因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)
因式分解方法大全
因式分解方法大全(一)因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中。
因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。
它与整式乘法是方向相反的变形，是有效解决许多数学问题的工具。
因式分解方法灵活，技巧性强。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
因式分解的主要方法：⑴提公国式法；⑵运用公式法；⑶分组分解法；⑷十字相乘法；⑸添项折项法；⑹配方法；⑺求根法；⑻特殊值法；⑼待定系数法；(io)主元法；(11)换元法；(⑵综合短除法等。
一、提公因式法：ma + mb÷me = m(a + 6 + c)二、运用公式法：⑴平方差公式：a2-b2=(a + b)(a-b)⑵完全平方公式：a2±2ah + h2=(a±b)2⑶立方和公式：a3+b3=(a + b)(a2-ab-^-b2)(新课标不做要求)⑷立方差公式：a3-b3=(a-hXa2^-ah + b2)(新课标不做要求)(5)三项完全平方公式：a1+⅛2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc= (tz + ⅛ + c)2(6) / -1- b + i — 3abc = (a + + C)(Ω~÷b~ + c~ —cιb — be —cιc)三、分组分解法.㈠分组后能直接提公因式例：分解因式：2ax- lθay + 5by -bx 解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。
解：J≡⅛= (2ax -1 Oay) + (5by - bx)=2a(x - 5y) - b(x - 5y) = (x-5y)(2a-b)㈡分组后能直接运用公式或提公因式 例：分解因式：a 2 -2ah-^-h 2 -c 2 解：原式=(〃2-2加/)-/= (a-b)2 -c 2-{a-b + c){a-b-c)四、十字相乘法.凡是能十字相乘的二次三项式ax 1+bx + c,都要求Δ = ⅛2-4ac> 0而且是一个完全平方数。
因式分解的7种方法
一、提公因式法.：)(c b a m mc mb ma ++=++二、运用公式法.由乘法公式，将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．补充公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是：A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
因式分解的常用方法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解： 因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式， 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或 可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
、提公因式法 . ： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法 .在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因 式分解中常用的公式,(1) (a+b)(a-b) = a2(2) (a ±b)2= a2(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b ------- a2 23 3(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3---- 下面再补充两个常用的公式：2 2 2 2(5) a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2； (6) a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)例.已知a b, c 是ABC 的三边，且a 2 b 2ab bc ca ，则 ABC 的形状是（ ） A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形等腰直角三角形解： a 2 b 2 c 2 ab bc ca2222a 22b 2 2c2 2ab 2bc 2ca (a b)22 (b c)2 (c2a) 0 a b c例如： 2-b 2 -22 2± 2ab+b 2 -------- a 2 3 32-b 2=(a+b)(a-b) ；2 2 22±2ab+b 2=(a ±b) 2； 3 3 2 2+b =(a+b)(a -ab+b ) ； 3- b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) ．三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式： am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ,后两项都含有 b ,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。
