高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4：课时跟踪检测(十四)
人教B版高中数学-必修4-课时跟踪检测(十四)向量的加法(Word)
解析：∵＋＋＝0，
∴＋＝－＝，
此时与共起点，
∴以，为边构造一平行四边形，设AB的中点为D点，
则＋＝2，
即2＝，
∴O是三角形ABC的重心．
答案：重
6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|
D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点
解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有＝，起点和终点都不相同．
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是()
6．＋＋＋＝________.
解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝.
答案：
7．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
8.如图，在平行四边形ABCD中，
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
所以||即|a＋e|最大，最大值是3.
A．2B．4
C．12D．6
解析：选B因为＋＝A，所以＋＋的长度为的模的2倍，故答案是4.
5．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是()
A．①③B．②③
C．②④D．①②
解析：选A∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4：课时跟踪检测(四) 三角函数线 含解析
课时跟踪检测（四） 三角函数线层级一 学业水平达标1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．3．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM解析：选D ∵7π8是第二象限角，∴sin7π8>0，cos 7π8<0， ∴MP >0，OM <0， ∴MP >0>OM .4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度 为1.答案：17．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 18．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________． 解析：由图可知sin 3π4＝22，sin3π2＝－1，22>sin θ>－1， 即sin θ∈⎝⎛⎭⎫－1，22. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，22 9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)5π6；(2)－2π3. 解：(1)因为5π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以作出5π6角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，则有向线段MP ＝sin 5π6，有向线段OM ＝cos5π6，设过A (1,0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan 5π6.综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线．(2)因为－2π3∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，所以在第三象限内作出－2π3角的终边如图(2)所示．交单位圆于点P ′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M ′P ′，OM ′，A ′T ′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg⎝⎛⎭⎫22－sin x . (2)y ＝3tan x － 3.解：(1)为使y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x 有意义，则22－sin x >0，所以sinx <22，所以角x 终边所在区域如图所示， 所以2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z. 所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－5π4 <x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)为使y ＝3tan x －3有意义，则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .层级二 应试能力达标1．下列三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等； ③π4与5π4的余弦线相等． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0解析：选Bπ6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；π3和4π3两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；π4和5π4的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角．3．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立， 则由图可得－3π4≤x ≤π4.5．sin2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．解析：由图可知： cos6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π5>0. ∵|MP |<|AT |，∴sin2π5<tan 2π5. 故cos6π5<sin 2π5<tan 2π5. 答案：cos6π5<sin 2π5<tan 2π56．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π. 答案：⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ<－12；(2)－12≤cos θ<32.解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－5π6 ＋2k π<θ<－π6＋2k π，k ∈Z .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－2π3 ≤θ<2k π－π6 或2k π＋π6 <θ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z .8．若0<α<π2，证明：sin α<α<tan α.证明：如图所示，连接AP ，设弧AP 的长为l ， ∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT ， ∴12|OA |·|MP |<12l ·|OA |<12|OA |·|AT |， ∴|MP |<l <|AT |， ∴sin α<α<tan α.。
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4：课时跟踪检测(一) 任 意 角 Word版含解析
课时跟踪检测（一）任意角层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选D①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是()A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n 表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k ∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象 含答案
