利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数范围举例
利用导数求参数范围举例例1.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． 解：(1)2,21-=-=b a 2122)2(]2,1[)(,2)2(,21)1(23)1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f cf c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由例2.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 解:(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g 例3．已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围在解题中，我们首先要确定参数的取值范围是有限的，也就是参数不能无限制地取值。
然后我们利用导数的单调性来排除一些不符合要求的取值范围，从而找到参数的合理取值范围。
为了更好地理解这个方法，我们来看一个具体的例子：问题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
如果函数f(x)在定义域内是递增函数，求参数b的取值范围。
解答：首先，我们要明确函数f(x)是递增函数的定义：对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
我们可以通过求函数f(x)的导函数f'(x)来判断函数f(x)的单调性。
在本例中，函数f(x)的导函数为f'(x) = 2ax + b。
由于函数f(x)为递增函数，所以f'(x)应该大于0。
即对于任意的x，有f'(x)>0。
我们可以把f'(x) > 0看作是一个一次函数y = 2ax + b > 0的解。
这个一次函数的解为x < -b/2a。
也就是说，对于任意的x<-b/2a，有f'(x)>0。
这样一来，我们就可以得出结论，函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数。
但是我们并不能马上就得出参数b的取值范围是x<-b/2a。
因为函数f(x)的定义域可能不包含这个区间。
为了求出参数b的取值范围，我们需要进一步考虑函数f(x)的定义域。
对于函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的定义域是所有实数集合R。
因此，对于任意实数x，函数f(x)都有定义。
由于我们已经确定了函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数，所以我们只需要确定使得这个区间包含在定义域内的参数b的取值范围即可。
如果我们假设b/2a为一个实数k，那么我们可以得出-x>k。
即对于任意的x>-k，函数f(x)是递增的。
然而，x的取值范围是所有实数，所以我们可以把任意实数k当作是b/2a。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围在微积分中，导数是用来描述一个函数在其中一点上的变化率的工具。
通过求导，我们可以研究函数的增减性、最值、拐点等性质。
而利用导数求参数的取值范围，我们主要关注函数的单调性和极值点，对于包含参数的函数，我们可以利用导数来研究参数的取值范围。
设函数$f(x)$为包含参数$a$的函数，我们的目标是求出参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$满足其中一特定条件。
下面将分别讨论求函数单调性和极值点的情况。
一、函数的单调性：1.1单调递增：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递增，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)<f(x_2)$。
若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒大于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递增的。
因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递增。
具体步骤如下：1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。
2)解方程$f'(x)>0$，求出与参数$a$有关的不等式。
3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。
1.2单调递减：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递减，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)>f(x_2)$。
若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒小于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递减的。
因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递减。
具体步骤如下：1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。
2)解方程$f'(x)<0$，求出与参数$a$有关的不等式。
3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。
利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
： 则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0,恒成立x [2,4]
方法：（分离参数）2ax 3x2 3恒成立
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a
0时，令f
'(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
在（2， ）递减。
(3)当a
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习 若函数f (x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 2： 求实数a的取值范围.
