解决平面向量问题“五技巧”

解决平面向量问题“五技巧”平面向量具有“数”和“形”的“双重身份”，是数形结合的典范．准确把握平面向量的概念与运算，正确理解向量的几何意义，充分发挥图形的直观作用，挖掘“式”和“形”中隐含的几何关系和数量关系，这样才能较好地解决平面向量问题．在熟练掌握解决平面向量问题的通性通法的基础上，还要体味如何巧解平面向量问题，下面的“五巧”要尽量掌握．一、巧用向量中点公式在平面内，设点C 为线段AB 的中点，O 为任意一点，则1()2OC OA OB =+． 例1（2011年高考上海卷·文18）设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同点，则使1234MA MA MA MA +++=0成立的点M 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4分析：由条件得1234()MA MA MA MA +=-+，联想向量中点公式进行简化得MC MD =-（其中C 为线段12A A 的中点，D 为线段34A A 的中点），进而得到M 为CD 的中点，问题即可获解．解：设C 为线段12A A 的中点，D 为线段34A A 的中点，由条件得1234()MA MA MA MA +=-+，即MC MD =-，所以向量MC 与MD 是相反向量，且共用起点M ，所以M 为CD 的中点，所以点M 的个数是唯一的，选B ．点评：利用向量中点公式对条件向量等式进行简化，化归为熟知的问题，简捷获解．【牛刀小试】（赣州市2011届高三摸底考试）在长方形ABCD 中，263AB =，33AD =，O 为AB 的中点，若P 是线段DO 上动点，则()PA PB PD +⋅的最小值是_________．（解：由题意得22||||||1OD OA AD =+=．因为O 为AB 的中点，所以2PA PB PO +=，设||PD x =（01x ≤≤），则||1PO x =-，()PA PB PD +⋅2PO PD =⋅2||||cos180PO PD =⋅2(1)x x =--2112()22x =--12≥-，故所求最小值为12-．） 二、巧用⊥a b 0⇔⋅a b =例2（2011年高考上海卷·理11）在正三角形ABC 中，D 是BC 上的一点，3AB =，1BD =，则AB AD =⋅_________．分析：欲求AB AD ⋅，而||AD 、cos BAD ∠虽然可以利用条件求出，但是显得繁琐；注意到60ABC ∠=，1BD =，3AB =，作DE AB ⊥垂足为E ，则可将AB AD ⋅转化为AB AE ⋅，可快速获解．解：如图，过点D 作DE AB ⊥垂足为E ，则AB AD ⋅()AB AE ED =⋅+AB AE AB ED =⋅+⋅AB AE =⋅3||AE =13(3||)2BD =-152=． 点评：利用⊥a b 0⇔⋅a b =结合问题的特征（数量、图形），数形结合，将要求解的目标进行转化，利于沟通条件而快捷获解．【牛刀小试】（2011年高考湖南卷·理14）在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，3CA CE =，则AD BE ⋅=_________．（解：依题意D 为BC 的中点，AD BC ⊥，所以AD BE ⋅()AD BC CE =⋅+AD BC AD CE =⋅+⋅AD CE =⋅||||cos150AD CE =⋅3131()2324=⨯⨯-=-．） 三、巧用平面内三点共线的充要条件 平面内,,A P B 三点共线⇔AP AB λ=（λ∈R ）⇔对平面内任意一点O ，使得OP OA OB αβ=+（其中,αβ∈R ，1αβ+=）．例3（2011届北京市东直门学校第二次月考）已知,,A B C 是平面上不共线的三点，O 为ABC ∆的外心，D 为AB 的中点，动点P 满足1[(22)(12)]3OP OD OC λλ=-++(λ∈R )，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心分析：审视条件向量等式，有11(22)(12)133λλ-++=，问题即可获解． 解：因为11(22)(12)33OP OD OC λλ=-++，11(22)(12)133λλ-++=，所以,,P C D 三点共线．又D 为AB 的中点，所以点P 的轨迹一定过ABC ∆的重心，选C ． 