1．4.3 正切函数的性质与图象预习课本P42～45，思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些性质？(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？[新知初探]正切函数y ＝tan x 的性质与图象[点睛] 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增函数，但不能说函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π＋5π6，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π－5π6，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π＋5π6，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π－5π6，k ∈Z 答案：A3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A ．⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________． 答案：[0,1][典例] (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z .(2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z .求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.因此，函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .[典例] (1)求f (x )＝tan ⎝⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．[活学活用]1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期是( ) A ．4 B ．4π C ．2πD ．2解析：选D T ＝ππ2＝π·2π＝2.2．已知函数f (x )＝tan x ＋1tan x，若f (α)＝5，则f (－α)＝________. 解析：f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π∪⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．可知f (x )的定义域关于原点对称．又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．∴f (－α)＝－f (α)＝－5. 答案：－51．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间． 解：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z. 题点二：比较大小2．比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． 解：tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5＝－tan 2π5， ∵0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内递增， ∴tan π4＜tan 2π5，∴－tan π4>－tan 2π5，∴tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 题点三：求最值或值域3．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π3，求f (x )的值域． 解：令u ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以u ∈[－3， 3 ]，所以函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－3， 3 ]． 所以当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－3时，y max ＝3＋2 3. 所以f (x )的值域为[－1,3＋2 3 ]．层级一 学业水平达标1．函数y ＝－2＋tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的定义域是( ) A ．⎝⎛⎭⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈Z B ．⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 解析：选A 由－π2＋k π＜12x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π＜x ＜π3＋2k π，k ∈Z.2．f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的最小正周期为( ) A.π4 B ．π2C ．πD ．2π解析：选B 法一：函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接套用公式，可得T ＝π|－2|＝π2. 法二：由诱导公式可得tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3－π＝tan ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2. 3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －π4与函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的最小正周期相同，则ω＝( ) A ．±1 B ．1 C ．±2D ．2解析：选A g (x )的最小正周期为π，则π|ω|＝π，得ω＝±1. 4．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.5．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析：选D 当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x ＝π8与函数的图象不相交．6．函数y ＝1－tan x 的定义域是_____________________________________． 解析：由1－tan x ≥0即tan x ≤1结合图象可解得． 答案：⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z) 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是_________________________________． 解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z8．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3， 3 ]．答案：(－3， 3 ]9．比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与tan 173°； (2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4与tan ⎝⎛⎭⎫－13π5.解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°， 又∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上是增函数， ∴tan 167°＜tan 173°.(2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＝－tan 11π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－13π5＝－tan 13π5＝tan 2π5， 又∵0＜π4＜2π5＜π2，函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是增函数， ∴tan π4＜tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－13π5.10．