x3)=x12一x22一x32变换公式为变换矩阵 涉及知识点：线性代数
13． 已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．
正确答案：原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似．于是｜A｜=｜B｜=10．而｜A｜=2(9一a2)，得a2=4，a=2．A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量．对于特征值1：得(A—E)X=0的同解方程组得属于1的一个特征向量η1=(0，1，一1)T，单位化得对于特征值2：得(A一2E)X=0的同解方程组得属于2的一个单位特征向量γ2=(1，0，0)T．对于特征值5：得(A一5E)X=0的同解方程组得属于5的一个特征向量η3=(0，1，1)T，单位化得令Q=(γ1，γ2，γ3)，则正交变换X=QY把原二次型化为y12+2y22+5y32。 涉及知识点：线性代数
设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x12一2x32+2bx1x3，(b＞0)其中A的特征值之和为1，特征值之积为一12．
14． 求a，b．
正确答案：由条件知，A的特征值之和为1，即a+2+(一2)=1，得a=1．特征值之积=一12，即｜A｜=一12，而得b=2(b＞0)．则 涉及知识点：线性代数
15． 用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．
正确答案：得A的特征值为2(二重)和一3(一重)．对特征值2求两个单位正交的特征向量，即(A一2E)X=0的非零解．得(A一2E)X=0的同解方程组x1一2x3=0，求出基础解系η1=(0，1，0)T，η2=(2，0，1)T．它们正交，单位化：α1=η1，α2=方程x1一2x3=0的系数向量(1，0，一2)T和η1，η2都正交，是属于一3的一个特征向量，单位化得作正交矩阵Q=(α1,α2,α3)，则作正交变换X=QY，则它把f化为Y的二次型f=2y12+2y22一3y32． 涉及知识点：线性代数
已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
16． 求a．
正确答案：此二次型的矩阵为则r(a)=2，｜A｜=0．求得｜A｜=一8a，得a=0． 涉及知识点：线性代数
17． 求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．
正确答案：得A的特征值为2，2，0．对特征值2求两个正交的单位特征向量：得(A一2E)X=0的同解方程组x1—x2=0，求出基础解系η1=(0，0，1)T，η2=(1，1，0)T．它们正交，单位化：方程x1一x2=0的系数向量(1，一1，0)T和η1，η2都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位化得作正交矩阵Q=(α1,α2,α3)，则作正交变换X=QY，则f化为Y的二次型f=2y12+2y22． 涉及知识点：线性代数
18． 求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
正确答案：f(x)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32．于是f(x1，x2，x3)=求得通解为：,c任意． 涉及知识点：线性代数
19． 二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12一4y22一4y32，Q的第1列为(1)求A．(2)求一个满足要求的正交矩阵Q．
正确答案：标准二次型10y12一4y22一4y32的矩阵为则Q-1AQ=QTAQ=B，A和B相似．于是A的特征值是10，一4，一4．(1)Q的第1列是A的属于10的特征向量，其倍η1=(1，2，3)T也是属于10的特征向量．于是A的属于一4的特征向量和(1，2，3)T正交，因此就是方程x1+2x2+3x3=0的非零解．求出此方程的一个正交基础解系η2=(2，一1，0)T，建立矩阵方程A(η1，η2，η3)=(10η1，一4η2，一4η3)，用初等变换法解得(2)将η2，η3单位化得则正交矩阵Q=(α1,α2,α3)满足要求． 涉及知识点：线性代数
20． 求作一个3阶可逆矩阵P，使得PTAP是对角矩阵．
正确答案：f(x1，x2，x3)=XTAX=x12+4x22一2x32一4x1x2+4x2x3=(x1一2x2)2一2x32+4x2x3=(x1一2x2)2一2(x2一x3)2+2x22．令原二次型化为f(x1，x2，x3)=y12一2y22+2y32．从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵 涉及知识点：线性代数
21． 二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3的正惯性指数为2，a应满足什么条件?