解析： f '(x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '(x) 0在（0,2）上恒成立
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则:
、
如果在(a,b)内，f
(x)＞0，则f
(x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f (x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤 是
1、求定义 域2、求导
f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0, 求出减区间。
导数中的求参数取值范围问题
帮你归纳总结(五〕：导数中的求参数取值范围问题 一、常见基此题型：〔1〕函数单调性，求参数的取值范围，如函数()f x 增区间，那么在此区间上 导函数()0f x '≥，如函数()f x 减区间，那么在此区间上导函数()0f x '≤。
〔2〕不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。
例1.a ∈R ，函数2()()e x f x x ax -=-+.〔x ∈R ，e 为自然对数的底数〕〔1〕假设函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；〔2〕函数()f x 是否为R 上的单调函数，假设是，求出a 的取值范围；假设不是，请说明 理由. 解： 〔1〕2-()()e x f x x ax =-+-2-()(2)e ()(e )x x f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x x a x a ⎡⎤-++⎣⎦.()()f x 要使在-1,1上单调递减， 那么()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立， 2(2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2()(2)g x x a x a =-++，那么(1)0,(1)0.g g -≤⎧⎨≤⎩1(2)01(2)0a a a a +++≤⎧∴⎨-++≤⎩, 32a ∴≤-.〔2〕①假设函数()f x 在R 上单调递减，那么()0f x '≤ 对x ∈R 都成立即2-(2)e 0xx a x a ⎡⎤-++≤⎣⎦对x ∈R 都成立.2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤ 对x ∈R 都成立令2()(2)g x x a x a =-++，图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立②假设函数()f x 在R 上单调递减，那么()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，即2-(2)e 0xx a x a ⎡⎤-++≥⎣⎦ 对x ∈R 都成立，e 0,x -> 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立. 22(2)440a a a ∆=+-=+>故函数()f x 不可能在R 上单调递增.综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数例2：函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈,假设函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，对于任意[1,2]t ∈，函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；解： /(2)1,22af a =-==-由32/2()2ln 23()(2)2, ()3(4)22f x x x mg x x x x g x x m x ∴=-+-∴=++-=++- 令/()0g x =得，2(4)240m ∆=++>故/()0g x =两个根一正一负，即有且只有一个正根函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数 ∴/()0g x =在(,3)t 上有且只有实数根///(0)20,()0,(3)0g g t g =-<∴<>∴237, (4)233m m t t >-+<-故243m t t +<-，而23y t t =-∈在t [1,2]单调减， ∴9m <-，综合得3793m -<<-例3.函数14341ln )(-+-=xx x x f ． 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的单调区间；〔Ⅱ〕设42)(2-+-=bx x x g ，假设对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥ 恒成立，求实数b 的取值范围． 解：〔I 〕14341ln )(-+-=xx x x f 的定义域是(0,)+∞22243443411)(x x x x x x f --=--=' 由0>x 及0)(>'x f 得31<<x ；由0>x 及0)(<'x f 得310><<x x 或， 故函数)(x f 的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(∞+ 〔II 〕假设对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立， 问题等价于max min )()(x g x f ≥，由〔I 〕可知，在(0,2)上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以min 1()(1)2f x f ==-； []2()24,1,2g x x bx x =-+-∈当1b <时，max ()(1)25g x g b ==-； 当12b ≤≤时，2max ()()4g x g b b ==-； 当2b >时，max ()(2)48g x g b ==-；问题等价于11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或21482b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得1b <或12b ≤≤或 b ∈∅即2b ≤，所以实数b的取值范围是,⎛-∞ ⎝⎦。
例说高考题中的使用导数求参数范围
∴在[ln(3a), ln(4a)]上，
(x)
max
=
(ln(4a))
故原不等式成立，当且仅当
=
12a ln(
5
)
min
，
(ln(4a))
g
(
x)
ex a ex a
<
min
m
8a = g (ln(3a)) = ln( ) ，
<
g
点评：问题（2）涉及的式子看似复杂，难以下手，一旦使不等式问题函数化，问题就变得 简单多了。再借用导数判断出新函数的单调性，即可求出在给定区间的最值，问题即迎刃 而解。 二 与极值点的个数有关
∴ f (x) = 3x2 + 2x +t .
若 f ( x) 在区间(-1,1)上是增函数，则有 f ( x) ≥0
t ≥ 3x2 - 2x 在 (-1,1)上恒成立.