已知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x ＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜π2的φ值．解：(1)法一：∵y ＝tan x 的周期是π. ∴y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：由诱导公式知：tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )． ∴f (x )的周期是π2.(2)∵f (x ＋φ)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2φ是奇函数， ∴图象关于原点中心对称， ∴π3＋2φ＝k π2(k ∈Z)， ∴φ＝k π4－π6(k ∈Z)． 令⎪⎪⎪⎪k π4－π6＜π2(k ∈Z)， 解得－43＜k ＜83，k ∈Z.∴k ＝－1,0,1，或2.从而得φ＝－5π12，－π6，π12或π3.层级二 应试能力达标1．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤π4＋k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π4，k ∈Z C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－π2＜x ≤k π＋π4，k ∈Z解析：选C 要使函数有意义，只要log 12tan x ≥0，即0＜tan x ≤1.由正切函数的图象知，k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z.2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：选A 令y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3＝0，则有12x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z.再令k ＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一交点的横坐标为2π3.故可排除C 、D.令12x －π3＝－π2，得x ＝－π3，或令12x －π3＝π2，得x ＝5π3.故排除B ，选A.4．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：选B 由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3，得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z)，∴x ＝k π2(k ∈Z)，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B.5．若tan x ＞tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________．解析：tan x ＞tan π5＝tan 6π5，又x 为第三象限角，∴k π＋6π5＜x ＜k π＋3π2(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫k π＋6π5，k π＋3π2(k ∈Z) 6．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．解析：函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.答案：[－1,0)7．已知x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 解：y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴tan x ∈[－3，1]． 当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取得最小值1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取得最大值5.8．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间． 解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z. 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z)．。
标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-1：课时跟踪检测(十四) 空间向量的数量积运算
课时跟踪检测（十四） 空间向量的数量积运算层级一 学业水平达标1．已知向量a ，b 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若l ⊥平面α，则c ⊥a ，c ·a ＝0，c ⊥b ，c ·b ＝0；反之，若a ∥b ，则c ⊥a ，c ⊥b ，并不能保证l ⊥平面α.2．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是( ) A ．60° B ．120° C ．30°D ．90°解析：选B a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22＝1－1×1×12－2＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22 ＝1＋1＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22 ＝1－2＋4＝ 3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－323＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°.3.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA ·ACB ．2AD ·DB C ．2FG ·AC D ．2EF ·CB解析：选C 2BA ·AC ＝－a 2，故A 错；2AD ·DB ＝－a 2，故B 错；2EF ·CB ＝－12a 2，故D 错，只有C 正确． 4．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A ．PC 与BDB ．DA 与PBC ．PD 与AB D ．PA 与CD解析：选A 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA ·CD ＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，故DA ·PB ＝0，排除B ，同理PD ·AB ＝0，排除C. 5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1＋AD ＋AB )2＝3AB 2； ②A C 1·(A B 11－A A 1)＝0； ③AD 1与A B 1的夹角为60°； ④正方体的体积为|AB ·AA 1·AD |. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 如图所示，(AA 1＋AD ＋AB )2＝(AA 1＋A D 11＋D C 11)2＝AC 12＝3AB 2； A C 1·(A B 11－A A 1)＝A C 1·AB 1＝0；AD 1与A B 1的夹角是D C 1与D A 1夹角的补角，而D C 1与D A 1的夹角为60°，故AD 1与A B 1的夹角为120°；正方体的体积为|AB ||AA 1||AD |.综上可知，①②正确．6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22.答案：227．已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，如图，则PC 等于________．