因式分解培优题超全面、详细分类
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法.3、考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分组分解法.一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2 - b 2=( a+b)(a—b)；(2)a2±2 ab+b2=( a ±b )2；(3)a3+b3=( a+b)(a 2 - ab+b2)；(4)a3- b3=( a一b)(a2+ab+b2).下面再补充几个常用的公式:(5)a2+b2+c2+2 ab+2 bc+2 ca=( a+b+c )2；(6)a 3+b 3+c 3 一3 abc=( a+b+c)(a 2+b 2+c 2 - ab一bc一ca)；⑺a n—b n=(a—b)(a〃_i+a n-2b+a n-3b2+…+ ab n-2+b〃.i),其中n为正整数;(8)a n—b n=(a+b)(a〃-i—a n-2b+a n-3b2 -------------- +ab n-2 —b n-i),其中n为偶数;(9)a n+b n=(a+b)(a〃-i—a n-2b+a n-3b2 ------------------- ab n-2+b〃-i),其中n为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例题1分解因式：(1)—2X5n-i y n+4X 3 n-i %+2 - 2X n-i % +4；(2)X 3 —8 y 3—z 3 —6 xyz；(3)a2+b2+c2—2 bc+2 ca—2 ab；(4)a7—a5b2+a2b5—b7.第1页共16页例题2分解因式：a3+b3+c3 —3abc.例题3分解因式：X15+X14+X13+…+X 2+X +1.对应练习题分解因式:(1片2n + X n—(2) X10+X5 —23 3 x⑶x 4- 2 X 2 y 2- 4 xy 3+4 x 3 y+y 2(4 x 2+ 4 y 2)(4)(X5+X4+X3+X2+X +1)2—X5(5)9( a - b)2+12( a 2- b 2)+4( a+b )2(6)(a - b )2- 4( a - b - 1)(7)(X+y)3+2XJ(1—X—y) — 1第2页共16页二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：am+an+bm+bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提例题2分解因式：2 ax - 10 ay + 5 by一bx对应练习题分解因式：1、a 2 —ab + ac - bc2、xy一x - y +1（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：x 2 - y 2 + ax + ay例题4 分解因式：a2 - 2ab + b2 - c2对应练习题分解因式：3、x 2 - x - 9 y 2 - 3 y4、x 2 - y 2 - z 2 - 2 yz第3页共16页综合练习题分解因式:(11) a 2( b + c ) + b 2( a + c ) + c 2( a + b ) + 2 abc (12) a 4 + 2 a 3 b + 3a 2 b 2 + 2 ab 3 + b 4.(14) xyz (x 3 + y 3 + z 3) - y 3z 3 - z 3x 3 - x 3y 3(1) X 3 + X 2 y -町 2 - y 3 (2) ax 2 一 bx 2 + bx 一 ax + a 一 b(3) x 2 + 6xy + 9y 2 -16a 2 + 8a -1 (4) a 2 - 6ab +12b + 9b 2 - 4a(5) a 4 -2a 3 + a 2 -9 (6) 4a 2x - 4a 2y - b 2x + b 2y(7) x 2 - 2xy - xz + yz + y 2 (8) a 2 - 2a + b 2 - 2b + 2ab +1(9) y (y -2) - (m-1)(m +1)(10) (a + c )(a - c ) + b (b - 2a )(13) (ax + by )2 + (ay - bx )2 (15) x 4 - 2ax 2 + x + a 2 - a (16) x 3 — 3x 2 + (a + 2)x — 2a (17) (x +1)3 + (x + 3)3 -4(3x + 5)第4页共16页三、十字相乘法1、十字相乘法(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式 ----- X 2 + (p + q )x + pq = (x + p )(x + q )进行分解.特点：(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和.