《一元二次方程》全章复习与巩固(提高) 知识精讲
九年级数学一元二次方程全章复习首师大版知识精讲
初三数学一元二次方程全章复习首师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 一元二次方程全章复习1. 一元二次方程的概念、解法及其应用。
2. 可转化为一元二次方程的分式方程和无理方程。
3. 一元二次方程的根的判别式。
4. 一元二次方程的根与系数的关系及其应用。
5. 二元二次方程组的解法。
二. 重点、难点：重点：本章重点是一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系。
难点：难点是一元二次方程中的隐含条件，分类讨论。
【例题分析】一、对“元、次”概念的理解：例1. 关于x 的一元二次方程kx 2+(2k-1)x+k=0有实数根，求k 的取值X 围。
分析：注意隐含条件：二次项系数不等于0。
解：∆.≥⎧⎨⎩⇒--≥⎧⎨⎪⎩⎪⇒≤⎧⎨⎪⎩⎪⇒≤002140014014022k k k k k k k k ≠≠≠且≠()，∴的取值范围是且≠k k k ≤140。
隐含条件题目的表达方式：（1）关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，含义是一元二次方程；（2）关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0，含义是一元二次方程，隐含a ≠0；（3）关于x 的方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，含义是一元二次方程，隐含a ≠0。
例已知关于的方程有实根，求的取值范围。
2. x ()()a x a x a 2212110-+++= 分析：注意二次项系数要分类讨论，二次项系数为0时，是一元一次方程，若二次项系数不为0时，是一元二次方程。
解：（）当≠，即≠±时，11012a a -∆=[+]--=+≥214188022()()a a a∴a ≥-1∴且≠a a >-11（）当，即±时，21012a a -==当时，a x ==-114当时，方程无解a =-1∴当时，方程有实根。
a =1 综合（1）、（2），a 的取值X 围是a>-1。
二、对“方程的解”概念的理解： 1. 方程的解与根的区别：只有一元方程的解也叫做根，多元方程只叫做解。
一元二次方程全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m＝±1，又∵m－1≠0，∴m≠1，故m＝－1.【总结升华】依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(2)310mm x mx---=是关于x的一元二次方程，求m的值．【答案】根据题意得22,20,mm⎧=⎪⎨-≠⎪⎩解得所以当方程2(2)310mm x mx--=是关于x的一元二次方程时，2m=-．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x---=； (2)225(3)9x x-=-； (3)2(21)4(21)40x x++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴116 7x=，24 3x=． (2)25(3)(3)(3)x x x-=+-，25(3)(3)(3)0x x x--+-=，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴13x=，292x=．(3)2(21)4(21)40x x++++=，∴2(212)0x++=．即2(23)0x+=，∴1232x x==-．【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x2-10x； (2)x2-3x＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x＝0，∴15x=-，232x=-．(2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴13x=，21x=．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根；②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠． 综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时,方程无实数根. 【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围. 【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．已知关于x 的方程222(2)0x m x m --+=，试探求：是否存在实数m 使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】存在．设方程两根为x 1、x 2，根据题意，得122(2)x x m +=-，212x x m =，221256x x +=， 而222121212()2x x x x x x +=+-，于是有[]222(2)256m m --=，整理得28200m m --=， 解这个方程得110m =， 22m =-，当10m =时，△＝ 2224[2(2)]41440b ac m m -=---=-<， 当2m =-时，△＝2224[2(2)]4480b ac m m -=---=>， 所以符合条件的m 的值为-2．【总结升华】由两个实数根的平方和等于56，列出关系式，再由根与系数关系求出m的值，通过判别式去验证m值是否符合题意，从而得出结论.举一反三：【变式】已知关于x的方程2(1)(23)10k x k x k-+-++=有两个不相等的实数根1x、2x．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k-+-=-+>，所以1312k<．由k-1≠0，得k≠1.当1312k<且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则12231kx xk -+=-=-，解得32k=．当32k=时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根．所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C 地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B 地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.【答案与解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得54(4)2040460x xx x++=-+解之,得x1=16，x2=－2.经检验：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.∴当x=16时，x+4=20.答：甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.【总结升华】注意解题的格式，解分式方程应用题要双检验，即验根、符合题意.举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
一元二次方程练习教案：巩固知识点,提高解题技巧
一元二次方程练习教案：巩固知识点，提高解题技巧一元二次方程是中学数学中的重要内容，在高中阶段也会有更加深入的学习。
对于中学数学学习者而言，熟练地掌握一元二次方程的解法以及对于方程的各项系数以及解的含义的理解非常重要。
同时，一元二次方程在各种实际问题中也有着广泛的应用，比如在物理学、化学、经济学等领域都有着重要的地位。
本文将着重介绍如何巩固自己的一元二次方程解题技巧。
一、复习知识点在进行一元二次方程的练习之前，需要复习方程的基本知识点。
具体而言，大家需要掌握如下内容：1、什么是一元二次方程？一元二次方程是指形如ax²+bx+c = 0的方程，其中x为未知数，a、b、c为已知系数且a ≠ 0。
2、怎样求一元二次方程的解？（1）因式分解法：针对某些特殊的一元二次方程，可以利用因式分解的方法解出其解。
比如，x²-5x+6 = 0就可以利用因式分解的方法解得x=2或x=3。
（2）配方法：利用配方法可以将一元二次方程化为完成平方式或差平方式，从而更容易求出方程的解。
（3）公式法：根据求根公式可以得到一元二次方程的解。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可以表示为：$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$3、一元二次方程有哪些性质？（1）定理1：对于一个一元二次方程ax²+bx+c，如果a>0，则方程存在解的情况下，其解的个数为1或2。