解析：∵PC ＝PA ＋AB ＋BC ，∴|PC |2＝(PA ＋AB ＋BC )2＝PA 2＋AB 2＋BC 2＋2PA ·AB ＋2PA ·BC ＋2AB ·BC ＝36＋36＋36＋0＋0＋2|AB ||BC |cos 60°＝108＋2×6×6×12＝144.∴PC ＝12. 答案：128．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．解析：AB ＝AC ＋CD ＋DB ，∴CD ·AB ＝CD ·(AC ＋CD ＋DB )＝|CD |2＝1， ∴cos 〈CD ，AB 〉＝CD ·AB | CD ||AB |＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°. 答案：60°9．已知空间四边形OABC 各边及对角线长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．解：如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，|a |＝|b |＝|c |＝1， 易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.∵OE ＝12(OA ＋OB )＝12(a ＋b )，BF ＝OF －OB ＝12OC －OB ＝12c －b ，又|OE |＝|BF |＝32， ∴OE ·BF ＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12b 2＝－12， ∴cos 〈OE ，BF 〉＝OE ·BF | OE ||BF |＝－23.∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值是23.10.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长为 2. (1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1)证明：AB 1＝AB ＋BB 1，BC 1＝BB 1＋BC .∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1·AB ＝0，BB 1·BC ＝0. 又△ABC 为正三角形，∴〈AB ，BC 〉＝π－〈BA ，BC 〉＝π－π3＝2π3.∵AB 1·BC 1＝(AB ＋BB 1)·(BB 1＋BC ) ＝AB ·BB 1＋AB ·BC ＋BB 12＋BB 1·BC ＝|AB |·|BC |·cos 〈AB ，BC 〉＋BB 12 ＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)由(1)知AB 1·BC 1＝|AB |·|BC |·cos 〈AB ，BC 〉＋BB 12＝BB 12－1. 又|AB 1|＝AB 2＋BB 12＝2＋BB 12＝|BC 1|，∴cos 〈AB 1，BC 1〉＝BB 12－12＋BB 12＝12，∴|BB 1|＝2，即侧棱长为2.层级二 应试能力达标1．已知在正四面体A -BCD 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为( ) A.33 B.23 C.53D.63解析：选D 如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG ＝23AM ，DG ＝DA ＋AG ＝DA ＋23AM ＝DA ＋23(DM －DA )＝DA ＋2312(DB ＋DC )－DA ＝13(DA ＋DB ＋DC )，而(DA ＋DB ＋DC )2＝DA 2＋DB 2＋DB 2＋2DA ·DB ＋2DB ·DC ＋2DC ·DA ＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG |＝63. 2．已知空间四边形ABCD 中，∠ACD ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝2，CD ＝1，则AB 与CD 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得AC·CD＝DB·CD＝0，∴AB·CD ＝(AC＋CD＋DB)·CD＝AC·CD＋|CD|2＋DB·CD＝|CD|2＝1，∴cos AB，CDAB·CD|AB||CD|＝12，∴AB与CD所成的角为60°.3．设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b一定不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②④解析：选D根据向量数量积的定义及性质，可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故(a·b)c与(c·a)b不一定相等，故①错误；③因为[(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以当a⊥b，且a⊥c或b⊥c时，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b与c垂直，故③错误；易知②④正确．故选D.4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD ＝0，则△BCD()A．是钝角三角形B．是锐角三角形C．是直角三角形D．形状不确定解析：选B∵BD＝AD－AB，BC＝AC－AB，∴BD·BC＝(AD－AB)(AC－AB)＝AD·AC－AD·AB－AB·AC＋|AB|2＝|AB|2>0，∴cos∠CBD＝cos BC，BDBC·BD|BC|·|BD|>0，∴∠CBD为锐角．同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．5．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝7，则a，b＝________. 解析：将|a－b|＝7两边平方，得(a－b)2＝7.因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos a ，b故cosa ，b18. 答案：186.如图所示，在一个直二面角α -AB -β的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．解析：∵CD ＝CA ＋AB ＋BD ＝AB －AC ＋BD ，∴CD 2＝(AB －AC ＋BD )2＝AB 2＋AC 2＋BD 2－2AB ·AC ＋2AB ·BD －2AC ·BD ＝16＋36＋64＝116，∴|CD |＝229.答案：2297.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，E 为CC 1上的点，且CE ＝1，求异面直线AB 1，BE 所成角的余弦值．解：AB 1·BE ＝(AB ＋BB 1)·(BC ＋CE )＝AB ·BC ＋AB ·CE ＋BB 1·BC ＋BB 1·CE ＝0＋0＋0＋3＝3. 依题意，易知|AB 1|＝10，|BE |＝5， ∴cosAB 1，BEAB 1·BE | AB 1||BE |＝352＝3210.8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ·CD ＝0. 同理AC ·BA ＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ，CD 〉＝60°或120°. 又∵BD ＝BA ＋AC ＋CD ，∴|BD |2＝BD ·BD ＝|BA |2＋|AC |2＋|CD |2＋2BA ·AC ＋2BA ·CD ＋2AC·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉．当〈BA，CD〉＝60°时，BD2＝4；当〈BA，CD〉＝120°时，BD2＝2.∴|BD|＝2或2，即B，D间的距离为2或 2.。
浙江专版高中数学课时跟踪检测二蝗制新人教A版必修4
