因式分解--公式法

5．把下列各式分解因式：
(1)(2x－1)2－(x＋2)2； (2)4x2－12x＋9.
解：(1)原式＝(2x－1＋x＋2)(2x－1－x－2)＝(3x＋1)(x－3)．
(2)原式＝(2x)2－12x＋32＝(2x－3)2.
1、下列多项式中，是完全平方式的是( ) A、x 2-6x-9 B、a 2 -16a+3 C、x 2 -2xy+4y 2 D、4a2 -4a+1 2、下列多项式属于正确分解因式的是( ) A、1+4x 2 =(1+2x)2 B、6a-9-a 2 =-(a-3)2 C、1+4m-4m2 =(1-2m)2 D、x2 +xy+y 2 =(x+y) 2 3、分解因式： （1）a2 -10a+25 (2)-3x2 +6xy-3y2 4 (3) 3ax 2 +6axy+3ay 2 (4) (a+b) -12(a+b) 2 +36
)
分解因式必须 进行到每一个 (1)x4—y4; (2) a3b — ab. 多项式都不能 再分解为止 . 分析:(1)x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式，
例4 分解因式:
这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.
(2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式, 再进一步分解.
解:(1) x4－y4
因式分解的一般步骤
例 3：分解因式： (1)x3－4x；
(2)36m2a－9m2a2－36m2. 思路导引：(1)中有公因式 x，先提公因式，剩下 x2－4 可用
平方差公式分解．(2)中有公因式－9m2，提出后剩下 a2－4a＋4， 可用完全平方公式进行分解．
解：(1)x3－4x＝x(x2－4)＝x(x＋2)(x－2)．
例3 分解因式: (1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –32， 即可用平方差公式分解因式. 在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体， 设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2. (1) 4x2 –9 (2) (x+p)2 – (x+q) 2 = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]
(2)36m2a－9m2a2－36m2＝－9m2(a2－4a＋4)＝－9m2(a－2)2.
【规律总结】因式分解一般按下列步骤进行：
(1)一提．若有公因式，应先提取公因式． (2)二套．即套用公式，如果各项没有公因式，那么可以尝 试运用公式法来分解．若为二项式，考虑用平方差公式；若为
三项式，考虑用完全平方公式．
分解因式
（1） 16x 2 +24x+9
(2) -x 2 +4xy-4y 2
2 解：(1)原式=（4x） +2•4x•3+32 =(4x+3)2
(2)原式=-(x -4xy+4y ) 2 2 =-[x -2•x•2y+(2y) ] =-(x-2y)2
【规律总结】凡是符合完全平方公式左边特点的三项式， 都可以运用完全平方公式分解因式．
用平方差公式分解因式(重点 例 1：将下列各式分解因式：
(1)25m2－n2； (2)(x－y)2－1.
思路导引：可直接利用平方差公式分解因式．
解：(1)25m2－n2＝(5m)2－n2＝(5m＋n)(5m－n)． (2)(x－y)2－1＝(x－y＋1)(x－y－1)． 【规律总结】凡是符合平方差公式左边特点的二项式，都 可以运用平方差公式分解因式．
15.4.2 思考：
公式法(2)
你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因 式吗？这两个多项式有什么特点？
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的Hale Waihona Puke 倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
=3a(x+y)2 .
=(a+b－6)2.
用完全平方公式分解因式(重点) 把整式乘法中的完全平方公式反过来，就得到 a2＋2ab＋b2 ＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 例 2：分解因式： (1)y2－4x(y－x)；
(2)(a2＋b2)2－4a2b2.
思路导引：(1)题将原式展开，再运用完全平方公式即可分 解；(2)题先运用平方差公式分解因式，然后将各个因式运用完
= (x2+y2)(x2－y2)
(2) a3b－ab
=ab(a2－ 1) =ab(a+1)(a－ 1).
= (x2+y2)(x+y)(x－y).
1. 计算：（1）
(x-1) 2
(2) (2y+3)2
2. 根据1题的结果分解因式： （1） x2 -2x+1
（2） 4y2 +12x+9
3.由以上1、2两题你发现了什么？
2
2
例6 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2－12(a+b)+36.
(2)中将a+b看作一 个整体，设a+b=m, 则原式化为完全平 方式m2－12m+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公 因式，再进一步分解. 解：(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2－12(a+b)+36 =3a(x2+2xy+y2) =(a+b)2－2· (a+b)· 6+62
§15.4 .2 公式法
1. 计算：（1）
(x+1)(x-1)
(2) (y+4)(y-4)
2
2. 根据1题的结果分解因式： 2 （1） x -1 3.由以上1、2两题你发现了什么？
（2） y -16
思考
15.4.2
公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗? (a+b)(a－b) = a2－b2 a2－b2 =(a+b)(a－b)
全平方公式分解因式．
解：(1)y2－4x(y－x)＝y2－4xy＋4x2＝(y－2x)2.
(2)(a2＋b2)2－4a2b2＝(a2＋b2)2－(2ab)2 ＝(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2ab)＝(a＋b)2(a－b)2. 【规律总结】凡是符合完全平方公式左边特点的三项式， 都可以运用完全平方公式分解因式．
B．②④
3．把代数式 ax2－4ax＋4a 分解因式，下列结果中正确的是 ( A ) A．a(x－2)2 C．a(x－4)2 B．a(x＋2)2 D．a(x＋2)(x－2)
4 ． 把 多 项 式 2mx2 － 4mxy ＋ 2my2分 解 因 式 的 结 果 是 2m(x－y)2 ． ____________
1．下列运用平方差公式分解因式中，正确的是( A．x2＋y2＝(x＋y)(x－y) B．x2－y2＝(x＋y)(x－y) C．－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
B )
D．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)
2．下列代数式中，是完全平方式的有( A ) ①a2－4a＋4； ④6x2＋3x＋1； A．①③ ②9a2＋16b2－20ab； ⑤x2＋4xy＋2y2. C．③④ D．①⑤ ③4y2－4y＋1；
= (2x)2 – 3 2
= (2x+3)(2x – 3). =(2x+p+q)(p–q).
1、下列多项式中，能用平方差分解因式的是( 2 A、x2 -xy B、x2 +xy C、x –y 2 D、x2 +y 2 2、分解因式： 2 2 2 2 （1）a -144b (2)16(x+y) -25(x-y)
例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x= 2· 4x· 3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2· 4x· 3+32
a· b +b2 a2 + 2 ·
【规律总结】凡是符合完全平方公式左边特点的三项式， 都可以运用完全平方公式分解因式．
2．用完全平方公式分解因式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这 和(或差)的平方 两个数的______________． (a＋b)2 ； 用公式表示为 a2＋2ab＋b2＝________ (a－b)2 a2－2ab＋b2＝________.
形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的多项式 叫做完全平方式
通过本节课的学习，你有哪些收获和感悟？
1.把x -2x2 y2 +y 分解因式，结果是（ ） A、 (x-y) 4 B (x 2 -y2 )4 C、 (x+y) 2 (x-y)2 D、 (x+y)2 (x-y) 2. 分解因式： 2 2 2 2 2 2 2 （1） (x +4y ) -16x y (2) a (a-b)+b (b-a) 3. 已知 x=-19, y=12, 求代数式4x2 +12xy+9y2
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