因式分解—公式法
公式法因式分解
公式法因式分解公式法因式分解是一种有效的数学方法，它可以帮助我们快速找出复杂的表达式的因式分解结果。
它的基本原理是，通过运用因式的定义和性质，将一个复杂的表达式分解成若干个简单的因式，从而得到它的因式分解式。
因式分解是一个十分复杂的概念，它涉及到多个关键概念，如因式、因数、展开式、积式、系数、系数和系数等。
因式分解的过程可以概括为：①将一个表达式分为因式；②将这些因式各自因数分解；③用展开式、积式等简单形式重新构造出因式分解式。
公式法因式分解的基本思想是，将一个复杂的多项式以特定的形式分解成若干个因式，从而使其因式分解式更加清晰明了。
例如，将多项式2x2+7x+6分解成因式，可以先将其分解成展开式2x2+7x+3x+3，再进行因式分解：2x2+3x+3=(2x+3)(x+1)，再重新构造出它的因式分解式：2x2+7x+6=(2x+3)(x+2)，这样就得到了它的因式分解式了。
公式法因式分解的步骤如下：①根据多项式的式子把它分解成若干个简单的因式；②把每个因式因数分解；③用展开式、积式等形式重新构造出因式分解式。
本文将从实例出发，重点介绍公式法因式分解的实践方法。
首先，根据多项式的式子把它分解成若干个简单的因式。
需要特别注意的是，分解时一定要满足因式分解的特殊性质，即每个因式至少有一个非零系数。
例如：将多项式2x2+7x+6分解成展开式2x2+7x+3x+3，再进行因式分解：2x2+3x+3=(2x+3)(x+1)，即可满足因式分解的特殊性质。
其次，要把每个因式的因数分解出来，以便重新构造出因式分解式。
这一部分最重要的是，要能够分解出每一组因式的因数，具体的方法是，把因式的项的系数分别乘起来，得到它的常数项，再根据它的单项式把它分解出对应的因数，就可以得到完整的因式分解式了。
最后，要把因式按照正确的形式重新构造出因式分解式。
首先，要根据因式分解的特殊性质重新排列因式，使每个因式的非零系数在因式分解式的头部；其次，要把多项式的最高次数项保留，其他项按降幂排序；最后，要对除系数外的各项因数进行乘积运算，把它们组合成因式分解式。
因式分解的公式大全,因式分解万能公式法的应用
因式分解的公式大全，因式分解万能公式法的应用因式分解的公式大全？因式分解公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²把式子倒过来： (a+b)(a-b)=a²-b² a²±2ab+b²= (a±b)²就变成了因式分解，因为这个原因，我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方式称之为公式法。
例子：1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)2、p4-1 =(p²+1)(p²-1) =(p²+1)(p+1)(p-1)3、x²+14x+49 =x²+2·7·x+7² =(x+7)²4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)² =(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)² =[(m-2n)+(m+n)]² =(2m-n)²因式分解万能公式法？1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。
3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。
4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。
6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。
《公式法》因式分解
汇报人： 2023-12-26
目录
• 公式法因式分解简介 • 公式法因式分解的基本步骤 • 公式法因式分解的常见类型 • 公式法因式分解的实例解析 • 公式法因式分解的注意事项
01
公式法因式分解简介
因式分解的定义
01
02
03
因式分解的定义
将一个多项式表示为几个 整式的积的形式，这种变 形叫做把这个多项式因式 分解，也叫做分解因式。
在化简过程中，需要注意消除项和合 并同类项。
简化多项式可以使其更容易理解和计 算。
03
公式法因式分解的常见类型
二次多项式的因式分解
01
02
03
04
总结词
利用完全平方公式和平方差公 式进行因式分解
公式法
$ax^2+2abx+b^2=(ax+b) ^2$
公式法
$ax^2-b^2=(ax+b)(ax-b)$
二次多项式的实例解析
总结词
二次多项式是多项式中最简单的一类， 其因式分解方法相对固定，公式法是其 中最常用的方法之一。
VS
详细描述
对于形如ax^2+bx+c的二次多项式，我 们可以使用公式法进行因式分解。首先计 算判别式b^2-4ac的值，然后根据判别式 的值选择合适的公式进行因式分解。当判 别式大于0时，二次多项式有两个实根， 可以使用公式法分解为两个一次多项式的 乘积；当判别式等于0时，二次多项式有 一个重根，可以分解为一个一次多项式的 平方；当判别式小于0时，二次多项式没 有实根，无法使用公式法进行因式分解。
因式分解的步骤
提取公因式、公式法、十 字相乘法、分组分解法等 。
因式分解的作用
因式分解的7种方法
一、提公因式法.：)(c b a m mc mb ma ++=++二、运用公式法.由乘法公式，将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．补充公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是：A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
因式分解公式法