点评：利用平面内三点共线的充要条件快捷揭去条件向量等式的“包装”露出,,P C D 三点共线这个“内核”，问题迎刃而解．【牛刀小试】（哈尔滨市2011届高三第二次月考试题）如图，在ABC ∆中，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+=_________．（解：因为M 为AH 的中点，,,B H C 三点共线，所以2AM AH AB AC αβ==+，1αβ+=．所以22AM AB AC αβ=+，所以λμ+=11()22αβ+=） 四、巧用常用结论（1）三角形四心的向量表示：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，①O 为外心⇔222OA OB OC ==；②G 为重心⇔GA GB GC ++=0；③H 为垂心⇔ HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅；④I 为内心⇔a IA b IB c IC ⋅+⋅+⋅=0．（2）||||AB AC AB AC +（简化为AD ）所在的直线一定通过ABC ∆的内心（即AD 为BAC ∠的角平分线）；（3）AB AC +所在的直线一定通过ABC ∆的重心；（4）||cos ||cos AB AC AB B AC C +（简化为AP ，可证得0AP BC ⋅=）所在直线一定通过ABC ∆的垂心．例4（上海市浦东新区2011届高三质量抽测）点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）OA OB OC ++=0；（2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅；（3）()||||AC AB OA AC AB ⋅- ()0||||BC BA OB BC BA =⋅-=；（4）()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=．则点O 依次为ABC ∆的（ ）A ．内心、外心、重心、垂心B ．重心、外心、内心、垂心C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心分析：根据熟知的结论可排除选项A 、B 、D ，选C ．解：（1）显然O 为ABC ∆的重心；（2）显然O 为ABC ∆的垂心；（3）设||AC AM AC =，||AB AN AB =，则AM 、AN 都为单位向量且分别与AC 、AB 同向共线．由()0||||AC AB OA AC AB ⋅-=得0OA NM ⋅=，所以OA MN ⊥，所以OA 是BAC ∠的平分线；同理由()0||||BC BA OB BC BA ⋅-=得到OB 是ABC ∠的平分线，所以O 为ABC ∆的内心．（4）设D 为AB 的中点，由()0OA OB AB +⋅=得20OD AB ⋅=，所以OD AB ⊥，所以OD 是AB 的垂直平分线．同理由()0OB OC BC +⋅=得到点O 在线段BC 的垂直平分线上，所以O 为ABC ∆的外心．点评：熟记一些重要而常用的小结论，对解决数学问题是很有益的，或者可以开启解题思路，或者可以直接用于解题赢得考试时间．【牛刀小试】（安徽蚌埠二中2011届高三第四次质量检测题）已知ABC ∆所在平面上的动点M 满足222AM BC AC AB ⋅=-，则M 点的轨迹过ABC ∆的（ ）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心（解：由已知得2()()AM BC AC AB AC AB ⋅=+-，即 2()AM BC AC AB BC ⋅=+⋅，所以[2()]0BC AM AB AC ⋅-+=，设BC 的中点为D ，则2AB AC AD +=，所以20BC DM ⋅=，所以MD BC ⊥，所以动点M 在BC 的垂直平分线上，所以M 点的轨迹过ABC ∆的外心，选D ．）五、巧构图形1．构图求向量夹角的取值范围例5（2011年高考课标全国卷·理10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列命题：1p ：2||1[0,)3πθ+>⇔∈a b 2p ：2||1(,]3πθπ+>⇔∈a b 3p ：||1[0,)3πθ->⇔∈a b 4p ：||1(,]3πθπ->⇔∈a b 其中真命题是A ．