（2）定理2：对于一个一元二次方程ax²+bx+c，如果其有实数根，则其解的判别式D=b²-4ac≥0。
（3）定理3：对于一个一元二次方程ax²+bx+c，如果其有实数根，则其解的求法如下：①当D>0时，其实数根为x1,x2或x2,x1，其中x1,x2为$$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$$$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$②当D=0时，方程有唯一实根为$$x=\frac{-b}{2a}$$③当D<0时，方程无实根。
初三数学 一元二次方程复习知识精讲 华东师大版
初三数学 一元二次方程复习知识精讲 华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第23章 一元二次方程复习复习目标：⑴了解一元二次方程的有关概念．⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、•因式分解法解一元二次方程． ⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．⑷知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题．⑸能运用一元二次方程解决简单的实际问题．⑹了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．二. 基础知识回顾1. 方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．例如：一元二次方程7x －3＝2x 2化成一般形式是________•其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．2. 解一元二次方程的一般解法有⑴_________；⑵________；⑶•_________；•⑷•求根公式法，•求根公式是______________．3. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．例如：不解方程，判断下列方程根的情况：⑴x （5x ＋21）＝20 ⑵x 2＋9＝6x ⑶x 2－3x ＝－54. 设一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝_______，x 1·x 2＝______．例如：方程x 2＋3x －11＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________；x 1·x 2＝_______．5. 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝•_______，•x 1·x 2＝________．三. 重点讲解1. 了解一元二次方程的概念，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，即①是整式方程；②化简后只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2. 解一元二次方程时，应根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．3 .一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式正反都成立．利用其可以⑴不解方程判定方程根的情况；⑵根据参系数的性质确定根的X 围；⑶解与根有关的证明题．4. 一元二次方程根与系数的应用很多：⑴已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；⑵已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；⑶已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．5. 能够列出一元二次方程解应用题．能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程．6. 本章解题思想总结：⑴转化思想转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．⑵从特殊到一般的思想从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．⑶分类讨论的思想一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．四. 易错点点拨易错点1：对一元二次方程的定义的理解．判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉．易错点2：一元二次方程的一般形式．在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将一元二次方程化为一般形式．易错点3：关于解一元二次方程时的易错点．⑴是在解形如“2x x =”这样的方程时，千万不能在方程左右两边都除以x ，从而造成方程丢根；⑵用配方法时，当二次项的系数不为1时，应将二次项系数化为1，再将方程左边配成完全平方式；⑶利用公式法求一元二次方程的解时，要先判断24b ac -必须非负才能求解；⑷利用因式分解法求一元二次方程的解时，方程右边一定要变为0．易错点4：在用一元二次方程解决有关实际问题时，注意运用转化思想，如图形问题中，如何通过平移，旋转等变换把不规则的图形转化为规则的图形．另外，对于增长率问题，要把握基础数与总数的关系．特别地，一元二次方程的两个解，一定要会判断检验其是否符合实际意义．【典型例题】考点1：一元二次方程的概念及一般形式相关知识：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx ＋c ＝0（a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．复习策略：准确理解一元二次方程的定义，一元二次方程首先是整式方程，然后是经过化简后能得到一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程．例1. ⑴下列方程是关于x 的一元二次方程的是 （ ）A.23(1)2(1)x x +=+ B.21120x x+-= C.20ax bx c ++= D.2221x x x +=-⑵方程215x x -=的一次项的系数是． 分析：⑴选A ．因为B 选项含有分式，不是一元二次方程；C 选项由于a 的取值不确定，有可能等于0，不一定是一元二次方程；D 选项化简后是一元一次方程．⑵确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将方程化为一般形式．解：⑴选A ．⑵5或－5．【评注】概念性的问题关键是抓住概念的本质．一元二次方程必须符合三个条件：①是整式方程；②化简后只含一个未知数；③未知数的最高次数为2．考点2：一元二次方程的解相关知识：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，或叫做一元二次方程的根．复习策略：要判断一个值是否是一元二次方程的解，只要将这个值代入一元二次方程，看看方程左右两边是否相等即可．相等，则是方程的解；反之，则不是．例2. 如果关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，求m 的值． 分析：根据方程的解的意义可知，当x ＝0时，方程左右两边相等，此题即是求当x ＝0时，m 的值．但同时一定要记住，当方程是一元二次方程时，二次项系数不为0这一前提条件，即m －2≠0．解：将x ＝0 代入方程中，得： 22(2)03040m m -⨯-⨯+-=，整理得：24m =，2m =±．∵方程为关于x 的一元二次方程，∴m －2≠0，即 m ≠2∴m 的值为－2．【评注】已知方程的解确定方程中的待定系数的值，是逆向思维的运用，有时将方程的解代入方程中，可能还会出现含两个待定系数的方程，这时要注意整体思想方法的运用．考点3：了解方程并判定方程根的情况相关知识：一元二次方程根的判别：⑴当24b ac ->0时，方程有两个不相等的实数根；⑵当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根；⑶当24b ac -<0时，方程没有实数根．反之也成立．复习策略：要掌握一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程判别根的情况；②根据方程解的情况确定系数的取值X 围；③求解与根有关的综合题．