例题1分解因式： x 2 + 5 x + 6例题2分解因式：x 2 - 7x + 6对应练习题分解因式:第5页共16页(1) x 2 +14 x + 24 (2) a 2 -15a + 36 (3) x 2 + 4 x - 5(4) x 2 + x - 2 (5) y 2 - 2y -15 (6) x 2 -10 x - 24(二)二次项系数不为1的二次三项式一-ax 2 + bx + c 条件：(1) a = a 1a 2 (2)(3) 分解结果: a ca 1 > <c 1 ------- 2 --------------- 2-b = ac + a c ax 2 + bx + c = (a x + c )(a x + c )例题3 分解因式：3x 2 -11 x +10 对应练习题分解因式: (1) 5 x 2 + 7 x - 6 (2) 3x 2 - 7x + 2(3) 10x 2 -17x + 3(4) — 6 y 2 +11 y +10（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：a2 - 8ab - 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.1 m 8b1 —16 b8 b+（—16 b）= -8 b对应练习题分解因式：（1）x2一3xy + 2y 2 （2）m 2一6mn + 8n 2（3）a 2一ab一6b 2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：2x2 - 7xy + 6y2 例题6分解因式：x2y2 - 3xy + 2对应练习题分解因式:(1)15 x 2 + 7 xy - 4 y 2(2)a2x2 一6ax + 8综合练习题分解因式：(1) 8x6 一7x3 -1 (2) 12x2 -11 xy -15y2(3)(x + y)2-3(x + y) - 10(4)(a + b)2 - 4a - 4b + 3(5)x2y2 -5x2y-6x2(6)m2 - 4mn + 4n2 - 3m + 6n + 2第6页共16页3 xy - 2 xy = xy ,4 y + 9 y = 13 y , - 2 x + 3 x = x・•・原式=(x - 2y + 3)(x + 3y - 2)对应练习题分解因式:(2) 6x 2 - 7xy - 3y 2 - xz + 7yz - 2z 2第7页共16页(7) x 2 + 4xy + 4y 2 — 2x - 4y 一 3 (8) 5(a + b )2 + 23(a 2 一 b 2) -10(a 一 b )2(9) 4x 2 -4xy - 6x + 3y + y 2 -10 (10) 12(x + y )2 +11(x 2 - y 2) + 2(x - y )2 思考：分解因式：abcx 2 + (a 2b 2 + c 2)x + abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F 型多项式的分解因条件：（1） A = a 1a 2， (2) a c + a c = B 即： a1 ，a 1f2 + a 2 f t = D f 1 则 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = (a x + c y + f)(a x + c y + f ) 应用双十字相乘法：x (1) x 2 + xy - 2 y 2 - x + 7 y - 6 1 ，c 1f2 + 0 2 f 1 = E c 1 例题7分解因式： (1) x 2 -3 xy -10 y 2 + x + 9 y -2(2) x 2 + xy -6y 2 + x +13y -6x - 3 xy -10 y + x + 9 y - 22xy - 5xy = -3xy , 5 y + 4 y = 9 y , - x +2x = x・•・原式=(x - 5y + 2)(x + 2y -1)-2 y3y3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：y(y +1)(x2 +1) + x(2产 + 2y + 1)例题9 分解因式：ab(x2一y2) 一(a2一b2)(xy + 1) 一(a2 + b2)(x + y)四、主元法例题分解因式：x 2 — 3 xy一10 y 2 + x + 9 y - 2对应练习题分解因式:(1)x 2 + xy - 6 y 2 + x +13 y - 6(2)x 2 + xy - 2 y 2 - x + 7 y - 6 (3)6x2 - 7xy - 3 y2 + x一7 y一2(4)a 2 + ab - 6b 2 + 5a + 35b - 36第8页共16页五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.例题 1 分解因式：(%2+% +1)(%2+% +2)—12.例题 2 分解因式：(％2 + 4% + 8)2 + 3%(%2 + 4% + 8) + 2%2例题3 分解因式：(% -1)(% +1)(% + 3)(% + 5) - 9分析：型如abcd+e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4分解因式：(%2—7% + 6)(%2—%—6) + 56 .例题 5 分解因式：(%2+3%+2)(4%2+8%+3)—90.例J题 6 分解因式：4(3%2 —%—1)(%2 + 2%—3) —(4%2 + %—4)2提示:可设3%2 —%—1 = A, %2 + 2%—3 = B，贝4%2 + %—4 = A + B.