若令 g ( x) = 3x2 - 2x =-3( x 1 ) 2 - 1
33
在区间[-1,1]上， g ( x) = g (1) =5，故在区间(-1,1)上使 t ≥ g ( x) 恒成立，
例说高考题中的利用导数求参数范围
河北 高亚平
导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。也越来越 受到高考命题专家的“青睐”。其中，利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的 热点。在 04 年高考中，湖北、辽宁等地考查了这点；在 05 年的高考中，湖北、辽宁、湖 南、山东、重庆、天津等地更着重考查了这一点，甚至很多都安排在倒数第一、二题的位 置上！
2
24
② 若 a >1，则 g ( x) 在(- 1 ,0)上为增函数，须使 g ( x) = 3x 2 a ＞0 在(- 1 ,0)上恒成立，
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数是微积分中的重要概念，可以用于求函数的变化率、极值、最值等问题。
利用导数求参数的取值范围可以帮助我们找到函数的关键点、拐点以及定义域的范围等信息。
下面是一些常见的方法归纳。
求函数在处的导数：1.首先，计算函数的导数表达式。
2.将参数值代入导数表达式，得到函数在该处的导数。
3.根据导数值的正负来判断函数在该处的增减性。
求函数的关键点：1.通过导数求出函数的导数表达式。
2.设置函数的导数等于零的方程，并求解得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，得到关键点的横坐标。
4.进一步求得关键点的纵坐标，得到函数的关键点。
求函数的拐点：1.首先，求出函数的二阶导数表达式。
2.解出二阶导数等于零的方程，得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，求出拐点的横坐标。
4.进一步求得拐点的纵坐标，得到函数的拐点。
求函数的定义域范围：1.首先，确定函数的定义区间，并计算函数在该区间的导数。
2.判断导数的正负情况，以确定函数的单调性。
3.判断函数在定义区间的端点处是否存在极值。
若存在，则考虑边界条件。
4.根据以上分析，确定函数在定义区间的取值范围。
举例说明：1. 求函数 f(x) = ax^2 + bx 的最值：首先，求出函数的导数 f'(x) = 2ax + b。
令导数等于零，得到 2ax + b = 0，解方程可得 x = -b/(2a)。
将x的值代入原函数，得到最值的纵坐标。
进一步分析函数的单调性和边界条件，得到函数的取值范围。
2. 求函数 g(x) = sin(ax) 的最值：首先，求出函数的导数 g'(x) = acos(ax)。
判断导数的正负情况，确定函数的单调性。
根据函数的周期性和边界条件，得出函数在定义区间的取值范围。
3. 求函数 h(x) = log(x + a) 的定义域范围：首先，确定函数的定义区间为x+a>0，即x>-a。
对函数求导，得到导数h'(x)=1/(x+a)。
专题2.14 利用导数求参数范围(解析版)
第十四讲利用导数求参数范围【修炼套路】考向一利用单调性求参数【例1】已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围．【答案】a≤0【解析】由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.【举一反三】1．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围．【答案】a≤3【解析】因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.2.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．【答案】见解析【解析】由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a≥3时，f(x)在区间(－1,1)上为减函数．3.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值．【答案】3【解析】由例题可知，f(x)的单调递减区间为(－3a3，3a3)，∴3a3＝1，即a＝3.4.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．【答案】（0,3）【解析】∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，即0＜a＜3.【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ,得函数的单调递增（减）区间。
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高考题中的利用导数求参数范围一 .与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系 求解策略：利用“要使a x f >)(成立，只需使函数的最小值a x f >min)(恒成立即可；要使a x f <)(成立，只需使函数的最大值a x f <max)(恒成立即可”.这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例1已知向量a =(2x ,1+x )，a =(x -1,t )，若b a x f •=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.解析：由向量的数量积定义，)(x f =2x (x -1)+(1+x )t =3x-+2x +tx +t∴)(x f '=23x -+x 2+t .若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数，则有)(x f '≥0⇔t ≥23x -x 2在 (-1,1)上恒成立. 若令)(x g =23x -x 2=-3(31-x )2-31在区间[-1,1]上，max)(x g =)1(-g =5，故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立，只需t ≥)1(-g 即可，即t ≥5. 即t 的取值范围是[5，∞）.点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。