例3. ⑴（2007某某市）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根⑵（2007某某某某）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值X 围是（ ）A. m <lB. m >－1C. m >lD. m <－1分析：⑴判定一元二方程的根的情况，一种方法是根据乘方的定义，即任何一个数的平方都是非负数来确定；另一种方法就是根据“Δ＝24b ac -”的值来确定．⑵一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值X 围．解：⑴因为方程Δ＝24b ac -＝2(2)41(1)--⨯⨯-＝8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选B ；⑵根据一元二次方程根的判别式可得：2(2)4m --＜0 ，解得：m ＞l ，故选C ．【评注】一元二次方程根的判别式的运用，是一正一反的过程，在运用时，一定要明确是确定方程的根的情况还是根据根的情况确定字母系数的值或X 围，从而选择正用还是逆用．考点4：解一元二次方程相关知识：我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法．而解一元二次方程的关键是判断方程的特点，选择最佳解题方法，其基本思想是“ 降次”，把二次转化为一次．这四种方法各有千秋，在解一元二次方程时可根据方程的特点，选用最佳解法．复习策略：灵活选用一元二次方程的解法，可从以下几点考虑：⑴对于形如x 2＝a （a ≥0）或（mx －n ）2＝a （m ≠0， a ≥0）的方程，可根据平方根的意义，用直接开平方的方法求解．⑵如果一元二次方程缺少常数项，或方程的右边为0，左边很容易分解因式，可考虑用因式分解法．⑶当一元二次方程的二次项系数为1，一次项的系数是偶数时，可考虑使用配方法． ⑷如果用以上几种方法都不易求解时，可考虑用公式法求解．例4. 解下列方程：⑴（x ＋1）2＝12⑵（2x ＋1） （3x －1）＝1⑶2x （x ＋2）＋1＝0⑷16－x 2－4x ＝0⑸3（x －2）2＝x （x －2）解析：⑴方程形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0），所以选用直接开平方法解简便．另外，把方程整理成一般形式之后，如果一次项系数等于零，也选用直接开平方法来解．用直接开平方法：得 x ＋1x 1－1， x 2＝ －1． ⑵方程整理为 6x 2＋x －2＝0；其左边可分解成（2x －1）（3x ＋2），所以选用因式分解法．当然，如果方程中常数项为零，一次项系数不为零也可用因式分解法．用因式分解法：（2x －1）（3x ＋2）＝0 ∴x 1＝12，x 2＝－23． ⑶方程整理成一般形式：2x 2＋4x ＋1＝0；左边不能在有理数X 围内因式分解，所以选用公式法简便．用公式法：∵b 2－4ac ＝42－4×2×1＝8，∴x ＝2b a -±1±2⑷方程整理为 x 2＋4x －16＝0；由于不易分解，且系数简单，可选用配方法，当然也可用公式法．（此题用配方法写解题过程）整理方程得：x 2＋4x ＝16 配方得x 2＋4x ＋4＝16＋4 （x ＋2）2＝20 则x ＋2＝±∴x 1＝2， x 2＝ －2．⑸观察方程特点，方程左右两边都有因式（x －2），当然用因式分解法了．由3（x －2）2＝x （x －2）得3（x －2）2－x （x －2）＝0 因式分解为得（x －2）[3（x －2）－x]＝0∴x －2＝0或2x －6＝0， ∴x 1＝2， x 2＝3．由以上解析可以这样来总结：解一元二次方程，首先要把原方程变形为一般形式，然后计算b 2－4ac ，最后考虑用何种方法求解．如果b 2－4ac 是完全平方数，则用因式分解法，如果b 2－4ac 不是完全平方数且大于零，则用公式法，配方法实际是公式法的推导过程，因此，除题目要求，一般不用配方法．例5. 解方程：⑴（2007）解方程：2410x x +-=．⑵（2007某某某某）解方程：x 2＋3＝3（x ＋1）．分析：⑴根据计算：Δ＝24b ac -＝20，其值不是完全平方数，所以不宜用因式分解法，因此，可考虑配方法或公式法来解．⑵方程先化成一般形式x 2－3x ＝0，再分析，很明显用因式分解法．解：⑴配方，得：（x ＋2）2＝5，解得：x 1＝－2x 2＝－2；⑵原方程化为：x 2－3x ＝0，解得：1x ＝0，2x ＝3【评注】一元二次方程的四种解法用哪一种解法最简便，是因题而异的，解题步骤也不是如上面总结一成不变的，必须经过对题目的观察与分析，才能选择适当方法，使解题过程简捷．考点5：根据根与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值相关知识： 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为已知数，a ≠0，240b ac -≥）的两个实数根为12,x x ，则ac x x ,a b x x 2121=-=+．即：一元二次方程两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的商的相反数；两个根的积等于常数项除以二次项系数的商．复习策略：根与系数的关系存在的前提是：①a≠0，即方程一定是一元二次方程；②b 2－4ac≥0，即方程一定有实数根．根据新课标的要求，在课改实验区的中考试题中，运用一元二次方程根与系数的关系的考题主要是求与方程的根有关的代数式的值的题型．例6. ⑴（2007某某某某）若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足2121x x x x =+．则k 的值为（ ）（A ）－1或34（B ）－1 （C ）34（D ）不存在 ⑵（2007某某德阳）阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a+=-，a c x x 21=．根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______ 分析：以上所选的两道中考题，属于同一种类型，即都是根据一元二次方程根与系数的关系，分别求得12x x +和12x x 的值，⑴是利用方程思想求字母系数k 的值，特别要注意一元二次方程一定有实数根这一前提条件的检验．⑵是求代数式2112x x x x +的值时，要先转化为含有12x x +和21x x ⋅的形式．解：⑴由题意，得：12x x +＝－k ，21x x ＝243k -，再代入2121x x x x =+，得：－k＝243k -，即：2430k k +-=，所以(1)(43)0k k +-=，解得k 的值为－1或34； 又∵k ＝－1时，方程为：210x x -+=，该方程无解，∴舍去．故选C ．⑵因为2112x x x x +＝221212x x x x +＝2121212()2x x x x x x +-，再将12x x +=－6和3x x 21=代入，得：原式＝36233-⨯＝10． 【评注】不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含12x x +，21x x ⋅的形式，然后把12x x +，21x x ⋅的值代入，即可求出所求代数式的值．常见的代数式变形有：①222121212()2x x x x x x +=+-②12121211x x x x x x ++= ③212122221212()211()x x x x x x x x +-+=④22112121212()2x x x x x x x x x x +-+=⑤12x x -=考点6： 一元二次方程的应用相关知识：应用一元二次方程解决实际问题的步骤：在日常生活实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程这个模型来进行求解，然后回到实际问题中去进行解释和检验．首先要把实际问题加以分析，抽象成数学问题，然后用数学知识去解决它．应用一元二次方程解决实际问题的步骤可归结为：“设、找、列、解、验、答”：⑴设：是指设未知数，可分为直接设和间接设．所谓直接设，就是指问什么设什么；在直接设未知数比较难列出方程或者列出的方程比较复杂时，可考虑间接设未知数．⑵找：是指读懂题目，审清题意，明确已知条件和未知条件，找出它们之间的等量关系．⑶列：就是指根据等量关系列出方程．⑷解：就是求出所列方程的解．⑸验：分为两步．一是检验解出的数值是否是方程的解，二是检验方程的解是否符合实际情况．⑹答：就是书写答案，一定要遵循“问什么答什么，怎么问就怎么答”的原则． 以上几个步骤中，审题是基础，找出等量关系是解决问题的关键，能否恰当设元直接影响着列方程和解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步．复习策略：1. 一元二次方程解应用题应注意：⑴写未知数时必须写清单位，用对单位；列方程时，方程两边必须单位一致；答必须写清单位．⑵注意语言和代数式的转化，要把用语言给出的条件用代数式表示出来．2. 常见的应用题：⑴几何图形的面积问题：这类问题的面积公式是等量关系，如果图形不规则，应分割或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程．