合肥工业大学线性代数习题册答案精品
合工大2005-2006第一学期《线性代数》试卷参考答案
2005-2006学年第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共计15分）1. 已知220340005A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=，那么1A -=32210100015⋅⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭- ； 2. 设A 是4阶方阵，()2R A =，*A 是A 的伴随矩阵，则*()R A = 0 ；3. 若齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ⎧⎪⎨⎪⎩++=++=++= (1)λ≠有非零解，则λ= －2 ；4. 设矩阵1104102A a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-与200010001B ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=相似，则a = 3 ； 5. 在多项式1210423()2332112x x f x x x-=中，4x 的系数是 －6 .二、选择题（每小题3分，共计15分）1. 设M 是n 阶方阵，若0M =，则矩阵M 中（ C ）.()A 必有一行元素全为0 ()B 必有两行元素对应成比例()C 必有一行向量是其余行向量的线性组合()D 任一行向量是其余行向量的线性组合2. 设,A B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是（ C ）.()A 若A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值和特征向量 ()B 若A 与B 相似，则A 与B 都相似于同一个对角阵()C 若A 与B 相似，则A 与B 等价()D 若A 与B 等价，则A 与B 相似3. 设123,,ξξξ是齐次线性方程组A =0x 的基础解系，则（ D ）也是A =0x 的基础解系。
()A 与123,, ξξξ等价的一个向量组 ()B 与123,,ξξξ等秩的一个向量组 ()C 122331,,--- ξξξξξξ ()D 122331,,+++ξξξξξξ4. 设3阶方阵A 有3个线性无关的特征向量，3λ=是A 的二重特征值， 则(3)R A E -=（ A ）.()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无法确定5. 设二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++，则下列结论正确的是( B ).()A f 是正定的 ()B f 的秩是2 ()C f 的秩是3 ()D f 的特征值是1,1,1三、（10分）计算n 阶行列式0000000000n a b a b D a b ba=.解 按第一列展开，得1110000000000000(1)00000000n n n n a b b a b ab D a b a b b aab+--=+-阶阶1111(1)(1)n n nnn n a a ab bb --++=⨯+=+-⨯- .四、（10分）求下列向量组的一个最大线性无关组1234(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7),(1,1,3)TTTT====-αααα并指出4 α能否被123,,ααα线性表示.解 因为()1234102110211021124102220222157305540001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 所以124,,ααα或134,, ααα是向量组1234,,,αααα的最大线性无关组。
合肥工业大学线性代数习题册答案专业知识讲座
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《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。
（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
合肥工业大学线性代数前四章课堂测验题
线性代数前四章课堂测验题以下各题写于答题卷并应有解答过程.（共30分作为平时成绩参考） 考试时间：5月16日（周四）晚7:30-9:301. （本题5分）求行列式22223333b c d a c d a b d a b c ab c da b c d a b c d ++++++++的值. 【解】将第二行加到第一行得()22222222333333331111b c d a c d a b d a b c a b c d a bc d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d ++++++++=+++ ()()()()()()()a b c d b a c a d a c b d b d c =+++------.2. （本题3分）设4阶矩阵234234(,,,),(,,,)A B αγγγβγγγ==---,其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且2,1,A B ==求行列式.A B - 方法：先矩阵运算，再做行列式运算【解】()234234234(,,,)(,,,),2,2,2A B αγγγβγγγαβγγγ-=----=-，()33234234234234,2,2,22,,,2,,,,,,A B αβγγγαβγγγαγγγβγγγ-=-=-=+-()3224A B =+=。
3. （本题10分）设矩阵1121,0102B C -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()1,T TA E CBC B --=其中E 为2阶单位矩阵，T C 表示C 的转置， 求矩阵A .方法：先做抽象矩阵的运算，具体计算放最后一步【解】()()[]()111TTT T TA E CBC B A C E C B B A C B B A B C B ---⎡⎤⎡⎤-=⇒-=⇒-=⇒=-⎣⎦⎣⎦111101110310121012121----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 注意：有同学由[]()1110112101TTA CB B AC B B ---⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=⇒=-== ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭10112101-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1123-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则错误很严重！ 4. （本题4分）已知,A B 均是3阶矩阵，将A 中第2行加至第1行得到矩阵1A ，将B 中第2列与第1列互换得到矩阵1B ，又知11100010001A B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求AB .【解】由题意121211,r r c c A A B B +↔−−−→−−−→，故11110010010,100001001A A B B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11111111110010110010110010010100010100010100001001001001001001A B AB AB A B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭110010110110010100100100001001001001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5. （本题12分）设矩阵111111111111kk A k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为何值时()3R A =？并在此种情况下求方程组0Ax =的一个基础解系. 【解】方法一：()()21111111111110101111111010100111111110011000311111110111k k k k k k k k k k A k k k k k k k k k kk k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3k =-时()3R A =；此时111310010101010100110011000000A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0Ax =的同解方程组为1424340,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩通解为11,11k k R ⎛⎫ ⎪ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭.方法二：()()311111131111111k k A k k k k==+-，()303R A A k =⇒=⇒=-（1k =舍去，此时()1R A =），3k =-时，3111111310011311010101011131001100111113000000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭0Ax =的同解方程组为1424340,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩通解为11,11k k R ⎛⎫⎪⎪∈ ⎪⎪⎝⎭.【思考】()1,1k R A ==时，0Ax =的同解方程组为12340x x x x +++=，得通解为123123111100,,,010001k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭任意。