例2使不等式4x -22x >a -2对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围. 解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令)(x f =4x -22x ，则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于m in)(x f >a -2.又)(x f '=34x -x 4=42x (1-x )，令)(x f '=0，解得，x =0或x =1.)(x f '的符号及)(x f 的单调性如下：因为)(x f 在R 上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即m in)(x f =)1(f = -1，∴m in)(x f = -1>a -2，即a >3.点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。
例3若函数)(x f =3()log x ax a -(a >0,a ≠1)在区间(-21,0)内单调递增，则a 的取值范围是（ ）A[41,1) B[43.1) C(49,+∞) D(1, 49) 解析：)(x f 是复合函数，须按0<a <1及a >1两种情况考虑. 令)(x g =ax x -3，∵)(x f 在(-21,0)上为增函数，① 若0<a <1，则)(x g 在(-21,0)上为减函数，即)(x g '=a x -23<0在(-21,0)上恒成立，即a >32x 在(-21,0)上恒成立, ∴a ≥32)21(-=43,此时，43≤a ＜1；② 若a >1，则)(x g 在(-21,0)上为增函数，须使)(x g '=a x -23＞0在(-21,0)上恒成立，即a ＜32x 在(-21,0)上恒成立, 即a ≤0，不合题意. 综上，a ∈[43.1).点评：解决与复合函数有关问题，要注意复合函数的单调性，否则就会南辕北辙. 例4（04辽宁）已知函数)0)(ln()(>+=a a e x f x. （1）求函数)(x f y =的反函数)()(1x f x fy 及-=的导数);(x f '（2）假设对任意)]4ln(),3[ln(a a x ∈,不等式0))(ln(|)(|1<'+--x f x f m 成立，求实数m 的取值范围.解析：(1) 解略. )(1x f-=)ln(a e x-，)(x f '=ax x e e +；得))(ln(x f '=)ln(a e x x+-；(2) 解此绝对值不等式得)(1x f-+))(ln(x f '<m <)(1x f--))(ln(x f '把（1）代入上式，得)ln(a e x--)ln(a e x++x <m <)ln(a e x-+)ln(a e x+-x 若把此不等式左右两边设为两个新函数，即令)(x φ=)ln(a e x --)ln(a e x ++x ，)(x g =)ln(a e x -+)ln(a e x+-x 则原不等式对于任意)]4ln(),3[ln(a a x ∈恒成立，意即)(x φ<m <)(x g 成立， 只需满足m ax)(x φ<m <m in)(x g 即可.)(x φ'=1++--a e e a x x x x e e ，)(x g '=1-++-a e e a x x x x e e ，注意到0<a e x -<x e <a e x+，即a x x e e +<1<ax x e e -，故)(x φ'>0 , )(x g '>0 , 故)(x φ、)(x g 均为增函数，∴在)]4ln(),3[ln(a a 上，m ax)(x φ=))4(ln(a φ=)512ln(a ，m in)(x g =))3(ln(a g =)38ln(a ，故原不等式成立，当且仅当))4(ln(a φ<m <))3(ln(a g ，即)512ln(a <m <)38ln(a .点评：问题（2）涉及的式子看似复杂，难以下手，一旦使不等式问题函数化，问题就变得简单多了。
再借用导数判断出新函数的单调性，即可求出在给定区间的最值，问题即迎刃而解。
二 .与极值点的个数有关求解策略：按方程)(x f '=0的根的个数分情况谈论。
例5已知1->b ,0>c ,函数)(x f =b x + 的图象与函数)(x g =c bx x ++2的图象相切， (Ⅰ)求b 与c 的关系式（用c 表示b ）；(Ⅱ)设函数)(x F =)()(x g x f 在(-∞,+∞)内有极值点，求c 的取值范围.解析：(Ⅰ)∵)(x f 与)(x g 的图象相切，∴切线的斜率相等，即)(x f '=)(x g '即12=+b x ，故21b x -=，切点的纵坐标为)21(b f -=)21(b g -，解得c b 4)1(2=+，又∵1->b ,0>c ，∴c b 21=+，即c b 21+-=.(Ⅱ) ∵)(x F =)()(x g x f =bc x c b bx x ++++)(2223，∴)(x F '=c b bx x +++2243，令)(x F '=0，即c b bx x +++2243=0 (这是二次方程，可通过判别式判断根的个数，进而判断极值点的情况)Δ=)(121622c b b +-=)3(42c b -① 若Δ=0，)(x F '=0有一个实根0x ，则)(x F '=2)(30x x -，)(x F '的变化如下：故x =0x 不是)(x F 的极值点；②若Δ＞0，)(x F '=0有两个不同的实根1x 、2x ，不妨设1x ＜2x ，则)(x F '=)(31x x -)(2x x -，)(x F '故1x x=、2x x =分别为函数)(x F 的极大值点和极小值点.综合①②，当Δ＞0，)(x F '=0在(-∞,+∞)内有极值点.由Δ=)3(42c b -＞0，即2b ＞c 3，又由(Ⅰ) c b 21+-=， 得，2)21(c+-＞c 3解得， 3470-<<c 或347+>c .故c 的取值范围是（0，347-）∪（347+，+∞）.点评：解决Ⅰ要明了切线与导数之间的关系；解决Ⅱ借助了一元二次方程的判别式，更要结合导数与极值之间的关系. 三 .与集合之间的关系相联系例6设t ≠0，点)0,(t P 是函数ax x x f +=3)(与)(x g =c bx +2的图象的一个公共点.两函数的图象在点P 处有相同的切线，(Ⅰ)用t 表示a ，b ，c ；(Ⅱ)若函数y =)()(x g x f -在(-1,3)上单调递减，求t 的取值范围.解析：(Ⅰ) P 为切点，切线相同，此问与例5大同小异。
