八年级数学上册 《全等三角形常考题型总结》
新人教版八年级上册《全等三角形》知识点归纳总结
全等三角形一、知识要点：〔一〕全等变换：只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括以下三种：1、平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
2、对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
3、旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
〔二〕全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动〔或称变换〕使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
〔三〕全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。
二、题型分析：题型一： 考察全等三角形的定义例题：以下说法正确的选项是〔 〕A 、全等三角形是指形状相同的两个三角形 C 、全等三角形的周长和面积分别相等 C 、全等三角形是指面积相等的两个三角形 D 、所有的等边三角形都是全等三角题型二：考察全等三角形之间的关系——传递性例题：如果△ABC 和△DEF 全等，△DEF 和△GHI 全等，那么△ABC 和△GHI ______全等， 如果△ABC 和△DEF 不全等，△DEF 和△GHI 全等，那么△ABC 和△GHI ______全等．〔填“一定〞或“不一定〞或“一定不〞〕题型三：根据三角形全等求角例1：△ABC 中，∠BAC ∶∠ACB ∶∠ABC ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，那么∠DEF ＝______． 例2：如图，△ABN ≌△ACM ，AB=AC ，BN=CM ，∠B=50°，∠ANC=120°，那么∠MAC 的度数等于〔 〕A 、120°B 、70°C 、60°D 、50°第二节 三角形全等的判定一、知识要点：〔一〕三角形全等的判定公理及推论有：1、“边角边〞简称“SAS 〞2、“角边角〞简称“ASA 〞3、“边边边〞简称“SSS 〞4、“角角边〞简称“AAS 〞5、斜边和直角边相等的两直角三角形〔HL 〕。
初二年级数学八上第十二章全等三角形知识点总结复习及常考题型练习
第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
(3)全等三角形的周长相等、面积相等。
(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.证明两个三角形全等的基本思路：5.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等6.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.学习全等三角形应注意以下几个问题：(1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。
八年级数学上册 《全等三角形常考题型总结》
全等三角形题型总结题型一、一线三垂直1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，（1）求证：BD=AE。
（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，BD与AE边相等吗？为什么？（3）BD、CE与DE有何关系？2、如图，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆AC的高为3m，此人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间．27、王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC, ∠ABC=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．题型二、角平分线与全等1、如图所示，四边形ABCD中AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？请说明理由。
2.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F是OC上除点P、O外的一点，连接DF，EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．图题型三、旋转与全等1、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，（1）观察猜想BE与DC之间的大小关系，并证明你的结论。
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。
BACD E2、图17，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点M ，BD 交AC 于点N ． 证明：（1）BD ＝CE ； （2）BD ⊥CE ．图173、如图，ABC ∆为等边三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作等边三角形CDE ∆，连接AE ．（1）求证：CBD ∆≌CAE ∆．（2）判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由．4、如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.ABDCEF5、如图,把一个Rt△ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B按顺时针方向旋转60°,使得点C旋转到边AB上的一点D,点A旋转到点E的位置,F、G分别是BD、BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H .（1）求证：CF=DG；（2）求∠FHG的度数.6、如图16，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，请说明△ABC ≌△ADE的道理．7、如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．8、如图①A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD．（1）图①中有对全等三角形，并把它们写出来（2）求证：BD与EF互相平分于G；（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．第题型四、等腰三角形与全等1、如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段.2、有两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点．(1)不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？(2)连接BO，求证：BO平分∠ABD．3、在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：(1)△ABD≌△ACD；(2)BE＝CE．4、如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠PBQ的度数．5、如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连结点D，E，F，•得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．题型四、翻折与全等1.如图，已知∠3=∠4，∠1=∠2，求证：BE=DE.2、已知，如图，AD是△ABC的高，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，求证：AB=AC．3、如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.CA E DB4、如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、AE=BF、AC=BD，求证：△ACF≌△BDE.5、如图，PC=PD，QC=QD，PQ、CD相交于点E？(1) 根据以上条件，你能发现哪些全等三角形？(2) 你能证明PQ⊥CD吗？C。