因式分解公式法14.3因式分解(公式法)知识点一：因式分解的概念因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幕的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；知识点二：基本公式2 2 2 21、(a+b)(a -b) = a -b ---- a -b =(a+b)(a -b)；2、(a ± b)2 = a 2土 2ab+b2--- a 2土2ab+b2=(a ± b)2；3、(a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2)；2 23 3 3 3 2 2、4、(a -b)(a +ab+b ) = a -b --- a -b =(a-b)(a +ab+b ).2 2 2 25、a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；3.3 3 2.2 26、a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca)；知识点三：方法及典型例题一、直接用公式：当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、分解因式：2 2(1) X -9 ；(2) 9x -6x+1。
二、提公因式后用公式：当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、分解因式：5 3 3 5 3 2 2 3(1) X y -x y ；(2) 4x y+4x y +xy。
三、系数变换后用公式：当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式，往往需要调整系数，转换为符合公式的形式，然后再利用公式法分解.例3、分解因式：2 2 2 2 4(1)4x -25y ; (2)4x -12xy +9y .四、指数变换后用公式：通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式，然后利公式法分解因式，应注意分解到每个因式都不能再分解为止?例4、分解因式：4 4 4 2 2 4(1)x -81y ; (2)16x -72x y +81y .五、重新排列后用公式：当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
因式分解的公式法
因式分解的公式法
因式分解是将一个多项式表达式写成若干个因式相乘的形式。
有以下几种常用的公式法进行因式分解：
1. 公因式提取法：
当多项式的每一项都有一个公因子时，可以将这个公因子提
取出来。
例如：2x + 4y = 2(x + 2y)
2. 完全平方公式：
当一个二次多项式是一个完全平方时，可以使用完全平方公
式进行因式分解。
例如：x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
3. 差平方公式：
当一个二次多项式可以表示为两个项的差的平方时，可以使
用差平方公式进行因式分解。
例如：x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)
4. 因式定理：
当一个多项式可以被一个因式整除时，可以使用因式定理进
行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)
5. 一般情况下，可以使用试除法、短除法等方法进行因式分解。
以上是一些常用的公式法进行因式分解的方法，具体的应用需要根据多项式的形式和特点来选择相应的方法进行因式分解。
公式法因式分解
即两数和与这两数差的积等于这两个 数的平方差.
两数和（差）的平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
语言表述：两数和（差）的平方，等于它们 的平方和加上（减去）它们乘积的两倍。
公式的结构特征：
（1）公式左边是两数和(差)的平方；
（2）公式右边是二次三项式，它是左边两数的平方 和加上（减去）左边两数积的两倍。
正方形空地，则这块空地的边长为多少米？
问题二：把一个边长a=6.6厘米的正方形零件的四角均切去 一个边长b=1.7厘米的小正方形，则剩余面积是多少？
把下列多项式分解因式
5a2 25a
3a2 9ab
解原式=-( 5a2 25a ) 解原式= 3a(a-3b)
=-5a(a-5)
25 x2 16 y2
动手做一做，看谁算得快。
把下列各式因式分解
① 9x2 4y2
9x2 4y2
(3x 2y)(3x 2y) (3x 2y)(3x 2y)
(2y 3x)(2y x)
② 9x2 12 xy 4 y2 9x2 12 xy 4 y2
(3x 2y)2
(3x 2y)2
小游戏
__ x2 ___ xy __ y2
游戏规则：一名同学说出两边的两个平方 数，另一个同学迅速说出中间的数字。
本节所学知识你掌握了吗，练一 练就知道了，思考后认真填写。
①
x2
1
（x
1）（x
1
）
4
2
2
② m2 mn _0_._2_5_n_ 2= (m 0.5n)2
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法因式分解是一种将一个数或代数式分解成更简单的乘积的方法。
在数学中，有很多种因式分解的方法可以使用，根据不同的情况可以采用不同的方法，下面将介绍十二种常见的因式分解方法。
1.提取公因子法：当一个式子存在公因子时，可以先将公因子提取出来，然后再进行进一步的因式分解。
2. 公式法：利用公式进行因式分解，例如(a+b)^2=a^2+2ab+b^23.分组法：将一个多项式按照不同的组合方式进行分组，然后再分别进行因式分解，最后将得到的结果合并。
4.平方差公式法：对于一个二次型式，可以利用平方差公式进行因式分解，例如a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式法：对于一个完全平方式，可以通过完全平方公式进行因式分解，例如a^2+2ab+b^2=(a+b)^26. 二次因式法：对于一个二次多项式，可以通过二次因式法进行因式分解，例如ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为方程ax^2+bx+c=0的根。
7.和差立方公式法：对于一个和差立方的多项式，可以通过和差立方公式进行因式分解。
8. 因式分解的配方法：通过配方法进行因式分解，例如ab+ac=a(b+c)。
9.分解因式法：将一个多项式根据不同的性质进行因式分解，例如差平方分解、和的平方分解等。
10.二次根与一次根相结合法：对于一个多项式，通过将二次根与一次根相结合，得到更简单的因式分解结果。
11. 分组求积法：对于一个多项式，可以通过分组求积法进行因式分解，例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
12.全等公式法：利用全等公式进行因式分解。
以上是常见的十二种因式分解方法。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体的问题选择合适的方法进行因式分解。