——教学资料参考参考范本——浙江专版高中数学课时跟踪检测二蝗制新人教A版必修4______年______月______日____________________部门层级一学业水平达标1．把50°化为弧度为( )A．50 B．5π18C．D．9 000π解析：选B 50°＝50×＝.2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( )A．16πB．32πC．16 D．32解析：选C 弧长l＝2r,4r＝16，r＝4，得l＝8，即S＝lr＝16.3．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C －3π的终边在x轴的非正半轴上，－的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A．πB．－πC．πD．－π解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.5．下列表示中不正确的是( )A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B ．终边在y轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫αα＝π2＋k π，k∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫αα＝k·π2，k∈ZD ．终边在直线y ＝x上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫αα＝π4＋2k π，k∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是. 6．－135°化为弧度为________，化为角度为________． 解析：－135°＝－135×＝－π，113π＝×180°＝660°. 答案：－π 660°7．扇形的半径是，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝，扇形的面积公式为S 扇形＝αr2＝××()2＝π. 答案：π8．设集合M ＝，N ＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________. 解析：由－π<－<π，得－<k<. ∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝lR ，得1＝l·R. 联立解得R ＝1，l ＝2， ∴α＝＝＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋＝－10π＋，是第一象限角．(2)－60°＋360°·k＝－×60＋2π·k＝－＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．层级二应试能力达标1．下列转化结果错误的是( )A．60°化成弧度是π3B．－π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－πD．化成度是15°解析：选C 对于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.故C错误．2．集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，所以选C.3．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A．α＋β＝0 B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)解析：选D ∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝＋2(k1－k2)·π(k1∈Z，k2∈Z)．∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.∴α－β＝＋2kπ(k∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )A．B．2π3C．D．2解析：选C 如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.5．若角α的终边与π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得＝，，，.答案：，，，19π106．已知一扇形的圆心角为rad，半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．解析：设扇形内切圆的半径为r，∵扇形的圆心角为，半径为R，∴S扇形＝×R2＝R2.∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，∴R＝r＋2r＝3r，∴r＝.∵S内切圆＝πr2＝R2，∴S内切圆∶S扇形＝R2∶R2＝2∶3.答案：2∶37．已知α＝1 690°，(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π.解得－<k<(k∈Z)，∴k＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－π，－π，π，π.8．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)弧AB的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)因为120°＝π＝π，所以l＝α·r＝π×6＝4π，所以弧AB的长为4π.(2)因为S扇形AOB＝lr＝×4π×6＝12π，如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，于是有S△OAB＝AB·OD＝×2×6cos 30°×3＝9.所以弓形的面积为S扇形AOB－S△OAB＝12π－9.。
2024秋新教材高中数学课时跟踪检测四排列数新人教A版选择性必修第三册
课时跟踪检测（四） 排列数1.4×5×6×…×(n －1)×n 等于( ) A.A 4n B ．A n －4n C.(n －4)!D ．A n －3n解析：选D 4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4，故4×5×6×…×(n －1)×n ＝A n －3n . 2.下列各式中与排列数A mn 相等的是( ) A.n ！m －n ！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m ) C.n n －m ＋1A n －1nD ．A 1n ·A m －1n －1解析：选D ∵A mn ＝n ！n －m ！，∴A 1n ·A m －1n －1＝n n －1！[n －1－m －1]！＝n n －1！n －m ！＝n ！n －m ！，∴A mn ＝A 1n ·A m －1n －1.3.某段铁路全部车站共发行132种一般车票，那么这段铁路共有的车站数是( ) A.8 B ．12 C.16D ．24解析：选B 设车站数为n ，则A 2n ＝132，n (n －1)＝132，解得n ＝12. 4.若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( ) A.5 B ．3 C.6D ．7解析：选A 由A 5m ＝2A 3m 得m (m －1)(m －2)(m －3)(m －4)＝2×m ×(m －1)(m －2)，故(m －3)(m －4)＝2，即m 2－7m ＋10＝0，解得m ＝5或m ＝2(舍去).5.5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必需排在一起的不同排法有( ) A.70种 B ．72种 C.36种D ．12种解析：选C 甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，共有A 33A 33＝36种排法.6.假如A mn ＝15×14×13×12×11×10，那么n ＝________，m ＝________. 解析：15×14×13×12×11×10＝A 615，故n ＝15，m ＝6. 答案：15 67.不等式A 2n －1－n <7的解集为________．解析：由A 2n －1－n <7，得(n －1)(n －2)－n <7，整理，得n 2－4n －5<0，解得－1<n <5.又n －1≥2且n ∈N *，即3≤n <5且n ∈N *，所以n ＝3或n ＝4. 答案：{3,4}8.由数字1,2,3与符号“＋”和“－”五个元素的全部全排列中，随意两个数字都不相邻的全排列的个数是________．解析：符号“＋”和“－”只能在两个数之间，这是间隔排列，排法共有A 33A 22＝12种. 答案：129.(1)计算：A 59＋A 49A 610－A 510；(2)求证：7A 66＋A 88＝9A 77.