人教版八年级数学上册专题复习证明三角形全等的常见题型
证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。
全等三角形重点题型(供参考)
全等三角形知识点总结知识点总结一、全等图形、全等三角形：1.全等图形：能够完全的两个图形确实是全等图形。
2.全等图形的性质：全等多边形的、别离相等。
3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角别离相等。
一样，若是两个三角形的边、角别离对应相等，那么这两个三角形全等。
说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。
那个地址要注意：（1）周长相等的两个三角形，不必然全等；（2）面积相等的两个三角形，也不必然全等。
二、全等三角形的判定：1.一样三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）。
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。
（3）两个角和它们的夹边别离对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。
（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。
2.直角三角形全等的判定利用一样三角形全等的判定都能证明直角三角形全等．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)．注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不必然全等。
3.性质一、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形相等。
(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)三、角平分线的性质及判定：性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。
判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。
四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的大体方式步骤：1.确信已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回忆三角形判定公理，弄清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。
初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习
初二全等三角形全部知识点总结和常考题知识点：1.基本定义：⑴全等形：能够完好重合的两个图形叫做全等形 . ⑵全等三角形：能够完好重合的两个三角形叫做全等三角形 . ⑶对应极点：全等三角形中相互重合的极点叫做对应极点 . ⑷对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边 . ⑸对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角 .2.基天性质：⑴三角形的稳固性：三角形三边的长度确立了，这个三角形的形状、大小就全确立，这个性质叫做三角形的稳固性 .⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判断定理：⑴边边边（ SSS）：三边对应相等的两个三角形全等 .⑵边角边（ SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 .⑶角边角（ ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 . ⑷角角边（ AAS）：两角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 . ⑸斜边、直角边（ HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 .4.角均分线：⑴画法：⑵性质定理：角均分线上的点到角的两边的距离相等 .⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的均分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证 . （包含隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角均分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵依据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证 . ⑶经过剖析，找出由已知推出求证的门路，写出证明过程 .常考题：一．选择题（共14 小题）1．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等2．如图，已知 AE=CF，∠ AFD=∠CEB，那么增添以下一个条件后，仍没法判断△ADF≌△ CBE的是（）A．∠ A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥ BC3．以下图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就依据所学知识画出一个与书上完好同样的三角形，那么这两个三角形完好同样的依照是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直均分线的交点D．三条角均分线的交点5．如图，△ ACB≌△ A′CB′，∠ BCB′=30°，则∠ ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°6．如图，直线l 1、 l 2、l 3表示三条相互交错的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1 处 B．2 处 C．3 处 D．4 处7．如图，AD是△ ABC中∠ BAC的角均分线， DE⊥ AB于点 E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则 AC长是（）A．3B．4C．6D．58．如图，在△ ABC和△ DEC中，已知 AB=DE，还需增添两个条件才能使△ABC≌△ DEC，不可以增添的一组条件是（）A．BC=EC，∠ B=∠E B． BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠ A=∠ D D．∠ B=∠ E，∠ A=∠D9．如图，已知在△ ABC中， CD是 AB边上的高线， BE均分∠ ABC，交 CD于点 E，BC=5，DE=2，则△ BCE的面积等于（）A．10 B．7C．5D．410．要丈量河两岸相对的两点A， B 的距离，先在 AB的垂线 BF上取两点 C，D，使 CD=BC，再定出 BF的垂线 DE，使 A，C，E 在一条直线上（以下图），能够说明△EDC≌△ ABC，得 ED=AB，所以测得 ED的长就是 AB的长，判断△ EDC≌△ ABC最适合的原因是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角11．如图，△ ABC的三边 AB，BC，CA长分别是 20，30， 40，其三条角均分线将△ ABC分为三个三角形，则 S△ABO： S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：512．