14,p pB ．13,p pC ．23,p pD ．24,p p分析：利用向量的三角形法则分别表示+a b 、-a b ，固定a 而让b 旋转，观察角θ如何变化结合条件即可确定相应的取值范围．解：如图（1），||||AB =a ，||||BC =b ，||||AC =+a b ，CBD θ∠=，当BC 绕着点B 逆时针旋转时，θ增大，||||AC =+a b 减小，当23πθ=时ABC ∆为正三角形，易知||>1a +b 2[0,)3πθ⇔∈．如图（2）||||AB =a ，||||AC =b ，||||CB =-a b ，CAB θ∠=，当AC 绕着点A 逆时针旋转时，θ增大，||||CB =-a b 增大，易知，||->1a b (,]3πθπ⇔∈，故选A ． 点评：向量具有“数”和“形”的双重特征，利用向量的三角形法则和运动思想，研究相应条件下θ的取值范围，解法新颖独特，直观快捷（只画图让图在大脑中运动并抓临界值即可获解）．【牛刀小试】（2011年高考浙江卷·理14）若平面向量α、β满足||1=α，||1≤β，且以向量α、β为邻边的平面四边形的面积为12，则向量α与β的夹角θ的取值范围为________． （解：如图，在单位圆O 中，取半径OA ，设OA =α，作OB OA ⊥交圆于点B ，取OB 的中点D ，过点D 作OA 的平行线交单位圆于点,E F ．设OC =β，当点C 在线段EF （含两个端点）上时满足||1≤β，且以向量α、β为邻边的平面四边形的面积为12，易知6EOA π∠=，56FOA π∠=，所以5[,]66ππθ∈） 2．求向量的模的最值例6（2011年高考天津卷·理14）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则|3|PA PB +的最小值为________．分析：构图时自然是从直角梯形ABCD 内的向量图形出发，扣住3PA PB +的特点设法用一个向量三角形来描述转化为GP PF +即|3|||PA PB GF +=，点P 在DC上运动时，动点G 在直线AD 上的投影点E 到点D 的距离为2，动点F 在直线AD 上的投影点N 到点D 的距离为3，于是获得构图思路．解：作出直角梯形ABCD ，延长AD 至点E 使得AD DE =，过点E 作HE AD ⊥．延长CB 至点M ，使得2MB BC =，过点M 作MN AD ⊥，交DA 的延长线于点N ，如图．由2AD =，1BC =，易知5EN =．延长AP 交EH 于点G ，延长PB 交MN 于点F ，则3PA PB +GP PF GF =+=．当点P 向点C 靠近时，点G 向上运动，点F 向下运动．22()GE PD CD PC ==-，2FN PC CD =+，当GE FN =即34PC CD =时//GF AD ，此时||GF 取得最小值5，所以|3|PA PB +的最小值为5．点评：依据3PA PB +的特点及已知条件进行，充分利用平面几何知识巧妙构图，数形结合在运动中探索|3|PA PB +的最小值．【牛刀小试】（2011年高考辽宁卷·理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0⋅=a b ，()()0-⋅-≤a c b c ，则||+-a b c 的最大值为（ ）A ．21-B ．1C ．2D ．2（解：因为a ，b ，c 均为单位向量，且0⋅=a b ，所以构造单位圆，如图，使得OA =a ，OB =b ，OC =c ，OB OA ⊥．又()()0-⋅-≤a c b c ，所以90BCA ∠≥，所以OC 只能在BOA ∠内或者与OA （或OB ）重合．作OD =+a b ，则||2OD =，||+-a b c ||CD =．所以当点C 在线段OD 上时||+-a b c 取得最小值21-，当点C 远离OD 与单位圆的交点而向点B （或点A ）靠近的过程中||CD 增大，特别的当点C 与点B 或点A 重合时（满足()()0-⋅-=a c b c ），||CD 取得最大值1，故选B ．） 充分挖掘向量的代数运算和几何意义（性质）之间的关系是掌握向量数学本质的关键，相关的平面几何知识是解决平面向量问题的重要辅助工具，数形结合、转化与化归、动静结合（包含简化）等数学思想则为解决平面向量的指路明灯．。