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
线性代数习题册参考解答.docx
第一章行列式1、 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
(1) 1347265； (2) 〃(〃 —1)・・・321。
【解(1) r(1347265)=0 + 0 + 0 + 0 + 3 + l + 2 = 6,偶排列；(2) "〃(〃_1)...321] = 0 + ] + 2 + ... + (〃_1) = 〃(；1)。
当〃=4奴4女+ 1时，〃(〃；1)=2机4*—1),2机4* + 1)为偶数，即为偶排列；当〃 = 412,413时，丝* = (2*+1)(4*+ 1),(2*+1)(4*+ 3)为奇数,即为奇 排列。
■2、 用行列式定义计算2x x 1 21x1-1 f (X )=-- [3 2x1111%中『和r 的系数，并说明理由。
【解】由行列式定义可知：含b 有的项只能是主对角线元素乘积，故的系数为2； 含有尸的项只能是(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)的元素乘积项，而7(2134) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1,故/的系数为一1. ■2-512 --37-14 3、 求 =o45 -9 2 7 4-612【解】三角化法：2-5121-522 1-522 尸2+八1-12 0 6C[0 2-160 113D 4 =- _八3-211 1 0 3 0 113 0 2-16 r 4+r 211 0 60 1160 1161 -52 2 r3~2r 2 0 11 3r4~r 2 00 -3 00 0 31111 rk~r l0 10 0=120= 120o )l=2,3,40 0 100 0 0 1【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。
1 x 2q+C2 +•••+&n D"=(，-就1 x 2-mi=l1x21 0 0C k -X L C I 凡 q (»i) k=2,3,---,n1 —m ••- 01 0…-m【解】观察特点: 行和相等。
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题 （1） 二阶行列式2a ab bb=___________。
（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。
（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。
（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。
（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。
【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。
A -3；B -2；C 2；D 3。
（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。
A -1， B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。
A -70；B -63；C 70；D 82。
（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。
A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。
（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。
A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-•。
答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。
【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。
合工大2005 2006第一学期《线性代数》试卷参考答案
2005-2006学年第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共计15分）1. 已知220340005A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=，那么1A -=32210100015⋅⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ； 2. 设A 是4阶方阵，()2R A =，*A 是A 的伴随矩阵，则*()R A = 0 ；3. 若齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ⎧⎪⎨⎪⎩++=++=++= (1)λ≠有非零解，则λ= －2 ；4. 设矩阵11040102A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-与200010001B ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=相似，则a = 3 ；5. 在多项式1210423()2332112xx f x x x-=中，4x 的系数是 －6 .二、选择题（每小题3分，共计15分）1. 设M 是n 阶方阵，若0M =，则矩阵M 中（ C ）.()A 必有一行元素全为0 ()B 必有两行元素对应成比例()C 必有一行向量是其余行向量的线性组合()D 任一行向量是其余行向量的线性组合2. 设,A B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是（ C ）.()A 若A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值和特征向量 ()B 若A 与B 相似，则A 与B 都相似于同一个对角阵()C 若A 与B 相似，则A 与B 等价()D 若A 与B 等价，则A 与B 相似3. 设123,,ξξξ是齐次线性方程组A =0x 的基础解系，则（ D ）也是A =0x 的基础解系。
()A 与123,,ξξξ等价的一个向量组 ()B 与123,,ξξξ等秩的一个向量组 ()C 122331,,---ξξξξξξ ()D 122331,,+++ξξξξξξ4. 设3阶方阵A 有3个线性无关的特征向量，3λ=是A 的二重特征值， 则(3)R A E -=（ A ）.()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无法确定5. 设二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++，则下列结论正确的是( B ).()A f 是正定的 ()B f 的秩是2 ()C f 的秩是3 ()D f 的特征值是1,1,1三、（10分）计算n 阶行列式00000000000n a b a b D a b b a=.解 按第一列展开，得1110000000000000(1)00000000000000n n n n a b b a ba b D aba b b a a b +--=+-阶阶1111(1)(1)n n n n n n a a a b b b --++=⨯+=+-⨯- .四、（10分）求下列向量组的一个最大线性无关组1234(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7),(1,1,3)T T T T ====-αααα并指出4α能否被123,,ααα线性表示.解 因为()1234102110211021124102220222157305540001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 所以124,,ααα或134,,ααα是向量组1234,,,αααα的最大线性无关组。