尺规作图作∠ AOB的均分线方法以下：以 O为圆心，随意长为半径画弧交OA，P，OB于 C，D，再分别以点 C，D 为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点作射线 OP由作法得△ OCP≌△ ODP的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS13．以下判断正确的选项是（）A．有两边和此中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等14．如图，已知∠ 1=∠ 2， AC=AD，增添以下条件：①AB=AE；② BC=ED；③∠ C=∠ D；④∠ B=∠E．此中能使△ ABC≌△ AED的条件有（）A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个二．填空题（共11 小题）15．如图，在△ ABC中，∠ C=90°， AD 均分∠ CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点 D 到线段 AB的距离是cm．16．如图，△ ABC中，∠ C=90°， AD 均分∠ BAC， AB=5， CD=2，则△ ABD的面积是．17．如图为 6 个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠ 2+∠3=°．18．如图，△ ABC≌△ DEF，请依据图中供给的信息，写出x=．19．以下图，某同学把一块三角形的玻璃打坏成了三块，此刻要到玻璃店去配一块完好同样的玻璃，那么最省事的方法是带去玻璃店．20．如图，已知 AB∥CF，E 为 DF的中点，若 AB=9cm，CF=5cm，则 BD=cm．21．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°， E 是 BC的中点，DE均分∠ ADC，∠ CED=35°，如图，则∠ EAB是多少度？大家一同热情地议论交流，小英第一个得出正确答案，是度．22．如图，△ ABC≌△ ADE，∠ B=100°，∠ BAC=30°，那么∠ AED=度．23．以下图，将两根钢条 AA′， BB′的中点 O连在一同，使 A A′， BB′能够绕着点 O自由转动，就做成了一个丈量工具，则A′B′的长等于内槽宽 AB，那么判断△ OAB≌△ OA′B′的原因是．24．如图，在四边形 ABCD中，∠A=90°，AD=4，连结 BD，BD⊥CD，∠ ADB=∠ C．若P 是 BC边上一动点，则 DP长的最小值为．25．如图，△ ABC中，∠ C=90°， CA=CB，点 M在线段 AB上，∠ GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为 G，MG与 BC订交于点 H．若 MH=8cm，则BG=cm．三．解答题（共15 小题）26．已知：如图，C为 BE上一点，点 A，D 分别在 BE双侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证： AC=CD．27．已知：如图， OP是∠ AOC和∠ BOD的均分线， OA=OC，OB=OD．求证： AB=CD．28．已知，以下图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点 E，DF⊥AC于点 F，求证：DE=DF．29．如图， C是 AB的中点， AD=BE，CD=CE．求证：∠ A=∠B．30．已知：如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC， BC=DC，CF均分∠ BCD，DF∥AB，BF的延伸线交 DC于点 E．求证：（1）△ BFC≌△ DFC；（2） AD=DE．31．如图，已知， EC=AC，∠ BCE=∠ DCA，∠ A=∠E；求证： BC=DC．32．如图，把一个直角三角形 ACB（∠ ACB=90°）绕着极点 B 顺时针旋转 60°，使得点C 旋转到AB边上的一点D，点A 旋转到点E 的地点．F，G分别是BD，BE上的点， BF=BG，延伸 CF与 DG交于点 H．（1）求证： CF=DG；（2）求出∠ FHG的度数．33．已知，如图，△ ABC 和△ ECD都是等腰直角三角形，∠ ACB=∠DCE=90°，D 为 AB边上一点．求证： BD=AE．34．如图，点 M、 N 分别是正五边形ABCDE的边 BC、CD上的点，且BM=CN，AM交 BN于点 P．（1）求证：△ ABM≌△ BCN；（2）求∠ APN的度数．35．如图，四边形 ABCD中，E 点在 AD上，此中∠ BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ ABC与△ DEC全等．36．如图，△ ABC和△ ADE都是等腰三角形，且∠ BAC=90°，∠ DAE=90°， B，C，D在同一条直线上．求证： BD=CE．37．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，此中 AB=CB， AD=CD．对角线 AC，BD订交于点 O，OE⊥AB， OF⊥CB，垂足分别是 E，F．求证 OE=OF．38．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， CE⊥AB 于点 E， AD=AC，AF 均分∠CAB交CE于点 F，DF的延伸线交 AC于点 G．求证：（1）DF∥ BC；（ 2） FG=FE．39．如图：在△ ABC中，BE、CF分别是 AC、AB两边上的高，在 BE上截取 BD=AC，在 CF的延伸线上截取 CG=AB，连结 AD、AG．（ 1）求证： AD=AG；（ 2） AD与 AG的地点关系怎样，请说明原因．40．如图，已知△ ABC中， AB=AC=10cm， BC=8cm，点 D为 AB的中点．（ 1）假如点 P 在线段 BC上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C点运动，同时，点 Q在线段 CA上由 C 点向 A 点运动．①若点 Q的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1s 后，△BPD与△ CQP能否全等，请说明原因；②若点 Q的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使△ BPD与△ CQP全等？（ 2）若点 Q以②中的运动速度从点 C出发，点 P 以本来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q第一次在△ ABC 的哪条边上相遇？初二全等三角形全部知识点总结和常考题提升难题压轴题练习 ( 含答案分析 )参照答案与试题分析一．选择题（共14 小题）1．（2013? 西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等【剖析】利用全等三角形的判断来确立．做题时，要联合已知条件与三角形全等的判断方法逐一考证．【解答】解： A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不可以证明两三角形全等，故A 选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不可以证明两三角形全等，故B选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不可以得出两三角形全等，故 C 选项错误；D、两条边对应相等，假如两条直角边相等，可利用 SAS证全等；若向来角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故 D 选项正确．应选： D．【评论】本题考察了直角三角形全等的判断方法；三角形全等的判断有ASA、SAS、AAS、 SSS、HL，能够发现起码得有一组对应边相等，才有可能全等．2．（2013? 安顺）如图，已知AE=CF，∠ AFD=∠CEB，那么增添以下一个条件后，仍没法判断△ ADF≌△ CBE的是（）A．∠ A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥ BC【剖析】求出 AF=CE，再依据全等三角形的判断定理判断即可．