因式分解是数学中的一个重要概念，通过因式分解可以简化计算过程，提高解题效率。
因此，掌握不同的因式分解方法对于提高数学能力和解决实际问题都有很大的帮助。
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14.3.2 公式法(平方差公式) 授课时间：
教学目标：
1．知识与技能：会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力。
2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性。
3．情感、态度与价值观： 培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值。
教学重点：掌握平方差公式的特点及运用平方差公式进行因式分解的方法。
教学难点：提取公因式与平方差公式结合进行因式分解的思路和方法。
教学过程：
(一) 复习提问：
1. 讲评上节课作业，复习用提取公因式法分解因式。
2. 计算：（1）))((b a b a -+； （2）)3)(3(-+a a ；
（3）)35)(35(y x y x -+； （4）)43
1)(431(n m n m +-。
（设计意图：通过以上练习，复习用平方差公式进行整式的乘法计算，进一步引导学生理解整式的乘法与因式分解的关系）
（二）讲解新课：
我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用这种关系，可以得到因式分解的方法，如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做运用公式法，今天我们学习公式中的一种。
板书“平方差公式”。
把乘法公式22))((b a b a b a -=-+，反过来，就得到))((22b a b a b a -+=-，
这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
公式特征：二项式、差的形式、两项分别是平方数或平方式，符合此特征的二项式可用平方差公式进行因式分解，分解为这两个底数的和与这两个底数的差的积。
解题的关键在于找出这两项的底数，相当于公式中的a 、b 。
如：把22925y x -进行因式分解，因为22)5(25x x =，22)3(9y y =，底数分别为x 5、y 3，则22925y x -分解为)35)(35(y x y x -+。
下面我们举例说明，如何利用平方差公式分解因式：
)3)(3()3(92222y x y x y x y x -+=-=- )
()(22b a b a b a -+=-)2
14)(214()(21)4(41162222n m n m n m n m -+=-=- )
()(22b a b a b a -+=-
（设计意图：使学生充分认识到要先将每项都变为平方的形式，才可使用公式分解，另外平方差公式中的字母b a 、不仅可以表示数，而且可以表示代数式。
）
例1 ：把下列各式分解因式：
⑴2251b - ⑵222z y x - ⑶2201.09
4n m - 解：⑴)51)(51()5(1251222b b b b -+=-=-
⑵))(()(22222z xy z xy z xy z y x -+=-=-
⑶)1.03
2)(1.032()1.0()32(01.0942222n m n m n m n m -+=-=- （设计意图：让学生注意要将各项写成平方数或平方式的形式，准确得出各项的底数，套入公式进行因式分解。
）
例2 ： 把下列各式分解因式
222
2)(9)(4)2()2()()1(n m n m b a b a --+--+
分析：把)2()(b a b a -+与各看成一个数，则22)2()(b a b a --+符合平方差公式，可以因式分解。
222222)(9)(4,)](3[)(9,)](2[)(4n m n m n m n m n m n m --+--++把改写成改写成看成是)(3)(2n m n m -+与两数的平方差。
解：22)2()()1(b a b a --+
)
5)(5()]
(3)(2[)](3)(2[)](3[)](2[)(9)(4)2()
2(3)2(3)
2(3)]
2()[()]2()[(2
222m n n m n m n m n m n m n m n m n m n m a b a b a a b a a b a b a b a b a --=--+-++=--+=--+---=+-=--+-++=或
（设计意图：让学生注意运用平方差公式把一个多项式分解成两个整式积的形式后，应注意运用去括号法则，去掉每个多项式的括号，再合并同类项，把这个多项式进行整理，合并后的多项式因式要使首项为正。
）
例3 ： 把下列各式分解因式
443562516)2(273)1(n m x x --
分析：(1) 小题的两项不是平方差形式，但发现系数及字母x 都有公因式33x ，提出公因
式后则成为平方差形式，可以进一步分解。
35273)1(x x -解：
)
52)(52)(254()
254)(254()25()4(62516)2()
3)(3(3)
9(322222222224
4323n m n m n m n m n m n m n m x x x x x -++=-+=-=--+=-=
（设计意图：使学生认识到如果多项式的各项含有公因式，那么先提出这个公因式，再进一步分解因式，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
）
（三）练习巩固：第117页练习，补充：分解因式
25)32(2-+y x ； 22)73(100b a a +-；22)2()12(+--x x ；22)2(y y x -+； 22)2()23(4y x y x +--；22)(225)(144b a b a +--。
(设计意图：通过练习，巩固本节课所学的知识。
)
(四) 课堂小结：
1. 在运用平方差公式进行因式分解时，所给的多项式应为两项的平方差的形式，或经过适当的变形，可以把多项式表示为两项的平方差的形式；
2. 在解题过程中，要注意将这两项写成平方的形式，以利准确得到这两项的底数，即相当于公式中的a 、b ，套入平方差公式，才能提高因式分解的准确率。
3. 检查分解后的每一个因式能否再继续分解因式。
（设计意图：通过小结归纳，使学生对所学知识有一个系统的认识。
）
(五) 作业布置：
习题14.3第2题
教学反思：。