解：(1)法一：A 59＋A 49A 610－A 510＝5A 49＋A 4950A 49－10A 49＝5＋150－10＝320. 法二：A 59＋A 49A 610－A 510＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320.(2)证明：因为7A 66＋A 88＝7×6！＋8×7！＝7！＋8×7！＝9×7！＝9A 77＝右边，所以原式成立.10.8 个人排成一排．(1)共有多少种不同的排法？(2)其中甲、乙两人不能相邻， 共有多少种不同的排法？ (3)8 个人排成两排，前后两排各 4 人共有多少种不同的排法？ (4)8 个人排成两排，前排 3 人，后排 5 人，共有多少种不同的排法？ 解：(1)由排列的定义知共有A 88种不同的排法．(2)共8名同学，要使甲、乙不相邻，可分为两步： 第一步，可先排其余6名同学，有A 66种不同的排法， 其次步，然后甲、乙同学插空，有A 27种排法， 故共有A 66A 27种不同的站法．(3)法一：8 人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数A88.法二：也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有A48种排法，其次步：剩下的4人放在后排共有A44种排法，由分步乘法计数原理知共有A48×A44＝A88种排法．(4)同(3)的分析可知，共有A38×A55＝A88(种).S的个位数字为( )1.若S＝A11＋A22＋A33＋…＋A2 0212 021，则A.0 B．3C.5 D．8解析：选B ∵A55＝120，∴n≥5时A n n的个位数都为零，∴1！＋2！＋3！＋4！＝1＋2＋6＋24＝33.故S的个位数字为3.2.集合P＝{x|x＝A m4，m∈N*}，则集合P中共有______个元素．解析：因为m∈N*，且m≤4，所以P中的元素为A14＝4，A24＝12，A34＝A44＝24，即集合P中有3个元素．答案：33.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案的种数为________．解析：可用间接法：从全部方案中减去只选派男生的方案数，则全部不同的选派方案共有A37－A34＝186(种)．答案：1864.从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必需排在奇数位置上有多少种排法？解：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A35种排法；其次步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A35·A26＝1 800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A 37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A 24·A 37＝2 520. 5.规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A mn (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求A 3－15的值；(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．解：(1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080. (2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ， 则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.令f ′(x )>0，得x >3＋33或x <3－33，所以函数f (x )的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋33，＋∞；令f ′(x )<0，得3－33<x <3＋33，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫3－33，3＋33.。
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4：课时跟踪检测(二十四)平面向量应用举例Word版含解析
课时跟踪检测(二十四) 平面向量应用举例层级一学业水平达标1已知三个力f i= (-2, - 1), f2= (—3,2), f a= (4,—3)同时作用于某物体上一点, 为使物体保持平衡，再加上一个力f4,则f4=( )A• (—1,—2) B. (1, —2)C • (—1,2)D • (1,2)解析：选 D 由物理知识知f1+ f2+ f3+ f4= 0，故f4=—仙 + f2+ f3)= (1,2).2 •人骑自行车的速度是V 1,风速为V2,则逆风行驶的速度为()A . V1 —V2 B. V1 + V2V1 IC. |V 1|—|V2|D. G |解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为V1 + V2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量.3. 已知四边形ABCD各顶点坐标是A —1,—3，B1, 3，C—2' 2，D—f，一2,则四边形ABCD是()A •梯形B.平行四边形C .矩形D .菱形解析：选 A •/ AB = 2, £, DC = (3,4),••• AB = 3 DC ,••• AB // DC，即AB// DC.又|AB|= ：4 + 64=詈,|DC |= 9+ 16= 5,•••|AB|M |DC|,.・.四边形ABCD是梯形.4. 在△ ABC中，AB= 3, AC边上的中线BD = 5, AC -AB = 5,则AC的长为()A. 1B. 2C . 3D . 4解析：选 B •/BD= AD —AB =寸AC —AB ,• BD2= 1AC —AB2= ：AC2—AC -AB + AB2,即 1 AC2= 1.「.|AC|= 2,即AC= 2.5.已知△ ABC 满足AB2= AB -AC + BA -BC + CA CB，则△ ABC 是()A .等边三角形B.锐角三角形C •直角三角形D •钝角三角形解析：选 C 由题意得，AB 2= AB -AC + AB CB + CA CB = AB (AC + CB ) + CA CB = AB 2+ CA CB二 CA CB = 0,「・ CA 丄 CB , •••△ ABC 是直角三角形.6.已知力F = (2,3)作用于一物体，使物体从 A(2,0)移动到B(-2,3)，则力F 对物体所做的功是 _________ .解析：•/ AB = (-4,3),.•. W = F B F -AB = (2,3) (- 4,3) =- 8+ 9 = 1. 答案：17•用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为 拉力大小为 _________ N.解析： 如图，由题意，得/ AOC = Z COB = 60 则|OA |=|OB |= 10,即每根绳子的拉力大小为 答案：108.已知A,B 是圆心为C,半径为.5的圆上的两点，且|AB|=[ 5，则AC CB = 解析：由弦长|AB|= 5,可知/ ACB = 60° ,——一 ——一一-一5AC CB =— CA CB =— |CA ||CB |cos/ ACB =— 2*答案：-29.已知△ ABC 是直角三角形， CA = CB , D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且 AE =2EB.求证：AD 丄 CE.证明：如图，以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系. 设 AC = a ,则 A(a,0), B(0, a), f a ) i'1 2、D 0, 2，C(0,0)，E 3a , 3a . 所以 AD = — a ,；,CE= 3a ,2a -所以 AD CE =- a 3a + § fa = 0, 所以AD 丄CE ，即AD 丄CE.10 N ，则每根绳子的,|OC | = 10, 10 N.10.已知点A(2, - 1).求过点A与向量a= (5,1)平行的直线方程. 解：设所求直线上任意一点P(x, y),则AP = (x—2, y+ 1).由题意知AP // a,故5(y+ 1) —(x—2)= 0,即x —5y—7= 0.