【解答】解：∵ AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ ADF和△ CBE中∴△ ADF≌△ CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、依据 AD=CB，AF=CE，∠ AFD=∠ CEB不可以推出△ ADF≌△ CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ ADF和△ CBE中∴△ ADF≌△ CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵ AD∥BC，∴∠ A=∠ C，∵在△ ADF和△ CBE中∴△ ADF≌△ CBE（ASA），正确，故本选项错误；应选 B．【评论】本题考察了平行线性质，全等三角形的判断的应用，注意：全等三角形的判断定理有 SAS， ASA，AAS，SSS．3．（2014 秋? 江津区期末）以下图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就依据所学知识画出一个与书上完好同样的三角形，那么这两个三角形完全同样的依照是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【剖析】依据图象，三角形有两角和它们的夹边是完好的，所以能够依据“角边角”画出．【解答】解：依据题意，三角形的两角和它们的夹边是完好的，所以能够利用“角边角”定理作出完好同样的三角形．应选 D．【评论】本题考察了三角形全等的判断的实质运用，娴熟掌握判断定理并灵巧运用是解题的重点．4．（2007? 中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直均分线的交点D．三条角均分线的交点【剖析】因为角的均分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角均分线的交点．【解答】解：∵角的均分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角均分线的交点．应选： D．【评论】该题考察的是角均分线的性质，因为角的均分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角均分线的交点，易错选项为 C．5．（2011? 呼伦贝尔）如图，△ ACB≌△ A′CB′，∠ BCB′=30°，则∠ ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【剖析】本题依据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．【解答】解：∵△ ACB≌△ A′CB′，∴∠ ACB=∠A′CB′，即∠ ACA′ +∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，∴∠ ACA′=∠B′CB，又∠ B′CB=30°∴∠ ACA′=30°．应选： B．【评论】本题考察了全等三角形的判断及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．6．（2000? 安徽）如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交错的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1 处 B．2 处 C．3 处 D．4 处【剖析】到三条相互交错的公路距离相等的地址应是三条角均分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角均分线的交点以及三个外角两两均分线的交点都知足要求．【解答】解：知足条件的有：（1）三角形两个内角均分线的交点，共一处；（2）三个外角两两均分线的交点，共三处．应选： D．【评论】本题考察了角均分线的性质；这是一道生活联系实质的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角均分线，很简单遗漏外角均分线，解答时必定要注意，不要漏解．7．（ 2014? 遂宁）如图，AD是△ ABC中∠ BAC的角均分线， DE⊥AB于点 E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则 AC长是（）A．3B．4C．6D．5【剖析】过点 D 作 DF⊥AC于 F，依据角均分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再依据 S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点 D 作 DF⊥AC于 F，∵AD是△ ABC中∠ BAC的角均分线， DE⊥AB，∴ DE=DF，由图可知， S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得 AC=3．应选： A．【评论】本题考察了角均分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的重点．8．（2013? 铁岭）如图，在△ ABC和△ DEC中，已知 AB=DE，还需增添两个条件才能使△ ABC≌△ DEC，不可以增添的一组条件是（）A．BC=EC，∠ B=∠E B． BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠ A=∠ D D．∠ B=∠ E，∠ A=∠D【剖析】依据全等三角形的判断方法分别进行判断即可．【解答】解：A、已知 AB=DE，再加上条件 BC=EC，∠ B=∠E 可利用 SAS证明△ABC ≌△ DEC，故此选项不合题意；B、已知 AB=DE，再加上条件 BC=EC，AC=DC可利用 SSS证明△ ABC≌△ DEC，故此选项不合题意；C、已知 AB=DE，再加上条件 BC=DC，∠ A=∠D不可以证明△ ABC≌△ DEC，故此选项切合题意；D、已知 AB=DE，再加上条件∠ B=∠E，∠ A=∠D 可利用 ASA证明△ ABC≌△DEC，故此选项不合题意；应选： C．【评论】本题考察三角形全等的判断方法，判断两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL．注意： AAA、 SSA 不可以判断两个三角形全等，判断两个三角形全等时，一定有边的参加，如有两边一角对应相等时，角一定是两边的夹角．9．（2015? 湖州）如图，已知在△ ABC中， CD是 AB边上的高线， BE均分∠ ABC，E，BC=5，DE=2，则△ BCE的面积等于（）交 CD于点A．10 B．7C．5D．4【剖析】作 EF⊥ BC于 F，依据角均分线的性质求得EF=DE=2，而后依据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作 EF⊥BC于 F，∵BE均分∠ ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴ EF=DE=2，∴ S△BCE=BC? EF=×5×2=5，应选 C．【评论】本题考察了角的均分线的性质以及三角形的面积，作出协助线求得三角形的高是解题的重点．10．（ 1998? 南京）要丈量河两岸相对的两点 A，B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D，使 CD=BC，再定出 BF的垂线 DE，使 A，C，E 在一条直线上（以下图），能够说明△ EDC≌△ ABC，得 ED=AB，所以测得 ED的长就是 AB的长，判断△ EDC≌△ ABC最适合的原因是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角【剖析】由已知能够获得∠ ABC=∠BDE，又 CD=BC，∠ ACB=∠ DCE，由此依据角边角即可判断△ EDC≌△ ABC．【解答】解：∵ BF⊥AB， DE⊥BD∴∠ ABC=∠BDE又∵ CD=BC，∠ ACB=∠ DCE∴△ EDC≌△ ABC（ASA）应选 B．