例题7分解因式：%6 —28%3 + 27例题8 分解因式：(a—b)4 + (a + b)4 + (a2 —b2)2第9页共16页例题9 分解因式：(y + 1)4 + (y + 3)4 —272例题9对应练习分解因式：a4 + 44 + (a - 4)4例题10分解因式：(% 2+%y+y 2)2 —4xy (% 2+y 2).分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u=%+y，v=xy，用换元法分解因式.例题11 分解因式：2%4 - %3 - 6%2 - % + 2分析：此多项式的特点——是关于%的降赛排列，每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”.方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习分解因式：6%4+7 % 3—36% 2—7%+6.例题11对应练习分解因式：%4 - 4%3 + %2 + 4% + 1第10页共16页对应练习题分解因式:(1)%4+7%3+14%2+7% +1(2)% 4 + 2 % 3 + % 2 + 1 + 2( % + % 2)(3)2005%2 - (20052 -1)%—2005(4)(% +1)(% + 2)(% + 3)(% + 6) + %2(5)(% +1)(% + 3)( % + 5)( % + 7) +15(6)(a - 1)(a - 2)(a - 3)(a - 4) - 24(7)(2a + 5)(a2 -9)(2a -7) -91(8)(%+3)(%2-1)(%+5)—20(9)(a2 +1)2 + (a2 + 5)2 -4(a2 + 3)2(10)(2% 2—3 % +1)2—22% 2+33 %—1(11)(a + 2b + c)3- (a + b)3- (b + c)3(12)%y(%y +1) + (%y + 3)-2(% + y + ；)-(% + y-1)2 乙(13)(a + b - 2ab)(a + b - 2) + (1-ab)2第11页共16页六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合 并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要 恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中 添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能 用分组分解法进行因式分解.说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的 是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强 的一种. 例题1分解因式：％ 3—9% +8.例题2分解因式：(1)X 9+X 6+X 3 — 3 ；(2)( m 2—1)( n 2—1)+4 mn ；(3)(X +1)4+(X 2—1)2+(X —1)4；(4) a 3 b —ab 3+a 2+b 2+1.对应练习题分解因式:(2) X 2 + 2(a + b )X - 3a 2 + 10ab - 3b 2(4) X 4 + X 2 + 2ax +1 - a 2(6) 2a 2b 2 + 2a 2c 2 + 2b 2c 2 一 a 4 一b 4 一c 4 (8) X 4—11 X 2y 2+y 2(10) X 4—12X +323(14) X 2 - y 2 + 4 X + 6 y - 5(15)(1 一 a 2)(1 一 b 2) - 4ab第12页共16页 (1) X 3 - 3 X 2 + 4 (3) X 4 - 7X 2 +1 (5) X 4 + y 4 + (X + y )4 (7) X 3+3X 2—4 (9) X 3+9X 2+26X +24(11 ) X 4+X 2+1; (12) X 3 — 11X +20；(13) a 5+a +1七、待定系数法例题1 分解因式：x2 +町一6y2 + x +13y - 6分析：原式的前3项x2 + xy一6y2可以分为(x + 3y)(x-2y)，则原多项式必定可分为(x + 3 y + m)(x一2 y + n)对应练习题分解因式:(1) 6 x 2 一7 xy一 3 y 2 + x一7 y一2(2)2x2+3xy—9y2+14x一3y+20(3)x2 一3xy - 10y2 + x + 9y -2(4)x2 + 3xy + 2y2 + 5x + 7y + 6例题2 (1)当m为何值时，多项式x2 - y2 + mx + 5y - 6能分解因式，并分解此多项式.(2)如果x3+ax2+ bx + 8有两个因式为x +1和x + 2，求a + b的值.(3)已知：x2 - 2xy - 3y2 + 6x-14y + p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.(4) k为何值时，x2 - 2xy + ky2 + 3x-5y + 2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.第13页共16页八、余式定理(试根法)1、f Q)的意义：已知多项式f Q)，若把x用c带入所得到的值，即称为f Q)在x=c的)表示.