正确答案：用其矩阵的特征值做．f(x1，x2，x3)的矩阵为A的特征值为0和[λ2一(a+2)λ+2a一2]的两个根．于是正惯性指数为2[λ2一(a+2)λ+2a-2]的两个根都大于0(a+2)和2a-2都大于0(用韦达定理)．于是得a＞1． 涉及知识点：线性代数
设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型
22． 用矩阵乘积的形式写出此二次型．
正确答案：由于A是实对称矩阵，它的代数余子式Aij=Aji，，并且A-1也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是Aij／｜A｜，于是f(x1，x2，…，xn)=XTA一1X． 涉及知识点：线性代数
23． f(x1，x2，…，xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?
正确答案：A一1的特征值和A的特征值互为倒数关系，因此A一1和A的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而A一1和A合同，f(x1，x2，…，xn)和XTAX有相同的规范形． 涉及知识点：线性代数
24． 判断A与B是否合同，其中
正确答案：用惯性指数，看它们的正负惯性指数是否都一样．B的正惯性指数为2，负惯性指数为1．A的惯性指数可通过对二次型XTAX进行配方法化标准形来计算．XTAX=x12+4x22一2x32一4x1x2－4x2x3=(x1一2x2)2一2x32一4x2x3=(x1一2x2)2一2(x3+x2)2+2x22，令则XTAX=y12一2y22+2y32，于是A的正惯性指数也为2，负惯性指数也为1．A与B合同． 涉及知识点：线性代数
考研数学三(线性代数)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷120 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于( )．
A．A＋B
B．A－1＋B－1
C．A(A＋B)－1B
D．(A＋B)－1
正确答案：C
解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选(C)． 知识模块：线性代数
2． 设则m，n可取( )．
A．m＝3，n＝2
B．m＝3，n＝5
C．m＝2，n＝3
D．m＝2，n＝2
正确答案：B
解析：P1mAP2n＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选(B)． 知识模块：线性代数
3． 设A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，则( )．
A．m＞n
B．m＝n
C．存在m阶可逆阵P，使得AP＝
D．若AB＝O，则B＝O
正确答案：D
解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX＝0只有零解，故若AB＝O，则B＝O，选(D)． 知识模块：线性代数
4． 设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，则( )．
A．两个向量组等价
B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．
C．若向量组α1，α1…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价
考研数学三(线性代数)模拟试卷19(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷19 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设三阶矩阵A的特征值为一1，1，2，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(3α2，-α3，2α1)，则P-1AP等于( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：显然3α2，-α3，2α1也是特征值1，2，一1的特征向量，所以P-1AP=，选
C． 知识模块：线性代数
2． 设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则( )．
A．A，B相似于同一个对角矩阵
B．存在正交阵Q，使得QTAQ=B
C．r(A)=r(B)
D．以上都不对
正确答案：D
解析：令A=，显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C都不对，选
D． 知识模块：线性代数
3． 设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．
A．若A2=E，则一1一定是矩阵A的特征值
B．若r(E+A)＜n，则一1一定是矩阵A的特征值
C．若矩阵A的各行元素之和为一1，则一1一定是矩阵A的特征值
D．若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则一1一定是A的特征值
正确答案：A
解析：若r(E+A)＜n，则｜E+A｜=0，于是一1为A的特征值；若A的每行元素之和为一1，则，根据特征值特征向量的定义，一1为A的特征值；若A是正交矩阵，则ATA=E，令AX=λE(其中X≠0)，则XTAT=λXT，于是XTATAX=
λ2XTX，即(λ2一1)XTX=0，而XTX＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得一1为A的特征值，选A． 知识模块：线性代数
4． 与矩阵A=相似的矩阵为( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选
考研数学三(线性代数)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷1 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 齐次方程组的系数矩阵为A，若存在三阶矩阵B≠0使得AB=0，则
A．λ=-2且丨B丨=0．
B．λ=-2且丨B丨≠0．
C．λ=1且丨B丨=0．
D．λ=1且丨B丨≠0．
正确答案：C 涉及知识点：线性代数
填空题
2． 设n阶矩阵A=，则丨A丨=_______.
正确答案：(-1)n-1(n-1) 涉及知识点：线性代数
3． 五阶行列式D==________.