【评论】本题考察了全等三角形的判断方法；需注意依据垂直定义获得的条件，以及隐含的对顶角相等，察看图形，找着隐含条件是十分重要的．11．（2017? 石家庄模拟）如图，△ABC的三边 AB，BC，CA长分别是 20，30，40，S△ABO：S△BCO： S△CAO等于（）其三条角均分线将△ABC分为三个三角形，则A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【剖析】利用角均分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是 20，30，40，所以面积之比就是 2：3：4．【解答】解：利用同高不一样底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．应选 C．【评论】本题主要考察了角均分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式特别重要的．12．（ 2009? 鸡西）尺规作图作∠ AOB的均分线方法以下：以 O 为圆心，随意长为半径画弧交 OA，OB于 C，D，再分别以点 C，D 为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 OP由作法得△ OCP≌△ ODP的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【剖析】仔细阅读作法，从角均分线的作法得出△ OCP与△ ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形切合 SSS判断方法要求的条件，答案可得．【解答】解：以 O为圆心，随意长为半径画弧交 OA， OB于 C，D，即OC=OD；以点 C，D 为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点 P，即CP=DP；∴在△ OCP和△ ODP中，∴△ OCP≌△ ODP（SSS）．应选： D．【评论】本题考察三角形全等的判断方法，判断两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL．注意： AAA、 SSA 不可以判断两个三角形全等，判断两个三角形全等时，一定有边的参加，如有两边一角对应相等时，角一定是两边的夹角．13．（ 2002? 河南）以下判断正确的选项是（）A．有两边和此中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等【剖析】判断两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA、AAS、HL，对照选项进行剖析．【解答】解： A、只有两个三角形同为锐角三角形或许钝角三角形或许直角三角形时，才能建立；B、30°角没有对应关系，不可以建立；C、假如这个角是直角，此时就不建立了；D、切合全等三角形的判断方法：AAS或许 ASA．应选 D．【评论】本题要求对全等三角形的几种判断方法娴熟运用，会对特别三角形全等进行剖析判断．14．（2006? 十堰）如图，已知∠ 1=∠ 2，AC=AD，增添以下条件：①AB=AE；② BC=ED；③∠ C=∠ D；④∠ B=∠ E．此中能使△ABC≌△ AED的条件有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【剖析】∠1=∠ 2，∠ BAC=∠ EAD，AC=AD，依据三角形全等的判断方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠ 1=∠ 2， AC=AD，由∠ 1=∠ 2 可知∠BAC=∠EAD，加① AB=AE，就能够用 SAS判断△ ABC≌△ AED；加③∠ C=∠D，就能够用 ASA判断△ ABC≌△ AED；加④∠ B=∠E，就能够用 AAS判断△ ABC≌△ AED；加② BC=ED不过具备 SSA，不可以判断三角形全等．此中能使△ ABC≌△ AED的条件有：①③④应选： B．【评论】本题考察三角形全等的判断方法，判断两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要依据已知条件在图形上的地点，联合判断方法，进行增添．二．填空题（共11 小题）15．（2006? 芜湖）如图，在△ ABC中，∠C=90°，AD均分∠ CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点 D 到线段 AB的距离是 3 cm．【剖析】求 D 点到线段 AB的距离，因为 D 在∠ BAC的均分线上，只需求出 D 到AC的距离 CD即可，由已知可用 BC减去 BD可得答案．【解答】解： CD=BC﹣BD，=8cm﹣5cm=3cm，∵∠ C=90°，∴D到 AC的距离为 CD=3cm，∵ AD均分∠ CAB，∴D点到线段 AB的距离为3cm．故答案为： 3．【评论】本题考察了角均分线的性质；知道并利用 CD是 D点到线段 AB的距离是正确解答本题的重点．16．（2013? 邵东县模拟）如图，△ ABC中，∠C=90°，AD均分∠ BAC，AB=5，CD=2，则△ ABD的面积是 5 ．【剖析】要求△ ABD的面积，有 AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的均分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是 2，则可求得面积．【解答】解：∵∠ C=90°， AD均分∠ BAC，∴点 D 到 AB的距离 =CD=2，∴△ ABD的面积是 5× 2÷ 2=5．故答案为： 5．【评论】本题主要考察了角均分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意剖析思路，培育自己的剖析能力．17．（ 2016 秋 ? 宁城县期末）如图为 6 个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3= 135°．【剖析】察看图形可知∠ 1 与∠ 3 互余，∠ 2 是直角的一半，利用这些关系可解本题．【解答】解：察看图形可知：△ ABC≌△ BDE，∴∠ 1=∠ DBE，又∵∠ DBE+∠3=90°，∴∠ 1+∠3=90°．∵∠ 2=45°，∴∠ 1+∠ 2+∠3=∠1+∠3+∠2=90° +45°=135°．故填 135．【评论】本题综合考察角均分线，余角，要注意∠ 1 与∠ 3 互余，∠ 2 是直角的一半，特别是察看图形的能力．18．（2013? 柳州）如图，△ABC≌△ DEF，请依据图中供给的信息，写出 x= 20．【剖析】先利用三角形的内角和定理求出∠ A=70°，而后依据全等三角形对应边相等解答．【解答】解：如图，∠ A=180°﹣ 50°﹣ 60°=70°，∵△ ABC≌△ DEF，∴EF=BC=20，即 x=20．故答案为： 20．【评论】本题考察了全等三角形的性质，依据角度确立出全等三角形的对应边是解题的重点．19．（2009? 杨浦区二模）以下图，某同学把一块三角形的玻璃打坏成了三块，此刻要到玻璃店去配一块完好同样的玻璃，那么最省事的方法是带③ 去玻璃店．【剖析】本题就是已知三角形损坏部分的边角，获得本来三角形的边角，依据三角形全等的判断方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保存了原三角形的一个角和部分边，依据这两块中的任一块均不可以配一块与本来完好同样的；第三块不单保存了本来三角形的两个角还保存了一边，则能够依据 ASA来配一块同样的玻璃．应带③去．故答案为：③．【评论】这是一道考察全等三角形的判断方法的开放性的题，要修业生将所学的知识运用于实质生活中，要仔细察看图形，依据已知选择方法．20．（2015 秋? 西区期末）如图，已知 AB∥ CF，E 为 DF的中点，若 AB=9cm，CF=5cm，则 BD= 4 cm．【剖析】先依据平行线的性质求出∠ ADE=∠EFC，再由 ASA可求出△ ADE≌△CFE，依据全等三角形的性质即可求出 AD的长，再由 AB=9cm即可求出 BD的长．【解答】解：∵ AB∥CF，∴∠ ADE=∠EFC，∵∠ AED=∠FEC，E 为 DF的中点，∴△ ADE≌△ CFE，∴AD=CF=5cm，∵ AB=9cm，∴BD=9﹣ 5=4cm．