⑵平均增长（降低）率问题：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新的数据，解这类问题需牢记公式2(1)a x b +=或2(1)a x b -=，其中a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长或降低率，b 表示后来得到的数据，“＋”表示增长，“－”表示降低．[方法·规律]：⑴解此类问题所列的方程，一般用直接开平方法求解．⑵增长率不能为负数，降低率不能大于1．⑶营销问题：解决此类问题首先要清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、打折、利润、利润率等以及它们之间的等量关系．[梳理·总结]：此类问题常见的等量关系是：“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品的利润×销售数量，100⨯售价－进价利润率＝％进价” 例7. （2007某某省）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取2≈1.41）分析：此题是平均增长率问题，相等关系是“2008年的利用率达到60%”．对于每年产出的农作物秸杆的总量，可以作为1，也可以设一个未知数，在解题中会自然约去．解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a ，合理利用量的增长率是x ，由题意得： 30%a （1＋x ）2＝60%a ，即（1＋x ）2＝2，∴x 1≈0.41，x 2≈－2.41（不合题意舍去）．∴x ≈0.41.答：我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%．例8. 一块矩形耕地大小尺寸如图1，如果修筑同样宽的两条“之”字形的道路，如图1所示，余下的部分作为耕地．要使耕地的面积为540m 2，道路的宽应是多少？分析：在面积问题中有一些计算题，如采用平移的方法适当改变图形的形状，可以给解决问题带来意想不到的美妙效果．此题如不采用“平移法”，很难人手．若把“之”字道路平移一下位置，变为图2，则此题即可迎刃而解．图1 图2解：设道路的宽应是x 米，依题意得：(20)(32)540x x --=整理得：2521000x x -+=解得：12250x x ==，（不符合题意，舍去）答：道路的宽应是2米．【评注】方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型，在运用一元二次方程解决实际问题时，要注重对数量关系的分析，要有意识地弄清各数量之间的变化规律，用相应的数学知识和我们已有的经验去解决问题．考点7：一元二次方程中考阅读理解题例析与一元二次方程相关的阅读理解问题，是近几年的一种新题型，由于这类问题有助于培养学生的阅读理解能力、创新意识，而备受大家的关注，现略举几例与同学们共赏析． 例9. （2006年某某某某市）阅读下面的例题：解方程：x 2—|x|—2＝0解：（1）当x ≥0时，原方程化为x 2—x —2＝0，解得：x 1＝2，x 2＝—1（不合题意，舍去）．（2）当x <0时，原方程化为x 2＋x —2＝0，解得：x 1＝1（不合题意，舍去），x 2＝—2∴原方程的根是x 1＝2，x 2＝—2．请参照例题解方程x 2—|x —3|—3＝0，则此方程的根是．分析：本题首先请阅读例题的解法，再仿照其方法解类似的一元二次方程．解：当x —3≥0时，原方程化为x 2—x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1均不合题意，舍去． 当x —3<0时，原方程化为x 2＋x —6＝0，解得x 1＝2，x 2＝—3．∴原方程的根是x 1＝2，x 2＝—3．故填2，—3．点评：认真看懂例题的解题方法是关键．例10. （2006年某某某某市）先阅读，再填空解题：（1）方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝－3，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝－12；（2）方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32； （3）方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝， x 2＝．则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝；根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、21x x ⋅与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．分析：本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第3个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系．解：（3）.25—3,25321=+=x x .1,32121=•=+x x x x 猜想.,—2121mp x x m n x x =•=+ ∵一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0，且m ，n ，p 为常数）的两个实数根是.24,242221mmp n n x m mp n n x —————=+= ∴m n m mp n n m mp n n x x ——————=++=+24242221， .4)4()(242422222221m p m mp n n m mp n n m mp n n x x ==•+=•———————点评：本题是探索一元二次方程根与系数之间的关系．关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0，且m ，n ，p 为常数）的两根为x 1，x 2，那么.,—2121m p x x m n x x =•=+由方程（1），（2），（3）的根与系数的关系特点，通过观察、比较、猜想发现一般性规律，并进行验证，培养同学们由特殊到一般的数学思想方法．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、（2007某某市）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根2、（2007某某某某）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m的取值X 围是（ ）A. m<lB. m>－1C. m>lD. m<－13、（2007某某内江）用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A. 2(2)2x -=B. 2(2)2x +=C. 2(2)2x -=-D. 2(2)6x -= 4、（2007某某某某）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A. x 2＋4＝0B. 4x 2－4x ＋1＝0C. x 2＋x ＋3＝0D. x 2＋2x －1＝05、（2007某某某某）某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A. 200（1＋a%）2＝148B. 200（1－a%）2＝148C. 200（1－2a%）＝148D. 200（1－a 2%）＝1486、（2007某某某某）已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值X 围是（ ）A. m ＞－1B. m ＜－2C. m ≥0D. m ＜07、（2007某某某某）如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）A. 2B. －2C. 4D. －4二、填空题1、（2007某某）已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x2、（2007某某眉山）关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______.3、（2007某某某某）方程220x x -=的解是.4、（2007某某某某）已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =5、（2007某某某某）已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿． 6、（2007某某某某）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。
九年级上册第21章一元二次方程全章复习人教版
已知关于x的一元二次方程
x2-6x+2k-1=0有两个相
等的实数根，求k的值及方程的根. 例2 关于x的一元二次方程 (m-1)x2-2x+1=0.