故过点A与向量a= (5,1)平行的直线方程为x—5y—7= 0.层级二应试能力达标1. 已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s，—艘小船以垂直于河岸方向10 m/ s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A. 10 m/sB. 2 26 m/sC. 4 6 m/sD. 12 m/s解析：选B 设河水的流速为v 1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为V，则|v 1| =2, |v|= 10, v丄v 1,^ v2= v —v 1, v v 1= 0,|v2|= ..j v2—2v v 1+ v2= 2 26(m/s).2. 在△ ABC 中，AB= 3, AC= 2, BD =中BC，则AD ・BD 的值为()5 5A. —2B.?叩叩解析：选C 因为BD = 2BC，所以点D是BC的中点，则AD = ?( AB + AC ), BD1 1 1 . 1 - 1=[BC = 2( AC —AB )，所以AD -BD = ?( AB + AC )玉(AC —AB ) = 4( AC2—AB2) = %22—32)= —5，选 C.3.如图，在矩形ABCD中，AB = 2, BC= 2,点E为BC的中点，点F在边CD 上,D F C若AB -AF = 2，则AE BF的值是()A. 2B. 2C. 0D. 1___ ___ _______ _____ ____ ______ ______ ______ AT ------------------ ff解析：选 A T AF = AD + DF , AB -AF = AB (AD + DF ) =AB -AD + AB DF = AB -DF = 2| DF |= 2,. | DF |= 1, |CF | = 2—1,.AE -BF = ( AB + BE ) • BC + CF ) = AB CF + BE -BC = —. 2( 2 —1) +1X 2 =—2+，2 + 2= 2,故选A.S 7Hk 」北4.如图，设 P 为厶 ABC 内一点，且 2 PA + 2 PB + PC = 0，贝U S^ABP : S A ABC =()解析：选A 设AB 的中点是D. •/ PA + PB = 2PD =- 1 PC2 ，••• PD — 4PC ,••• P 为CD 的五等分点,1• △ ABP 的面积ABC 的面积的-. 55.若0ABC 所在平面内一点，且满足 (0B — OC )(OB + OC — 20A ) = 0,则解析：(OB — OC ) (OB + OC — 2OA )(AB — AC ) (OB — OA + OC — OA ) =(AB — AC ) (AB + AC ) =| AB |2— | AC |2= 0, •••|AB |=|AC |. 答案：等腰三角形上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体 m 受到的摩擦力是它对 解析：物体m 的位移大小为|s|= . 2 = ^(m),sin 37 3则支持力对物体 m 所做的功为 重力对物体m 所做的功为W 2= G s = |G||s|cos 53° = 5X 9.8X 1-0X 0.6 = 98(J).3 答案：0 98△ ABC 的形状为6.如图所示，在倾斜角为 37° (sin 37°= 0.6)，高为2 m 的斜面 斜面压力的0.5倍，则斜面对物体 m 的支持力所做的功为 ___________ J , 重力所做的功为 ________ J(g = 9.8 m/s 2).W i = F s= |F ||s|cos 90° =0(J)； 7.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F 1, F 2, F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了 8 m ,其中|F 1|= 2 N ，方向为北偏东 30°;『才厂 =4 N ，方向为北偏东 60°; |F 3| = 6 N ，方向为北偏西 30°,求合力F 所做的功.解：以0为原点，正东方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，贝y F i =(1, 3), F 2= (2 3, 2), F a = (- 3,3 3)，所以 F = F i + F 2+ F a = (2 3- 2,2 + 4 3)•又位移 s = (4 2, 4 2),故合力F 所做的功为W = F •=(2 3- 2)X 4 2+ (2 + 4 3) X 4 2 =4 2X 6 3=24 6(J) •即合力F 所做的功为24 6 J.8.如图，平行四边形 ABCD 中，E ,F 分别是AB = a , AD = b.(1) 试以a , b 为基底表示BE , DF ; (2) 求证：A , G , C 三点共线. 解：(1) BE = AE - AB = 2b -a , — —— 一 1DF = AF - AD = 2a - b.⑵证明：因为D , G , F 三点共线，则DG =入DF ,- -■ 1即 AG =AD +入DF = 1 入 a (1 — 2)b.因为B , G , E 三点共线，则BG = ^BE ,彳即 AG = AB + a BE = (1 — |i)a + ?卩 b2解得入=尸3,—— 1 1—二 AG = /a + b)=3 AC , 所以A , G , C 三点共线.由平面向量基本定理知2入=1 -。
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课时跟踪检测（十四） 三角函数模型的简单应用层级一 学业水平达标1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．x 轴上B ．最低点C ．最高点D ．不确定解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点．2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t (s)时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定：s 1＝5sin ⎝⎛⎫2t ＋π6，s 2＝5cos ⎝⎛⎫2t －π3. 则在时间t ＝2π3时，s 1与s 2的大小关系是( )A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定解析：选C 当t ＝2π3时，s 1＝－5，s 2＝－5，∴s 1＝s 2.选C.3.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( ) A ．12，1πB ．2，1πC ．12，πD ．2，π解析：选A 当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故单摆频率为1π，故选A.4.(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( ) A ．10 000元 B ．9 500元 C ．9 000元D ．8 500元 解析：选C 因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取3π2，φ可取π，即y ＝500sin ⎝⎛⎭⎫3π2x ＋π＋9 500.当x ＝3时，y ＝9 000. 6．如图所示的是某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________ s 往复一次．解析：由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次． 答案：0.87.如图，电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数I ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图象，则当t ＝150秒时，电流强度是________安．解析：由图象可知，A ＝10，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫4300－1300＝150，所以ω＝2πT ＝100π，所以I ＝10sin ⎝⎛⎫100πt ＋π6. 当t ＝150秒时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＝5(安)． 