工程流体力学第6章-流体流动微分方程19p

流体质点 的加速度
体积力+表面 力
(单位体积)
mai Fi ix, y, z
运动方程+连 续性方程共4个 方程，涉及9个 变量：3个速度 分量，6个独立 应力分量： vx , vy , vz
r
(r2vr )
1 r sin
(v
sin )
1 r sin
(v )
0
6.2 运动微分方程的建立 —— 6.2.1 作用于流体微元上的力
动量守恒方程：
微元体输出 的动量流量
-
微元体输入 的动量流量
+
微元体内的 动量变化率
F
微元体体积力与表面力(应力)：如图
zy
zy z
dz
zz
zz z
x
方向：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx x
yx y
zx z
y
方向：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
fy
xy x
yy y
zy z
z
方向：
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
fz
xz x
yz y
zz z
流体质量 (单位体积)
(vx ) (vy ) (vz ) 0 or ( v) 0
x
y
z t
t
其展开形式为：
t
vx
x
vy
y
vz
z
vx x
vy y
vz z
0
6.1 连续性方程 —— 6.1.1直角坐标系中的连续性方程(续)
连续性方程(续)：
t
vx
x
vy
y
vz
z
将微元体 x 方向动量的净输出流量、变化率，以及x方向的体积力、表面力 代入动量守恒方程可得：
(vx2 ) x
(vyvx ) y
(vzvx ) vx
z
t
fx
xx x
yx y
zx z
vx
(
t
vx x
vy y
vz z
)
( vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
)
简化后得：以应力表示的运动方程：( y、z 方向同理)
dz
zx
zx z
dz
微元体x、y、z方向的体积力:
xx
xy yx
xx
xx x
dx
f x dxdydz，f y dxdydz，f z dxdydz
微元体上的表面力:
x
方向:
xx
xx x
dx
dydz
xxdydz
yx
yx y
dy
dxdz
yxdxdz
z
xz dz
dy
dx
yy yz
物理意义: (v) 是流体体积变形速率，v=0表示不可压缩流体运动过程 中，不管其形状怎样变化，其体积不会改变。因此，只要是不可压缩流 体，无论稳态流动还是非稳态流动，其连续性方程都一样。
6.1 连续性方程 —— 6.1.2柱坐标和球坐标系中的连续性方程
柱坐标系、球坐标系：如图
z
vz
x r cos y r sin
)
dx
输出微元面的 x 方向动量流量为:
(vxvx
vxvx x
dx)dydz
y
dy A dx
v y vx
vz vx x
(vyvx
vyvx y
dy)dxdz
(vzvx
vzvx z
dz)dxdy
因此: 微元体净输出的 x 方向动量流量：
(vx2 x
)
(vyvx y
)
(vzvx z
)
dxdydz
微元体x、y、z方 向动量的变化率：
vx x
vy y
vz z
0
根据物理量 的质点导数和矢量v的散度定义:
D Dt
t
vx
x
vy
y
vz
z
,
v vx vy vz x y z
连续性方程可表示为： D ( v) 0
Dt
不可压缩流体的连续性方程： const D Dt 0，
v 0 or vx vy vz 0 x y z
流体流动微分方程——流体力学主干方程
包括：连续性方程，运动微分方程—Navier-Stokes方程(N-S方程)； 连续性方程及N-S方程是粘性流体流动质量守恒和动量守恒的数学表达， 具有普遍的适应性。
本章主要内容
流体流动连续性方程：微元质量守恒分析连续性方程 运动微分方程的建立：微元受力与动量分析应力形式的运动方程 粘性流体的运动方程：流体本构方程及讨论运动微分方程(N-S方程) 流动微分方程的应用：N-S方程应用概述与举例
对流传热N-S方程 (Boussinesq Equation of Motion) 湍流时均化N-S方程(雷诺方程)
6.1 连续性方程 —— 6.1.1直角坐标系中的连续性方程
质量守恒方程： 微元体输出
的质量流量
-
微元体输入 的质量流量
+
微元体内的 质量变化率
0
微元体质量守恒分析：如图
vy
(vy y
微元体净输出的x、y、z方向的动图
vyvx
(vyvx y
)
dy
其中箭头方向仅表示输入输出方向。
输入微元面的 x 方向动量流量为:
v x v x
vxvxdydz vyvxdxdz vzvxdxdy
z
dz
vz
vx
( vz vx z
)
dz
vxvx
(vxvx x
fy
fz fx
单位质量
y
A zx zy
体积力
zz
x
zx
zx z
dz
dxdy
zxdxdy
xx x
yx y
zx z
dxdydz
y
方向:
xy x
yy y
zy z
dxdydz
z
方向:
xz x
yz y
zz z
dxdydz
6.2 运动微分方程的建立 —— 6.2.2 动量流量及动量变化率
)
dy
微元面法向速度和质量通量：
vx , vy , vz ；vx , vy , vz
微元面净输出的质量流量:
(vx x
)
(vy y
)
(vz z
)
dxdydz
vx
z
y
微元体质量变化率： dxdydz
t
dz dy
A
vz
( vz z
)
dz
vx
( vx x
)
dx
dx
vy
vz
x
连续性方程：以上结果代入质量守恒方程有
x : vx dxdydz
同理: 微元体净输出的 y 方向动量流量：
(v x x
vy
)
(
v
2 y
y
)
(vzvy z
)
dxdydz
t y : vy dxdydz
t
微元体净输出的 z 方向动量流量：
(vxvz x
)
(vyvz y
)
(vz2 z
)
dxdydz
z : vz dxdydz t
6.2 运动微分方程的建立 —— 6.2.3 以应力表示的运动方程
v z z
z vr
x
r
y
x
z r
x r sin cos y r sin sin
vr z r cos
v
v
y
柱坐标系连续性方程:
t
1 r
r
(rvr )
1 r
(
v
)
z
(vz )
0
对于不可压缩流体:
1 (rvr ) 1 v vz 0 r r r z
球坐标系的 连续性方程：
t
1 r2