的矩形？能围成一个面积为101 cm2的矩形吗？如 (2) 按照计划，求2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率.
3. 用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm 若关于x的一元二次方程 (m-1)x2+x+m2-1=0有一根为0，则m=
② 一元二次方程根的概念. 一元二次方程的实际应用
若计划到2020年底，全省5G基站的数量是2019年的 倍；
③ 选用适当的方法解方程. △<0 方程无实数根.
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) 计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？ 列方程 增长 (降低) 率问题 ∵方程有一个根小于1， 分析: 设2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x. 若计划到2020年底，全省5G基站的数量是2019年的 倍； (2) 若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 到2022年底，全省5G基站的数量将达到17.
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根； (2) 若方程有一个根小于1，求k的取值范围.
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
【精品 教案】北师大版 九年级上册数学《一元二次方程》全章复习与巩固-教师版(基础篇)
《一元二次方程》全章复习与巩固【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.不为0．要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【思路点拨】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B；练习：关于x的方程22(28)(2)10a a x a x--++-=,当a时为一元一次方程；当a时为一元二次方程.【答案】a=4；a≠4且a≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x2-4x-1=0； (4) (1-)x2=(1+)x．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x 1=，x 2=. (4)将方程整理，得(1-)x 2-(1+)x=0 用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x 1=0，x 2=-3-2．练习：解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t ＝1. 【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴ 123x =，21x =．(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0． ∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0．∴ 11t =，212t =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ． a ＞1 C ． a ≤1 D ． a ＜1 【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0， ∴a ≥1．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+g ，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．练习：已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm ，由题意得4x 2＝10×8×(1-80%)．解得x 1＝2，x 2＝-2．经检验，x 1＝2符合题意，x 2＝-2不符合题意舍去． ∴ x ＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm ．练习：（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少 m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．（2016•新疆）一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（ ） A ．（x ﹣3）2=14 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=14 D ．（x+3）2=43．（2015•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ） A ．2% B ． 5% C ． 10% D ． 20% 4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（ ）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+4 5．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．k ＜0 B ．k ≤0 C ．k ≠1且k ≠0 D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 2 7．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定 8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．且D ．且二、填空题9．（2016•连云港）已知关于x 的方程x 2+x+2a ﹣1=0的一个根是0，则a= ．10．（2014秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ．11．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一个根为0，则a = . 12．阅读材料：设一元二次方程似20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=g ，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为________．15．问题1：设a、b是方程x2＋x－2012＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为；问题2：方程x2－2x－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1―1）（x2―1）＝；问题3：已知一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根为x1、x2且x1x2（x1＋x2）＝3，则m的值是；问题4：已知一元二次方程x2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X1,X2，且X1+3X2=3,则m 的值是 .16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】A【解析】x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14，故选：A．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A；【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△. 8．【答案】B；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9.【答案】．【解析】根据题意得：0+0+2a﹣1=0，解得a=．10．【答案】15m，10m；【解析】设留空宽度为xm，则（20﹣2x）（15﹣2x）=20×15×，整理得：2x2﹣35x+75=0，即（2x﹣5）（x﹣15）=0，解得x1=15，x2=2.5，∵20﹣2x＞0，∴x＜10，∴x=2.5，∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ．11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得1a =±,因为10a -≠，所以1a =-. 12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系，然后由待求式2112x x x x +变形为2221212121212()2x x x x x x x x x x ++-=，再整体代换． 具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3．而222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解. 14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程2320x x --=的两实数根， ∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴ 222222112211221212123(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+-= 15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=34.【解析】由于a ，b 是方程x 2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a 2+a-2012=0，然后把a 2+2a+b 可以变为a 2+a+a+b ，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%； 【解析】设该校捐款的平均年增长率是x ，则，整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x ，则个位数字为（5－x ）， 由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x ］=736. 整理,得x 2－5x+6=0,解得x 1=2,x 2=3. 当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m ≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y= －10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。