答案：58．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18，则a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，则y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5 (℃)． 答案：20.59.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b . (1)求这一天的最大用电量和最小用电量．(2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h ，最小用电量为30万kW·h. (2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，所以A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. 因为12×2πω＝14－8，所以ω＝π6.所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.所以所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．10．某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数解析式；(2)画出种群数量y 关于时间t 变化的草图．(其中t 以年初以来经过的月份数为计量单位)解：(1)设表示该曲线的函数为y ＝A sin(ωt ＋a )＋b (A ＞0，ω＞0，|a |＜π)．由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月，故振幅A ＝2002＝100，ω＝2π12＝π6，b ＝800. 又∵7月1日种群数量达到最高， ∴π6×6＋a ＝π2＋2k π(k ∈Z)． 又∵|a |＜π，∴a ＝－π2.故种群数量y 关于时间t 的函数解析式为y ＝800＋100sin π6(t －3)．(2)种群数量关于时间变化的草图如图．层级二 应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝152π，A ＝3 B ．ω＝2π15，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5解析：选B 由题意知A ＝3，ω＝2π×460＝215π. 2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]解析：选C 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z.当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]．3．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]，[7,12]解析：选D ∵T ＝12，∴2π12＝π6，从而可设y 关于t 的函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ. 又t ＝0时，y ＝32，即sin φ＝32，不妨取φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π3.∴当2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，即12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z)时，该函数递增， ∵0≤t ≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]． 4．有一冲击波，其波形为函数y ＝－sin πx2的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 由y ＝－sinπx2的图象知，要使在区间[0，t ]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t ]的长度不小于2T －T 4＝7T 4，即t ≥74·2π|ω|＝74·2ππ2＝7，故选C.5．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h (m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h 关于时间t 的函数解析式为____________________．解析：根据题图设h ＝A ·sin(ωt ＋φ)，则A ＝6，T ＝12，2πω＝12，∴ω＝π6，点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，∴π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h ＝6·sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π＝－6·sin π6t ，t ∈[0,24]．答案：h ＝－6sin π6t ，t ∈[0,24]6．一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y 和时间t 之间的关系的一个三角函数式为________.解析：设y ＝A sin(ωt ＋φ)，则从表中可以得到A ＝4，T ＝0.8，ω＝2πT ＝2π0.8＝5π2.又由4sinφ＝－4.0，可得sin φ＝－1，取φ＝－π2，故y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2t －π2，即y ＝－4cos 5π2t . 答案：y ＝－4cos5π2t7．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h .(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m) (3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m? 解：(1)依题意知T ＝2πω＝12， 故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8， 所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋12.2. 又因为t ＝4时，d ＝16，所以sin ⎝⎛⎭⎫4π6＋φ＝1， 所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋12.2. (2)t ＝17时，d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎫17π6－π6＋12.2 ＝3.8sin 2π3＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋12.2＜10.3， 有sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＜－12， 因此2k π＋7π6＜π6t －π6＜2k π＋11π6(k ∈Z)， 所以2k π＋4π3＜π6t ＜2k π＋2π，k ∈Z ， 所以12k ＋8＜t ＜12k ＋12.令k ＝0，得t ∈(8,12)；令k ＝1，得t ∈(20,24)． 故这一天共有8 h 水深低于10.3 m.8.如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设点B 与地面距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间关系的函数解析式．解：(1)由题意可作图如图．过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于点M .当θ＞π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2； 当0≤θ≤π2时，上述解析式也适合．则h 与θ间的函数解析式为h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点在⊙O 上逆时针运动的角速度是2π60＝π30，∴t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)．。