多项式值，用f (c2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式f (x)除以g(x)所得的商式为q(x),余式为O,则：f (x)= g(x)X q(x)+ r(x)3、余式定理：多项式f (x)除以x - b之余式为f (b)；多项式f (x)除以ax - b之余式f (-). a例如：当f(x)=x2+x+2 除以(x- 1)时，则余数=41)=12+1+2=4.当f (x) = 9x2 + 6x-7 除以(3x +1)时，则余数= f (-，= 9x(—3)2 + 6x(—；) —7 = -8.4、因式定理：设a, b e R , a丰0, f (x)为关于x的多项式，则x-b为f (x)的因式o f (b) = 0 ；ax - b为f (x)的因式o f (—) = 0.a整系数一次因式检验法：设f(x)= c x n + c1x n-1+ + c j + c0为整系数多项式，若ax-b为f(x)之因式(其中a , b为整数，a丰0 ,且a , b互质)，则(1) a\c n, BC0 (2) ( a-b )|f(1), (a + b)|f(-1)例题1设f (x) = 3x3 + 2x2 -19x + 6，试问下列何者是f(x)的因式?(1)2x-1 , (2) x-2, (3) 3x-1, (4) 4x +1, (5) x-1, (6) 3x-4例题2把下列多项式分解因式：(1)x 3 - 5 x + 4(2)x 3 - 4x 2 + x + 6(3)3x3 + 5x2 + 4x - 2(4)x4 + 9x3 + 25x2 + 27x +105 111(5)x4+ —x3+ —x2—— x _ —6 2 2 3第14页共16页课后作业分解因式：(1)% 4 + 4(2)4%3 —31% +15(3)3%3—7% +10(4)%3—41 %+30(5)%3+4%2—9(6)%3+5%2—18(7)%3+6%2+11 %+6(8)%3—3%2+3%+7(9)%3 —11 %2+31 %—21(10)%4+1987%2+1986% +1987(11)%4 -1998%2 +1999% -1998(12)%4 +1996%2 +1995% +1996(13)%3 + 3%2y+3%y2+2j3(1412)%3—9a%2+27a2%—26a3(1413)4(% + 5)(% + 6)(% + 10)(% + 12) - 3%2 (1414)(%2 + 6% + 8)(%2 +14% + 48) +12(1415)(%2 + % + 4)2 + 8%(%2 + % + 4) +15%2(1416)2(%2 + 6% +1)2 + 5(%2 + 6% +1)(%2 +1) + 2(%2 +1)2 (1417)%4+%2y2+y4(1418)%4 —23%2y2+y4(1419)a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2(1420)a3 + b3 +12ab - 64(1421)a 3b - ab 3 + a 2 + b 2 +1.(1422)( a + b)2(ab一1) + 1(1423)%4 -2(a2 + b2)%2 + (a2 -b2)2(1424)(ay + b%)3 + (a% + by)3 - (a3 + b3)(%3 + y3) (1425)% 6 -19 % 3 y 3 - 216 y 6(1426)%2y—y2z+z2%—%2z+y2%+z2y—2%yz(1427)3%5 -10%4 -8%3 -3%2 +10% + 8第15页共16页因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n-1和2n +1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除.3、已知248-1可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知724-1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.5、求证:817 - 279 - 913能被45整除.6、求证:146+1能被197整除.7、设4%-y为3的倍数，求证：4%2+7%y-2y 2能被9整除.8、已知%2+ xy - 2y2=7,求整数x、y的值.9、求方程6xy + 4% - 9y - 7 = 0的整数解.10、求方程%y—%—y +1=3的整数解.11、求方程4x2—4xy—3y2=5的整数解.12、两个小朋友的年龄分别为a和b,已知a2+ab=99,则a=, b=.13、计算下列各题：(1)23x3.14+5.9x31.4+180x0.314；19953 —2 x 19952 —1993(2)19953 +19952 —1996 114、求积(1+ —)(1+ ^—)(1+ —)(1+ ^―)…(1+ —1—) (1+ 一1一)的1x 3 2 x 4 3 x 5 4 x 6 98 x 100 99 x 101 整数部分？15、解方程：(% 2+4% )2—2(%2+4%) —15=016、已知ac+bd=0,则ab(c2+d2)+cd(a2+b2)的值等于.17、已知a—b=3, a—c =3 26 ,求(c—b)[(a—b)2+(a—c)(a—b)+(a—c)2]的值.18、已知%2+ % +1 = 0,求%8+ %4+1 的值.19、若%满足%5 + %4 + % = -1 ,计算% 1998 + % 1999 H F %2004 .20、已知三角形的三边a、b、c满足等式a3 + b3 + c3 = 3abc，证明这个三角形是等边三角形.第16页共16页。