正确答案：1-a+a2-a3+a4-a5 涉及知识点：线性代数
4． 设矩阵A=，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则丨B丨=_________.
正确答案：2 涉及知识点：线性代数
5． 设矩阵A=，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则丨B丨=______.
正确答案：1/9 涉及知识点：线性代数
6． 设A=，而n≥2为正整数，则An-2An-1=___________.
正确答案：0
解析：An-2An-1=（A-2E)An-1（A-2E)A=0An-2An-1=0 知识模块：线性代数
7． 设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则t=________.
正确答案：-3
解析：由AB=0，对B按列分块有AB=A(β1,β2，β3) =(Aβ1,Aβ2，Aβ3) =(0，0，0)即β1,β2，β3是齐次方程组的Ax=0的解.B≠0，所以Ax=0有非零解. 知识模块：线性代数
8． 设A=．B=P-1AP，其中P为3阶可逆矩阵、则B2004-2A2=________.
正确答案：
解析：A2004=(A2)1002=E.B2004-2A2=P-1A2004P-2A2=P-1EP-2A2 知识模块：线性代数
考研数学三(线性代数)模拟试卷139(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷139 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 则必有( )
A．AP1P2=B
B．AP2P1=B
C．P1P2A=B
D．P2P1A=B
正确答案：C
解析：注意依次对A施行下列两种初等行变换，即得矩阵B：先将A的第1行加到第3行，再将所得矩阵的1、2两行互换．两次初等行变换所对应的初等方阵依次为P2、P1，故有B=P1P2A． 知识模块：线性代数
2． 设n维列向量组α1，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，…，βm线性无关的充分必要条件为( )
A．向量组α1，…，αm可由向量组β1，…，βm线性表示．
B．向量组β1，…，βm可由向量组α1，…，αm线性表示．
C．向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价．
D．矩阵A=[α1…αm]与矩阵B=[β1…βm]等价．
正确答案：D
解析：当A=[α1…αm]与B=[β1…βm]等价时，A与B有相同的秩．由已知条件知A的秩为m，故B的秩亦为m，即β1，…，βm线性无关；若β1，…，βm线性无关，则矩阵A与B有相同的秩m，A与B义都是n×m矩阵，故A与B有相同的秩标准形(矩阵)P，于是A与P等价，B也与P等价，由等价的性质即知A与B等价．综上可知D正确． 知识模块：线性代数
3． 已知Q=，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=O，则( )
A．t=6时P的秩必为1．
B．t=6时P的秩必为2．
C．t≠6时P的秩必为1．
D．t≠6时P的秩必为2．
正确答案：C
解析：PQ=O说明Q的每一列都是齐次方程组Px=0的解向量，当t≠1时矩阵Q的秩为2，故此时有3－r(P)≥2，即r(P)≤1，又P≠O，有r(P)≥1，故当t≠1时必有r(P)=1． 知识模块：线性代数
4． 二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22－4x32－4x1x2－2x2x3的标准形是( )
考研数学三(线性代数)模拟试卷14(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷14 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A是n阶矩阵，下列结论正确的是( )．
A．A，B都不可逆的充分必要条件是AB不可逆
B．r(A)＜n，r(B)＜n的充分必要条件是r(AB)＜n
C．AX=0与BX=0同解的充分必要条件是r(A)=r(B)
D．A～B的充分必要条件是λE—A～λE一B
正确答案：D
解析：若A～B，则存在可逆矩阵P，使得P—1 AP=B， 于是P—1 (λE——A)P=λE—P—1AP=λE一B，即λE一A～λE一B； 反之，若λE一A～λE一B，即存在可逆矩阵P，使得P—1 (λE一A)P=λE一B， 整理得λE一P—1AP=λE—B，即P—1AP=B，即A～B，应选
D． 知识模块：线性代数
2． 设A为N阶可逆矩阵，λ为A的特征值，则A*的一个特征值为( )．
A．
B．
C．｜A｜
D．λ｜A｜n—1
正确答案：B
解析：因为A可逆，所以λ≠0，令AX=λX，则A*AX=λA*X，从而有A—1X=。选
B． 知识模块：线性代数
3． 设三阶矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是( )．
A．矩阵A不可逆
B．矩阵A的迹为零
C．特征值一1，1对应的特征向量正交
D．方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量
正确答案：C
解析：由λ1=一1，λ2=0，λ3=1得｜A｜=0，则r(A)＜3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选