故填 4．【评论】本题考察的是平行线的性质、全等三角形的判断定理及性质，比较简单．21．（ 2009 秋? 南通期末）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠ B=∠ C=90°，E 是 BC的中点，DE均分∠ ADC，∠CED=35°，如图，则∠ EAB是多少度？大家一同热情地议论沟通，小英第一个得出正确答案，是35度．【剖析】过点 E 作 EF⊥AD，证明△ ABE≌△ AFE，再求得∠ CDE=90°﹣35°=55°，即可求得∠ EAB的度数．【解答】解：过点 E 作 EF⊥AD，∵DE均分∠ADC，且E 是BC的中点，∴ CE=EB=EF，又∠ B=90°，且AE=AE，∴△ ABE≌△ AFE，∴∠ EAB=∠EAF．又∵∠ CED=35°，∠ C=90°，∴∠ CDE=90°﹣ 35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠ EAB=35°．【评论】三角形全等的判断是中考的热门，一般以考察三角形全等的方法为主，判断两个三角形全等，先依据已知条件或求证的结论确立三角形，而后再依据三角形全等的判断方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（ 2012 秋? 合肥期末）如图，△ ABC≌△ ADE，∠ B=100°，∠ BAC=30°，那么∠ AED= 50 度．【剖析】先运用三角形内角和定理求出∠ C，再运用全等三角形的对应角相等来求∠ AED．【解答】解：∵在△ ABC中，∠ C=180﹣∠ B﹣∠ BAC=50°，又∵△ ABC≌△ ADE，∴∠ AED=∠C=50°，∴∠ AED=50度．故填 50【评论】本题考察的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．是需要识记的内容．23．（2015 秋? 蒙城县期末）以下图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一同，使A A′，BB′能够绕着点O自由转动，就做成了一个丈量工具，则A′B′的长等于内槽宽 AB，那么判断△ OAB≌△ OA′B′的原因是 SAS ．【剖析】已知二边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．【解答】解：∵ OA=OA′， OB=OB′，∠ AOB=∠A′OB′，∴△ OAB≌△ OA′B′（ SAS）所以原因是 SAS．【评论】本题考察了三角形全等的应用；依据题目给出的条件，要察看图中有哪些相等的边和角，而后判断所选方法，题目不难．24．（ 2011? 河南）如图，在四边形 ABCD中，∠ A=90°， AD=4，连结 BD，BD⊥ CD，∠ ADB=∠C．若 P 是 BC边上一动点，则 DP长的最小值为 4 ．【剖析】依据垂线段最短，当DP垂直于 BC的时候， DP的长度最小，则联合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ ABD=∠ CBD，由角均分线性质即可得AD=DP，由 AD的长可得 DP的长．【解答】解：依据垂线段最短，当DP⊥BC的时候， DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠ BDC=90°，又∠ A=90°，∴∠ A=∠ BDC，又∠ ADB=∠C，∴∠ ABD=∠CBD，又 DA⊥BA，BD⊥DC，∴ AD=DP，又 AD=4，∴ DP=4．故答案为： 4．【评论】本题主要考察了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角均分线的性质，解题的重点在于确立好 DP垂直于 BC．25．（ 2015? 鄂尔多斯）如图，△ ABC中，∠ C=90°， CA=CB，点 M在线段 AB上，∠GMB=∠ A，BG⊥ MG，垂足为 G，MG与 BC订交于点 H．若 MH=8cm，则 BG= 4 cm．【剖析】如图，作 MD⊥ BC于 D，延伸 DE交 BG的延伸线于 E，建立等腰△BDM、全等三角形△ BED 和△ MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等获得： BE=MH，所以 BG=MH=4．【解答】解：如图，作 MD⊥BC于 D，延伸 MD交 BG的延伸线于 E，∵△ ABC中，∠ C=90°， CA=CB，∴∠ ABC=∠A=45°，∵∠ GMB=∠A，∴∠ GMB=∠A=°，∵BG⊥MG，∴∠ BGM=90°，∴∠ GBM=90°﹣° =°，∴∠ GBH=∠EBM﹣∠ ABC=°．∵MD∥AC，∴∠ BMD=∠A=45°，∴△ BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠ GBH=°，∴GM均分∠BMD，而 BG⊥ MG，∴BG=EG，即 BG=BE，∵∠ MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠ MHD=∠E，∵∠ GBD=90°﹣∠ E，∠ HMD=90°﹣∠ E，∴∠ GBD=∠HMD，∴在△ BED和△ MHD中，，∴△ BED≌△ MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是： 4．【评论】本题考察了全等三角形的判断与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“ SAS”、“ ASA”、“ AAS”；全等三角形的对应边相等．也考察了等腰直角三角形的性质．三．解答题（共15 小题）26．（ 2008? 北京）已知：如图， C 为 BE上一点，点 A，D 分别在 BE双侧，AB∥ ED，AB=CE， BC=ED．求证： AC=CD．【剖析】依据 AB∥ED 推出∠ B=∠E，再利用 SAS 判断△ ABC≌△ CED从而得出AC=CD．【解答】证明：∵ AB∥ED，∴∠ B=∠ E．在△ ABC和△ CED中，，∴△ ABC≌△ CED．∴AC=CD．【评论】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需增添协助线，且全等的条件都很显然．27．（2007? 北京）已知：如图，OP是∠ AOC和∠ BOD的均分线， OA=OC，OB=OD．求证： AB=CD．【剖析】依据角均分线的性质得出∠ AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，从而推出∠AOB= ∠ COD，再利用 SAS判断其全等从而获得 AB=CD．【解答】证明：∵ OP是∠ AOC和∠ BOD的均分线，∴∠ AOP=∠COP，∠ BOP=∠DOP．∴∠ AOB=∠COD．在△ AOB和△ COD中，．∴△ AOB≌△ COD．∴AB=CD．【评论】本题考察三角形全等的判断方法，以及全等三角形的性质．判断两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题比较简单，读已知时就能想到要用全等来证明线段相等．28．（ 2014? 黄冈）已知，以下图，AB=AC，BD=CD，DE⊥ AB于点 E，DF⊥ AC于点 F，求证： DE=DF．【剖析】连结 AD，利用 SSS获得三角形 ABD与三角形 ACD全等，利用全等三角形对应角相等获得∠EAD=∠FAD，即AD 为角均分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角均分线定理即可得证．【解答】证明：连结 AD，在△ ACD和△ ABD中，，∴△ ACD≌△ ABD（SSS），∴∠ EAD=∠FAD，即 AD均分∠ EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴ DE=DF．【评论】本题考察了全等三角形的判断与性质，以及角均分线定理，娴熟掌握全等三角形的判断与性质是解本题的重点．29．（ 2013? 常州）如图， C是 AB的中点， AD=BE，CD=CE．求证：∠ A=∠B．【剖析】依据中点定义求出AC=BC，而后利用“ SSS”证明△ ACD和△ BCE全等，再依据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵ C是 AB的中点，∴AC=BC，在△ ACD和△ BCE中，，∴△ ACD≌△ BCE（SSS），∴∠ A=∠ B．【评论】本题考察了全等三角形的判断与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．30．（2008? 重庆）已知：如图，在梯形 ABCD中，AD∥ BC，BC=DC，CF均分∠ BCD，DF∥AB， BF的延伸线交 DC于点 E．求证：（1）△ BFC≌△ DFC；（2） AD=DE．。