把P 点代入两函数解析式，有⎩⎨⎧==++0023c bt at t ，又t ≠0，故⎩⎨⎧=-=abc t a 2，又在点P 处切线相同，故)()(x g x f '='，即bt a t232=+，将2t a -=代入，得b =t ，从而，c =3x -，即⎪⎩⎪⎨⎧-==-=32t c t b t a .(Ⅱ) 由(Ⅰ)x t x x f 23)(-=，)(x g =32t tx -， ∴y =)()(x g x f -=3223t x t tx x +--，∴y '=2223t tx x --=))(3(t x t x -+， 函数y =)()(x g x f -单调递减，即y '＜0，由y '=))(3(t x t x -+＜0，当t ＞0时，3t -＜x ＜t ；t ＜0时，t ＜x ＜3t -. 故函数y 的单调区间，当t ＞0时，为),3(t t-；当t ＜0时，为)3,(tt -.故要使函数y 在(-1,3)上单调递减，须满足(-1,3) ⊂),3(t t -或(-1,3) ⊂)3,(tt -，即⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤->3130t t t 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--≤<3310t t t ，解得，t ≥3或t ≤-9.故t 的范围是(-∞，-9]∪[3，+∞）. 点评：Ⅱ题看题意似与例1相似，其实不然。
本题y '的表达式中含tx 、2t 和2x ，不能把x 全部移到另一边构造新的二次函数，故利用了集合之间的包含关系确定边界点的范围，从而得出结果。
04年高考浙江文就已经考过了此类题.四、已知函数单调性，求参数的取值范围 类型1．参数放在函数表达式上例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.,3)()1(-∞=略解：（１）由的极值点为时经检验知解得)(3,3.30)3('x f x a a f ==== （２）方法１：)1)((66)1(66)(2'--=++-=x a x a x a x x f.)0,()(,0.10,)0,()(,),1(),,()(,1.),()(,0)1(6)(,1.,),(),1,()(,12上递增在时综上所述则上递增在要保证上递增在时当上递增在恒成立时当符合条件上递增在时当-∞≥<≤-∞+∞-∞<+∞-∞≥-==+∞-∞>x f a a x f a x f a x f x x f a a x f a方法２：'()(,0)()0(,0)(1)(1)(,0)0,10.0f x f x x x x a x x x x x a a -∞≥∈-∞-≥-∈-∞<∴-<∴≤≥Q 因为在上递增,所以在上恒成立即在上恒成立从而方法３．'2'()66(1)6(,0]11000220(0)0f x x a x a a a a f =-++-∞++⎧⎧≥<⎪⎪≥⎨⎨⎪⎪∆≤≥⎩⎩保证在上最小值大于或等于零故有或 可解得解题方法总结：求)('x f 后，若能因式分解则先因式分解，讨论)('x f =0两根的大小判断函数)(x f 的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题. 基础训练：.)().2(;)().1(1,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--=类型2．参数放在区间边界上例２．已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点ｐ(-1,2),若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线ο452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角.(1) 求)(x f 的表达式(2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围.略解 (1)233)(x x x f +=]2,21[]3,(12101212121),0()2,(]1,12[)0,2(,),0(),2,()()2(363)()2(2'Y --∞∈⎩⎨⎧->+≥-⎩⎨⎧->+-≤++∞--∞+--+∞--∞+=+=m m m m m m m m m x f x x x x x f 解得或所以的一个子区间或是从而只要保证上递减在上递增在可知 总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可. 基础训练：.,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+=五．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上例3.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f(1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围．略解：(1)2,21-=-=b a2122)2(]2,1[)(,2)2(,21)1(23)1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f cf c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值. 基础训练：__________)(]2,1[,522)(.323的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=类型2．参数放在区间上例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值.（１） 求)(x f 的解析式.（２） 当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.分析:(1)935)(23++-=x x x x f]3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,31(9)0()()(,0)()31,0(3,310)()3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-=基础训练：.___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-六．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围． 例5.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 略解(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'030-=-x x f x x x M 因为 0200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g 总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数. 基础训练：轴仅有一个交点与曲线在什么范围内取值时当的极值求函数为实数设x x f y a x f a x x x x f a )(,)2()()1()(,.523=+--=七. 开放型的问题，求参数的取值范围。