考研数学三线性代数(向量)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（向量）模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，一l，5)T，(0，4，一2)T，(1，3，0)T；②(a，l，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f,0，3)T；③(a，l，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T；④(1，0，3，1)T，(一1，3，0，一2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T。则下列结论正确的是( )
A．线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③。
B．线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①②。
C．线性相关的向量组为①②；线性无关的向量组为③④。
D．线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为②。
正确答案：D
解析：向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除B。 由于(1，0，0)T，(0，2，0)T，(0，0，3)T线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关。所以应排除C。 向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是α1，α2，α4线性相关，那么添加α3后，向量组③必线性相关。应排除A。 由排除法，本题应选D。 知识模块：向量
2． 设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( )
A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关。
B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0。
C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s。
D．α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。
考研数学三(线性代数)模拟试卷21(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷21 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． ( )
A．-3
B．-1
C．0
D．3
正确答案：A
解析： 知识模块：线性代数
2． 设A，B是n阶方阵，AB=O，B≠O，则必有 ( )
A．(A+B)2=A2+B2
B．|B|≠0
C．|B*|=0
D．|A*|=0
正确答案：D
解析：AB=O，不一定有BA=O，故AB=O，不一定有BA=O，故(A)(A+B)2=A2+B2，不成立；B≠O，|B|可以为零，也可以不为零，|B*|也可以为零，可以不为零，故(B)，(C)不成立；B≠O，AB=O，AX=0有非零解，故|A|=0，从而|A*|=|A|N-1=0． 知识模块：线性代数
3． 设其中A可逆，则B-1等于 ( )
A．A-1P1P2
B．P1A-1P2
C．P1P2A-1
D．P2A-1p1
正确答案：C
解析：因B=AP2P1，B-1=(AP2P1)-1=P1-1P2-1A-1=P2P2A-1． 知识模块：线性代数
4． 设则 ( )
A．存在αij(i，j=1，2，3)使得β1，β2，β3线性无关
B．不存在αij(i，j=1，2，3)使得β1，β2，β3线性相关
C．存在bij(i，j=1，2，3)使得β1，β2，β3线性无关
D．不存在bij(i，j=1，2，3)使得β1，β2，β3线性相关
正确答案：C
解析：由知向量组α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关．因α1，α2，α3线性相关，故(A)，(B)不成立，因α2，α3，α4线性无关，故(C)成立，(D)显然不成立． 知识模块：线性代数
5． 已知β1，β2是AX=b的两个不同的解，α1，α2是相应的齐次方程组AX=0的基础解系，k1， k2是任意常数，则AX=b的通解址 ( )
考研数学三(线性代数)模拟试卷25(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷25 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 线性方程组则
A．当a，b，c为任意实数时，方程组均有解
B．当a=0时，方程组无解
C．当b=0时，方程组无解
D．当c=0时，方程组无解
正确答案：A
解析：因：a=0或b=0或c=0时，方程组均有解，且系数行列式 当abc≠0时，由克拉默法则知，方程组有解，且abc=0时也有解，故a，b，c为任意实数时，方程组均有解． 知识模块：线性代数
2． 设An×n是正交矩阵，则 ( )
A．A*(A*)T=|A|E
B．(A*)TA*=|A*|E
C．A*(A*)T=E
D．(A*)TA*=一E
正确答案：C