一元二次方程复习与巩固
一元二次方程复习与巩固撰稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、知识网络二、目标认知学习目标了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；熟练掌握以上知识解决问题．重点1.一元二次方程及其有关的概念；2.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．难点1.一元二次方程配方法解题．2.用公式法解一元二次方程时的讨论．3.建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．关键1.分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2.用配方法解一元二次方程的步骤．3.解一元二次方程公式法的推导．三、知识要点梳理教材内容1．本单元教学的主要内容一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用一元二次方程是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是初中数学的重点内容．知识点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识点二、一元二次方程的解法1．直接开方法；2．配方法；用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.3．公式法；(1)一元二次方程求根公式：一元二次方程，当时，.(2)一元二次方程根的判别式．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.(3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.4．因式分解法；(1)用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.(2)常用因式分解法：提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.知识点三、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，或将一个量表示两遍，由此得到方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；答(切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题.知识点四、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.四、规律方法指导1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．3．一元二次方程(a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．。
专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【知识梳理】1．一元二次方程的有关概念：（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．（2）配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为20++=（a≠0）的形式；ax bx c②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．（3）公式法：把x b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3.一元二次方程根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4.一元二次方程根与系数的关系：（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+ x2=-p，x1x2=q反过来可得p=-（x1+ x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，反过来也成立，x1+ x2=—ba ，x1x2=ca（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【典例剖析】【考点1】一元二次方程的定义【例1】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）若（m+3）x|m|−1−(m−3）x−5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）A．3B．﹣3C．±3D．±2【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义得出方程即可求出答案．【详解】解：由题意可知：|m|−1=2m+3≠0，解得：m=3，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．【变式1.1】（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．a x2+bx+c=0B．x2−4=(x+3)2C．x2+3x−5=0D．3x(x−4)=0【变式1.2】（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）关于x的方程(a+2)x a2−2−3x−1=0是一元二次方程，则a的值是（ ）A．a=±2B．a=−2C．a=2D．a为任意实数【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义得a2−2=2且a+2≠0，求解即可．【详解】解：由题意，得a2−2=2且a+2≠0，解得：a=2，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程．【变式1.3】（2022·江苏南通·八年级期末）若关于x的方程(a−1)x2+x=0是一元二次方程，则a的范围是（）A．a=1B．a>1C．a≠1D．a<1【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，结合“关于x的方程（a-1）x2+2x-1=0是一元二次方程”，得到关于a的不等式，解之即可．【详解】解：∵关于x的方程（a-1）x2+x=0是一元二次方程，∴a-1≠0，解得：a≠1．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．【考点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2022·浙江温州·八年级期末）把一元二次方程x(2x−1)=x−3化为一般形式，正确的是（）A．2x2+3=0B．2x2−2x−3=0C．2x2−x+2=0D．2x2−2x+3=0【答案】D【分析】将方程整理为一般式即可．【详解】解：x(2x−1)=x−3，2x2−x=x−3，即2x2−2x+3=0．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式的形式为a x2+bx+c=0(a≠0)是解题的关键．【变式2.1】（2022·全国·九年级单元测试）将一元二次方程（x+1）（x+2）＝0化成一般形式后的常数项是___．【答案】2【分析】首先利用多项式乘法计算方程的左边，可化为x2+3x+2=0，进而可得到常数项．【详解】解：（x+1）（x+2）=0，x2+3x+2=0，常数项为2，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式．【变式2.2】（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程(2+x)(3x−4)=5化为一般形式为______，它的二次项是_______，一次项是_______，常数项是_______．【答案】3x2+2x−13=03x22x−13【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算方程等号的左边，再移项、合并同类项即可化为一般形式，由此即可得出答案．【详解】解：(2+x)(3x−4)=5，去括号，得6x−8+3x2−4x=5，移项、合并同类项，得3x2+2x−13=0，则一元二次方程(2+x)(3x−4)=5化为一般形式为3x2+2x−13=0，它的二次项是3x2，一次项是2x，常数项是−13，故答案为：3x2+2x−13=0，3x2，2x，−13．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式是a x2+bx+c=0（a,b,c都是常数且a≠0）．在一般形式中a x2是二次项，bx是一次项，c是常数项．【变式2.3】（2022·山东淄博·八年级期末）关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为__．【答案】-3【分析】先将一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和不含一次项得出m−3≠0且m2−9=0，继而求解即可．【详解】解：(m−3)x2+m2x=9x+5，(m−3)x2+m2x−9x−5=0，(m−3)x2+(m2−9)x−5=0，∵一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，∴m−3≠0且m2−9=0，解得：m=−3，故答案为：−3．【点睛】本题考查了一元二次方程化为一般式和一元二次方程的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．【考点3】一元二次方程的根【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为_____．