因式分解的14种方法讲解
因式分解的14种方法讲解因式分解是数学中常用的重要方法，它可以将一个多项式表达式分解为一个或多个乘积的形式。
在因式分解过程中，有多种方法可以使用。
下面我将为您介绍14种常见的因式分解方法。
方法一：公因式提取法1.公因式提取法是最基本的一种因式分解方法，适用于多项式中存在公共的因式。
例如，对于多项式2x+6，可以提取出公因式2，得到2(x+3)。
方法二：配方法2. 配方法适用于二次型多项式的因式分解。
对于ax² + bx + c形式的多项式，可以通过配方法将其分解为两个一次因式相乘的形式。
例如，对于多项式x² + 3x + 2，可以找到两个因数(x + 1)(x + 2)。
方法三：x平方差3.x平方差适用于形如x²-a²的多项式，其中a是一个常数。
这种情况下，可以将其分解为两个因子(x+a)(x-a)。
方法四：因式分解公式4.因式分解公式适用于一些特殊的多项式形式。
例如，x²-y²可以通过公式(x-y)(x+y)分解。
方法五：完全平方公式5. 完全平方公式适用于形如a² ± 2ab + b²的多项式。
这种情况下，可以将其分解为平方项的和或差。
(a ± b)²。
方法六：两个平方差的乘积6.两个平方差的乘积适用于形如(a+b)(a-b)(c+d)(c-d)的多项式。
这种情况下，可以分解为两个平方差相乘。
方法七：立方公式7. 立方公式适用于形如a³ ± b³的多项式。
这种情况下，可以将其分解为立方项的和或差。
(a ± b)(a² ∓ ab + b²)。
方法八：差的立方8. 差的立方适用于形如a³ - b³的多项式。
这种情况下，可以分解为差的立方公式(a - b)(a² + ab + b²)。
方法九：高次幂差的因式分解9.高次幂差的因式分解适用于形如aⁿ-bⁿ的多项式，其中n为正整数。
因式分解的方法有哪些
因式分解的方法有哪些因式分解是数学中常用的计算方法，因式分解包括提公因式法、公式法、十字相乘法、待定系数法、换元法等。
因式分解常见方法提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法、双十字相乘法、对称多项式等等。
1、一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
5、双十字相乘法是一种因式分解方法。
对于型如Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。
这种方法运算过程较繁。
对于这问题，若采用“双十字相乘法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。
6、一个多元多项式，如果把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
x²+y²+z²，xy+yz+zx都是关于元x、y、z的对称多项式。
因式分解定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。
初中数学因式分解常用七大解题方法,分类讲解+例题解析,收藏
初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。
综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。
在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。
对于十字相乘法，我们分为四种类型。
给大家做详细的讲解。
针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。
因式分解的所有方法
因式分解的多种方法编者按：很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。
而面临竞赛题目时，更加摸不着头脑。
在此介绍几种因式分解的方法。
其实，因式分解没有想象中的那么难。
1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：22x －3x = 0解：x ( 2x － 3 ) = 01x =0 , 2x = 23 这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a )因式。
这对我们后面的学习有帮助。
2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。
例二：2x － 4 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式))((22b a b a b a +-=- 2 解：原式= (x+2)(x-2)3】分组分解法也是比较常规的方法。