全等三角形的重难点模型(八大题型)(解析版)—八年级数学上册(浙教版)
全等三角形的重难点模型（八大题型）【题型01：平移型】【题型02：翻折型】【题型03：旋转型】【题型04：一线三等角型（三类型）】【题型05：手拉手模型（四大类型）】【题型06：半角模型】【题型07：对角互补模型】【题型08：平行+线段中点构造全等模型】【题型1 平移型】【方法技巧】【典例1】如图，点E，C在线段BF上，AB=DE，BE=CF，AC=DF．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠B=45°，∠F=85°，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理,解题的关键是熟练运用全等三角形的判定．（1）首先根据BE=CF可得BC=EF，即可判定△ABC≌△DEF；（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得∠ACB=∠F=85°，在△ABC中根据三角形内角和定理即可求出∠A．【详解】（1）证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，∴在△ABC和△DEF中，AB=DE AC=DF BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠B=45°，∠F=85°，∴∠ACB=∠F=85°，∴∠A=180°―∠ACB―∠B=50°．【变式1-1】如图、点B、E、C、F在一条直线上AB=DE，AC=DF，BE=CF．(1)求证：∠A=∠D；(2)求证：AC∥DF．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键．（1）由题中条件，利用两个三角形全等的判定定理SSS得到△ABC≌△DEF，再由三角形全等的性质即可得证；（2）由（1）中△ABC≌△DEF得到∠ACB=∠F，再由同位角相等两直线平行即可得证．【详解】（1）证明：∵BE=CF，∴BC=FE，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE AC =DF BE =CF∴△ABC≌△DEF (SSS)，∴∠A =∠D ；（2）证明：由（1）知△ABC≌△DEF ，∴ ∠ACB =∠F ，∴ AC∥DF ．【变式1-2】如图，在△ABC 和 △DEF 中，边AC ，DE 交于点H ，AB∥DE ，AB =DE ，BC =EF ．(1)若∠B =55°，∠ACB =100°，求∠CHE 的度数；(2)求证：△ABC≌△DEF ．【答案】(1)∠CHE =25°；(2)证明见解析．【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理求出∠A ，再根据平行线的性质得出∠CHE =∠A 即可；（2）根据平行线的性质得出∠B =∠DEF ，求出BC =EF ，再根据全等三角形的判定定理推出即可；【详解】（1）解：∵∠B =55°，∠ACB =100°，∴∠A =180°―∠B ―∠ACB =25°，∵AB∥DE ，∴∠CHE =∠A =25°；（2）证明：∵AB∥DE ，∴∠B =∠DEF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ∠B =∠DEF BC =EF∴△ABC≌△DEF (SAS)．【变式1-3】如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，∠A =∠D =90°，BE =CF ，AC =DF ．求证：∠B =∠DEF ．【答案】答案见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键即可得到答案．根据BE =CF 得到BE +EC =EC +CF 即BC =FE ，之后利用HL 证明Rt △ABC≌Rt △DFE 即可得到答案．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +EC =EC +CF ，即BC =FE ．∵∠A =∠D =90°，则在Rt △ABC 和Rt △DFE 中，BC =FE AC =DE ，∴Rt △ABC≌Rt △DFE(HL)．∴∠B =∠DEF ．【题型2 翻折型】【方法技巧】【典例2】如图，AB=AD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．【变式2-1】如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC=BD【答案】证明见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等的判定定理AAS 得到△ABC≌△BAD (AAS)，再由三角形全等性质即可得证，熟练掌握两个三角形全等判的定定理AAS 及性质是解决问题的关键．【详解】证明：在△ABC 与△BAD 中，∠1=∠2∠C =∠D AB =AB，∴△ABC≌△BAD (AAS)，∴AC =BD ．【变式2-2】如图，已知AD 平分∠BAC ，AB =AC ．求证：△ABD≌△ACD ．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据AD 平分∠BAC ，可得∠BAD =∠CAD ，再根据边角边可证明△ABD≌△ACD ．【详解】证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD =∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，∵AB =AC ，∠BAD =∠CAD ，AD =AD ，∴△ABD≌△ACD (SAS)．【变式2-3】如图，AB =AC ，BO =CO ，求证：∠ADC =∠AEB ．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接OA ，证明△AOB≌△AOC (SSS)得出∠B =∠C ，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】证明：如图，连接OA ，在△AOB 和△AOC 中，AB =AC OB =OC OA =OA，∴△AOB≌△AOC (SSS)，∴∠B =∠C ，∵∠DOB =∠EOC ，∴∠B +∠DOB =∠C +∠EOC ，∴∠ADC =∠AEB ．【题型3旋转型】【方法技巧】【典例3】如图，在△ABC 和△AEF 中，点E 在BC 边上，∠C ＝∠F ，AC ＝AF ，∠CAF ＝∠BAE ，EF 与AC 交于点G ．（1）试说明：△ABC ≌△AEF ；（2）若∠B ＝55°，∠C ＝20°，求∠EAC 的度数．【答案】（1）见解答；（2）35°．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，即∠BAC＝∠EAF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（ASA）；（2）解：∵∠B＝55°，∠C＝20°，∴∠BAC＝180°﹣55°﹣20°＝105°，∵△ABC≌△AEF，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝55°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝70°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝105°﹣70°＝35°．【变式3-1】如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：AB＝AD．