解析：A是正交阵，则有A*(A*)T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E． 知识模块：线性代数
3． 设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中α1-α2，α1-α2+α3，(α1-α3)，α1+3α2-4α3，是导出组Ax=0的解向量的个数为 ( )
A．4
B．3
C．2
D．1
正确答案：A
解析：由Aα1=Aα2=Aα3=b可知 A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，
A(α1-2α2+α3)=Aα1—2Aα2+Aα3=b一2b+b=0， A(α1+3α2-4α3)=Aα1+3Aα2-4Aα3=b+3b-4b=0， 因此这4个向量都是Ax=0的解，故选(A)． 知识模块：线性代数
4． 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组2α1+α3+α4，α2-α4，α3 +α4，α2+α3，2α1+α2+α3的秩是 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：C
解析：r(2α1+α3+α4，α2-α4，α3+α4，α2+α3，2α1+α2+α3)(β1，β2，β3，β4，β5)=3． [β1，β2，β3，β4，β5]=[α1，α2，α2，α3]因 r(α1，α2，α3，α4)=4，故r(β1，β2，β3，β4，β5)= 知识模块：线性代数
《线性代数》模拟试卷
《线性代数》期中模拟试卷（一） 08年秋
一、选择题（每小题3分，共21分）
1．行列式543432321的值为（ ） (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D)1
2．设n阶方阵A,B,C满足关系ABC=E，其中E 是单位阵，则必有（ ）
(A) ACB=E (B) CBA=E (C) BAC=E (D) BCA=E
3．设n阶方阵A中有nn2个以上的元素为零,则A的值( )
(A) 大于零 (B) 等于零 (C) 小于零 (D) 不能确定
4．设3阶矩阵),(,),,(21BA,且A=2, 1B,则BA( )
(A) 4 (B) 2 (C) 1 (D) 4
5．设A为nm矩阵，则非齐次线性方程组bAX有唯一解的充要条件是（ ）
(A) nm (B) 0AX只有零解 (C) 向量b可由A的列向量组线性表示
(D) A的列向量组线性无关，而增广矩阵A的列向量组线性相关
6．已知A是n阶实对称矩阵, AA2,秩r(A)=n,则AxxT是( )
(A) 正定二次型 (B) 负定二次型 (C) 半正定二次型 (D) 不定二次型
7．设A为3阶方阵，A的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组0AX的基础解系所含解向量的个数为（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
二、填空题：（每小题4分，共40分）
1．行列式544216321中元素23a的代数余子式的值是 ；
2．设A是4阶方阵,且2A, 则*A= ； 3．设矩阵A=0004003002001000,则1A= ；
考研数学三(线性代数)模拟试卷103(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷103 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设且|A|=m，则|B|=（ ）
A．m
B．—8m
C．2m
D．—2m
正确答案：D
解析： 知识模块：线性代数
2． 设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有（ ）
A．ACB=E
B．CBA=E
C．BAC=E
D．BCA=E
正确答案：D
解析：由题设ABC=E，可知A（BC）=E或（AB）C=E，即A与BC以及AB与C均互为逆矩阵，从而有（BC）A=BCA=E或C（AB）=CAB=E，比较四个选项，应选D。 知识模块：线性代数
3． 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则（ ）
A．当m＞n，必有行列式|AB|≠0
B．当m＞n，必有行列式|AB|=0
C．当n＞m，必有行列式|AB|≠0
D．当n＞m，必有行列式|AB|=0
正确答案：B
解析：因为AB是m阶方阵，且 r（AB）≤min{r（A），r（B）}≤min{m，n}，所以当m＞n时，必有r（AB）＜m，从而|AB|=0，所以应选B。 知识模块：线性代数
4． 设α1=（1，2，3，1）T，α2=（3，4，7，一1）T，α3=（2，6，0，6）T，α4=（0，1，3，a）T，那么a=8是α1，α2，α3，α4线性相关的（ ）
A．充分必要条件
B．充分而非必要条件
C．必要而非充分条件
D．既不充分也非必要条件
正确答案：B
解析：n个n维向量的线性相关性一般用行列式|α1，α2，…，αn|是否为零判断。因为|α1，α2，α3，α4|=当a=8时，行列式|α1，α2，α3，α4|=0，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，但a=2时仍有行列式|α1，α2，α3，α4|=0，所以a=8是向量组α1，α2，α3，α4线性相关的充分而非必要条件。 知识模块：线性代数