一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来需要可持续性！例三：2x + 4x + 4 －2y可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式解：原式=22)2(y x -+=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性4】十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数1a ,2a 的积1a ×2a ，把常数项c 分解成两个因数1c ,2c 的积1c ×2c ，并使1a 2c +2a 1c 正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例四： 把22x －7x + 3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1╳2 31×3 + 2×1=51 3╳2 11×1 + 2×3=71 -1╳2 -31×(-3) + 2×(-1)=-51 -3╳2 -11×(-1)+2×(-3) =-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式a 2x +bx+c(a ≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a =1a 2a ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=1c 2c ，把1a ，2a ，1c ，2c ，排列如下：1a 1c╳2a 2c1a 2c +2a 1c按斜线交叉相乘，再相加，得到1a 2c +2a 1c ，若它正好等于二次三项式a 2x +bx+c 的一次项系数b ，即1a 2c +2a 1c =b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式1a x+1c 与2a x+2c 之积，即a 2x +bx+c=(1a x+1c )(2a x+2c ).这种方法要多实验，多做，多练。
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因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。
解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。
原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式= (x2=(x=(xy2) (ax ay)y)(xy)(xy) a(x y a) y)例4、分解因式： 2 a 2ab b2 2 c解：原式=(a2；2ab b2)2 c =(a 2 2b) c=(a b c)(a b c)练习：分解因式3、:x2 x 9y23y 24、x 2y 2 z 2yz综合练习：(1) 3 x 2 2x y xy 3 y 2(2) ax bx2bx ax a b(3) x2 6xy 9y 216a28a 1 (4) a26ab 12b 9b24a(5) a4 2a3 2 a 9 2(6) 4a x 4a2>y b2x b2y2 (7) x 2xy xz 2yz y 2(8) a 2a b 2 , 2b 2ab 1(9) y(y 2) (m 1)( m 1) (10) (a c)(a c) b(b 2 a) (11) a2 (b c) b2(a c) c2(a > b) 32abc (12)a b3 3 c 3abc四、十字相乘法•(一)二次项系数为1的二次三项式2直接利用公式x (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。
特点：(1)二次项系数是1 ；(2)常数项是两个数的乘积；(3)—次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知O v a < 5，且a为整数，若2x2 3x a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c ,都要求b2 4ac >0而且是一个完全平方数。
于是9 8a为完全平方数，a 1例8分解因式：a 2 8ab 128b 2分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 1-16b8b+(-16b)= -8b~解：a 2 8ab 128b 2=a 2[8b ( 16b)]a 8b ( 16b)=(a 8b)(a16b)练习 8 分解因式(1) x 2 3xy 2y 2(2) m 2 6mn 8n 2(3) a 2 ab 6b 2五、换元法。
例 13、分解因式(1)2005x 2 (20052 1)x 20052(2)(x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2 2解：(1 )设 2005= a ，则原式=ax (a 1)x a=(ax 1)(x a) = (2005x 1)(x2005)(2)型如abcd e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