【答案】2020【分析】把x=−1代入方程a x2+bx−1=0(a≠0)得a−b=1，再把2022−2a+2b变形为2022−2(a−b)，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：把x=−1代入方程a x2+bx−1=0(a≠0)得a−b−1=0，∴a−b=1，∴2022−2a+2b=2022−2(a−b)=2022−2×1=2022−2=2020．故答案为：2020．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【变式3.1】（2022·广西崇左·八年级期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个根，则a的值为_________．【答案】1【分析】根据一元二次方程根的定义，将x=1代入x2+ax−2=0，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】将x=1代入该方程，得：1+a−2=0，解得：a=1．故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．【变式3.2】（2022·浙江绍兴·八年级期末）若a是方程2x2−x−5=0的一个根，则代数式2a−4a2+1的值是_________．【答案】-9【分析】由题意可得2a2-a=5，再由2a-4a2+1=-2（2a2-a）+1，即可求解．【详解】解：∵a是方程2x2-x-5=0的一个根，∴2a2-a-5=0，∴2a2-a=5，∴4a2-2a=10，∴2a-4a2+1=-10+1=-9，故答案为：-9．【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，恰当的变形是解题的关键．【变式3.3】（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为_____．【答案】-2【分析】将x=a代入原方程，再整理，即可求出a+b的值．【详解】∵a是该方程的根，∴a2+ab+2a=0．∵a≠0，∴a+b+2=0，即a+b=−2．故答案为：-2．【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．【考点4】一元二次方程的解法—配方法选填题【例4】（2022·西藏·江达县第二初级中学校九年级期末）将一元二次方程x2−6x−6=0配方后可写为________．【答案】(x−3)2=15【分析】根据配方法要求即可变形．【详解】解：x2−6x−6=0，x2−6x+9=15，(x−3)2=15．故答案为：(x−3)2=15．【点睛】本题考查了一元二次方程的变形，属于简单题，熟悉完全平方公式是解题关键．【变式4.1】（2022·山东烟台·八年级期末）把一元二次方程x2−4x−8=0化成(x−m)2=n的形式，则m+n的值为________．【答案】14【分析】将一元二次方程进行配方，即可对应得到m和n的值．【详解】解：x2−4x−8=0，即x2−4x=8，∴x2−4x+4=12，即(x−2)2=12，∴m=2，n=12，∴m+n=14，故答案为：14．【点睛】本题考查配方法，利用完全平方公式对方程进行配方时，注意运算准确．【变式4.2】（2022·四川宜宾·九年级期末）将方程x2−mx+8=0用配方法化为（x−3)2=n，则m+n的值是_______．【答案】7【分析】将方程（x−3)2=n化成一般式得x2-6x+9-n=0，根据两方程对应项系数相等求出m、n的值，即可求解．【详解】解：∵（x−3)2=n，∴x2-6x+9-n=0，∵x2−mx+8=0，∴-m=-6，9-n=8，则m=6，n=1．∴m+n=6+1=7故答案为：7．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值，能够把完全平方式化成一般式是解此题的关键．【变式4.3】（2022·山东威海·八年级期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．【答案】-9【分析】先将原式进行配方后即可得出m，n的值，再代入计算即可．【详解】解：x2+6x+3=x2+6x+9−6=(x+3)2−6，∵(x+3)2≥0，∴x2+6x+3≥−6，即当x=−3时，二次三项式x2+6x+3的最小值为-6，∴m=−3,n=−6，∴m+n=−3−6=−9，故答案为：-9．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确进行配方是解答本题的关键．【考点5】一元二次方程的解法—因式分解法选填题【例5】（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）一元二次方程(2x−3)2＝9(x+1)2的根为x1＝_____，x2＝_____．【答案】 0 ﹣6【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】解：(2x−3)2＝9(x+1)2，(2x−3)2﹣[3(x+1)]2＝0，[（2x﹣3）+3（x+1）][（2x﹣3）﹣3（x+1）]＝0，﹣5x（x+6）＝0，﹣5x＝0或x+6＝0，解得x1＝0，x2＝﹣6．故答案为：0；﹣6．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．【变式5.1】（2021·四川·荣县一中九年级阶段练习）x2=2x的根为_____．【答案】x1=0，x2=2【分析】移项后利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵x2=2x∴x2−2x=0，∴x(x−2)=0，∴x＝0或x−2＝0，解得x1=0，x2=2，故答案为：x1=0，x2=2【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式5.2】（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程x2−5x+6=0的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△ABC斜边长为___．公式是解题的关键．【变式5.3】（2021·河南·邓州市城区第五初级中学校.九年级阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2−(a−b)2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=_____．【答案】﹣3或4【分析】利用新定义得到[(m+2)+(m−3)]2−[(m+2)−(m−3)]2=24，整理得到(2m−1)2−49=0，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：根据题意得[(m+2)+(m−3)]2−[(m+2)−(m−3)]2=24，∴(2m−1)2−52−24=0，∴(2m−1)2−49=0，∴（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）=0，∴2m﹣1+7=0或2m﹣1﹣7=0，解得m1=﹣3，m2=4．故答案为：﹣3或4．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．【考点6】一元二次方程的解法—解答题【例6】（2022·山东省泰安南关中学八年级期中）解下列方程(1)2x2−4x+1=0（用配方法）；(2)3x2−4x−1=0（公式法）；程：(1)x2＋4x＋1＝13（配方法）；(2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法）；(3)（x＋1）2＝3（x＋1）(4)（x﹣3）（x＋2）＝6(1)2x2+2x=1(2)2x2−3x−5=0材料：解含绝对值的方程：x2−3|x|−10=0．解：分两种情况：（1）当x≥0时，原方程化为x2−3x−10=0，解得x1=5，x2=﹣2（舍去）；（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得x1=﹣5，x2=2（舍去）；综上所述，原方程的解是x1=5，x2=﹣5．问题：仿照上面的方法，解方程：x2−2|2x+3|+9=0．【例7】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x(x−2)=k．(1)若k=3，求此方程的解；(2)当k≥−1时，试判断方程的根的情况．【答案】(1)x1=3,x2=−1(2)此时该方程总有两个实数根【分析】（1）将k=3代入，然后利用直接开方法求解即可；（2）将方程化简为一般式，然后利用根的判别式求解即可．（1）解：当k=3时，方程为x(x−2)=3∴x2−2x=3∴x2−2x+1=3+1∴(x−1)2=4∴x−1=±2∴x1=3,x2=−1；（2）由一元二次方程x(x−2)=k得x2−2x−k=0，∴Δ=(−2)2−4×1×(−k)=4+4k∵k≥−1∴4+4k≥0，∴此时该方程总有两个实数根．【点睛】题目主要考查利用直接开方法求解一元二次方程及其根的判别式，熟练掌握运用一元二次方程的相关知识点是解题关键．【变式7.1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+(2a+1) x+2=0．(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【答案】(1)见解析(2)a=0【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证；（2）表示出根的判别式，让其值为9求出a的值即可．（1）∵Δ=(2a+1)2−4×(a−1)×2=(2a−1)2+8，∵(2a−1)2≥0，∴Δ=(2a−1)2+8>0，∴此方程一定有两个不相等的实数根；（2）Δ=(2a−1)2+8=9，∴(2a−1)2=1，∴a1=0，a2=1，∵a≠1，∴a=0，【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根的情况之间的关系是解本题的关键．【变式7.2】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程p x2+(2p+1)x+(p−1)=0有两个不相等的实根，判断关于x的方程x2−3x−2p=0的根的情况．x+2k+2=0(k≠0)．(1)求证：无论x取何值，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两根都是整数，求整数k的值．