【答案】证明见解答．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AB＝AD．【变式3-2】如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠BAC＝∠ADE．（1）求证：△ABC≌△DEA；（2）若∠CAD＝30°，求∠BCD的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BCD＝105°．【解答】（1）证明：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAE．在△ABC和△DEA中，∵，∴△ABC≌△DEA（AAS）．（2）解：由（1）知△ABC≌△DEA（AAS），∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝30°，∴，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+75°＝105°．∴∠BCD＝105°．【变式3-3】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS）．【变式3-4】如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE．【答案】见解答．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE．在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．【题型4 一线三等角型】【方法技巧】模型一一线三垂直如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
人教版八年级数学上册第12章全等三角形知识点复习总结及常考题型练习.doc
第十二章一、：：二、：：1.：：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.：：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.理解：：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
(3)全等三角形的周长相等、面积相等。
(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3.全等三角形的判定定理：：⑴边边边（ SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（ SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等..4.：：5.：：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等6.：：⑴明确命题中的已知和求证. （包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.：：(1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。
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全等三角形题型总结
题型一、一线三垂直
1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，（1）求证：BD=AE。
（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，BD与AE边相等吗？为什么？（3）BD、CE与DE有何关系？
2、如图，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆AC的高为3m，此人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间．
27、王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC, ∠ABC=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
题型二、角平分线与全等
1、如图所示，四边形ABCD中AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？请说明理由。
2.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F是OC上除点P、O外的一点，连接DF，EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
图
题型三、旋转与全等
1、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，（1）观察猜想BE与DC之间的大小关系，并证明你的结论。
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。
B
A
C
D E
2、图17，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点M ，BD 交AC 于点N ． 证明：（1）BD ＝CE ； （2）BD ⊥CE ．
图17
3、如图，ABC ∆为等边三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作等边三角形
CDE ∆，连接AE ．
（1）求证：CBD ∆≌CAE ∆．
（2）判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由．
4、如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关
系.
A
B
D
C
E
F
5、如图,把一个Rt△ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B按顺时针方向旋转60°,使得点C旋转到边AB上的一点D,点A旋转到点E的位置,F、G分别是BD、BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H .
（1）求证：CF=DG；
（2）求∠FHG的度数.
6、如图16，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，请说明△ABC ≌△ADE的道理．
7、如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，
求证：△ABD≌△AEC．
8、如图①A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD．
（1）图①中有对全等三角形，并把它们写出来
（2）求证：BD与EF互相平分于G；
（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．
第
题型四、等腰三角形与全等
1、如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段.
2、有两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点．
(1)不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
(2)连接BO，求证：BO平分∠ABD．
3、在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
求证：(1)△ABD≌△ACD；(2)BE＝CE．
4、如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度数．
5、如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连结点D，E，F，•得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．。