(3) (x y)23(x y)10(4)(a b)2 4a 4b 3(5) 2 2x y 5x 2 y 6x 2(6) m 2 4mn4n 2 3m6n 2(7)2 x 4xy 4y 2 2x 4y3( 8) 5(a b)223(a 2 b 2) 1 I0(a b)2(9) 4x 24xy 6x 3y2y10( 10) 212(x y) 11(x 2 y 2) 2(xy)2思考: 分解1 因式： 2abcx(a 2b 2c 2 )x abc1 7x 3211xy 15y综合练习10、( 1)8x 62(2) 12x (四)二次项系数不为1 例 9、2x2 7xy1创2 ”^-3y (-3y)+(-4y)= -7y解:原式=(x 2y)(2x练习9、分解因式：(1)的齐次多项式6y 23y)15x 27xy 例 10、x 2 y 2 3xy 2把xy 看作一个整体1-11^^" -2(-1)+(-2)= -3 解:原式= (xy 1)(xy 2)2 2x 6ax 84y 2(2) a2 2 2原式=(x 7x 6)(x 5x 6) x 设x25x 6 A,则x27x 6 A 2x•原式:=(A 2x )A x2= A 2 2 Ax x2=(A x)2=(x 2 6x 6)2练习13、分解因式（1)(x2xy y2)2 4xy(x2y 2)(2)(x23x 2)(4x2 8x 3) 90(3)(a21)2(a25)24( 2 a 3)2例14、分解因式（1）2x4 x3 6x2 x观察：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1, 并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解:原式=x2(2x2x 6 -12)=x22(x212) (x -)6x x x x 设x 1 t,则x212t2 2x x•原式2=x 2(t22) t 6 2 =x 2t2t 1022t - 2 -2 12=x 5 t 2 = x 2x 5 xx x=x ' •2x 2 5 x - x 1 2 = 2x25x 2 2 x 2x 1 x x=(x 1)2(2x 1)(x 2)(2) x 4 4x3x24x 1解:原式2=x (x24x1 - \)-2 =x 2 x124 x丄1x x x x设x 1 y，则x：2 122y 22x x2 2 2•••原式=x (y 4y 3)= x (y 1)(y 3)= x2(x -x 1)( x 1 2 23)= x2 x 1 x2 3x 1 x练习14、（1）6x47x336x27x 6 (2) 4 x 2x3x2 1 2(x x2)2对比左右两边相同项的系数可得m n 13n 2m 13，解得六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1） x 3 3x 24解法 1 — 拆项。
解法2 - 添项。
原式 =x 3 1 3x 2 3原式=x3x 2 4x4x 4 = (x 1)( x 2 x1)3(x 1)(x 1)=x(x 2 3x 4) (4x 4)= (x 1)(x 2 x 1 : 3x 3)=x(x 1)(x 4) 4( x 1)= (x1)( x 2 4x :4)=(x 1)( x 2 4x 4)= (x 1)(x 2)2=(x1)(x 2)2(2) 9 xx 6 x 3 3解:原式= (x 9 1) (x 61) (x 31)=(x 3 1)(x 6 x 3 1) (x 3 1)(x 31) (x 3 1)= (x 3 1)( x 6 x 31 x 31 1)= (x1)(x 2x 1)(x 62x 33)练习 15、 分解因式(1) 3 x9x 8(2) (x 1)4(x 2 1)2 (x 1)4(3) x 47x 2 1(4) x 4x 22 ax 1 a 2(5) 4 x 4 y (xy)4(6) 2a 2b 22a 2 c 2 2b 2c 2a 4b 4c 4七、待定系数法。
例16、分解因式X xy 6y 2 x 13y 6分析：原式的前3项x 2 xy 6y 2可以分为(x 3y)(x 2y)，则原多项式必定可分为(x 3y m)(x 2y n)解：设 x 2 xy 6y 2 x 13y 6 = (x 3y m)(x 2y n)••• (x 3y m)(x 2y n) = x xy 6y (m n)x (3n 2m) y mn2xy 6y (m n)x (3n 2m) y mn2x xy2 26y x 13y 6 = x例17、(1)当m为何值时，多项式x2 y2 mx 5y 6能分解因式，并分解此多项式。
(2)如果x3 ax2 bx 8有两个因式为x 1和x 2，求a b的值。
(1)分析：前两项可以分解为(x y)(x y)，故此多项式分解的形式必为(x y a)(x y b)解：设x2 2y mx 5y 6 =(x y a)(x y b)则x2 2y mx 5y 6 2 =x 2y (a b)x (b a) y aba b m a 2 a 2比较对应的系数可得： b a 5 ,解得： b 3或 b 3ab 6 m 1 m 1.•.当m 1时，原多项页式可以分解；当m 1时，原式= (x y 2)(x y 3)；当m 1时，原式=(x y 2)(x y 3)(2)分析：x3ax2 bx 8是一个二次式，所以它丿应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形「如x c的一次二项式。
解：设x 3 2 .ax bx 8 = (x 1)(x 2)( :x c)则x 3 2 .ax bx 8=x3(3 c )x2(2 3c)x 2 ca 3 c a 7.b 2 3c 解得 b 14 ,2c 8 c 4.a b =21练习 17、(1):分解因式x2；3xy 10y2x 9y 2(2)分解因式x2 3xy 2y25x 7y 6(3)已知：x22xy 3y2 6x 14y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。