【例8】（2022·广西玉林·二模）关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−2k+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为x1、x2，且x2+x22+x1x2=19，求k的值．1【答案】(1)见解析；(2)k=6或k=-2．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再将它们代入x21+x22+x1x2=19，即可求出k的值．（1）∵b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）由根与系数关系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，∵x21+x22+x1x2=19，∴(x1+x2)2−x1x2=19，∴(k−3)2−（−2k+2）=19，即k2−4k−12=0，解得：k=6或k=-2．9＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2满足x1＋x2＝12，请求出方程的两根．=0．【变式8.2】（2022·山东淄博·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k−2(1)判断该方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k的值．【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析x+m=0，(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)若x1，x2是原方程的两根，且1x1+1x2=−2，求m的值．【点睛】此题考查了一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系是本题的关键．【考点9】配方法的综合应用【例9】（2022·福建·福州十八中八年级期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝(x+3)2﹣4∵(x+3)2≥0∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5x﹣1＝(x+a)2+b，则ab的值是_______．(2)求证：无论x取何值，代数式x2+7的值都是正数；(3)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．解如下：x2−6x−7=x2−6x+9−9−7=(x−3)2−16=(x−3+4)(x−3−4)=(x+1)(x−7)(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2−8x+7因式分解．(2)拓展：当代数式x2+2xy−3y2=0时，求x的值．y【答案】(1)(x−1)(x−7)(2)1或-3【分析】（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；（2）将方程左边因式分式后求出x与y的关系，求出结果即可．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16−16+7=(x−4)2−9=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x−3最小值．x2+2x−3=x2+2x⋅1+12−12−3=(x+1)2−4∵(x+1)2≥0∴当x=－1时，x2+2x−3有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5=x2+2+2+2=(x+a)2+b，则a＝__________，b＝__________；(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值．=(x−k)2−k2+7，∵（x−k)2≥0，∴(x−k)2−k2+7的最小值是−k2+7，∵代数式x2−2kx+7有最小值3，∴−k2+7=3，即k2=4，∴k=±2．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及平方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．．【变式9.3】（2022·全国·九年级课时练习）先阅读，后解题．已知m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．解：将左边分组配方：(m2+2m+1)+(n2−6n+9)=0．即(m+1)2+(n−3)2=0．∵(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，且和为0，∴(m+1)2=0且(n−3)2=0，∴m＝－1，n＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：x2+4x+y2−2y+5=0，求x和y的值．(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=8a+6b−25且△ABC为直角三角形，求c．。
九年级数学一元二次方程综合提高知识精讲
初三数学一元二次方程综合提高【本讲主要内容】一元二次方程综合提高包括一元二次方程根与系数的关系，根的判别式【知识掌握】【知识点精析】1. 关于x 的一元二次方程ax bx c a 200++=≠()的求根公式为：x b b ac a=-±-242，那么它的两根之和x x b b ac a b b ac a 12224242+=-+-+---＝ -=-22b a b a ；两根之积x x b b ac a b b ac a b b ac a 12222222424244⋅=-+-⋅---=---()()＝b b ac a ac ac a 22224444--==()。
2. 当b ac 240->时，一元二次方程ax bx c a 200++=≠()有两个不相等的实数根；当b ac 240-=时，一元二次方程ax bx c a 200++=≠()有两个相等的实数根()x x b a122==-；当b ac 240-<时，一元二次方程ax bx c a 200++=≠()没有实数根。
我们把△=-b ac 24称为一元二次方程ax bx c a 200++=≠()的根的判别式。
3. 当b ac 240-≥时，方程有两个实数根。
【解题方法指导】例 1. （2005年某某）如果关于x 的方程x x a 240++=有两个相等的实数根，那么a ＝_____________。
分析：由方程有两个相等的实数根，可知∆=-=b ac 240，可列方程求a 。
解：关于x 的方程x x a 240++=有两个相等的实数根∴∆=-⨯⨯=44102a∴4a ＝16，a ＝4评析：由一元二次方程根的判别式直接可列出方程。
例2. （2004年某某）已知关于x 的方程x x m 230-+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为______________。
分析：由x x m x x 12122⋅==，，可求出m 。
人教版九年级数学上册21.2 解一元二次方程(复习巩固)--专题课堂(共25张PPT)
个不相等的实数根
基本 思路
化为Βιβλιοθήκη （x+n）2=p 的形式
有解 条件
当p=0时，方程有两 个相等的实数根
当p＜0时，方程没有
实数根
①移项
基本 步骤
②二次项系数化为1
③配方:方程两边加上 ④直接开平方 ⑤解一元一次方程写出原方程的解
.
2
复习备用
公式法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
根的判别式Δ=b2-4ac
知识点三：特殊一元二次方程的特殊解法
归纳总结
运用换元法解一元二次方程时， 先要找出相同的整体进行换元，使方程变 得更简易，解完方程后还要注意还元. 如上面最后要解出未知数 x，而不是只求出所 设未知数y.有时还要注意所设式子的非负性.
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思维导图
一元二次方 程的解法
限定方法时 选择适当的方法
换元法
配方法
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人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
（复习巩固）专题课堂----一元二次方程的解法
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学习目标
1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择适当 的方法解一元二次方程. 2.掌握一些一元二次方程的特殊解法，体会解决问 题方法的多样性.
重点难点
重点:灵活选择适当的方法解一元二次方程. 难点:根据方程特点，会用特殊解法解特殊的一元 二次方程.
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知识点一：限定方法解一元二次方程
典例讲评
例1 解下列方程:
(1) x2﹣4x+2=0; (配方法) (2) (3x-1)2 =4(2x+1)2(因式分解法)
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知识点一：限定方法解一元二次方程
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《一元二次方程》全章复习与巩固—知识精讲（提高）
【学习目标】
1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的有关概念
1.一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程−−−
→降次一元一次方程 2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
要点诠释：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．
要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的
根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，。